Asosiy tarkibga o'tish

16.1-bo'lim: Vektor maydonlari

Biz ushbu bobni vektor maydonining ta'rifi bilan boshlashimiz kerak, chunki ular ushbu va keyingi bobning asosiy tarkibiy qismi bo'ladi. Keling, vektor maydonining rasmiy ta'rifidan boshlaylik.

Vektor maydonining ta'rifi

Ikki (yoki uch) o'lchovli fazodagi vektor maydoni \(\vec F\) funktsiyasi bo'lib, har bir \(\left( {x,y} \right)\) (yoki \(\left( {x,y,z} \right)\)) nuqtasiga \(\vec F\left( {x,y} \right)\) (yoki \(\vec F\left( {x,y,z} \right)\)) tomonidan berilgan ikki (yoki uch o'lchovli) vektorni tayinlaydi.

Bu unchalik mantiqiy bo'lmasligi mumkin, lekin ko'pchilik vektor maydoni nima ekanligini bilishadi yoki hech bo'lmaganda vektor maydonining eskizini ko'rgan. Agar siz suyuqlik oqimining yo'nalishi va kattaligini yoki shamollarning yo'nalishi va kattaligini ko'rsatadigan joriy eskizni ko'rgan bo'lsangiz, vektor maydonining eskizini ko'rgansiz.

\(\vec F\) funktsiyasi uchun standart belgi:

\[\begin{align*}\vec F\left( {x,y} \right) & = P\left( {x,y} \right)\vec i + Q\left( {x,y} \right)\vec j\\ \vec F\left( {x,y,z} \right) & = P\left( {x,y,z} \right)\vec i + Q\left( {x,y,z} \right)\vec j + R\left( {x,y,z} \right)\vec k\end{align*}\]

ikki yoki uch o'lchovda ekanligimizga bog'liq. \(P\), \(Q\), \(R\) (agar mavjud bo'lsa) ba'zan deyiladi. skalyar funksiyalar.

Keling, bir nechta misollarni tezda ko'rib chiqaylik.

1-misol Quyidagi vektor maydonlarining har birini chizing.
  1. \(\vec F\left( {x,y} \right) = - y\,\vec i + x\,\vec j\)
  2. \(\vec F\left( {x,y,z} \right) = 2x\,\vec i - 2y\,\vec j - 2x\,\vec k\)
a \(\vec F\left( {x,y} \right) = - y\,\vec i + x\,\vec j\) Yechim

Xo'sh, vektor maydonining grafigini tuzish uchun biz funktsiyaning ba'zi "qiymatlarini" olishimiz kerak. Bu funktsiyaga ba'zi nuqtalarni ulashni anglatadi. Mana bir nechta baholash.

\[\begin{align*}\vec F\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right) & = - \frac{1}{2}\vec i + \frac{1}{2}\vec j\\ \vec F\left( {\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}} \right) & = - \left( { - \frac{1}{2}} \right)\vec i + \frac{1}{2}\vec j = \frac{1}{2}\vec i + \frac{1}{2}\vec j\\\vec F\left( {\frac{3}{2},\frac{1}{4}} \right) & = - \frac{1}{4}\vec i + \frac{3}{2}\vec j\end{align*}\]

Xo'sh, bu baholashlar bizga nimani aytadi? Birinchisi, \(\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right)\) nuqtasida \( - \frac{1}{2}\vec i + \frac{1}{2}\vec j\) vektorini chizishimizni aytadi. Xuddi shunday, uchinchi baholash bizga \(\left( {\frac{3}{2},\frac{1}{4}} \right)\) nuqtasida \( - \frac{1}{4}\vec i + \frac{3}{2}\vec j\) vektorini chizishimizni aytadi.

Biz ushbu uslubda bir nechta nuqtalar uchun vektorlarni chizishni davom ettirishimiz mumkin va biz vektor maydonining quyidagi eskizini olamiz.

This is a graph of 16 vectors from the vector field plotted. There are approximately 4 in each quadrant. The closer to the origin the smaller the vectors are and when viewed as a whole they appear to be “rotating” about the origin in a counter clockwise direction.

Agar biz sezilarli darajada ko'proq nuqtalarni chizmoqchi bo'lsak, odatda Maple yoki Mathematica kabi kompyuter yordamida grafik tizimidan foydalanish yaxshidir. Bu erda Mathematica bilan yaratilgan yana ko'plab vektorlarni o'z ichiga olgan eskiz.

This is a computer generated graph of the vector field. There are probably 100 or more vectors plotted. The closer to the origin the smaller the vectors are and when viewed as a whole they appear to be “rotating” about the origin in a counter clockwise direction.

b \(\vec F\left( {x,y,z} \right) = 2x\,\vec i - 2y\,\vec j - 2x\,\vec k\) Yechim

Uch o'lchovli vektor maydonlarida Maple, Mathematica yoki boshqa shunga o'xshash vositalardan foydalanish deyarli har doim yaxshiroqdir. Shunga qaramay, keling, oldinga boramiz va baribir bir nechta baholashlarni qilamiz.

\[\begin{align*}\vec F\left( {1, - 3,2} \right) & = 2\,\vec i + 6\,\vec j - 2\,\vec k\\ \vec F\left( {0,5,3} \right) & = - 10\,\vec j\end{align*}\]

E'tibor bering, \(z\) bu holda faqat vektorning joylashishiga ta'sir qiladi va vektorning yo'nalishi yoki kattaligiga ta'sir qilmaydi. Ba'zida bu sodir bo'ladi, shuning uchun bu sodir bo'lganda hayajonlanmang.

Mana Mathematica tomonidan yaratilgan bir nechta eskizlar. Chapdagi eskiz "old" dan, o'ngdagi eskiz esa "yuqoridan".

This is a boxed 3D coordinate system. The z-axis is left vertical edge of the box, the x-axis is the top front edge of the box and the y-axis is the bottom right edge of the box. This is a computer generated plot of the vectors for this vector field. They are actually fairly difficult to visualize but it appears that they are broken up into two basic groups. Vectors corresponding to x<0 all appear to be pointing in an increasing z direction while those that correspond to x>0 appear be pointing and a decreasing z-direction. This is a boxed 3D coordinate system. The z-axis is right bottom edge of the box, the x-axis is the left front edge of the box and the y-axis is the top edge of the box. Basically, this is the same graph as to the left except from a different perspective. This is a computer generated plot of the vectors for this vector field. They are actually fairly difficult to visualize but it appears that they are broken up into two basic groups. Vectors corresponding to x<0 in this graph all appear to be pointing in a decreasing y direction while those that correspond to x>0 appear be pointing and an increasing y-direction. Also, in both groups all the vectors appear to be moving in towards y=0.

Endi biz bir nechta vektor maydonlarini ko'rganimizdan so'ng, vektor maydon funktsiyasini allaqachon ko'rganimizni bilib olaylik. Ikkinchi bobda biz ko'rib chiqdik gradient vektori. Eslatib o'tamiz, \(f\left( {x,y,z} \right)\) funktsiyasi berilganda gradient vektori quyidagicha aniqlanadi:

Gradient vektor maydoni

\[\nabla f = \left\langle {{f_x},{f_y},{f_z}} \right\rangle \]

Bu vektor maydoni va ko'pincha a deb ataladi gradient vektor maydoni.

Bunday hollarda \(f\left( {x,y,z} \right)\) funksiyasi ko'pincha vektor maydonidan farqlash uchun skalyar funksiya deb ataladi.

2-misol Quyidagi funksiyalarning gradient vektor maydonini toping.
  1. \(f\left( {x,y} \right) = {x^2}\sin \left( {5y} \right)\)
  2. \(f\left( {x,y,z} \right) = z{{\bf{e}}^{ - xy}}\)
a \(f\left( {x,y} \right) = {x^2}\sin \left( {5y} \right)\) Yechim

E'tibor bering, biz faqat uch o'lchovli funktsiya uchun gradient vektor ta'rifini berdik, lekin ikki o'lchovli ta'rif ham mavjudligini unutmang. Vektorning uchinchi komponentini tashlashimiz kerak bo'lgan hamma narsa.

Bu funksiya uchun gradient vektor maydoni.

\[\nabla f = \left\langle {2x\sin \left( {5y} \right),5{x^2}\cos \left( {5y} \right)} \right\rangle \]

b \(f\left( {x,y,z} \right) = z{{\bf{e}}^{ - xy}}\) Yechim

Bu erda gradientni olishdan boshqa qiladigan ko'p narsa yo'q.

\[\nabla f = \left\langle { - yz{{\bf{e}}^{ - xy}}, - xz{{\bf{e}}^{ - xy}},{{\bf{e}}^{ - xy}}} \right\rangle \]

Keling, funktsiyaning gradient vektor maydoni va uning konturlari o'rtasidagi munosabatni ko'rsatadigan yana bir misol keltiraylik.

3-misol \(f\left( {x,y} \right) = {x^2} + {y^2}\) uchun gradient vektor maydonini va ushbu funksiya uchun bir nechta konturlarni chizing.
Yechim

Eslab qoling funktsiya uchun konturlar tomonidan aniqlangan egri chiziqlardan boshqa narsa emasligi,

\[f\left( {x,y} \right) = k\]

\(k\) ning turli qiymatlari uchun. Shunday qilib, bizning funktsiyamiz uchun konturlar tenglama bilan aniqlanadi,

\[{x^2} + {y^2} = k\]

va shuning uchun ular \(\sqrt k \) radiusi bo'lgan boshlang'ichda markazlashtirilgan doiralardir.

Bu funksiya uchun gradient vektor maydoni.

\[\nabla f\left( {x,y} \right) = 2x\,\vec i + 2y\,\vec j\]

Bu erda bir nechta konturlarning eskizi, shuningdek gradient vektor maydoni.

This is a 2D graph. There are a 6 circles plotted on the graph of various radii from 1 to 3. There are also probably close to 100 vectors from Gradient vector field plotted on the graph. As the vectors near the origin they get smaller and the all point away from the origin in such a way that each vector is orthogonal to any circle that it might happen to cross.

E'tibor bering, vektor maydonining vektorlari konturlarga ortogonal (yoki perpendikulyar). Funksiya konturlari, shuningdek, uning gradient vektor maydoni bilan ishlayotganimizda, bu har doim shunday bo'ladi.

Yuqoridagi grafik uchun biz foydalangan \(k\) 1,5, 3, 4,5, 6, 7,5, 9, 10,5, 12 va 13,5 edi. Endi e'tibor bering, biz \(k\) ni 1,5 ga oshirganimizda kontur egri chiziqlari bir-biriga yaqinlashadi va kontur egri chiziqlari yaqinlashganda vektorlar kattalashadi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, kontur egri chiziqlari qanchalik yaqin bo'lsa (chunki \(k\) belgilangan miqdorga ko'paytiriladi) bu nuqtada funktsiya tezroq o'zgaradi. Shuningdek eslash funktsiya uchun eng tez o'zgarish yo'nalishi shu nuqtadagi gradient vektor tomonidan beriladi. Shuning uchun, ikkala g'oya bu erda bo'lgani kabi mos kelishi mantiqiy bo'lishi kerak.

Ushbu bo'limning yakuniy mavzusi - konservativ vektor maydonlari. \(\vec F\) vektor maydoni a deyiladi konservativ vektor maydoni agar \(\vec F = \nabla f\) kabi \(f\) funktsiyasi mavjud bo'lsa. Agar \(\vec F\) konservativ vektor maydon bo'lsa, \(f\) funksiyasi deyiladi. potentsial funktsiya \(\vec F\) uchun.

Bu ta'riflarning barchasi vektor maydoni, agar u ba'zi funktsiyalar uchun gradient vektor maydoni bo'lsa, konservativ hisoblanadi.

Masalan, \(\vec F = y\,\vec i + x\,\vec j\) vektor maydoni \(f\left( {x,y} \right) = xy\) ning potentsial funksiyasiga ega konservativ vektor maydonidir, chunki \(\nabla f = \left\langle {y,x} \right\rangle \).

Boshqa tomondan, \(\vec F = - y\,\vec i + x\,\vec j\) konservativ vektor maydoni emas, chunki \(\vec F = \nabla f\) kabi \(f\) funktsiyasi mavjud emas. Agar hozir bunga ishonganingizga ishonchingiz komil bo'lmasa, sabr qiling, biz buni bir-ikki marta isbotlay olamiz bo'limlar. Ushbu bo'limda biz konservativ vektor maydoni uchun potentsial funktsiyani qanday topishni ham ko'rsatamiz.