2.10-bo'lim: Radikallar bilan tenglamalar
Ushbu bo'limning nomi biroz chalg'ituvchi bo'lishi mumkin. Sarlavha biz har qanday radikallarni o'z ichiga olgan tenglamalarni ko'rib chiqmoqchi ekanligimizni anglatadi. Biroq, biz kvadrat ildizlarni o'z ichiga olgan tenglamalar bilan cheklanamiz. Bu erda biz qo'llaydigan usullardan boshqa radikallar bilan tenglamalarni echishda foydalanish mumkin, ammo ish odatda kvadrat ildizlar bilan ishlashdan ko'ra sezilarli darajada murakkabroq. Shuning uchun biz ushbu bo'limda faqat kvadrat ildizlar bilan ishlaymiz.
Davom etishdan oldin shuni ta'kidlash kerakki, ba'zi Algebra darsliklarida siz ushbu bo'limni kvadrat shaklga keltiriladigan tenglamalar bilan topishingiz mumkin. Buning sababi shundaki, biz ko'p hollarda kvadrat tenglamani echamiz. Biroq, yondashuv sezilarli darajada farq qiladi va shuning uchun biz ushbu kursda ikkita mavzuni turli bo'limlarga ajratamiz.
Odatda bularning qanday ishlashini misol bilan ko'rish yaxshidir.
Yechim
Bu tenglamada asosiy masala kvadrat ildiz hisoblanadi. Agar bu bo'lmasa, biz muammoni hal qilishimiz mumkin edi. Bu erda biz o'tadigan butun jarayon kvadrat ildizni yo'q qilish uchun o'rnatiladi. Biroq, biz ko'rib turganimizdek, biz qiladigan qadamlar aslida biz uchun muammolarni keltirib chiqarishi mumkin. Shunday qilib, keling, bularning barchasi qanday ishlashini ko'rib chiqaylik.
E'tibor bering, agar biz ikkala tomonni kvadratga aylantirsak, kvadrat ildizni yo'q qilishimiz mumkin. Keling, buni qilaylik va nima bo'lishini ko'ramiz.
\[\begin{align*}{\left( x \right)^2} & = {\left( {\sqrt {x + 6} } \right)^2}\\ {x^2} & = x + 6\\ {x^2} - x - 6 & = 0\\ \left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) & = 0\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}x = 3,\,\,\,x = - 2\end{align*}\]Ikkala tomonni kvadratga aylantirgandan so'ng, biz \(x = 3\) va \(x = - 2\) ikkita echimini beradigan faktorli kvadrat tenglamani olishimizni ko'ramiz.
Keling, hech qanday sababsiz, chiziqli tenglamalarni yechish bo'limidan beri amalda qilmagan ishni qilaylik. Keling, javoblarimizni tekshiramiz. Esda tutingki, javoblarni asl tenglamada tekshirishimiz kerak! Bu juda muhim.
Avval \(x = 3\) ni tekshiramiz
\[\begin{align*}3 & \mathop = \limits^? \sqrt {3 + 6} \\ 3 & = \sqrt 9 \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{OK}}\end{align*}\]Shunday qilib, \(x = 3\) - bu yechim. Endi \(x = - 2\) ni tekshiramiz.
\[\begin{align*} - 2 & \mathop = \limits^? \sqrt { - 2 + 6} \\ - 2 & \ne \sqrt 4 = 2\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{NOT OK}}\end{align*}\]Bizda muammo bor. Eslatib o'tamiz, kvadrat ildizlar DOIMO musbat va shuning uchun \(x = - 2\) asl tenglamada ishlamaydi. Bu erda bir ehtimol, biz qaerdadir xatoga yo'l qo'yganmiz. Biz orqaga qaytib, qarashimiz mumkin va biz xato qilmaganimizni tezda ko'ramiz.
Xo'sh, kelishuv nima? Esda tutingki, hal qilish jarayonida bizning birinchi qadamimiz ikkala tomonni kvadratga solish edi. E'tibor bering, agar biz \(x = - 2\) ni kvadratga ulab olsak, biz hal qildik, bu aslida buning yechimi bo'ladi. Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantirganimizda, biz tenglamani o'zgartirdik va bu jarayonda asl tenglamaning yechimi bo'lmagan yechimni kiritdik.
Ushbu muammolar bilan yechimlaringizni tekshirish juda muhim, chunki bu tez-tez sodir bo'ladi. Bunda biz faqat asl tenglamaning haqiqiy yechimi bo'lgan qiymatlarni olamiz.
Shunday qilib, dastlabki tenglamada \(x = 3\) bitta yechim bor edi.
Endi, bu misol bizga ko'rsatganidek, biz bu tenglamalarni echishda juda ehtiyot bo'lishimiz kerak. Kvadratni yechsak, biz ikkita yechimga ega bo'lamiz va ularning ikkalasi ham, ulardan biri yoki bu qiymatlarning hech biri asl tenglamaning yechimi bo'lmasligi mumkin. Bilishning yagona yo'li - yechimlaringizni tekshirish!
Keling, biroz qiyinroq bo'lgan yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
- \(y + \sqrt {y - 4} = 4\)
- \(1 = t + \sqrt {2t - 3} \)
- \(\sqrt {5z + 6} - 2 = z\)
a \(y + \sqrt {y - 4} = 4\) Yechim
Bunday holda, agar biz ikkala tomonni kvadratga aylantirsak, muammolarga duch kelamiz.
\[\begin{align*}{\left( {y + \sqrt {y - 4} } \right)^2} & = {\left( 4 \right)^2}\\ {y^2} + 2y\sqrt {y - 4} + y - 4 & = 16\end{align*}\]Muammoni muhokama qilishdan oldin, keling, yuqorida qilgan kvadratni bajarishingiz mumkinligiga ishonch hosil qilaylik, chunki u vaqti-vaqti bilan paydo bo'ladi. Bu erda biz qilgan barcha narsa formuladan foydalanish edi
\[{\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\]\(a = y\) va \(b = \sqrt {y - 4} \) bilan. Siz buni qila olishingiz kerak bo'ladi, chunki bu erda ishlamagan bo'lsa-da, biz keyingi muammolar to'plamida bunday ishni bajarishimiz kerak bo'ladi.
Endi buning muammosi nimada? Esingizda bo'lsin, birinchi masalada ikkala tomonni kvadratlashtirishning maqsadi kvadrat ildizni yo'q qilish edi. Biz buni qilmaganmiz. Muammoda hali ham kvadrat ildiz bor va biz muammoning qolgan qismini ham murakkablashtirdik.
Shunday qilib, bu erda qilishimiz kerak bo'lgan narsa, kvadratlashtirishdan oldin tenglamaning bir tomonida o'z-o'zidan kvadrat ildizga ega ekanligimizga ishonch hosil qilishdir. Bu bajarilgandan so'ng biz ikkala tomonni kvadratga aylantira olamiz va kvadrat ildiz haqiqatan ham yo'qoladi.
Mana bu muammoni hal qilishning to'g'ri yo'li.
\[\begin{align*}\sqrt {y - 4} & = 4 - y\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{now square both sides}}\\ {\left( {\sqrt {y - 4} } \right)^2} & = {\left( {4 - y} \right)^2}\\ y - 4 & = 16 - 8y + {y^2}\\ 0 & = {y^2} - 9y + 20\\ 0 & = \left( {y - 5} \right)\left( {y - 4} \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}y = 4,\,\,\,y = 5\end{align*}\]Birinchi misolda bo'lgani kabi, biz ushbu echimlarning ikkalasiga ham ishonch hosil qilishimiz va tekshirishimiz kerak. Shunga qaramay, asl tenglamani tekshirganingizga ishonch hosil qiling. Ikkala tomonni kvadratga aylantirganimizdan so'ng, biz muammoni o'zgartirdik va shuning uchun u erda tekshirish bizga hech qanday foyda keltirmaydi. Aslida, u erda tekshirish bizni muammoga olib kelishi mumkin.
Birinchi \(y = 4\).
\[\begin{align*}4 + \sqrt {4 - 4} & \mathop = \limits^? 4\\ 4 & = 4\hspace{0.25in}{\mbox{OK}}\end{align*}\]Demak, bu yechim. Endi \(y = 5\).
\[\begin{align*}5 + \sqrt {5 - 4} & \mathop = \limits^? 4\\ 5 + \sqrt 1 & \mathop = \limits^? 4\\ 6 & \ne 4\hspace{0.25in}{\mbox{NOT }}{\mbox{OK}}\end{align*}\]Shunday qilib, biz ishlagan birinchi misolda bo'lgani kabi, aslida \(y = 4\) tenglamasining yagona yechimi mavjud.
b \(1 = t + \sqrt {2t - 3} \) Yechim
Yaxshi, shuning uchun ikkala tomonni kvadratga solishdan oldin yana bir tomonning kvadrat ildizini olishimiz kerak bo'ladi.
\[\begin{align*}1 - t & = \sqrt {2t - 3} \\ {\left( {1 - t} \right)^2} & = {\left( {\sqrt {2t - 3} } \right)^2}\\ 1 - 2t + {t^2} & = 2t - 3\\ {t^2} - 4t + 4 & = 0\\ {\left( {t - 2} \right)^2} & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}t = 2\end{align*}\]Shunday qilib, biz bu safar qo'sh ildizga egamiz. Keling, bu haqiqatan ham asl tenglamaning yechimi yoki yo'qligini tekshirib ko'raylik.
\[\begin{align*}1 & \mathop = \limits^? 2 + \sqrt {2\left( 2 \right) - 3} \\ 1 & \mathop = \limits^? 2 + \sqrt 1 \\ 1 & \ne 3\end{align*}\]Shunday qilib, \(t = 2\) asl tenglamaning yechimi emas. Bu yagona mumkin bo'lgan yechim bo'lganligi sababli, bu borligini anglatadi yechimlar yo'q asl tenglamaga. Bu tez-tez sodir bo'lmaydi, lekin shunday bo'ladi, shuning uchun bu sodir bo'lganda hayron bo'lmang.
c \(\sqrt {5z + 6} - 2 = z\) Yechim
Bu avvalgi ikkitasi bilan bir xil ishlaydi.
\[\begin{align*}\sqrt {5z + 6} & = z + 2\\ {\left( {\sqrt {5z + 6} } \right)^2} & = {\left( {z + 2} \right)^2}\\ 5z + 6 & = {z^2} + 4z + 4\\ 0 & = {z^2} - z - 2\\ & 0 = \left( {z - 2} \right)\left( {z + 1} \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,z = - 1,\,\,\,\,z = 2\end{align*}\]Keling, \(z = - 1\) dan boshlaylik mumkin bo'lgan echimlarni ko'rib chiqaylik.
\[\begin{align*}\sqrt {5\left( { - 1} \right) + 6} - 2 & \mathop = \limits^? \, - 1\\ \sqrt 1 - 2 & \mathop = \limits^? \; - 1\\ - 1 & = - 1\hspace{0.25in}{\mbox{OK}}\end{align*}\]Demak, bu yechim edi. Endi \(z = 2\) ni tekshiramiz.
\[\begin{align*}\sqrt {5\left( 2 \right) + 6} - 2 & \mathop = \limits^? 2\\ \sqrt {16} - 2 & \mathop = \limits^? 2\\ 4 - 2 & = 2\hspace{0.25in}{\mbox{OK}}\end{align*}\]Bu ham yechim edi.
Shunday qilib, bu holda biz ikkala mumkin bo'lgan echimlar aslida asl tenglamaning echimi bo'lgan misolni ko'rdik.
Shunday qilib, oldingi misollar to'plamida ko'rganimizdek, biz mumkin bo'lgan echimlar ro'yxatini olganimizdan so'ng, ularning hech biri asl tenglamaning echimi bo'lishi mumkin. Har doim javoblaringizni tekshirishni unutmang!
Mayli, keling, ularga qo'shimcha murakkablik keltiradigan yana bir misollar to'plamini ishlab chiqaylik. Shu paytgacha biz ko'rib chiqqan barcha tenglamalar bitta kvadrat ildizga ega edi. Biroq, bu tenglamalarda bir nechta kvadrat ildiz bo'lishi mumkin. Keyingi misollar to'plami bizga bunday muammolarni qanday hal qilishni ko'rsatish uchun mo'ljallangan.
- \(\sqrt {2x - 1} - \sqrt {x - 4} = 2\)
- \(\sqrt {t + 7} + 2 = \sqrt {3 - t} \)
Munozarani ko'rsatish
Bularning ikkalasida muammoda ikkita kvadrat ildiz mavjud. Biroq, biz ularni asosan bir xil tarzda ishlaymiz. Birinchi qadam, tenglamaning bir tomonida kvadrat ildizlardan birini o'z-o'zidan olish, keyin ikkala tomonni kvadratga aylantirishdir. Bu nuqtada jarayon boshqacha, shuning uchun biz birinchi misolda unga erishganimizdan keyin bu nuqtadan qanday davom etishni ko'rib chiqamiz.
a \(\sqrt {2x - 1} - \sqrt {x - 4} = 2\) Yechim
Shunday qilib, birinchi navbatda kvadrat ildizlardan birini o'z-o'zidan olish kerak. Qaysi birini o'zimiz olishimiz muhim emas. Oxir-oqibat biz bir xil yechim(lar)ni tugatamiz.
\[\begin{align*}\sqrt {2x - 1} & = 2 + \sqrt {x - 4} \\ {\left( {\sqrt {2x - 1} } \right)^2} & = {\left( {2 + \sqrt {x - 4} } \right)^2}\\ 2x - 1 & = 4 + 4\sqrt {x - 4} + x - 4\\ 2x - 1 & = 4\sqrt {x - 4} + x\end{align*}\]Endi, bizda hali ham muammoning kvadrat ildizi bor, lekin biz ulardan birini yo'q qilishga muvaffaq bo'ldik. Nafaqat bu, balki bizda qolgan narsalar ushbu bo'limning birinchi qismida ishlagan misollar bilan bir xil. Shuning uchun, biz avvalgi misollar to'plamida bo'lgani kabi, endi bu muammoni ishlashni davom ettiramiz.
\[\begin{align*}{\left( {x - 1} \right)^2} & = {\left( {4\sqrt {x - 4} } \right)^2}\\ {x^2} - 2x + 1 & = 16\left( {x - 4} \right)\\ {x^2} - 2x + 1 & = 16x - 64\\ {x^2} - 18x + 65 & = 0\\ \left( {x - 13} \right)\left( {x - 5} \right) & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = 13,\,\,\,x = 5\end{align*}\]Keling, asl tenglamadagi ikkala mumkin bo'lgan echimni ham tekshirib ko'raylik. Biz \(x = 13\) dan boshlaymiz
\[\begin{align*}\sqrt {2\left( {13} \right) - 1} - \sqrt {13 - 4} & \mathop = \limits^? 2\\\sqrt {25} - \sqrt 9 & \mathop = \limits^? 2\\ 5 - 3 & = 2\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{OK}}\end{align*}\]Demak, bittasi yechim. Endi \(x = 5\) ni tekshiramiz.
\[\begin{align*}\sqrt {2\left( 5 \right) - 1} - \sqrt {5 - 4} & \mathop = \limits^? 2\\ \sqrt 9 - \sqrt 1 & \mathop = \limits^? 2\\ 3 - 1 & = 2\hspace{0.25in}{\mbox{OK}}\end{align*}\]Demak, ikkalasi ham asl tenglamaning yechimidir.
b \(\sqrt {t + 7} + 2 = \sqrt {3 - t} \) Yechim
Bunday holda, biz allaqachon bir tomondan kvadrat ildizga ega bo'ldik, shuning uchun biz to'g'ridan-to'g'ri ikkala tomonning kvadratiga o'tishimiz mumkin.
\[\begin{align*}{\left( {\sqrt {t + 7} + 2} \right)^2} & = {\left( {\sqrt {3 - t} } \right)^2}\\ t + 7 + 4\sqrt {t + 7} + 4 & = 3 - t\\ t + 11 + 4\sqrt {t + 7} & = 3 - t\end{align*}\]Keyin, qolgan kvadrat ildizni bir tomondan o'z-o'zidan oling va ikkala tomonni yana kvadratga aylantiring.
\[\begin{align*}4\sqrt {t + 7} & = - 8 - 2t\\ {\left( {4\sqrt {t + 7} } \right)^2} & = {\left( { - 8 - 2t} \right)^2}\\ 16\left( {t + 7} \right) & = 64 + 32t + 4{t^2}\\ 16t + 112 & = 64 + 32t + 4{t^2}\\ 0 & = 4{t^2} + 16t - 48\\ 0 & = 4\left( {{t^2} + 4t - 12} \right)\\ & 0 = 4\left( {t + 6} \right)\left( {t - 2} \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}t = - 6,\,\,\,\,t = 2\end{align*}\]Endi \(t = 2\) dan boshlab ikkala mumkin bo'lgan echimlarni tekshiring.
\[\begin{align*}\sqrt {2 + 7} + 2 & \mathop = \limits^? \sqrt {3 - 2} \\ \sqrt 9 + 2 & \mathop = \limits^? \sqrt 1 \\ 3 + 2 & \ne 1\hspace{0.25in}{\mbox{NOT OK}}\end{align*}\]Demak, bu yechim emas edi. Endi \(t = - 6\) ni tekshiramiz.
\[\begin{align*}\sqrt { - 6 + 7} + 2 & \mathop = \limits^? \sqrt {3 - \left( { - 6} \right)} \\ \sqrt 1 + 2 & \mathop = \limits^? \sqrt 9 \\ 1 + 2 & = 3\hspace{0.25in}{\mbox{OK}}\end{align*}\]Bu holatda bizda \(t = - 6\) yagona yechimi borga o'xshaydi.
Shunday qilib, muammoda birdan ortiq kvadrat ildiz bo'lsa, biz yana echimlarimizni tekshirish vazifasiga duch kelamiz. Mumkin bo'lgan yechimlarning hech biri yo'qligidan tortib, barcha mumkin bo'lgan yechimlar aslida echimlar bo'lishi mumkin va aniq bilishning yagona yo'li ularni asl tenglamada tekshirishdir.