9.5-bo'lim: Parametrik tenglamalar bilan sirt maydoni
Parametrik tenglamalar bilan hisoblash ilovalarini ko'rib chiqishning ushbu yakuniy qismida biz parametrik egri chiziqni \(x\) yoki \(y\) o'qi atrofida aylantirish orqali olingan mintaqaning sirt maydonini aniqlashni ko'rib chiqamiz.
Biz berilgan parametrik egri chiziqni aylantiramiz,
\[x = f\left( t \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y = g\left( t \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\alpha \le t \le \beta \]\(x\) yoki \(y\) o'qi haqida. \(t\) \(\alpha\) dan \(\beta\) ga oshgani sayin egri chiziq aynan bir marta aniqlanadi deb faraz qilamiz. Bu nuqtada, albatta, unchalik ko'p narsa yo'q. Sirt maydonini aylanish o'qiga qarab quyidagi ikkita formuladan biri yordamida topish mumkinligini bilamiz (eslang. Sirt maydoni Integrallarni qo'llash bo'limi).
\[\begin{align*}S & = \int{{2\pi y\,ds}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{rotation about }}x - {\mbox{axis}}\\ S & = \int{{2\pi x\,ds}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{rotation about }}y - {\mbox{axis}}\end{align*}\]Bizga kerak bo'lgan narsa bu \(ds\) uchun formuladan foydalanish va oldingi bo'limda bizda mavjud,
\[ds = \sqrt {{{\left( {\frac{{dx}}{{dt}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{dy}}{{dt}}} \right)}^2}} \,\,dt\hspace{0.25in}{\mbox{if }}x = f\left( t \right),y = g\left( t \right),\,\,\alpha \le t \le \beta \]aynan bizga kerak bo'lgan narsa.
Biz asl sirt maydoni formulasida joylashgan \(x\) yoki \(y\) bilan ehtiyot bo'lishimiz kerak. Biz sirt maydonini birinchi marta ko'rib chiqqanimizda, biz ba'zida integraldagi o'zgaruvchini almashtirishga to'g'ri kelganini, ba'zida esa yo'qligini ko'rdik. Bu biz ishlatgan \(ds\) ga bog'liq edi. Biroq, bu holda, biz har doim o'zgaruvchini almashtirishimiz kerak bo'ladi. Parametrik tenglamalar uchun biz foydalanadigan \(ds\) integralga \(dt\) ni kiritadi va bu hamma narsa \(t\) nuqtai nazaridan bo'lishi kerakligini anglatadi. Shuning uchun biz aylanish o'qiga qarab \(x\) yoki \(y\) uchun mos parametrik tenglamani almashtirishimiz kerak bo'ladi.
Keling, bir misolni tez ko'rib chiqaylik.
Yechim
Bizga birinchi navbatda parametrik tenglamalarning hosilalari kerak bo'ladi.
\[\frac{{dx}}{{d \theta}} = - 3{\cos ^2}\theta \sin \theta \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\frac{{dy}}{{d \theta}} = 3{\sin ^2}\theta \cos \theta \]Sirt maydoni formulasiga ulanishdan oldin, keling, \(ds\)-ni yo'ldan chiqaraylik.
\[\begin{align*}ds & = \sqrt {9{{\cos }^4}\theta {{\sin }^2}\theta + 9{{\sin }^4}\theta {{\cos }^2}\theta } \,d\theta \\ & = 3\left| {\cos \theta \sin \theta } \right|\sqrt {{{\cos }^2}\theta + {{\sin }^2}\theta } \,d\theta \\ & = 3\cos \theta \sin \theta \,d\theta \end{align*}\]E'tibor bering, biz mutlaq qiymat satrlarini tushirishimiz mumkin, chunki berilgan \(q\) diapazonida ham sinus, ham kosinus ijobiydir.
Endi sirt maydonini olamiz va \(y\)-ni ulashni unutmang.
\[\begin{align*}S & = \int{{2\pi y\,ds}}\\ & = 2\pi \int_{{\,0}}^{{\,\frac{\pi }{2}}}{{{{\sin }^3}\theta \left( {3\cos \theta \sin \theta } \right)\,\,d\theta }}\\ & = 6\pi \int_{{\,0}}^{{\,\frac{\pi }{2}}}{{{{\sin }^4}\theta \cos \theta \,\,d\theta }}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}u = \sin \theta \\ & = 6\pi \int_{{\,0}}^{{\,1}}{{{u^4}\,du}}\\ & = \frac{{6\pi }}{5}\end{align*}\]