10.4-bo'lim: Seriyalarning konvergentsiyasi/divergentsiyasi
Oldingida biz seriyalar bilan tanishish uchun biroz vaqt sarfladik va biz konvergentsiya va divergensiyani qisqacha aniqladik. Seriyaning konvergentsiyasi va divergensiyasi haqida qayg'urishdan oldin biz ketma-ketlikdagi yozuvlar va ba'zi hollarda biz bajarishimiz kerak bo'lgan qatorlarning turli xil manipulyatsiyalari bilan qulay bo'lishni boshlaganimizga ishonch hosil qilishni xohladik.
Oldingida ta'kidlanganidek, biz qilayotgan ishlarning aksariyati bu bobda ko'p bajarilmaydi. Shunday qilib, endi ketma-ketlikning konvergentsiyasi va divergensiyasi haqida gapirishni boshlash vaqti keldi, chunki bu biz ushbu bobning deyarli barcha qolgan bo'limlarida u yoki bu darajada ko'rib chiqiladigan mavzu bo'ladi.
Shunday qilib, keling, cheksiz qator nima ekanligini va ketma-ket konvergent yoki divergent bo'lishi nimani anglatishini takrorlaymiz. Biz \(\left\{ {{a_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) ketma-ketligidan boshlaymiz va yana shuni ta'kidlaymizki, biz \(n = 1\)-da ketma-ketlikni faqat qulaylik uchun boshlayapmiz va u aslida hamma narsa bo'lishi mumkin.
Keyinchalik, seriyaning qisman yig'indilarini quyidagicha aniqlaymiz:
\[\begin{align*}&{s_1} = {a_1}\\ & {s_2} = {a_1} + {a_2}\\ & {s_3} = {a_1} + {a_2} + {a_3}\\ & {s_4} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4}\\ & \hspace{0.25in}\, \vdots \\ & {s_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + \cdots + {a_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} \end{align*}\]va ular yangi ketma-ketlikni hosil qiladi, \(\left\{ {{s_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \).
Cheksiz seriya yoki shunchaki seriya, chunki biz ko'rib chiqadigan deyarli har bir seriya cheksiz qator bo'ladi, bu qisman yig'indilarning chegarasidir. Yoki,
\[\sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_i}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {s_n}\]Shuni yodda tutish kerakki, \(\sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_i}} \) haqiqatan ham \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} \) uchun qulay belgidan boshqa narsa emas, shuning uchun biz cheklovni yozishni davom ettirishimiz shart emas. Biroq, biz har doim o'zimizga shuni eslatib turishimiz kerakki, bizning chegaramiz bor!
Agar qisman yig'indilar ketma-ketligi konvergent ketma-ketlik bo'lsa (i.e. uning chegarasi mavjud va cheklangan) u holda qator ham deyiladi konvergent va bu holda, agar \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {s_n} = s\) keyin, \(\sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_i}} = s\). Xuddi shunday, agar qisman yig'indilar ketma-ketligi divergent ketma-ketlik bo'lsa (i.e. uning chegarasi mavjud emas yoki ortiqcha yoki minus cheksizlikdir) keyin qator ham chaqiriladi turlicha.
Keling, ba'zi bir qatorlarni ko'rib chiqaylik va ularning konvergent yoki divergentligini aniqlashimiz mumkinligini bilib olaylik va biz topadigan har qanday konvergent qatorning qiymatini aniqlashimiz mumkinligini bilib olaylik.
Yechim
Seriyaning yaqinlashishini aniqlash uchun biz birinchi navbatda qisman yig‘indilar ketma-ketligidagi umumiy atama formulasini olishimiz kerak.
\[{s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n i \]Bu ma'lum seriyadir va uning qiymati quyidagicha ko'rsatilishi mumkin,
\[{s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n i = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\]Agar siz ushbu formulani bilmagan bo'lsangiz, tashvishlanmang (kimdir buni bilsa, biz hayron bo'lardik ...), chunki mening kursimda buni bilishingiz shart emas.
Shunday qilib, qatorning yaqinlashishini aniqlash uchun biz birinchi navbatda qisman yig'indilar ketma-ketligini ko'rishimiz kerak,
\[\left\{ {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right\}_{n = 1}^\infty \]konvergent yoki divergent hisoblanadi. Bu holatda bu unchalik qiyin emas. Ketma-ketlik shartlari chegarasi,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = \infty \]Shuning uchun, qisman yig'indilar ketma-ketligi \(\infty \) ga ajraladi va shuning uchun qatorlar ham ajralib chiqadi.
Shunday qilib, biz ushbu misolda ko'rganimizdek, biz ushbu qatorning yaqinlashuvini aniqlash uchun juda noaniq formulani bilishimiz kerak edi. Umuman olganda, qisman yig'indilar ketma-ketligida umumiy atama uchun formulani topish juda qiyin jarayon. Darhaqiqat, keyingi bo'limdan keyin biz umumiy formulani topishda juda qiyin bo'lganligi sababli seriyalarning qisman yig'indilari bilan ko'p ish qilmaymiz. Bu shuningdek, biz ketma-ketlik qiymati bilan ko'p ish qilmasligimizni anglatadi, chunki qiymatni olish uchun biz qisman yig'indilarning umumiy formulasini ham bilishimiz kerak.
Biroq, biz yana bir nechta misollar bilan davom etamiz, chunki biz konvergentsiya va ketma-ketlik qiymatini texnik jihatdan aniqlaymiz. Shuningdek, biz ushbu bo'limda ko'rib chiqadigan qolgan misollar bizni ketma-ketliklarning yaqinlashishi haqidagi juda muhim faktga olib keladi.
Shunday qilib, keling, yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Bu, aslida, biz qisman yig'indilar ketma-ketligida umumiy atama uchun formulani aniqlashimiz mumkin bo'lgan bir nechta seriyalardan biridir. Biroq, bu bo'limda bizni konvergentsiya va divergentsiyaning umumiy g'oyasi ko'proq qiziqtiradi va shuning uchun biz formulani topish jarayonini muhokama qilishni keyingi bo'limga qoldiramiz.
Qisman summalar uchun umumiy formula:
\[{s_n} = \sum\limits_{i = 2}^n {\frac{1}{{{i^2} - 1}}} = \frac{3}{4} - \frac{1}{{2n}} - \frac{1}{{2\left( {n + 1} \right)}}\]va bu holda bizda,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {s_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{3}{4} - \frac{1}{{2n}} - \frac{1}{{2\left( {n + 1} \right)}}} \right) = \frac{3}{4}\]Qisman yig'indilar ketma-ketligi yaqinlashadi va shuning uchun qatorlar ham yaqinlashadi va uning qiymati:
\[\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{{{n^2} - 1}}} = \frac{3}{4}\]Yechim
Bunday holda, biz ushbu qatorning yaqinlashuvini aniqlash uchun qisman yig'indilarning umumiy formulasiga muhtoj emasmiz. Keling, dastlabki bir necha qisman summalarni yozamiz.
\[\begin{align*}&{s_0} = 1\\ & {s_1} = 1 - 1 = 0\\ & {s_2} = 1 - 1 + 1 = 1\\ & {s_3} = 1 - 1 + 1 - 1 = 0\\ & etc.\end{align*}\]Shunday qilib, qisman yig'indilar ketma-ketligi ko'rinadi,
\[\left\{ {{s_n}} \right\}_{n = 0}^\infty = \left\{ {1,0,1,0,1,0,1,0,1, \ldots } \right\}\]va \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {s_n}\) mavjud emasligi sababli bu ketma-ketlik farqlanadi. Shuning uchun qatorlar ham ajralib turadi.
Yechim
Bu qator uchun qisman summalarning umumiy formulasi.
\[{s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{3^{i - 1}}}}} = \frac{3}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right)\]Shunga qaramay, ushbu formulani bilishdan tashvishlanmang. Bu mening sinfimda hech qachon bilish so'raladigan narsa emas.
Bunday holda, qisman summalar ketma-ketligi chegarasi:
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {s_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{3}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right) = \frac{3}{2}\]Qisman yig'indilarning ketma-ketligi yaqinlashadi va shuning uchun qatorlar ham yaqinlashadi. Seriyaning qiymati,
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{3^{n - 1}}}}} = \frac{3}{2}\]Yuqorida aytib o'tganimizdek, qisman yig'indilar ketma-ketligining umumiy formulasini aniqlashdan hayajonlanmang. Faqat bitta turdagi seriyalar bo'ladi, unda siz ushbu formulani aniqlashingiz kerak bo'ladi va bu holda jarayon juda yomon emas. Darhaqiqat, siz keyingi bo'limda ko'rib turganingizdek, jarayondagi ishlarning ko'p qismini qanday qilishni allaqachon bilasiz.
Shunday qilib, biz to'rtta seriyaning yaqinlashuvini aniqladik. Seriyalarning ikkitasi birlashdi va ikkitasi ajralib chiqdi. Keling, orqaga qaytaylik va ularning har biri uchun ketma-ket atamalarni ko'rib chiqaylik. Har bir seriya uchun chegarani olaylik, chunki \(n\) ketma-ketlik shartlarining cheksizligiga boradi (qisman summalar emas!).
\[\begin{align*}& \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n = \infty & \hspace{0.75in}& {\mbox{this series diverged}}\\ & \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{n^2} - 1}} = 0 & \hspace{0.75in}& {\mbox{this series converged}}\\ & \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { - 1} \right)^n}{\mbox{ doesn't exist}} & \hspace{0.5in} & {\mbox{this series diverged}}\\ & \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{3^{n - 1}}}} = 0 & \hspace{0.75in} & {\mbox{this series converged}}\end{align*}\]E'tibor bering, birlashgan ikkita seriya uchun ketma-ket atamaning o'zi chegarada nolga teng edi. Bu har doim konvergent qatorlar uchun to'g'ri bo'ladi va quyidagi teoremaga olib keladi.
Agar seriya bir-biriga yaqinlashsa, uning shartlari nolga o'tadi
Agar \(\sum {{a_n}} \) yaqinlashsa, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\).
Agar seriya bir-biriga yaqinlashsa, uning shartlari nolga o'tadi
Birinchidan, seriya \(n = 1\) da boshlanadi deb faraz qilaylik. Agar shunday bo'lmasa, biz narsalarni quyida mos ravishda o'zgartirishimiz mumkin. Keyin qisman summalar,
\[{s_{n - 1}} = \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{a_i}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + \cdots + {a_{n - 1}}\hspace{0.25in}{s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + \cdots + {a_{n - 1}} + {a_n}\]
Keyinchalik, biz ushbu ikkita qisman summani yozish uchun ishlatishimiz mumkin,
\[{a_n} = {s_n} - {s_{n - 1}}\]Endi biz \(\sum {{a_n}} \) konvergent ekanligini bilganimiz uchun biz \(\left\{ {{s_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) ketma-ketligi ham konvergent ekanligini va \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {s_n} = s\) ma'lum bir chekli qiymat uchun \(s\) ekanligini bilamiz. Biroq, \(n - 1 \to \infty \) \(n \to \infty \) sifatida bizda \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {s_{n - 1}} = s\) ham mavjud.
Bizda hozir bor,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{s_n} - {s_{n - 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {s_n} - \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {s_{n - 1}} = s - s = 0\]Ushbu teoremani noto'g'ri ishlatmaslik uchun ehtiyot bo'ling! Bu teorema bizga yaqinlashish talabini beradi, lekin yaqinlashish kafolati emas. Boshqacha aytganda, buning aksi to'g'ri emas. Agar \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\) bo'lsa, seriya aslida ajralib chiqishi mumkin! Quyidagi ikkita seriyani ko'rib chiqing.
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}} \hspace{0.75in}\hspace{0.25in}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} \]Ikkala holatda ham seriya shartlari chegarada nolga teng, chunki \(n\) cheksizlikka boradi, lekin faqat ikkinchi qator yaqinlashadi. Birinchi seriya farqlanadi. Buni isbotlashimizdan oldin bir nechta bo'limlar bo'ladi, shuning uchun hozir bunga ishoning va bilingki, siz bir nechta bo'limda bu ikki qatorning yaqinligini isbotlay olasiz.
Yana, yuqorida ta'kidlanganidek, bu teoremaning barchasi bizga ketma-ket yaqinlashish talabini beradi. Seriya yaqinlashishi uchun qator hadlari chegarada nolga borishi kerak. Agar ketma-ketlik shartlari chegarada nolga chiqmasa, seriyaning birlashishi mumkin emas, chunki bu teoremani buzadi.
Bu bizni ushbu bobda ko'rib chiqadigan ketma-ketlikning konvergentsiyasi/divergentsiyasi uchun ko'plab sinovlarning birinchisiga olib keladi.
Divergentsiya testi
Agar \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} \ne 0\) bo'lsa, \(\sum {{a_n}} \) ajralib chiqadi.
Shunga qaramay, ushbu testdan noto'g'ri foydalanmang. Ushbu test faqat seriya shartlari chegarada nolga chiqmasa, seriyaning ajralib chiqishi kafolatlanganligini aytadi. Agar ketma-ket atamalar nolga tushsa, ketma-ket kelishi mumkin yoki yaqinlashmasligi mumkin! Yana quyidagi ikkita seriyani eslang,
\[\begin{align*} & \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}} & \hspace{0.5in} & {\mbox{diverges}}\\ & \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} & \hspace{0.5in} & {\mbox{converges}}\end{align*}\]Talabalar seriyaga birinchi bo'lib kirishganda eng ko'p uchraydigan xatolardan biri, agar \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\) keyin \(\sum {{a_n}} \) birlashadi deb taxmin qilishdir. Buni kafolatlashning hech qanday usuli yo'q, shuning uchun ehtiyot bo'ling!
Keling, ushbu testdan qanday foydalanish mumkinligi haqidagi misolni tezda ko'rib chiqaylik.
Yechim
Biz ushbu bobda deyarli har bir seriyani ko'rib chiqamiz, biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa - seriya shartlarini ko'rib chiqish va ular nolga tushadimi yoki yo'qmi. Agar shartlar nolga chiqmasligi aniq bo'lsa, Divergensiya testidan foydalaning va muammoni hal qiling.
Bu erda biz nima qilamiz.
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{4{n^2} - {n^3}}}{{10 + 2{n^3}}} = - \frac{1}{2} \ne 0\]Seriya shartlarining chegarasi nolga teng emas va shuning uchun Divergensiya testi bilan qatorlar ajralib chiqadi.
Divergentsiya testi ko'plab testlarning birinchi sinovi bo'lib, biz keyingi bir necha bo'limlarda ko'rib chiqamiz. Siz ushbu testlarning barchasini, ulardan foydalanish shartlarini va xulosalarini bir joyda kuzatib borishingiz kerak bo'ladi, shunda kerak bo'lganda ularga tezda murojaat qilishingiz mumkin.
Keyinchalik ketma-ketlik arifmetikasi va yaqinlashuv/divergensiyani qisqacha ko'rib chiqishimiz kerak. Oldingida ko'rganimizdek, agar \(\sum {{a_n}} \) va \(\sum {{b_n}} \) ikkalasi ham konvergent qatorlar bo'lsa, \(\sum {c{a_n}} \) va \(\sum\limits_{n = k}^\infty {\left( {{a_n} \pm {b_n}} \right)} \) ham shunday. Bundan tashqari, ushbu seriyalar quyidagi summa yoki qiymatlarga ega bo'ladi.
\[\sum {c{a_n}} = c\sum {{a_n}} \hspace{0.75in}\sum\limits_{n = k}^\infty {\left( {{a_n} \pm {b_n}} \right)} = \sum\limits_{n = k}^\infty {{a_n}} \pm \sum\limits_{n = k}^\infty {{b_n}} \]Buning misolini biz kamarimiz ostida yana bir nechta misollarni olganimizdan keyin keyingi bo'limda ko'ramiz. Shu nuqtada shuni esda tutingki, konvergent qatorlar yig'indisi yaqinlashadi va konvergent qatorni songa ko'paytirish uning yaqinlashuvini o'zgartirmaydi.
Divergent seriyalar haqida gap ketganda, bu faktlar bilan biroz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Birinchi holda, agar \(\sum {{a_n}} \) divergent bo'lsa, \(\sum {c{a_n}} \) ham divergent bo'ladi (agar \(c\), albatta, nolga teng bo'lmasa), chunki cheksiz qiymatga ega yoki qiymatga ega bo'lmagan qatorni chekli qiymatga ko'paytirish (i.e. c) qatorning cheksiz yoki qiymatsiz ekanligi faktini o‘zgartirmaydi. Biroq, \(\sum {{a_n}} \) ham, \(\sum {{b_n}} \) ham divergent qator bo'lishi mumkin, ammo \(\sum\limits_{n = k}^\infty {\left( {{a_n} \pm {b_n}} \right)} \) bir xil bo'lishi mumkin. konvergent qator.
Endi, ushbu bo'limning asosiy mavzusi ketma-ketlikning yaqinlashuvi bo'lganligi sababli, biz konvergentsiyaning kuchliroq turini eslatib o'tishimiz kerak. \(\sum {{a_n}} \) seriyasiga aytiladi mutlaqo birlashish agar \(\sum {\left| {{a_n}} \right|} \) ham yaqinlashsa. Mutlaq konvergentsiya kuchliroq konvergentsiyadan ko'ra, mutlaq yaqinlashuvchi qator ham yaqinlashuvchi bo'ladi, lekin yaqinlashuvchi qator mutlaq yaqinlashishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin.
Agar \(\sum {{a_n}} \) bir-biriga yaqinlashsa va \(\sum {\left| {{a_n}} \right|} \) ajralsa, \(\sum {{a_n}} \) seriyasi deyiladi. shartli konvergent.
Ayni paytda bizda ushbu mavzuni to'g'ri o'rganish uchun vositalar mavjud emas va ketma-ketlik mutlaqo konvergent yoki yo'qligini aniqlash uchun qo'limizdagi vositalar mavjud emas. Shuning uchun biz bir muncha vaqt bu mavzu haqida boshqa hech narsa aytmaymiz. Nihoyat, ushbu mavzuni batafsil muhokama qilish uchun qo'limizda vositalar mavjud bo'lganda, biz uni qayta ko'rib chiqamiz. Ungacha bu haqda tashvishlanmang. Bu fikr faqat ushbu bo'limda konvergentsiyani muhokama qilganimiz va biz ushbu bo'limda muhokama qilmoqchi bo'lgan oxirgi mavzu bilan bog'langanligi sababli eslatib o'tilgan.
Oldingida biz cheksiz qator g'oyasini kiritganimizdan so'ng, biz cheksiz qatorni cheksiz yig'indi deb o'ylamasligimiz kerakligi haqida fikr bildirgan edik, garchi biz cheksiz qatorlar uchun ishlatadigan belgi cheksiz yig'indi ekanligini anglatadi. Buni qisqacha muhokama qilish vaqti keldi.
Birinchidan, biz a g'oyasini kiritishimiz kerak qayta tartibga solish. Seriyani qayta tartibga solish aynan shunday eshitilishi mumkin, bu atamalar boshqa tartibda qayta tashkil etilgan bir xil seriyadir.
Masalan, quyidagi cheksiz qatorni ko'rib chiqing.
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5} + {a_6} + {a_7} + \cdots \]Ushbu seriyaning qayta tashkil etilishi,
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = {a_2} + {a_1} + {a_3} + {a_{14}} + {a_5} + {a_9} + {a_4} + \cdots \]Bu erda muhokama qilishimiz kerak bo'lgan masala shundaki, ba'zi turkumlar uchun atamalarning har biri bir xil atamalardan foydalanishiga qaramay, har xil qiymatlarga ega bo'lishi mumkin.
Bunga misol keltiramiz. Ko'rsatish mumkinki,
\[\begin{equation}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{n}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \cdots = \ln 2\label{eq:eq1}\end{equation}\]Bu ketma-ket birlashganligi sababli, agar biz uni doimiy \(c\) ga ko'paytirsak, uning qiymati ham \(c\) ga ko'paytirilishini bilamiz. Shunday qilib, keling, buni \(\frac{1}{2}\) ga ko'paytiramiz,
\[\begin{equation}\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{14}} - \frac{1}{{16}} + \cdots = \frac{1}{2}\ln 2 \label{eq:eq2}\end{equation}\]Keling, har bir atama orasiga quyidagi tarzda nol qo'shamiz.
\[\begin{equation}0 + \frac{1}{2} + 0 - \frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{6} + 0 - \frac{1}{8} + 0 + \frac{1}{{10}} + 0 - \frac{1}{{12}} + 0 + \cdots = \frac{1}{2}\ln 2\label{eq:eq3}\end{equation}\]Esda tutingki, bu seriya qiymatini o'zgartirmaydi, chunki bu seriya uchun qisman yig'indilar \(\eqref{eq:eq2}\) uchun qisman yig'indilar bo'ladi, bundan tashqari har bir atama takrorlanadi. Seriyadagi atamalarni takrorlash uning chegarasiga ta’sir qilmaydi, shuning uchun ham \(\eqref{eq:eq2}\) ham, \(\eqref{eq:eq3}\) ham bir xil bo‘ladi.
Biz bilamizki, agar ikkita ketma-ket yaqinlashsa, biz ularni atama bo'yicha qo'shish orqali qo'shishimiz mumkin va shuning uchun \(\eqref{eq:eq1}\) va \(\eqref{eq:eq3}\) qo'shamiz,
\[\begin{equation}1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + \cdots = \frac{3}{2}\ln 2 \label{eq:eq4}\end{equation}\]Endi e'tibor bering, \(\eqref{eq:eq4}\) shartlari shunchaki \(\eqref{eq:eq1}\) shartlari bo'lib, har bir salbiy atama ikkita ijobiy atamadan keyin keladi. Biroq, atamalar bir xil bo'lishiga qaramay, qiymatlar aniq farq qiladi.
Shuni ham yodda tutingki, bu matematik/mantiqiy xatoni aniqlash qiyin bo'lganligi sababli, siz vaqti-vaqti bilan qarama-qarshi natijaga erishadigan "hiyla"lardan biri emas. Bu juda haqiqiy natija va biz hech qanday mantiqiy xato/xatolarga yo'l qo'yganimiz yo'q.
Qayta tartibga solish seriyaning boshqa qiymatiga olib kelishi haqidagi g'oyani boshqaradigan yoqimli faktlar to'plami.
Qayta tartibga solish va seriyaning qiymati
\(\sum {{a_n}} \) seriyasini hisobga olgan holda,
- Agar \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) mutlaq konvergent bo'lsa va uning qiymati \(s\) bo'lsa, \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) ning har qanday qayta tartiblanishi ham \(s\) qiymatiga ega bo'ladi.
- Agar \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) shartli konvergent bo'lsa va \(r\) istalgan haqiqiy son bo'lsa, \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) qayta tartiblangan bo'lib, uning qiymati \(r\) bo'ladi.
Shunga qaramay, bizda seriyaning mutlaqo konvergentligini aniqlash uchun asboblar mavjud emas, shuning uchun hozir bu haqda tashvishlanmang. Bu cheksiz qatorni cheksiz yig'indi sifatida o'ylashda juda ehtiyot bo'lish kerakligini tushunishingizga ishonch hosil qilish uchun shu erda. Shunday paytlar borki, (i.e. seriya mutlaqo yaqin) va biz qila olmaydigan paytlar ham bor (i.e. qator shartli konvergent).
Yakuniy eslatma sifatida, yuqoridagi fakt bizga shuni aytadiki, seriya,
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{n}} \]shartli konvergent bo'lishi kerak, chunki ikkita qayta tartibga solish bu qatorning ikkita alohida qiymatini berdi. Oxir-oqibat, bu seriyaning shartli konvergent ekanligini ko'rsatish juda oddiy bo'ladi.