Ushbu tartiblangan juftliklardan bizda birinchi komponentlarning quyidagi to'plamlari mavjud (i.e. har bir buyurtma qilingan juftlikdan birinchi raqam) va ikkinchi komponentlar (i.e. har bir buyurtma qilingan juftlikdan ikkinchi raqam).

\[{1^{{\mbox{st}}}}{\mbox{ components : }}\left\{ { - 1,0,2,3,4} \right\}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{2^{{\mbox{nd}}}}{\mbox{ components : }}\left\{ {0, - 3,0,5} \right\}\]

Ikkinchi komponentlar to'plami uchun "-3" ikkita tartibli juftlikda paydo bo'lganiga e'tibor bering, lekin biz uni faqat bir marta sanab o'tdik.

Nima uchun bu munosabat funktsiya ekanligini bilish uchun birinchi komponentlar to'plamidan istalgan qiymatni tanlang. Endi, munosabatlarga qayting va bu raqam birinchi komponent bo'lgan har bir tartiblangan juftlikni toping va o'sha tartiblangan juftliklardan barcha ikkinchi komponentlarni sanab o'ting. Ikkinchi komponentlar ro'yxati aynan bitta qiymatdan iborat bo'ladi.

Misol uchun, birinchi komponentlar to'plamidan 2 tasini tanlaymiz. Munosabatdan biz birinchi komponent sifatida 2 bo'lgan aynan bitta tartiblangan juftlik mavjudligini ko'ramiz, \(\left( {2, - 3} \right)\). Shuning uchun, ikkinchi komponentlar ro'yxati (i.e. 2 bilan bog'langan ikkinchi komponentlar to'plamidagi qiymatlar ro'yxati) aynan bitta raqam, -3.

E'tibor bering, biz uchun -3 nisbatda ikkinchi tartiblangan juftlikning ikkinchi komponenti ekanligi muhim emas. Bu mutlaqo qabul qilinadi. Biz shunchaki birinchi komponent sifatida 2 bo'lgan bir nechta buyurtma qilingan juftlik bo'lishini xohlamaymiz.

Biz bu erda tezkor misol uchun birinchi komponentlar to'plamidan bitta qiymatni ko'rib chiqdik, ammo natija boshqa barcha tanlovlar uchun bir xil bo'ladi. Birinchi komponentlarni tanlashdan qat'i nazar, u bilan bog'liq bo'lgan ikkinchi komponent bo'ladi.

Demak, bu munosabat funksiya hisoblanadi.

Bu munosabatlar qaerdan kelib chiqqanligi haqida tashvishlanmang. Bu biz ushbu misol uchun tuzgan yagona narsa.

Bu erda birinchi va ikkinchi komponentlar ro'yxati

\[{1^{{\mbox{st}}}}{\mbox{ components : }}\left\{ {6, - 7,0} \right\}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{2^{{\mbox{nd}}}}{\mbox{ components : }}\left\{ {10,3,4, - 4} \right\}\]

Birinchi komponentlar to'plamidan 6 ni tanlaymiz. Endi, agar munosabatga o'tadigan bo'lsak, birinchi komponent sifatida 6 bo'lgan ikkita tartiblangan juftlik borligini ko'ramiz: \(\left( {6,10} \right)\) va \(\left( {6, - 4} \right)\). 6 bilan bog'langan ikkinchi komponentlar ro'yxati u holda: 10, -4.

6 bilan bog'langan ikkinchi komponentlar ro'yxati ikkita qiymatga ega va shuning uchun bu munosabat funktsiya emas.

E'tibor bering, agar biz birinchi komponentlar to'plamidan -7 yoki 0 ni tanlagan bo'lsak, har biri bilan bog'langan ikkinchi komponentlar ro'yxatida faqat bitta raqam mavjud. Bu muhim emas. Birinchi komponentlar to‘plamida birdan ortiq ikkinchi komponentlar bilan bog‘langan bitta qiymatni ham topganimiz bu munosabat funktsiya emasligini aytish uchun kifoya qiladi.

Ushbu misol bo'yicha yakuniy sharh sifatida shuni ta'kidlaymizki, agar biz birinchi va/yoki to'rtinchi tartiblangan juftlikni munosabatlardan olib tashlasak, biz funktsiyaga ega bo'lamiz!

Funktsiyaning "ishchi" ta'rifi shundan iboratki, agar biz \(x\) ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini qabul qilsak va ularni tenglamaga qo'shsak va \(y\) uchun yechsak, \(x\) ning har bir qiymati uchun aynan bitta qiymatni olamiz. O'yinning ushbu bosqichida tenglama funksiya ekanligini ko'rsatish juda qiyin bo'lishi mumkin, shuning uchun biz asosan u orqali gaplashamiz. Boshqa tomondan, ko'pincha tenglama funktsiya emasligini ko'rsatish juda oson.

Shunday qilib, biz \(x\) ni tenglamaga ulab, \(y\) uchun qanday yechishimizdan qat'iy nazar, biz \(y\) ning faqat bitta qiymatini olishimizni ko'rsatishimiz kerak. Shuni ham yodda tutingki, \(y\) qiymati \(x\) ning har bir qiymati uchun har xil bo'lishi mumkin, garchi u bo'lishi shart emas.

Keling, buni \(x\) ning ba'zi qiymatlarini ulashdan boshlaylik va nima bo'lishini ko'ramiz.

\[\begin{align*}x & = - 4:\hspace{0.25in} & y & = 5\left( { - 4} \right) + 1 = - 20 + 1 = - 19\\ x & = 0:\hspace{0.25in} & y & = 5\left( 0 \right) + 1 = 0 + 1 = 1\\ x & = 10:\hspace{0.25in} & y & = 5\left( {10} \right) + 1 = 50 + 1 = 51\end{align*}\]

Shunday qilib, \(x\) ning ushbu qiymatlarining har biri uchun biz tenglamadan \(y\) ning bitta qiymatini oldik. Endi bu funktsiya ekanligini da'vo qilish uchun bu etarli emas. Bu funktsiya ekanligini rasman isbotlash uchun biz \(x\) ning qaysi qiymatini tenglamaga kiritganimizdan qat'iy nazar, bu ishlashini ko'rsatishimiz kerak.

Albatta, biz \(x\) ning barcha mumkin bo'lgan qiymatini tenglamaga kirita olmaymiz. Bu shunchaki jismoniy jihatdan mumkin emas. Biroq, keling, orqaga qaytib, biz ulaganlarimizni ko'rib chiqaylik. Har bir \(x\) uchun, ulagandan so'ng, avval \(x\) ni 5 ga ko'paytirdik va keyin unga 1 qo'shdik. Endi, agar raqamni 5 ga ko'paytirsak, ko'paytirishdan bitta qiymatni olamiz. Xuddi shunday, agar biz raqamga 1 qo'shsak, faqat bitta qiymatga ega bo'lamiz. Shuning uchun, \(x\) ni tenglamaga ulash bilan bog'liq operatsiyalarga asoslanib, biz faqat bitta qiymatga ega bo'lamiz. \(y\) tenglamadan chiqdi.

Demak, bu tenglama funksiyadir.

Yana, keling, \(x\) ning bir nechta qiymatlarini kiritamiz va nima bo'lishini ko'rish uchun \(y\) ni hal qilamiz.

\[\begin{align*}x & = - 1:\hspace{0.25in} & y = {\left( { - 1} \right)^2} + 1 = 1 + 1 = 2\\ x & = 3:\hspace{0.25in} & y = {\left( 3 \right)^2} + 1 = 9 + 1 = 10\end{align*}\]

Keling, baholashlar bilan nima qilganimiz haqida bir oz o'ylab ko'raylik. Birinchidan, biz ulagan \(x\) qiymatini kvadratga oldik. Raqamni kvadratga aylantirsak, faqat bitta mumkin bo'lgan qiymat bo'ladi. Keyin biz bunga 1 qo'shamiz, lekin yana bu bitta qiymatni beradi.

Demak, bu tenglama ham funktsiyaga o'xshaydi.

E'tibor bering, har xil \(x\) uchun bir xil \(y\) qiymatini olish mumkin. Masalan,

\[x = - 3:\hspace{0.25in}y = {\left( { - 3} \right)^2} + 1 = 9 + 1 = 10\]

\(x\) ni ulaganimizdan so'ng biz tenglamadan bir nechta \(y\) ni chiqara olmaymiz.

Oldingi ikkita tenglamani bajarganimizdek, keling, \(x\) ning bir nechta qiymatini kiritamiz, \(y\) ni hal qilamiz va biz nimani qo'lga kiritamiz.

\[\begin{align*}x & = 3:\hspace{0.25in} & {y^2} & = 3 + 1 = 4\hspace{0.25in}\Rightarrow \hspace{0.25in} y = \pm 2\\ x & = - 1:\hspace{0.25in} & {y^2} & = - 1 + 1 = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}y = 0\\ x & = 10:\hspace{0.25in} & {y^2} & = 10 + 1 = 11\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}y = \pm \sqrt {11} \end{align*}\]

Endi esda tutingki, biz \(y\) ni hal qilyapmiz va demak, yuqoridagi birinchi va oxirgi holatda biz \(x\) dan ikkita turli \(y\) qiymatini olamiz va shuning uchun bu tenglama funktsiya EMAS.

E'tibor bering, biz yuqorida ko'rganimizdek, bitta \(y\) hosil qiladigan \(x\) qiymatlariga ega bo'lishimiz mumkin, ammo bu muhim emas. Agar tenglamani yechishda \(x\) ning bitta qiymati ham bir nechta \(y\) qiymatini bersa, funktsiya bo'lmaydi.

Bu shuni anglatadiki, biz birinchi baholashdan uzoqroqqa borishimiz shart emas edi, chunki bu \(y\) ning bir nechta qiymatlarini berdi.

Bu holda biz oldingi qismda o'rganilgan saboqdan foydalanamiz va hal qilishda \(y\) ning bir nechta qiymatini beradigan \(x\) qiymatini topa olamizmi yoki yo'qligini bilib olamiz. Chunki bizda bor y² Muammoni hal qilishda buni qilish juda qiyin bo'lmasligi kerak, chunki hal qilish oxir-oqibat foydalanishni anglatadi kvadrat ildiz xususiyati Bu \(y\) ning bir nechta qiymatini beradi.

\[x = 0:\hspace{0.25in}{0^2} + {y^2} = 4\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{y^2} = 4\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} y = \pm \,2\]

Demak, bu tenglama funksiya emas. Eslatib o'tamiz, oldingi bo'limdan bu aylana tenglamasi. Doiralar hech qachon funksiya emas.

OK, bizda ikkita funktsiyani baholash bor va bizda ikkita funktsiya ham bor, shuning uchun baholash uchun qaysi funktsiyadan foydalanishni hal qilishimiz kerak. Bu erda asosiy narsa qavs oldidagi harfga e'tibor berishdir. \(f\left( 3 \right)\) uchun biz \(f\left( x \right)\) funksiyasidan foydalanamiz va \(g\left( 3 \right)\) uchun \(g\left( x \right)\) funksiyasidan foydalanamiz. Boshqacha qilib aytganda, biz faqat o'zgaruvchilar mos kelishiga ishonch hosil qilishimiz kerak.

Mana bu qism uchun baholashlar.

\[\begin{align*}f\left( 3 \right) & = {\left( 3 \right)^2} - 2\left( 3 \right) + 8 = 9 - 6 + 8 = 11\\ g\left( 3 \right) & = \sqrt {3 + 6} = \sqrt 9 = 3\end{align*}\]

Bu avvalgi qism bilan deyarli bir xil, bundan mustasno, biz ushbu nuqtaga yetganimizda to'xtalib o'tamiz. Mana, baholashlar.

\[f\left( { - 10} \right) = {\left( { - 10} \right)^2} - 2\left( { - 10} \right) + 8 = 100 + 20 + 8 = 128\]

Bu erda salbiy belgilar bilan to'g'ri muomala qilganingizga ishonch hosil qiling. Endi ikkinchisi.

\[g\left( { - 10} \right) = \sqrt { - 10 + 6} = \sqrt { - 4} \]

Biz endi farqga erishdik. Eslatib o'tamiz, biz birinchi marta funktsiyalar ta'rifi haqida gapira boshlaganimizda, biz faqat haqiqiy raqamlar bilan shug'ullanmoqchi ekanligimizni aytdik. Boshqacha qilib aytganda, biz faqat haqiqiy raqamlarni kiritamiz va biz faqat haqiqiy raqamlarni javob sifatida qaytarishni xohlaymiz. Shunday qilib, biz kompleks sonni oladigan bo'lsak, bu funktsiyaga -10 ni ulay olmaymiz.

Bunga unchalik emas.

\[f\left( 0 \right) = {\left( 0 \right)^2} - 2\left( 0 \right) + 8 = 8\]

Shunga qaramay, bu ko'payish emasligini unutmang! Negadir o‘quvchilar buni ko‘paytirish deb o‘ylab, nolga teng javob olishni yaxshi ko‘radilar. Ehtiyot bo'ling.

Ushbu baholashlarning qolgan qismi endi biroz boshqacha bo'ladi. Bu shuni ko'rsatadiki, biz faqat qavs ichida raqamlar bo'lishi shart emas. Biroq, baholash xuddi shu tarzda ishlaydi. Qavs ichida nima bo'lishidan qat'i nazar, biz teng belgisining o'ng tomonidagi \(x\)-ga ulaymiz. Bunday holda, bu biz \(t\)-ni barcha \(x\)-lar uchun ulashimizni anglatadi.

Mana bu baholash.

\[f\left( t \right) = {t^2} - 2t + 8\]

E'tibor bering, bu holda bu bizning asl funktsiyamiz bilan deyarli bir xil, ammo bu safar biz \(t\) dan o'zgaruvchi sifatida foydalanamiz.

Keling, biroz murakkabroq bo'laylik yoki hech bo'lmaganda ular yanada murakkabroq ko'rinadi. Biroq, narsalar ko'rinadigan darajada yomon emas. Biz avval \(f\left( {t + 1} \right)\) ni baholaymiz. Bu avvalgi qism bilan bir xil ishlaydi. Chapdagi barcha \(x\) lar \(t + 1\) bilan almashtiriladi. Almashtirishdan keyin ham bizda biroz soddalashtirish bo'ladi.

\[\begin{align*}f\left( {t + 1} \right) & = {\left( {t + 1} \right)^2} - 2\left( {t + 1} \right) + 8\\ & = {t^2} + 2t + 1 - 2t - 2 + 8\\ & = {t^2} + 7\end{align*}\]

Bunday baholashlarda qavslar bilan ehtiyot bo'ling. Ular bilan aralashish oson.

Keling, \(f\left( {x + 1} \right)\) ni ko'rib chiqaylik. \(x\) bundan mustasno, bu \(f\left( {t + 1} \right)\) bilan bir xil va shuning uchun u xuddi shunday ishlaydi.

\[\begin{align*}f\left( {x + 1} \right) & = {\left( {x + 1} \right)^2} - 2\left( {x + 1} \right) + 8\\ & = {x^2} + 2x + 1 - 2x - 2 + 8\\ & = {x^2} + 7\end{align*}\]

Bu erda baholashda \(x\)-ni qayta ishlatganimizdan hayajonlanmang. Keyingilarda buni amalga oshiradigan ko'p joylarda \(x\) mavjud va shuning uchun siz buni ko'rishga odatlanishingiz kerak bo'ladi.

Shunga qaramay, bu erda qavs ichidagi \(x\)-dan hayajonlanmang. Buni xuddi raqam kabi baholang.

\[\begin{align*}f\left( {{x^3}} \right) & = {\left( {{x^3}} \right)^2} - 2\left( {{x^3}} \right) + 8\\ & = {x^6} - 2{x^3} + 8\end{align*}\]

Yana bir baholash va bu safar biz boshqa funktsiyadan foydalanamiz.

\[\begin{align*}g\left( {{x^2} - 5} \right) & = \sqrt {{x^2} - 5 + 6} \\ & = \sqrt {{x^2} + 1} \end{align*}\]

Bu erda baholashni boshlashdan oldin, biz funktsiya va o'zgaruvchi uchun shu paytgacha ishlatganimizdan farqli harflardan foydalanayotganimizni ko'rib chiqaylik. Bu baholash qanday ishlashini o'zgartirmaydi. Funktsiya uchun \(f\) va o'zgaruvchi uchun \(x\) ni ko'rishga shunchalik qulflanib qolmangki, bu harflar bo'lmagan har qanday muammoni hal qila olmaysiz.

Endi, ushbu baholashlarning har birini qilish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa bu raqam qaysi tengsizlikni qondirishini aniqlashdir va u faqat bitta tengsizlikni qondiradi. Raqam qaysi tengsizlikni qanoatlantirishini aniqlaganimizda, biz ushbu tengsizlik bilan bog'liq tenglamadan foydalanamiz.

Shunday qilib, keling, ba'zi baholashlarni qilaylik.

Bu holda -6 eng yuqori tengsizlikni qondiradi va shuning uchun biz ushbu baholash uchun yuqori tenglamadan foydalanamiz.

\[g\left( { - 6} \right) = 3{\left( { - 6} \right)^2} + 4 = 112\]

Endi biz bu bilan biroz ehtiyot bo'lishimiz kerak, chunki -4 ikkita tengsizlikda namoyon bo'ladi. Biroq, u faqat yuqori tengsizlikni qondiradi va shuning uchun biz yana bir bor baholash uchun yuqori funktsiyadan foydalanamiz.

\[g\left( { - 4} \right) = 3{\left( { - 4} \right)^2} + 4 = 52\]

Bunday holda, 1 raqami o'rta tengsizlikni qondiradi va shuning uchun biz baholash uchun o'rta tenglamadan foydalanamiz. Ushbu baholash ko'pincha talabalar uchun muammolarni keltirib chiqaradi, garchi bu biz amalga oshiradigan eng oson baholashlardan biri bo'lsa ham. Biz funksiyalarni/tenglamalarni o‘zgaruvchining raqamini kiritish orqali baholashimizni bilamiz. Bunday holda, o'zgaruvchilar yo'q. Bu muammo emas. Hech qanday o'zgaruvchi yo'qligi sababli, biz aslida hech narsa ulanmasligimizni anglatadi va biz quyidagilarni olamiz:

\[g\left( 1 \right) = 10\]

Shunga qaramay, ikkinchi qismda bo'lgani kabi, biz bu bilan biroz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Bunday holda, raqam o'rta tengsizlikni qondiradi, chunki bu tenglik belgisi bo'lgan raqamdir. Keyin oldingi qism kabi, biz shunchaki olamiz,

\[g\left( {15} \right) = 10\]

Oldingi ikkita baholash bir xil qiymatga ega bo'lganidan hayajonlanmang. Bu vaqti-vaqti bilan sodir bo'ladi.

Ushbu misoldagi yakuniy baholash uchun raqam pastki tengsizlikni qondiradi va shuning uchun biz baholash uchun pastki tenglamadan foydalanamiz.

\[g\left( {21} \right) = 1 - 6\left( {21} \right) = - 125\]

Ushbu funktsiyalar uchun domenlar \(x\) ning barcha qiymatlari bo'lib, ular uchun bizda nolga bo'linish yoki manfiy sonning kvadrat ildizi mavjud emas. Agar biz ushbu ikkita fikrni eslasak, domenlarni topish juda oson bo'ladi.

Shunday qilib, bu holda kvadrat ildizlar yo'q, shuning uchun biz salbiy sonning kvadrat ildizi haqida tashvishlanishga hojat yo'q. Biroq, bizda nol xatoga bo'linish ehtimoli bor. Biz xohlaymizmi yoki yo'qligini aniqlash uchun biz maxrajni nolga tenglashtirishimiz va hal qilishimiz kerak.

\[{x^2} + 3x - 10 = \left( {x + 5} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\hspace{0.25in}x = - 5,\,\,x = 2\]

Shunday qilib, agar biz \(x = - 5\) yoki \(x = 2\) ni ulasak, biz nolga bo'linamiz. Bu shuni anglatadiki, biz bu ikki raqamdan qochishimiz kerak. Biroq, \(x\) ning barcha boshqa qiymatlari ishlaydi, chunki ular nolga bo'linishni bermaydi. Keyin domen,

\[{\mbox{Domain : All real numbers except }}x = - 5\text{ va }x = 2\]

Bunday holda, bizda nolga bo'linish muammosi bo'lmaydi, chunki bizda kasrlar yo'q. Muammoda bizda kvadrat ildiz bor va shuning uchun biz salbiy sonlarning kvadrat ildizini olish haqida tashvishlanishimiz kerak.

Bu avvalgi qismdan biroz boshqacha ishlaydi. Ushbu qismda biz oldini olish uchun \(x\) qiymat(lar)ini aniqladik. Bunday holda, domenni to'g'ridan-to'g'ri olish juda oson bo'ladi. Salbiy sonlarning kvadrat ildizlaridan qochish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa buni talab qilishdir

\[5 - 3x \ge 0\]

Bu juda oddiy chiziqli tengsizlik bo'lib, biz shu nuqtada hal qilishimiz kerak.

\[5 \ge 3x\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x \le \frac{5}{3}\]

Bu funksiyaning domeni u holda,

\[{\mbox{Domain : }}x \le \frac{5}{3}\]

Bu holda bizda kasr bor, lekin e'tibor bering, maxraj hech qachon har qanday haqiqiy son uchun nolga teng bo'lmaydi. x² musbat yoki nol bo'lishi kafolatlanadi va unga 4 qo'shilishi maxraj har doim kamida 4 bo'lishini bildiradi. Boshqacha qilib aytganda, maxraj hech qachon nolga teng bo'lmaydi. Shunday qilib, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa hisoblagichdagi kvadrat ildiz haqida tashvishlanishdir.

Buning uchun biz talab qilamiz,

\[\begin{align*}7x + 8 & \ge 0\\ 7x & \ge - 8\\ x & \ge - \frac{8}{7}\end{align*}\]

Endi biz \(x\) ning istalgan qiymatini maxrajga kiritishimiz mumkin, ammo hisoblagichda kvadrat ildizga ega bo'lganimiz sababli, muammolarni oldini olish uchun barcha \(x\) lar yuqoridagi tengsizlikni qondirishiga ishonch hosil qilishimiz kerak. Demak, bu funksiyaning sohasi

\[{\mbox{Domain :}}\,\,x \ge - \frac{8}{7}\]

Ushbu yakuniy qismda bizda kvadrat ildiz va nolga bo'linish haqida tashvishlanish kerak. Keling, avval kvadrat ildizga g'amxo'rlik qilaylik, chunki bu \(x\) qiymatlariga eng katta cheklov qo'yishi mumkin. Shunday qilib, kvadrat ildizni baxtli saqlash uchun (i.e. manfiy sonlarning kvadrat ildizi yo'q) biz buni talab qilishimiz kerak,

\[\begin{align*}10x - 5 & \ge 0\\ 10x & \ge 5\\ x & \ge \frac{1}{2}\end{align*}\]

Shunday qilib, kvadrat ildiz bilan bog'liq muammolarni oldini olish uchun hech bo'lmaganda \(x \ge \frac{1}{2}\) ni talab qilishimiz kerak.

Keling, bizda nolga bo'linish muammosi bor yoki yo'qligini bilib olaylik. Shunga qaramay, buni amalga oshirish uchun maxrajni nolga tenglashtiring va hal qiling.

\[{x^2} - 16 = \left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} x = - 4,\,\,x = 4\]

Endi e'tibor bering, \(x = - 4\) kvadrat ildiz uchun zarur bo'lgan tengsizlikni qondirmaydi va shuning uchun \(x\) qiymati allaqachon kvadrat ildiz tomonidan chiqarib tashlangan. Boshqa tomondan, \(x = 4\) tengsizlikni qondiradi. Bu shuni anglatadiki, \(x = 4\) ni kvadrat ildizga ulash mumkin, ammo bu nolga bo'linish imkonini beradi, chunki biz undan qochishimiz kerak bo'ladi.

Bu funktsiyaning domeni keyin,

\[{\mbox{Domain : }}x \ge \frac{1}{2}{\mbox{ except }}x = 4\]