Asosiy tarkibga o'tish

1.9-bo'lim: Eksponensial va logarifm tenglamalari

1 – 12 masalalar uchun berilgan tenglamaning barcha yechimlarini toping. Agar tenglamaning yechimi bo'lmasa, sababini aniq tushuntiring.

  1. \(12 - 4{{\bf{e}}^{7 + 3\,x}} = 7\) Yechim
  2. \(1 = 10 - 3{{\bf{e}}^{{z^{\,2}} - 2\,z}}\) Yechim
  3. \(2t - t{{\bf{e}}^{6\,t - 1}} = 0\) Yechim
  4. \(4x + 1 = \left( {12x + 3} \right){{\bf{e}}^{{x^2} - 2}}\) Yechim
  5. \(2{{\bf{e}}^{3\,y + 8}} - 11{{\bf{e}}^{5 - 10\,y}} = 0\) Yechim
  6. \(14{{\bf{e}}^{6 - x}} + {{\bf{e}}^{12x - 7}} = 0\) Yechim
  7. \(\displaystyle 1 - 8\ln \left( {\frac{{2x - 1}}{7}} \right) = 14\) Yechim
  8. \(\ln \left( {y - 1} \right) = 1 + \ln \left( {3y + 2} \right)\) Yechim
  9. \(\log \left( w \right) + \log \left( {w - 21} \right) = 2\) Yechim
  10. \(2\log \left( z \right) - \log \left( {7z - 1} \right) = 0\) Yechim
  11. \(16 = {17^{t - 2}} + 11\) Yechim
  12. \({2^{3 - 8w}} - 7 = 11\) Yechim


Murakkab foiz. Agar biz \(P\) dollarini \(t\) yillari uchun \(r\) (standart foizdan farqli o'nlik kasr sifatida yozilgan) stavkasida foiz oladigan hisob raqamiga qo'ysak,

  1. agar foiz yiliga \(m\) marta qo'shilsa, bizda, \[A = P{\left( {1 + \frac{r}{m}} \right)^{t\,m}}\]

    dollarga \(t\) yillardan keyin.

  2. agar foiz doimiy ravishda qo'shilsa, bizda shunday bo'ladi, \[A = P{{\bf{e}}^{r\,t}}\]

    dollar \(t\) yillardan keyin.

  1. Bizda 44 oy davomida sarmoya kiritish uchun 10 000 dollar bor. Yillik foiz stavkasi 5,5% bo'lgan va foizlar qo'shilgan hisob raqamiga pul qo'ysak, bizda qancha pul bo'ladi.
    1. har chorakda
    2. oylik
    3. doimiy ravishda
    Yechim
  2. Biz 5000 dollardan boshlaymiz va uni yillik foiz stavkasi 12% bo'lgan hisobga qo'yamiz. Agar foiz qo'shilgan bo'lsa, pulimizni ikki barobarga oshirish uchun hisobda qancha vaqt qoldirishimiz kerak
    1. har chorakda
    2. oylik
    3. doimiy ravishda
    Yechim


Eksponensial o'sish/emirilish. Dunyodagi ko'plab miqdorlarni eksponensial o'sish/emirilish tenglamasi bilan modellashtirish mumkin (hech bo'lmaganda qisqa vaqt).

\[Q = {Q_0}{{\bf{e}}^{k\,t}}\]

Agar \(k\) ijobiy bo'lsa, biz eksponensial o'sishni olamiz va \(k\) manfiy bo'lsa, biz eksponensial parchalanishni olamiz.

  1. Bakteriyalar populyatsiyasida dastlab 250 ta, 5 kundan keyin esa 1600 ta bakteriya mavjud bo'ladi.
    1. Ushbu populyatsiya uchun eksponensial o'sish tenglamasini aniqlang.
    2. Dastlabki aholi soni 250 kishidan 2000 kishigacha o'sishi uchun qancha vaqt kerak bo'ladi?
    Yechim
  2. Bizda dastlab 100 gramm radioaktiv element bor va 1250 yildan keyin 80 gramm qoladi.
    1. Ushbu element uchun eksponensial yemirilish tenglamasini aniqlang.
    2. Elementning yarmi parchalanishi uchun qancha vaqt kerak bo'ladi?
    3. Elementdan atigi 1 gramm qolguncha qancha vaqt ketadi?
    Yechim