10.2-bo'lim: Ketma-ketliklar bo'yicha qo'shimcha (more on sequences)
Oldingida biz ketma-ketlik tushunchasi bilan tanishdik, ketma-ketlikning limiti hamda uning yaqinlashuvchanligi va uzoqlashuvchanligi g'oyalarini ko'rib chiqdik. Ushbu bo'limda biz ketma-ketliklarning muhim xossalari: monotonligi va chegaralanganligi bilan batafsilroq tanishamiz.
Avvalo, asosiy terminologiya va ta'riflarni keltiramiz.
Ta'riflar
Ixtiyoriy \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) ketma-ketligi uchun quyidagi ta'riflar o'rinli:
- Agar barcha \(n\) larda \({a_n} < {a_{n + 1}}\) bo'lsa, ketma-ketlik o'suvchi deyiladi.
- Agar barcha \(n\) larda \({a_n} > {a_{n + 1}}\) bo'lsa, ketma-ketlik kamayuvchi deyiladi.
- Agar \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) o'suvchi yoki kamayuvchi bo'lsa, u monoton ketma-ketlik deyiladi.
- Agar shunday \(m\) soni mavjud bo'lib, barcha \(n\) lar uchun \(m \le {a_n}\) tengsizlik bajarilsa, ketma-ketlik quyidan chegaralangan deyiladi. Bu \(m\) soni ketma-ketlikning quyi chegarasi deb ataladi.
- Agar shunday \(M\) soni mavjud bo'lib, barcha \(n\) lar uchun \({a_n} \le M\) tengsizlik bajarilsa, ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan deyiladi. Bu \(M\) soni ketma-ketlikning yuqori chegarasi deb ataladi.
- Agar ketma-ketlik ham quyidan, ham yuqoridan chegaralangan bo'lsa, u chegaralangan ketma-ketlik deyiladi.
E'tibor bering: ketma-ketlik o'suvchi yoki kamayuvchi bo'lishi uchun bu shart barcha \(n\) lar uchun istisnosiz bajarilishi shart. Dastlabki 3 ta hadida o'sib, qolgan barcha hadlarida kamayadigan ketma-ketlik kamayuvchi ketma-ketlik hisoblanmaydi! Monoton ketma-ketlik butun o'rganilayotgan soha bo'ylab faqat o'sishi yoki faqat kamayishi kerak.
Chegaralar haqida muhim bir eslatma: agar biror \(m\) soni quyi chegara bo'lsa, u holda \(m\) dan kichik bo'lgan har qanday son ham avtomatik ravishda quyi chegara hisoblanadi. Shuning uchun chegaralangan ketma-ketlikning cheksiz ko'p quyi va yuqori chegaralari mavjud bo'ladi.
Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqamiz.
- \(\left\{ { - {n^2}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
- \(\left\{ {{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{2}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 5}^\infty \)
a \(\left\{ { - {n^2}} \right\}_{n = 0}^\infty \) Yechim
Ushbu ketma-ketlik kamayuvchi (demak, monoton), chunki barcha \(n\) lar uchun:
\[ - {n^2} > - {\left( {n + 1} \right)^2}\]Shuningdek, barcha hadlar nol yoki manfiy bo'lgani sababli, bu ketma-ketlik yuqoridan 0 bilan chegaralangan: \(-n^2 \le 0\). Biroq \(n\) ortishi bilan uning hadlari cheksiz kamayib borgani sababli, u quyidan chegaralanmagan. Demak, u faqat yuqoridan chegaralangan bo'lib, chegaralangan emas (va \(-\infty\) ga uzoqlashadi).
b \(\left\{ {{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Yechim
Ushbu ketma-ketlikning hadlari 1 va -1 qiymatlari orasida doimiy tebranib turadi, shuning uchun u o'suvchi ham, kamayuvchi ham emas. Demak, u monoton emas.
Biroq, uning barcha hadlari \(-1 \le a_n \le 1\) oralig'ida yotgani uchun u chegaralangandir.
c \(\left\{ {\displaystyle \frac{2}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 5}^\infty \) Yechim
Ushbu ketma-ketlik kamayuvchi (demak, monoton), chunki maxraj ortishi bilan kasr qiymati kamayadi:
\[\frac{2}{{{n^2}}} > \frac{2}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\]Barcha hadlari musbat bo'lgani uchun quyidan 0 bilan chegaralangan. Kamayuvchi bo'lgani sababli, uning eng birinchi hadi (ya'ni \(n=5\) dagi hadi) eng kattasi bo'ladi: \(a_5 = \frac{2}{25}\). Demak, u yuqoridan \(\frac{2}{25}\) bilan chegaralangan. Shunday qilib, bu ketma-ketlik chegaralangan va 0 ga yaqinlashadi.
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{n}{{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{n^3}}}{{{n^4} + 10000}}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
a \(\left\{ {\displaystyle \frac{n}{{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Yechim
Barcha hadlari musbat va surat har doim maxrajdan 1 ga kichik bo'lgani uchun kasr 1 dan kichik: \(0 < a_n < 1\). Demak, ketma-ketlik chegaralangan.
Monotonlikni aniqlash uchun Calculus I da o'rgangan hosila usulidan foydalanamiz:
\[f\left( x \right) = \frac{x}{{x + 1}}\hspace{0.75in}f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\]Hosilasi doimo musbat bo'lgani sababli, funksiya o'suvchidir. Demak, ketma-ketlik ham o'suvchi (monoton) bo'ladi. Uning birinchi hadi \(a_1 = \frac{1}{2}\) eng kichik hadi bo'lib, ketma-ketlik 1 ga yaqinlashadi.
b \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{n^3}}}{{{n^4} + 10000}}} \right\}_{n = 0}^\infty \) Yechim
Barcha hadlari musbat va 1 dan kichik, demak ketma-ketlik chegaralangan.
Monotonlikni aniqlash uchun tegishli funksiya hosilasini olamiz:
\[f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{{{x^4} + 10000}}\hspace{0.75in}f'\left( x \right) = \frac{{ - {x^2}\left( {{x^4} - 30000} \right)}}{{{{\left( {{x^4} + 10000} \right)}^2}}}\]Kritik nuqta: \(x = \sqrt[4]{30000} \approx 13.16\). \(0 < x < 13.16\) oraliqda hosila musbat (funksiya o'sadi), \(x > 13.16\) oraliqda esa hosila manfiy (funksiya kamayadi). Demak, dastlabki 13 ta hadida o'sib, keyin esa cheksizlikkacha kamayib boradi. Shuning uchun ushbu ketma-ketlik monoton emas.
Ushbu bo'limni qatorlar nazariyasida juda muhim o'rin tutadigan klassik fundamental teorema bilan yakunlaymiz:
Chegaralangan monoton ketma-ketlikning yaqinlashishi haqidagi teorema
Agar \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) ketma-ketligi ham chegaralangan, ham monoton bo'lsa, u holda \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) yaqinlashuvchidir.
Xususan: agar ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan va o'suvchi bo'lsa, u yaqinlashadi; agar u quyidan chegaralangan va kamayuvchi bo'lsa, u ham albatta yaqinlashadi.