3.4-bo'lim: Mahsulot va miqdor qoidasi
Oldingida biz mahsulotlarni yoki ko'rsatkichlarni farqlashda ehtiyot bo'lish kerakligini ta'kidladik. Endi mahsulotlar va ko'rsatkichlarni ko'rib chiqish va nima uchun ekanligini tushunish vaqti keldi.
Birinchidan, nima uchun mahsulotlar va ko'rsatkichlar bilan ehtiyot bo'lish kerakligini ko'rib chiqaylik. Faraz qilaylik, bizda \(f\left( x \right) = {x^3}\) va \(g\left( x \right) = {x^6}\) ikkita funksiya mavjud. Keling, ushbu ikki funktsiya mahsulotining hosilasini hisoblashdan boshlaylik. Buni to'g'ridan-to'g'ri bajarish juda oson.
\[{\left( {f\,g} \right)^\prime } = {\left( {{x^3}{x^6}} \right)^\prime } = {\left( {{x^9}} \right)^\prime } = 9{x^8}\]Esda tutingki, ba'zan biz belgilashni biroz soddalashtirish uchun funksiyalarga \(\left( x \right)\) qismini tushiramiz. Biz buni yuqoridagi ishda qildik.
Keling, quyidagilarni sinab ko'raylik.
\[f'\left( x \right)g'\left( x \right) = \left( {3{x^2}} \right)\left( {6{x^5}} \right) = 18{x^7}\]Shunday qilib, biz buni juda tez ko'rishimiz mumkin.
\[{\left( {f\,g} \right)^\prime } \ne f'\,g'\]Boshqacha qilib aytganda, mahsulotning hosilasi hosilalarning hosilasi emas.
Xuddi shu funktsiyalardan foydalanib, biz ko'rsatkichlar uchun xuddi shu narsani qilishimiz mumkin.
\[{\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{{x^3}}}{{{x^6}}}} \right)^\prime } = {\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^\prime } = {\left( {{x^{ - 3}}} \right)^\prime } = - 3{x^{ - 4}} = - \frac{3}{{{x^4}}}\] \[\frac{{f'\left( x \right)}}{{g'\left( x \right)}} = \frac{{3{x^2}}}{{6{x^5}}} = \frac{1}{{2{x^3}}}\]Shunday qilib, biz yana buni ko'rishimiz mumkin,
\[{\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } \ne \frac{{f'}}{{g'}}\]Mahsulotlar va ko'rsatkichlarni farqlash uchun bizda mavjud Mahsulot qoidasi va Quotient qoidasi.
Mahsulot qoidasi
Agar ikkita \(f\left( x \right)\) va \(g\left( x \right)\) funksiyalari farqlansa (i.e. hosila mavjud) u holda mahsulot differentsiallanadi va,
\[{\left( {f\,g} \right)^\prime } = f'\,g + f\,g'\]Mahsulot qoidasining isboti ko'rsatilgan Turli hosila formulalarini isbotlash Qo'shimchalar bo'limi.
Quotient qoidasi
Agar ikkita \(f\left( x \right)\) va \(g\left( x \right)\) funksiyalari farqlansa (i.e. hosila mavjud bo'lsa), u holda qism differentsiallanadi va,
\[{\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } = \frac{{f'\,g - f\,g'}}{{{g^2}}}\]E'tibor bering, bo'linish qoidasining surati mahsulot qoidasiga juda o'xshaydi, shuning uchun ikkalasini aralashtirmaslik uchun ehtiyot bo'ling!
Quotient qoidasining isboti ko'rsatilgan Turli hosila formulalarini isbotlash Qo'shimchalar bo'limi.
Keling, mahsulot qoidasiga bir nechta misol keltiraylik.
- \(y = \sqrt[3]{{{x^2}}}\left( {2x - {x^2}} \right)\)
- \(f\left( x \right) = \left( {6{x^3} - x} \right)\left( {10 - 20x} \right)\)
Hozirgi vaqtda mahsulot qoidasidan foydalanish uchun juda ko'p sabablar yo'q. Oldingida ta'kidlaganimizdek, bularning har biri uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa faqat mahsulotni ko'paytirish va keyin farqlashdir.
Shu bilan birga, biz bir yoki ikkita misolni ko'rishimiz uchun mahsulot qoidasidan foydalanamiz. Repertuarimizga qo'shimcha funktsiyalar qo'shilishi va funktsiyalar murakkablashishi bilan mahsulot qoidasi yanada foydali bo'ladi va ko'p hollarda talab qilinadi.
a \(y = \sqrt[3]{{{x^2}}}\left( {2x - {x^2}} \right)\) Yechim
E'tibor bering, biz ushbu funktsiyaning hosilasini oldingida olgan edik bo'limi va o'sha paytda mahsulot qoidasidan foydalanmagan. Biroq, biz o'sha vaqtdagi kabi natijaga erishishimiz kerak.
Endi muammoni shu yerda hal qilaylik. Bu erda mahsulot qoidasini ishlatishdan boshqa ko'p narsa qilish kerak emas. Biroq, buni qilishdan oldin radikalni har doimgidek kasr ko'rsatkichiga aylantirishimiz kerak.
\[y = {x^{\frac{2}{3}}}\left( {2x - {x^2}} \right)\]Endi hosilani olaylik. Shunday qilib, biz birinchi funktsiyaning hosilasini ikkinchisiga ko'paytiramiz, so'ngra birinchi funktsiyani ikkinchi funktsiyaning hosilasini qo'shamiz.
\[y' = \frac{2}{3}{x^{ - \frac{1}{3}}}\left( {2x - {x^2}} \right) + {x^{\frac{2}{3}}}\left( {2 - 2x} \right)\]Bu lotin uchun oldingi bo'limda biz olgan narsa emas. Biroq, biroz soddalashtirilgan holda, biz bir xil javobga erishishimiz mumkin.
\[y' = \frac{4}{3}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3}{x^{\frac{5}{3}}} + 2{x^{\frac{2}{3}}} - 2{x^{\frac{5}{3}}} = \frac{{10}}{3}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{3}{x^{\frac{5}{3}}}\]Oldingida biz javobni oldik, shuning uchun mahsulot qoidasini yaxshi tekshirish.
b \(f\left( x \right) = \left( {6{x^3} - x} \right)\left( {10 - 20x} \right)\) Yechim
Bu avvalgisiga qaraganda osonroq. Keling, uni faqat mahsulot qoidasi orqali bajaraylik.
\[\begin{align*}f'\left( x \right) & = \left( {18{x^2} - 1} \right)\left( {10 - 20x} \right) + \left( {6{x^3} - x} \right)\left( { - 20} \right)\\ & = - 480{x^3} + 180{x^2} + 40x - 10\end{align*}\]Buni qilish oson bo'lgani uchun biz oldinga bordik va natijalarni biroz soddalashtirdik.
Keling, ko'rsatkich qoidasi bilan bir yoki ikkita misol bilan ishlaylik. Bunday holda, mahsulot qoidasi misollaridan farqli o'laroq, bu funktsiyalarning bir nechtasi hosila olish uchun bo'lim qoidasini talab qiladi. Biroq, oxirgi ikkitasida, agar xohlasak, ko'rib turganimizdek, ko'rsatkich qoidasidan qochishimiz mumkin.
- \(\displaystyle W\left( z \right) = \frac{{3z + 9}}{{2 - z}}\)
- \(\displaystyle h\left( x \right) = \frac{{4\sqrt x }}{{{x^2} - 2}}\)
- \(\displaystyle f\left( x \right) = \frac{4}{{{x^6}}}\)
- \(\displaystyle y = \frac{{{w^6}}}{5}\)
a \(\displaystyle W\left( z \right) = \frac{{3z + 9}}{{2 - z}}\) Yechim
Bu erda kotirovka qoidasini ishlatishdan boshqa ko'p ish yo'q. Mana bu funksiya uchun ish.
\[\begin{align*}W'\left( z \right) & = \frac{{3\left( {2 - z} \right) - \left( {3z + 9} \right)\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( {2 - z} \right)}^2}}}\\ & = \frac{{15}}{{{{\left( {2 - z} \right)}^2}}}\end{align*}\]b \(\displaystyle h\left( x \right) = \frac{{4\sqrt x }}{{{x^2} - 2}}\) Yechim
Shunga qaramay, bu erda quotient qoidasini ishlatishdan boshqa ko'p narsa qilish kerak emas. Kvadrat ildizni kasr ko'rsatkichiga aylantirishni unutmang.
\[\begin{align*}h'\left( x \right) & = \frac{{4\left( {{\textstyle{1 \over 2}}} \right){x^{ - \frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 2} \right) - 4{x^{\frac{1}{2}}}\left( {2x} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 2} \right)}^2}}}\\ & = \frac{{2{x^{\frac{3}{2}}} - 4{x^{ - \frac{1}{2}}} - 8{x^{\frac{3}{2}}}}}{{{{\left( {{x^2} - 2} \right)}^2}}}\\ & = \frac{{ - 6{x^{\frac{3}{2}}} - 4{x^{ - \frac{1}{2}}}}}{{{{\left( {{x^2} - 2} \right)}^2}}}\end{align*}\]c \(\displaystyle f\left( x \right) = \frac{4}{{{x^6}}}\) Yechim
Bu misolning birinchi qismi bo'lishdan ko'ra, bu erda bo'lishi g'alati tuyuladi, chunki bu avvalgi ikkitasidan osonroq ko'rinadi. Aslida, bu osonroq. Buni birinchidan emas, balki bu erda qilishning bir nuqtasi bor. Bunday holda, hosilani hisoblashning ikkita usuli mavjud. Oson yo'l va qiyin yo'l bor va bu holda qiyin yo'l bo'lim qoidasidir. Bu misolning mohiyati.
Keling, ko'rsatkich qoidasini bajaramiz va biz nimani olganimizni ko'raylik.
\[f'\left( x \right) = \frac{{\left( 0 \right)\left( {{x^6}} \right) - 4\left( {6{x^5}} \right)}}{{{{\left( {{x^6}} \right)}^2}}} = \frac{{ - 24{x^5}}}{{{x^{12}}}} = - \frac{{24}}{{{x^7}}}\]Endi bu "qiyin" yo'l edi. Xo'sh, buning nimasi qiyin edi? Aslida, bu unchalik qiyin emas edi, buni qilishning osonroq yo'li bor, hammasi. Biroq, shuni aytish kerakki, bu erda keng tarqalgan xatolik hisoblagichning hosilasini (doimiy) noto'g'ri qilishdir. Ba'zi sabablarga ko'ra ko'p odamlar bu kabi masalalarda hisoblagichning hosilasini 0 o'rniga 1 sifatida berishadi! Bundan tashqari, agar siz quotient qoidasini bajarsangiz, bunday turdagi muammolarda bajarilishi kerak bo'lgan ba'zi soddalashtirishlar mavjud.
Eng oson yo'li - oldingi bo'limda qilgan ishni qilish.
\[f\left( x \right) = 4{x^{ - 6}} \hspace{0.5in} f'\left( x \right) = - 24{x^{ - 7}} = - \frac{{24}}{{{x^7}}}\]Ikkala yo'l ham ishlaydi, lekin agar menda tanlov bo'lsa, men osonroq yo'lni afzal ko'raman.
d \(\displaystyle y = \frac{{{w^6}}}{5}\) Yechim
Bu muammo ham biroz o'rinsiz ko'rinadi. Biroq, bu erda yana bir fikrni aytish kerak. Buni qism qoidasi muammosi bilan aralashtirib yubormang. Ushbu funktsiyada bo'linish qoidasini bajarishingiz mumkin bo'lsa-da, bunda ko'rsatkich qoidasidan foydalanishga hech qanday sabab yo'q. Shunchaki funktsiyani quyidagicha qayta yozing
\[y = \frac{1}{5}{w^6}\]va har doimgidek farqlang.
\[y' = \frac{6}{5}{w^5}\]Va nihoyat, keling, hosilalarni qo'llashimiz haqida unutmang.
\(t = 8\) da shar havo bilan to'ldirilganligini yoki havo to'kilganligini aniqlang.
Yechim
Agar balon havo bilan to'ldirilgan bo'lsa, u holda uning hajmi oshadi va agar havo to'kilgan bo'lsa, u holda uning hajmi kamayadi. Boshqacha qilib aytganda, biz \(t = 8\) da hajmning o'zgarish tezligini aniqlashimiz uchun hosilani olishimiz kerak..
Bu ko'rsatkich qoidasini talab qiladi.
\[\begin{align*} {V}'\left( t \right) & =\frac{2{{t}^{-\frac{2}{3}}}\left( 4t+1 \right)-6{{t}^{\frac{1}{3}}}\left( 4 \right)}{{{\left( 4t+1 \right)}^{2}}} \\ & =\frac{-16{{t}^{\frac{1}{3}}}+2{{t}^{-\frac{2}{3}}}}{{{\left( 4t+1 \right)}^{2}}} \\ & =\frac{-16{{t}^{\frac{1}{3}}}+{}^{2}/{}_{{{t}^{\tfrac{2}{3}}}}}{{{\left( 4t+1 \right)}^{2}}} \end{align*}\]E'tibor bering, biz bu erda hisoblagichni odatdagidan ko'proq soddalashtirdik. Bu faqat hosilani baholashni osonlashtirish uchun qilingan.
\(t = 8\) da ovoz balandligining o'zgarish tezligi u holda,
\[\begin{align*}V'\left( 8 \right) & = \frac{{ - 16\left( 2 \right) + \frac{2}{4}}}{{{{\left( {33} \right)}^2}}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\left( 8 \right)^{\frac{1}{3}}} = 2\hspace{0.25in}{\left( 8 \right)^{\frac{2}{3}}} = {\left( {{{\left( 8 \right)}^{\frac{1}{3}}}} \right)^2} = {\left( 2 \right)^2} = 4\\ & = - \frac{{63}}{{2178}} = - \frac{7}{{242}}\end{align*}\]Shunday qilib, \(t = 8\) da ovoz balandligining o'zgarish tezligi manfiy va shuning uchun hajm kamayishi kerak. Shuning uchun, \(t = 8\) da havo shardan tashqariga chiqarilmoqda.
Yakuniy mavzu sifatida shuni ta'kidlaylikki, mahsulot qoidasi, masalan, ikkitadan ortiq funktsiyalarga kengaytirilishi mumkin.
\[\begin{align*}{\left( {f\,g\,h} \right)^\prime } & = f'\,g\,h + f\,g'\,h + f\,g\,h'\\ & {\left( {f\,g\,h\,w} \right)^\prime } = f'\,g\,h\,w + f\,g'\,h\,w + f\,g\,h'\,w + f\,g\,h\,w'\end{align*}\]Ikki dan ortiq funktsiyaga ega bu mahsulotlarni chiqarish juda oddiy. Misol uchun, uchta funktsiyali mahsulot qoidasini ko'rib chiqaylik.
Birinchidan, biz buni uchta funktsiyaning mahsuloti deb hisoblamaymiz, lekin ikkita funktsiyaning mahsulot qoidasi o'rniga \(f\,g\) va \(h\), keyin biz ikkita funktsiya mahsulot qoidasidan foydalanishimiz mumkin. Buni qilish,
\[{\left( {f\,g\,h} \right)^\prime } = {\left( {\left[ {f\,g} \right]\,h} \right)^\prime } = {\left[ {f\,g} \right]^\prime }h + \left[ {f\,g} \right]h'\]E'tibor bering, biz \(f\,g\) qismiga qavslar qo'yganmiz, bu atama bitta funktsiya sifatida o'ylayotganimizni aniq ko'rsatish uchun. Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa \({\left[ {f\,g} \right]^\prime }\) terminida ikkita funktsiyali mahsulot qoidasidan foydalanish va keyin biroz soddalashtirishdir.
\[{\left( {f\,g\,h} \right)^\prime } = \left[ {f'\,g + f\,g'} \right]h + \left[ {f\,g} \right]h' = f'\,g\,h + f\,g'\,h + f\,g\,h'\]Ko'proq funktsiyalarga ega bo'lgan har qanday mahsulot qoidasi xuddi shunday tarzda olinishi mumkin.
Ushbu bo'lim va oldingi bo'lim bilan biz endi \(x\) quvvatlarini, shuningdek, ushbu turdagi funktsiyalarning yig'indisi, farqlari, mahsuloti va koeffitsientlarini farqlay olamiz. Biroq, dunyoda bu shaklda bo'lmagan yana ko'p funktsiyalar mavjud. Keyingi bir nechta bo'limlar ushbu funktsiyalarning ko'pini beradi, shuningdek ularning hosilalarini beradi.