6.4-bo'lim: Logarifm tenglamalarini yechish
Ushbu bo'limda biz endi logarifmik tenglamalarni yoki ulardagi logarifmli tenglamalarni yechish usullarini ko'rib chiqamiz. Bu erda biz ikkita aniq turdagi tenglamalarni ko'rib chiqamiz. Xususan, biz har bir aʼzo logarifm boʻlgan tenglamalarni koʻrib chiqamiz, shuningdek, tenglamadagi bir haddan tashqari hammasi logarifm boʻlgan va logarifmsiz atama doimiy boʻlgan tenglamalarni koʻrib chiqamiz. Bundan tashqari, har bir tenglamadagi logarifmlar bir xil asosga ega bo'ladi deb taxmin qilamiz. Agar tenglamadagi logarifmlarda bir nechta asos bo'lsa, yechim jarayoni ancha qiyinlashadi.
Yechish jarayoniga kirishdan oldin, biz logarifmaga faqat ijobiy raqamlarni kiritishimiz mumkinligini yodda tutishimiz kerak. Bu yo'lda muhim bo'ladi va shuning uchun biz buni unuta olmaymiz.
Keling, har bir atama logarifm bo'lgan va logarifmlarning barcha asoslari bir xil bo'lgan tenglamalarni ko'rib chiqishdan boshlaylik. Bunday holda biz haqiqatdan foydalanamiz,
\[{\mbox{If }}{\log _b}x = {\log _b}y{\mbox{ then }}x = y\]Boshqacha qilib aytganda, agar muammoda ikkita jurnal mavjud bo'lsa, biri teng belgining ikkala tomonida va ikkalasi ham bir koeffitsientga ega bo'lsa, biz shunchaki logarifmlarni tashlab qo'yishimiz mumkin.
Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
- \(2{\log _9}\left( {\sqrt x } \right) - {\log _9}\left( {6x - 1} \right) = 0\)
- \(\log x + \log \left( {x - 1} \right) = \log \left( {3x + 12} \right)\)
- \(\ln 10 - \ln \left( {7 - x} \right) = \ln x\)
a \(2{\log _9}\left( {\sqrt x } \right) - {\log _9}\left( {6x - 1} \right) = 0\) Yechim
Ushbu tenglama bilan tenglamada faqat ikkita logarifm mavjud, shuning uchun tenglik belgisining har ikki tomonini olish oson. Birinchi muddat oldidagi koeffitsient bilan ham shug'ullanishimiz kerak bo'ladi.
\[\begin{align*}{\log _9}{\left( {\sqrt x } \right)^2} & = {\log _9}\left( {6x - 1} \right)\\ {\log _9}x & = {\log _9}\left( {6x - 1} \right)\end{align*}\]Endi bizda tenglik belgisining har ikki tomonida bir xil asos va koeffitsientlar 1 bo'lgan ikkita logarifm bor, biz jurnallarni tashlab, hal qilishimiz mumkin.
\[\begin{align*}x & = 6x - 1\\ 1 & = 5x\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = \frac{1}{5}\end{align*}\]Endi, bu yechim logarifmlarda salbiy sonlar yoki nollarni keltirib chiqaradimi, deb xavotirlanishimiz kerak, shuning uchun keyingi qadam buni tarmoqqa ulashdir. original tenglamani tuzing va shundayligini tekshiring.
\[2{\log _9}\left( {\sqrt {\frac{1}{5}} } \right) - {\log _9}\left( {6\left( {\frac{1}{5}} \right) - 1} \right) = 2{\log _9}\left( {\sqrt {\frac{1}{5}} } \right) - {\log _9}\left( {\frac{1}{5}} \right) = 0\]E'tibor bering, biz bu erda chek bilan to'liq o'tishimiz shart emas. Biz \(x\) ni ulaganimizdan so'ng logarifmlarda hech qanday manfiy son yoki nol yo'qligiga ishonch hosil qilishimiz kerak. Bu holatda bizda yechim yo'qligi sababli, bu \(x = \frac{1}{5}\).
b \(\log x + \log \left( {x - 1} \right) = \log \left( {3x + 12} \right)\) Yechim
Xo'sh, bu tenglamada bizda uchta logarifm bor va bizda faqat ikkitasi bo'lishi mumkin. Shunday qilib, biz ushbu turdagi ishni qanday qilish kerakligini oldingi misollarda ko'rib chiqdik bo'limi shuning uchun biz bu erda xuddi shu narsani qilishimiz kerak. Buni qanday qilishimiz muhim emas, lekin bir tomonda allaqachon bitta logarifm mavjud bo'lganligi sababli, biz boshqa tomondan jurnallarni birlashtira olamiz.
\[\log \left( {x\left( {x - 1} \right)} \right) = \log \left( {3x + 12} \right)\]Endi biz tenglik belgisining har ikki tomonida bitta logarifmga egamiz, ular bir xil asos va bitta koeffitsientga ega, shuning uchun logarifmlarni tashlab, hal qilishimiz mumkin.
\[\begin{align*}x\left( {x - 1} \right) & = 3x + 12\\ {x^2} - x - 3x - 12 = 0\\ {x^2} - 4x - 12 & = 0\\ \left( {x - 6} \right)\left( {x + 2} \right) & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = - 2,\,\,x = 6\end{align*}\]Endi biz ularni yechim deb e'lon qilishdan oldin ularni asl tenglamada tekshirishimiz kerak.
\(x = 6\, :\)
\[\begin{align*}\log 6 + \log \left( {6 - 1} \right) & = \log \left( {3\left( 6 \right) + 12} \right)\\ \log 6 + \log 5 & = \log 30\end{align*}\]Salbiy sonlarning logarifmlari va nolning logarifmlari yo'q, shuning uchun bu yechim.
\(x = - 2\, :\)
\[\log \left( { - 2} \right) + \log \left( { - 2 - 1} \right) = \log \left( {3\left( { - 2} \right) + 12} \right)\]Biz uzoqqa borishimiz shart emas, birinchi hadda manfiy sonning logarifmi bor (boshqalari ham manfiy) va biz buni yechim sifatida istisno qilishimiz uchun kerak bo'lgan yagona narsa.
Bu erda ehtiyot bo'ling. Biz \(x = - 2\)-ni istisno qilmaymiz, chunki u salbiy, bu muammo emas. Biz buni istisno qilyapmiz, chunki uni asl tenglamaga kiritganimizdan so'ng biz manfiy sonlarning logarifmlarini olamiz. \(x\) ning manfiy qiymatlari ushbu muammolarning yechimi bo'lishi mumkin, shuning uchun bu qiymatni chiqarib tashlash sababini xato qilmang.
Bundan tashqari, biz \(x = 6\) ni yechim sifatida qabul qilmadik, chunki u ijobiy edi, lekin almashtirish paytida logarifmalarda hech qanday manfiy son yoki nol hosil qilmagani uchun. Musbat sonlar yechim bo'lmasligi mumkin.
Shunday qilib, bularning barchasidan tashqari, bizda \(x = 6\) tenglamasining yagona yechimi bor.
c \(\ln 10 - \ln \left( {7 - x} \right) = \ln x\) Yechim
Biz bu tenglamani avvalgi tenglamada qanday ishlagan bo'lsak, xuddi shunday ishlaymiz. Bir tomonda ikkita logarifm bor, shuning uchun biz ularni birlashtiramiz, logarifmlarni tashlab, keyin hal qilamiz.
\[\begin{align*}\ln \left( {\frac{{10}}{{7 - x}}} \right) & = \ln x\\ \frac{{10}}{{7 - x}} & = x\\ 10 & = x\left( {7 - x} \right)\\ 10 & = 7x - {x^2}\\ {x^2} - 7x + 10 & = 0\\ \left( {x - 5} \right)\left( {x - 2} \right) & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = 2,\,\,x = 5\end{align*}\]Bu erda tekshirish uchun ikkita mumkin bo'lgan echimimiz bor.
\(x = 2 :\)
\[\begin{align*}\ln 10 - \ln \left( {7 - 2} \right) & = \ln 2\\ \ln 10 - \ln 5 & = \ln 2\end{align*}\]Bu yaxshi.
\(x = 5 :\)
\[\begin{align*}\ln 10 - \ln \left( {7 - 5} \right) & = \ln 5\\ \ln 10 - \ln 2 & = \ln 5\end{align*}\]Bu ham yaxshi.
Bunday holda, \(x = 2\) va \(x = 5\) ikkala mumkin bo'lgan echimlar aslida yechim bo'ladi. Yechim sifatida har doim ikkitadan birini tashlab yuborishni kutish uchun hech qanday sabab yo'q.
Endi biz bu erda hal qiladigan ikkinchi turdagi logarifmik tenglamani ko'rib chiqishimiz kerak. Bu tenglama barcha shartlarga ega bo'ladi, lekin bittasi logarifm bo'ladi va logarifmi bo'lmagan bittasi doimiy bo'ladi.
Bunday tenglamalarni yechish uchun logarifmning eksponensial shaklini eslab qolishimiz kerak. Esingizda bo'lmasa, bu erda.
\[y = {\log _b}x\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{b^y} = x\]Biz ushbu tenglamalarning barchasida eksponensial shaklga aylantirishdan foydalanamiz, shuning uchun buni amalga oshirishingiz muhim. Keling, bu turdagi tenglamalarni qanday yechish mumkinligini ko'rishimiz uchun bir nechta misollar bilan ishlaylik.
- \({\log _5}\left( {2x + 4} \right) = 2\)
- \(\log x = 1 - \log \left( {x - 3} \right)\)
- \({\log _2}\left( {{x^2} - 6x} \right) = 3 + {\log _2}\left( {1 - x} \right)\)
a \({\log _5}\left( {2x + 4} \right) = 2\) Yechim
Bularni yechish uchun biz tenglamani aynan shu shaklga keltirishimiz kerak. Bizga tenglamaning koeffitsienti bir va teng belgisining boshqa tomonida doimiy bo'lgan yagona log kerak. Ushbu shakldagi tenglamaga ega bo'lgach, biz shunchaki eksponensial shaklga o'tamiz.
Shunday qilib, keling, buni ushbu tenglama bilan qilaylik. Bu tenglamaning eksponensial shakli:
\[2x + 4 = {5^2} = 25\]E'tibor bering, bu biz osongina yechishimiz mumkin bo'lgan tenglama.
\[2x = 21\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = \frac{{21}}{2}\]Endi, xuddi birinchi misollar to'plamida bo'lgani kabi, biz buni qayta ulashimiz kerak original tenglamani tuzing va u logarifmalarda manfiy sonlar yoki nollarni keltirib chiqarishini ko'ring. Agar shunday bo'lsa, bu yechim bo'la olmaydi, agar bo'lmasa, bu yechim.
\[\begin{align*}{\log _5}\left( {2\left( {\frac{{21}}{2}} \right) + 4} \right) & = 2\\ {\log _5}\left( {25} \right) & = 2\end{align*}\]Logarifmdagi faqat ijobiy raqamlar va shuning uchun \(x = \frac{{21}}{2}\) aslida yechimdir.
b \(\log x = 1 - \log \left( {x - 3} \right)\) Yechim
Bu holda bizda muammoda ikkita logarifm bor, shuning uchun biz birinchi misollar to'plamida bo'lgani kabi ularni bitta logarifmaga birlashtirishimiz kerak. Ushbu tenglama uchun buni qilish,
\[\begin{align*}\log x + \log \left( {x - 3} \right) & = 1\\ \log \left( {x\left( {x - 3} \right)} \right) & = 1\end{align*}\]Endi biz tenglamani to'g'ri shaklga o'tkazganimizdan so'ng, biz eksponensial shaklga aylantiramiz. Eslatib o'tamiz, biz bu erda umumiy logarifm bilan ishlaymiz va shuning uchun asos 10 ga teng.
Mana bu tenglamaning eksponensial shakli.
\[\begin{align*}x\left( {x - 3} \right) & = {10^1}\\ {x^2} - 3x - 10 & = 0\\ \left( {x - 5} \right)\left( {x + 2} \right) & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = - 2,\,\,x = 5\end{align*}\]Shunday qilib, bizda ikkita potentsial echim bor. Keling, ikkalasini ham tekshiramiz.
\(*x = - 2:\)
\[\log \left( { - 2} \right) = 1 - \log \left( { - 2 - 3} \right)\]Biz logarifmlarda manfiy raqamlarga egamiz va shuning uchun bu yechim bo'lishi mumkin emas.
\(x = 5:\)
\[\begin{align*}\log 5 & = 1 - \log \left( {5 - 3} \right)\\ \log 5 & = 1 - \log 2\end{align*}\]Logarifmlarda manfiy sonlar yoki nollar yo'q, shuning uchun bu yechim.
Shuning uchun bizda bu tenglamaning yagona yechimi bor, \(x = 5\).
Yana shuni esda tutingki, biz potentsial yechimni istisno qilmaymiz, chunki u salbiy yoki potentsial yechimni o'z ichiga oladi, chunki u ijobiydir. Agar potentsial yechimni tenglamaga almashtirgandan so'ng logarifmlarda manfiy sonlar yoki nollarni keltirib chiqarsa, uni chiqarib tashlaymiz va agar u bo'lmasa, potentsial yechimni o'z ichiga olamiz.
c \({\log _2}\left( {{x^2} - 6x} \right) = 3 + {\log _2}\left( {1 - x} \right)\) Yechim
Shunga qaramay, keling, logarifmlarni bir tomonga olib, bitta logarifmaga birlashtiramiz.
\[\begin{align*}{\log _2}\left( {{x^2} - 6x} \right) - {\log _2}\left( {1 - x} \right) = 3\\ & {\log _2}\left( {\frac{{{x^2} - 6x}}{{1 - x}}} \right) = 3\end{align*}\]Endi uni eksponensial shaklga aylantiring.
\[\frac{{{x^2} - 6x}}{{1 - x}} = {2^3} = 8\]Endi bu tenglamani yechamiz.
\[\begin{align*}{x^2} - 6x & = 8\left( {1 - x} \right)\\ {x^2} - 6x & = 8 - 8x\\ {x^2} + 2x - 8 & = 0\\ \left( {x + 4} \right)\left( {x - 2} \right) & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = - 4,\,\,x = 2\end{align*}\]Keling, ushbu ikkala yechimni asl tenglamada tekshiramiz.
\(x = - 4:\)
\[\begin{align*}{\log _2}\left( {{{\left( { - 4} \right)}^2} - 6\left( { - 4} \right)} \right) & = 3 + {\log _2}\left( {1 - \left( { - 4} \right)} \right)\\ {\log _2}\left( {16 + 24} \right) & = 3 + {\log _2}\left( 5 \right)\end{align*}\]Shunday qilib, ushbu yechimni o'rniga qo'yganimizda, biz logarifmlardagi barcha raqamlar musbat ekanligini ko'ramiz va shuning uchun bu yechimdir. Yana bir bor e'tibor bering, yechim salbiy bo'lishi muhim emas, u logarifmalarda manfiy raqamlar yoki nollarni keltira olmaydi.
\(x = 2:\)
\[\begin{align*}{\log _2}\left( {{2^2} - 6\left( 2 \right)} \right) & = 3 + {\log _2}\left( {1 - 2} \right)\\ {\log _2}\left( {4 - 12} \right) & = 3 + {\log _2}\left( { - 1} \right)\end{align*}\]Bunday holda, potentsial yechim ijobiy bo'lishiga qaramay, biz logarifmalarda manfiy sonlarni olamiz va shuning uchun bu yechim bo'lishi mumkin emas.
Shunday qilib, biz \(x = - 4\) tenglamasining yagona yechimini olamiz.