3.5-bo'lim: Buyurtmani qisqartirish
Endi biz qisqacha aylanma yo'lni bosib o'tamiz va doimiy bo'lmagan koeffitsient, ikkinchi tartibli differensial tenglamalar yechimlarini ko'rib chiqamiz.
\[p\left( t \right)y'' + q\left( t \right)y' + r\left( t \right)y = 0\]Umuman olganda, bunday turdagi differensial tenglamalar yechimini topish doimiy koeffitsientli differensial tenglamalar yechimini topishdan ko'ra ancha qiyin bo'lishi mumkin. Ammo, agar biz differensial tenglamaning bitta yechimini bilsak, oxirgi marta ishlatgan usuldan foydalanishimiz mumkin bo'limi ikkinchi yechim topish uchun. Bu usul deyiladi tartibni qisqartirish.
Buning qanday amalga oshirilishini ko'rish uchun misolni tezda ko'rib chiqaylik.
\(y_{1}(t)=t^{-1}\) yechim ekanligini hisobga olsak.
Yechim
Buyurtmani qisqartirish uchun yechim allaqachon ma'lum bo'lishi kerak. Ushbu ma'lum yechimsiz biz buyurtmani qisqartira olmaymiz.
Ushbu birinchi yechimga ega bo'lgach, ikkinchi yechim shaklga ega bo'ladi deb taxmin qilamiz
\[\begin{equation}{y_2}\left( t \right) = v\left( t \right){y_1}\left( t \right)\label{eq:eq1}\end{equation}\]\(v(t)\) ni to'g'ri tanlash uchun. To'g'ri tanlovni aniqlash uchun biz taxminni differentsial tenglamaga kiritamiz va \(v(t)\) uchun echilishi mumkin bo'lgan yangi differentsial tenglamani olamiz.
Shunday qilib, keling, ushbu muammo uchun buni qilaylik. Mana ikkinchi yechimning shakli va bizga kerak bo'ladigan hosilalar.
\[{y_2}\left( t \right) = {t^{ - 1}}v\hspace{0.25in}{y'_2}\left( t \right) = - {t^{ - 2}}v + {t^{ - 1}}v'\hspace{0.25in}{y''_2}\left( t \right) = 2{t^{ - 3}}v - 2{t^{ - 2}}v' + {t^{ - 1}}v''\]Bularni differensial tenglamaga kiritish natija beradi
\[2{t^2}\left( {2{t^{ - 3}}v - 2{t^{ - 2}}v' + {t^{ - 1}}v''} \right) + t\left( { - {t^{ - 2}}v + {t^{ - 1}}v'} \right) - 3\left( {{t^{ - 1}}v} \right) = 0\]Qayta tartibga solish va soddalashtirish beradi
\[\begin{align*}2tv'' + \left( { - 4 + 1} \right)v' + \left( {4{t^{ - 1}} - {t^{ - 1}} - 3{t^{ - 1}}} \right)v & = 0\\ 2tv'' - 3v' & = 0\end{align*}\]E'tibor bering, soddalashtirilgandan keyin faqat \(v\) hosilalarini o'z ichiga olgan shartlar qoladi. \(v\) ni o'z ichiga olgan atama olib tashlandi. Agar siz barcha ishlaringizni to'g'ri bajargan bo'lsangiz, bu har doim sodir bo'lishi kerak. Ba'zan, xuddi shunday takrorlangan ildizlar bo'lsa, birinchi hosila atamasi ham tushib ketadi.
Shunday qilib, \(\eqref{eq:eq1}\) yechim bo'lishi uchun \(v\) ni qondirishi kerak
\[\begin{equation}2tv'' - 3v' = 0\label{eq:eq2}\end{equation}\]Bu muammoga o'xshaydi. Ikkinchi tartibli doimiy bo'lmagan koeffitsientli differensial tenglamaning yechimini topish uchun biz boshqa ikkinchi tartibli doimiy bo'lmagan koeffitsientli differensial tenglamani yechishimiz kerak.
Biroq, bu ko'rinadigan muammo emas. \(v\) bilan bog'liq atama tushib qolganligi sababli, biz \(\eqref{eq:eq2}\) ni hal qila olamiz va biz buni hozirda mavjud bo'lgan bilim bilan qila olamiz. Buni quyidagini qilish orqali hal qilamiz o'zgaruvchining o'zgarishi.
\[w = v'\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}w' = v''\]O'zgaruvchining bu o'zgarishi bilan \(\eqref{eq:eq2}\) bo'ladi
\[2tw' - 3w = 0\]va bu biz hal qila oladigan chiziqli, birinchi tartibli differentsial tenglama. Bu usulning nomini ham tushuntiradi. Biz ikkinchi tartibli differentsial tenglamani birinchi tartibli differensial tenglamaga tushirishga muvaffaq bo'ldik.
Bu juda oddiy birinchi tartibli differentsial tenglama, shuning uchun men yechish tafsilotlarini sizga qoldiraman. Agar sizga chiziqli echish bo'yicha yangi bilim kerak bo'lsa, birinchi tartibli differentsial tenglamalar ikkinchi bobga qayting va buni tekshiring. bo'limi. Ushbu differentsial tenglamaning yechimi
\[w\left( t \right) = c\,{t^{\frac{3}{2}}}\]Endi bu biz kutgan narsa emas. Biz \(\eqref{eq:eq2}\) yechimini qidirmoqdamiz. Biroq, biz buni hozir topishimiz mumkin. O'zgaruvchini o'zgartirishimizni eslang.
\[v' = w\]Bu bilan biz \(v(t)\) uchun osonlikcha hal qilishimiz mumkin.
\[v\left( t \right) = \int{{w\,dt}} = \int{{c{t^{\frac{3}{2}}}\,dt}} = \frac{2}{5}c{t^{\frac{5}{2}}} + k\]Bu ikkinchi yechimni olish uchun foydalanishimiz mumkin bo'lgan eng umumiy \(v(t)\). Shunday qilib, xuddi bizda qilganimizdek takrorlangan ildizlar bo'limda biz konstantalarni o'zimiz xohlagan narsa sifatida tanlashimiz mumkin, shuning uchun ularni barcha begona konstantalarni tozalash uchun tanlang. Bunday holda biz foydalanishimiz mumkin
\[c = \frac{5}{2}\hspace{0.25in}k = 0\]Bulardan foydalanish \(v(t)\) va ikkinchi yechim uchun quyidagilarni beradi.
\[v\left( t \right) = {t^{\frac{5}{2}}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{y_2}\left( t \right) = {t^{ - 1}}\left( {{t^{\frac{5}{2}}}} \right) = {t^{\frac{3}{2}}}\]Keyin umumiy yechim shunday bo'ladi:
\[y\left( t \right) = {c_1}{t^{ - 1}} + {c_2}{t^{\frac{3}{2}}}\]Agar bizga boshlang'ich shartlar berilgan bo'lsa, biz farqlashimiz, dastlabki shartlarni qo'llashimiz va konstantalarni hal qilishimiz mumkin edi.
Tartibni qisqartirish, oldingi misolda qo'llanilgan usul differentsial tenglamalarning ikkinchi yechimlarini topish uchun ishlatilishi mumkin. Biroq, bu bizda allaqachon yechimga ega bo'lishini talab qiladi va ko'pincha birinchi yechimni topish juda qiyin vazifadir va ko'pincha birinchi yechimni topish jarayonida siz tartibni qisqartirishga murojaat qilmasdan ikkinchi yechimga ham erishasiz. Shunday qilib, birinchi yechimga ega bo'lgan holatlar uchun bu ikkinchi yechimni olishning yaxshi usuli.
Yana bir misol keltiraylik.
\({y_1}\left( t \right) = t\) yechim ekanligini hisobga olsak.
Yechim
Ikkinchi eritmaning shakli va uning hosilalari:
\[{y_2}\left( t \right) = tv\hspace{0.25in}{y'_2}\left( t \right) = v + tv'\hspace{0.25in}{y''_2}\left( t \right) = 2v' + tv''\]Bularni differentsial tenglamaga kiritish,
\[{t^2}\left( {2v' + tv''} \right) + 2t\left( {v + tv'} \right) - 2\left( {tv} \right) = 0 = 0\]Qayta tartibga solish va soddalashtirish ikkinchi yechim uchun zarur bo'lgan to'g'ri \(v\) ni aniqlash uchun echishimiz kerak bo'lgan differentsial tenglamani beradi.
\[{t^3}v'' + 4{t^2}v' = 0\]Keyingi misolda bo'lgani kabi o'zgaruvchan transformatsiyadan foydalaning.
\[w = v'\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}w' = v''\]O'zgaruvchining bu o'zgarishi bilan differentsial tenglama bo'ladi
\[{t^3}w' + 4{t^2}w = 0\]va bu biz hal qila oladigan chiziqli, birinchi tartibli differentsial tenglama. Yechim jarayonining tafsilotlarini sizga qoldiramiz.
\[w\left( t \right) = c\,{t^{ - 4}}\]Endi \(v(t)\) ni hal qiling.
\[v\left( t \right) = \int{{w\,dt}} = \int{{c{t^{ - 4}}\,dt}} = - \frac{1}{3}c{t^{ - 3}} + k\]Birinchi misolda bo'lgani kabi, biz konstantalarni tushiramiz va quyidagi \(v(t)\) dan foydalanamiz
\[v\left( t \right) = {t^{ - 3}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{y_2}\left( t \right) = t\left( {{t^{ - 3}}} \right) = {t^{ - 2}}\]Keyin umumiy yechim shunday bo'ladi:
\[y\left( t \right) = {c_1}t + \frac{{{c_2}}}{{{t^2}}}\]Shunisi e'tiborga loyiqki, ushbu bo'limdagi differensial tenglamalarning ikkalasi ham shunday edi:
\[{t^2}y'' + \alpha \,t\,y' + \beta y = 0\]Ular Eyler differensial tenglamalari deb ataladi va ikkala yechim uchun to'g'ridan-to'g'ri echish uchun juda oddiy. Bularni qanday hal qilishni ko'rish uchun to'g'ridan-to'g'ri ko'rib chiqing Eyler differensial tenglamasi bo'limi.