7.10-bo'lim: Aniq integrallarni taxmin qilish
Ushbu bobda biz integrallarning qiymatlarini hisoblashga ko'p vaqt sarfladik. Biroq, barcha integrallarni hisoblash mumkin emas. Quyidagi aniq integral mukammal misoldir.
\[\int_{{\,0}}^{{\,2}}{{{{\bf{e}}^{{x^2}}}\,dx}}\]Endi aniq integrallarning qiymatlarini baholash haqida bir oz gapirishimiz kerak. Biz uch xil usulni ko'rib chiqamiz, garchi siz hisob-kitob I kunlaridan biri sizga tanish bo'lishi kerak. Biz baholashning uchta usulini ishlab chiqamiz
\[\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}}\]integralni maydon muammosi deb hisoblash va egri chiziq ostidagi maydonni baholash uchun ma'lum shakllardan foydalanish.
Keling, avval usullarni ishlab chiqamiz va keyin yuqorida ko'rsatilgan integralni baholashga harakat qilamiz.
O'rta nuqta qoidasi
Bu sizga biroz tanish bo'lishi kerak bo'lgan qoida. Biz \(\left[ {a,b} \right]\) oralig'ini teng kenglikdagi \(n\) subintervallariga ajratamiz,
\[\Delta x = \frac{{b - a}}{n}\]Biz intervallarning har birini quyidagicha belgilaymiz,
\[\left[ {{x_0},{x_1}} \right],\,\,\left[ {{x_1},{x_2}} \right], \ldots ,\left[ {{x_{n - 1}},{x_n}} \right]\hspace{0.25in}{\mbox{where}}\,{x_0} = a\text{ va }{x_n} = b\]Keyin har bir interval uchun \(x_i^*\) intervalning o'rta nuqtasi bo'lsin. Keyin biz \(f\left( {x_i^*} \right)\) balandlikdagi har bir subinterval uchun to'rtburchaklar chizamiz. Mana \(n = 6\) yordamida sozlashni ko'rsatadigan grafik.
Biz ushbu to'rtburchaklarning har biri uchun maydonni osongina topishimiz mumkin va shuning uchun umumiy \(n\) uchun biz buni olamiz,
\[\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} \approx \Delta x\,f\left( {x_1^*} \right) + \Delta x\,f\left( {x_2^*} \right) + \cdots + \Delta x\,f\left( {x_n^*} \right)\]Yoki \(\Delta x\) faktoriga ko‘ra, biz umumiy O‘rta nuqta qoidasini olamiz.
\[\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} \approx \Delta x\left[f\left( {x_1^*} \right) + f\left( {x_2^*} \right) + \cdots + f\left( {x_n^*} \right)\right]\]Trapetsiya qoidasi
Ushbu qoida uchun biz Midpoint Rule bilan bir xil o'rnatamiz. Biz \(\left[ {a,b} \right]\) oralig'ini kenglikning \(n\) subintervallariga ajratamiz,
\[\Delta x = \frac{{b - a}}{n}\]Keyin har bir kichik oraliqda biz funktsiyani intervalning istalgan oxirgi nuqtasidagi funktsiya qiymatlariga teng bo'lgan to'g'ri chiziq bilan yaqinlashtiramiz. Mana \(n = 6\) uchun ushbu ishning eskizi.
Ushbu ob'ektlarning har biri trapezoiddir (shuning uchun qoidaning nomi ...) va biz ko'rib turganimizdek, ulardan ba'zilari egri chiziq ostidagi haqiqiy maydonni juda yaxshi bajaradi, boshqalari esa unchalik yaxshi ish qilmaydi.
\(\left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right]\) oraliqda trapetsiyaning maydoni quyidagicha ifodalanadi:
\[{A_{\,i}} = \frac{{\Delta x}}{2}\left( {f\left( {{x_{i - 1}}} \right) + f\left( {{x_i}} \right)} \right)\]Shunday qilib, agar biz \(n\) subintervallaridan foydalansak, integral taxminan,
\[\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} \approx \frac{{\Delta x}}{2}\left( {f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_1}} \right)} \right) + \frac{{\Delta x}}{2}\left( {f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right)} \right) + \cdots + \frac{{\Delta x}}{2}\left( {f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} \right)\]Biroz soddalashtirgandan so'ng, biz umumiy Trapezoid qoidasiga erishamiz.
\[\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} \approx \frac{{\Delta x}}{2} \left[ f\left( {{x_0}} \right) + 2f\left( {{x_1}} \right) + 2f\left( {{x_2}} \right) + \cdots + 2f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right) \right]\]E'tibor bering, barcha funktsiyalarni baholash, birinchi va oxirgidan tashqari, 2 ga ko'paytiriladi.
Simpson qoidasi
Bu biz ko'rib chiqmoqchi bo'lgan yakuniy usul va bu holda biz \(\left[ {a,b} \right]\) oralig'ini yana \(n\) subintervallariga ajratamiz. Biroq, oldingi ikkita usuldan farqli o'laroq, biz \(n\) ning teng bo'lishini talab qilishimiz kerak. Buning sababi birozdan keyin ma'lum bo'ladi. Har bir subintervalning kengligi,
\[\Delta x = \frac{{b - a}}{n}\]Trapezoid qoidasida biz egri chiziqni to'g'ri chiziq bilan yaqinlashtirdik. Simpson qoidasi uchun biz funktsiyani kvadrat bilan yaqinlashtiramiz va kvadratik bizning subintervallarimizdan uchta nuqtaga mos kelishini talab qilamiz. Quyida \(n = 6\) yordamida buning eskizi keltirilgan. Taxminanlarning har biri boshqacha rangga bo'yalgan, shuning uchun biz ularning qanday ishlashini ko'rishimiz mumkin.
E'tibor bering, har bir yaqinlashish aslida ikkita kichik intervalni qamrab oladi. Bu \(n\) teng bo'lishini talab qilishning sababi. Ba'zi taxminlar kvadratdan ko'ra ko'proq chiziqqa o'xshaydi, lekin ular haqiqatan ham kvadratikdir. Shuni ham yodda tutingki, ba'zi taxminlar boshqalarga qaraganda yaxshiroq ishlaydi. Ko'rsatish mumkinki, \(\left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right]\) va \(\left[ {{x_i},{x_{i + 1}}} \right]\) oraliqlari bo'yicha yaqinlashish ostidagi maydon,
\[{A_{\,i}} = \frac{{\Delta x}}{3}\left( {f\left( {{x_{i - 1}}} \right) + 4f\left( {{x_i}} \right) + f\left( {{x_{i + 1}}} \right)} \right)\]Agar biz \(n\) subintervallaridan foydalansak, integral taxminan bo'ladi,
\[\begin{align*}\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} & \approx \frac{{\Delta x}}{3}\left( {f\left( {{x_0}} \right) + 4f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right)} \right) + \frac{{\Delta x}}{3}\left( {f\left( {{x_2}} \right) + 4f\left( {{x_3}} \right) + f\left( {{x_4}} \right)} \right)\\ & \hspace{1.5in} + \cdots + \frac{{\Delta x}}{3}\left( {f\left( {{x_{n - 2}}} \right) + 4f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} \right)\end{align*}\]Soddalashtirgandan so'ng biz umumiy Simpson qoidasiga kelamiz.
\[\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} \approx \frac{{\Delta x}}{3} \left[ f\left( {{x_0}} \right) + 4f\left( {{x_1}} \right) + 2f\left( {{x_2}} \right) + \cdots + 2f\left( {{x_{n - 2}}} \right) + 4f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right) \right]\]Bu holda e'tibor bering, toq pastki belgilarga ega bo'lgan nuqtalardagi barcha funktsiyalarni baholash 4 ga ko'paytiriladi va juft pastki belgilarga ega bo'lgan nuqtalardagi barcha funktsiyalarni baholash (birinchi va oxirgidan tashqari) 2 ga ko'paytiriladi. Agar buni eslab qolsangiz, buni eslab qolish juda oson qoida.
OK, misol qilib ishlash va ushbu qoidalar qanday ishlashini ko'rish vaqti keldi.
Yechim
Birinchidan, mos yozuvlar uchun Mathematica ushbu integral uchun quyidagi qiymatni beradi.
\[\int_{{\,0}}^{{\,2}}{{{{\bf{e}}^{{x^2}}}\,dx}} = 16.45262776\]Har bir holatda subintervallarning kengligi,
\[\Delta x = \frac{{2 - 0}}{4} = \frac{1}{2}\]va shuning uchun subintervallar bo'ladi,
\[\left[ {0,\,\,0.5} \right],\,\,\left[ {0.5,\,\,1} \right],\,\,\left[ {1,\,\,1.5} \right],\,\,\left[ {1.5,\,\,2} \right]\]Keling, usullarning har birini ko'rib chiqaylik.
O'rta nuqta qoidasi
\[\int_{{\,0}}^{{\,2}}{{{{\bf{e}}^{{x^2}}}\,dx}} \approx \frac{1}{2}\left( {{{\bf{e}}^{{{\left( {0.25} \right)}^2}}} + {{\bf{e}}^{{{\left( {0.75} \right)}^2}}} + {{\bf{e}}^{{{\left( {1.25} \right)}^2}}} + {{\bf{e}}^{{{\left( {1.75} \right)}^2}}}} \right) = 14.48561253\]Esda tutingki, biz bu erda har bir subintervalning o'rta nuqtalarida baholaymiz! O'rta nuqta qoidasida 1,96701523 xatolik bor.
Trapetsiya qoidasi
\[\int_{{\,0}}^{{\,2}}{{{{\bf{e}}^{{x^2}}}\,dx}} \approx \frac{{{1}/{2}\;}}{2}\left( {{{\bf{e}}^{{{\left( 0 \right)}^2}}} + 2{{\bf{e}}^{{{\left( {0.5} \right)}^2}}} + 2{{\bf{e}}^{{{\left( 1 \right)}^2}}} + 2{{\bf{e}}^{{{\left( {1.5} \right)}^2}}} + {{\bf{e}}^{{{\left( 2 \right)}^2}}}} \right) = 20.64455905\]Trapezoid qoidasida 4.19193129 xatolik bor
Simpson qoidasi
\[\int_{{\,0}}^{{\,2}}{{{{\bf{e}}^{{x^2}}}\,dx}} \approx \frac{{{1}/{2}\;}}{3}\left( {{{\bf{e}}^{{{\left( 0 \right)}^2}}} + 4{{\bf{e}}^{{{\left( {0.5} \right)}^2}}} + 2{{\bf{e}}^{{{\left( 1 \right)}^2}}} + 4{{\bf{e}}^{{{\left( {1.5} \right)}^2}}} + {{\bf{e}}^{{{\left( 2 \right)}^2}}}} \right) = 17.35362645\]Simpson qoidasida 0,90099869 xatolik bor.
Oldingi misoldagi baholarning hech biri unchalik yaxshi emas. Bu holatda eng yaxshi taxmin Simpson qoidasidan olingan va shunga qaramay, unda deyarli 1 xatolik bor edi. Yaxshiroq baho olish uchun biz kattaroq \(n\) dan foydalanishimiz kerak. Shunday qilib, to'liqlik uchun bu erda \(n\) ning kattaroq qiymati uchun taxminlar mavjud.
| O'rta nuqta | Trapezoid | Simpsonniki | ||||
| \(n\) | Taxminan | Xato | Taxminan | Xato | Taxminan | Xato |
| 8 | 15.9056767 | 0.5469511 | 17.5650858 | 1.1124580 | 16.5385947 | 0.0859669 |
| 16 | 16.3118539 | 0.1407739 | 16.7353812 | 0.2827535 | 16.4588131 | 0.0061853 |
| 32 | 16.4171709 | 0.0354568 | 16.5236176 | 0.0709898 | 16.4530297 | 0.0004019 |
| 64 | 16.4437469 | 0.0088809 | 16.4703942 | 0.0177665 | 16.4526531 | 0.0000254 |
| 128 | 16.4504065 | 0.0022212 | 16.4570706 | 0.0044428 | 16.4526294 | 0.0000016 |
Bu holatda biz har bir taxmin uchun xatoni aniqlay oldik, chunki biz aniq qiymatga ega bo'lishimiz mumkin edi. Ko'pincha bunday bo'lmaydi, shuning uchun biz har bir taxmin uchun xato chegaralarini ko'rib chiqmoqchimiz.
Bu chegaralar hisobda mumkin bo'lgan eng katta xatoni beradi, lekin shuni ham ta'kidlash kerakki, haqiqiy xato chegaradan sezilarli darajada kichik bo'lishi mumkin. Chegara faqat u erda bo'ladi, shuning uchun biz haqiqiy xato chegaradan kamroq bo'lishini bilamiz.
Aytaylik, \(a \le x \le b\) uchun \(\left| {f''\left( x \right)} \right| \le K\) va \(\left| {{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)} \right| \le M\), agar \({E_M}\), \({E_T}\) va \({E_S}\) O'rta nuqta, Trapezoid va Simpson qoidasi uchun haqiqiy xatolar bo'lsa, bizda quyidagi chegaralar mavjud:
\[\left| {{E_M}} \right| \le \frac{{K{{\left( {b - a} \right)}^3}}}{{24{n^2}}}\hspace{0.25in}\left| {{E_T}} \right| \le \frac{{K{{\left( {b - a} \right)}^3}}}{{12{n^2}}}\hspace{0.25in}\left| {{E_S}} \right| \le \frac{{M{{\left( {b - a} \right)}^5}}}{{180{n^4}}}\]Yechim
Biz \(n = 4\), \(a = 0\) va \(b = 2\) ekanligini allaqachon bilamiz, shuning uchun biz faqat \(K\) (ikkinchi hosilaning eng katta qiymati) va \(M\) (to'rtinchi hosilaning eng katta qiymati) ni hisoblashimiz kerak. Bu bizga \(f\left( x \right)\) ning ikkinchi va to'rtinchi hosilalari kerakligini anglatadi.
\[\begin{align*}f''\left( x \right) & = 2{{\bf{e}}^{{x^2}}}\left( {1 + 2{x^2}} \right)\\ {f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) & = 4{{\bf{e}}^{{x^2}}}\left( {3 + 12{x^2} + 4{x^4}} \right)\end{align*}\]Mana ikkinchi hosilaning grafigi.
Mana to'rtinchi hosilaning grafigi.
Shunday qilib, ushbu grafiklardan ikkalasining eng katta qiymati \(x = 2\) da ekanligi aniq. Shunday qilib,
\[\begin{align*}f''\left( 2 \right) & = 982.7667\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}K = 983\\ {f^{\left( 4 \right)}}\left( 2 \right) & = 25115.14901\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}M = 25116\end{align*}\]Hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun yaxlitlashtirdik. Shuni yodda tutingki, buni qilish shart emas.
Bu erda har bir qoida uchun chegaralar mavjud.
\[\left| {{E_M}} \right| \le \frac{{983{{\left( {2 - 0} \right)}^3}}}{{24{{\left( 4 \right)}^2}}} = 20.4791666667\] \[\left| {{E_T}} \right| \le \frac{{983{{\left( {2 - 0} \right)}^3}}}{{12{{\left( 4 \right)}^2}}} = 40.9583333333\] \[\left| {{E_S}} \right| \le \frac{{25116{{\left( {2 - 0} \right)}^5}}}{{180{{\left( 4 \right)}^4}}} = 17.4416666667\]Har bir holatda biz xatolar haqiqiy chegaralardan sezilarli darajada kichik ekanligini ko'rishimiz mumkin.