9.4-bo'lim: Parametrik tenglamalar bilan yoy uzunligi
Oldingi ikki bo'limda biz parametrik tenglamalar nuqtai nazaridan bir nechta Hisob I mavzularini ko'rib chiqdik. Endi biz bir nechta Calculus II mavzularini parametrik tenglamalar nuqtai nazaridan ko'rib chiqishimiz kerak.
Ushbu bo'limda biz parametrik egri chiziqning yoy uzunligini ko'rib chiqamiz:
\[x = f\left( t \right)\hspace{0.5in}y = g\left( t \right)\hspace{0.5in}\alpha \le t \le \beta \]Bundan tashqari, \(t\) \(\alpha\) dan \(\beta\) ga oshgani sayin egri chiziq aynan bir marta aniqlanadi deb taxmin qilamiz. Bundan tashqari, \(t\) oshgani sayin egri chiziq chapdan o'ngga qarab chizilgan deb taxmin qilishimiz kerak. Bu aytishga teng:
\[\frac{{dx}}{{dt}} \ge 0\hspace{0.5in}{\mbox{for }}\alpha \le t \le \beta \]Shunday qilib, keling, yoy uzunligi formulasini eslab, hosilani boshlaylik, chunki biz uni birinchi bo'limda chiqardik. yoy uzunligi Integrallarni qo'llash bo'limi.
\[L = \int{{ds}}\]qayerda,
\[\begin{align*}ds & = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \,dx\,\hspace{0.25in}{\mbox{if }}y = f\left( x \right),\,\,a \le x \le b\\ ds & = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{{dx}}{{dy}}} \right)}^2}} \,dy\,\hspace{0.25in}{\mbox{if }}x = h\left( y \right),\,\,c \le y \le d\end{align*}\]Biz yuqoridagi birinchi \(ds\) dan foydalanamiz, chunki bizda parametrik tenglamalar nuqtai nazaridan hosila uchun yaxshi formula mavjud (qarang: Parametrik tenglamalar bilan tangentlar bo'lim). Bundan foydalanish uchun biz buni ham bilishimiz kerak,
\[dx = f'\left( t \right)\,dt = \frac{{dx}}{{dt}}\,dt\]Keyin yoy uzunligi formulasi quyidagicha bo'ladi:
\[L = \int_{{\,\alpha }}^{{\,\beta }}{{\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{\,\,\frac{{dy}}{{dt}}\,\,}}{{\frac{{dx}}{{dt}}}}} \right)}^2}} \,\,\,\,\,\frac{{dx}}{{dt}}dt\,}} = \int_{{\,\alpha }}^{{\,\beta }}{{\sqrt {1 + \frac{{{{\left( {\frac{{dy}}{{dt}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {\frac{{dx}}{{dt}}} \right)}^2}}}} \,\,\,\,\frac{{dx}}{{dt}}dt\,}}\]Bu, ayniqsa, yoqimsiz formula. Ammo, agar biz kvadrat ildizdan maxrajni ajratsak,
\[L = \int_{{\,\alpha }}^{{\,\beta }}{{\frac{1}{{\left| {\frac{{dx}}{{dt}}} \right|}}\sqrt {{{\left( {\frac{{dx}}{{dt}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{dy}}{{dt}}} \right)}^2}} \,\,\,\,\frac{{dx}}{{dt}}dt\,}}\]Endi, egri chiziq chapdan o'ngga qarab chizilgan degan taxminimizdan foydalanib, hosiladagi mutlaq qiymat chiziqlarini tushirishimiz mumkin, bu bizga kvadrat ildizdan tashqarida bo'lgan ikkita hosilani bekor qilishga imkon beradi va bu:
Parametrik tenglamalar uchun yoy uzunligi
E'tibor bering, biz yuqoridagi \(ds\) uchun ikkinchi formuladan foydalanishimiz mumkin edi, agar uning o'rniga shunday deb taxmin qilganimizda.
\[\frac{{dy}}{{dt}} \ge 0\hspace{0.5in}{\mbox{for }}\alpha \le t \le \beta \]Agar biz bu yo'ldan hosil bo'lganimizda, xuddi shu formulani olgan bo'lardik.
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Biz bilamizki, bu radiusi 3 bo'lgan doira bizning boshimizdan kelib chiqadi oldingi muhokama parametrik egri chiziqlarning grafikasini tuzish haqida. Shuningdek, biz ushbu munozaradan shuni bilamizki, u ushbu diapazonda aniq bir marta aniqlanadi.
Shunday qilib, biz yuqorida olingan formuladan foydalanishimiz mumkin. Bizga birinchi navbatda quyidagilar kerak bo'ladi,
\[\frac{{dx}}{{dt}} = 3\cos \left( t \right)\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}\frac{{dy}}{{dt}} = - 3\sin \left( t \right)\]Keyin uzunlik,
\[\begin{align*}L & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\sqrt {9{{\sin }^2}\left( t \right) + 9{{\cos }^2}\left( t \right)} \,\,dt\,}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{3\sqrt {{{\sin }^2}\left( t \right) + {{\cos }^2}\left( t \right)} \,\,dt\,}}\\ & = 3\int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\,dt\,}}\\ & = 6\pi \end{align*}\]Bu aylana bo'lgani uchun biz aylananing uzunligi faqat aylana bo'lganligidan foydalanishimiz mumkin edi. Bu bizning natijamizni tekshirishning yaxshi usuli.
Agar egri chiziq bir necha marta kuzatilsa va biz buni hisobga olmasdan egri chiziq uzunligini topishga harakat qilsak, mumkin bo'lgan oqibatlarni ko'rib chiqamiz.
Yechim
E'tibor bering, bu biz oldingi misolda bo'lgan bir xil doira va shuning uchun uzunligi hali ham 6\(\pi\). Biroq, biz bilamizki, berilgan diapazon uchun u formula uchun kerak bo'lganda bir marta egri chiziqni uch marta kuzatib boradi. Ushbu cheklovga qaramay, baribir formuladan foydalanamiz va nima bo'lishini ko'raylik.
Bu holda hosilalar,
\[\frac{{dx}}{{dt}} = 9\cos \left( {3t} \right)\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}\frac{{dy}}{{dt}} = - 9\sin \left( {3t} \right)\]va uzunlik formulasi beradi,
\[\begin{align*}L & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\sqrt {81{{\sin }^2}\left( {3t} \right) + 81{{\cos }^2}\left( {3t} \right)} \,\,dt\,}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{9\,\,dt\,}}\\ & = 18\pi \end{align*}\]Ushbu misoldagi yoy uzunligi formulasidan olgan javobimiz haqiqiy uzunlikdan 3 baravar ko'p edi. Biz ushbu doira berilgan diapazonda uch marta kuzatilishini ham aniqlaganimizni eslab, javob qandaydir ma'noga ega bo'lishi kerak.
Agar biz ushbu parametrik tenglamalar to'plami uchun doira uzunligini aniqlamoqchi bo'lsak, bu doira aniq bir marta chizilgan \(t\) diapazonini aniqlashimiz kerak edi. Bu \(0 \le t \le \frac{{2\pi }}{3}\). Ushbu \(t\) diapazonidan foydalanib, biz uzunlik uchun quyidagilarni olamiz.
\[\begin{align*}L & = \int_{{\,0}}^{{\,\frac{{2\pi }}{3}}}{{\sqrt {81{{\sin }^2}\left( {3t} \right) + 81{{\cos }^2}\left( {3t} \right)} \,\,dt\,}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,\frac{{2\pi }}{3}}}{{9\,\,dt\,}}\\ & = 6\pi \end{align*}\]qaysi to'g'ri javob.
Ehtiyot bo'ling, agar egri chiziq bir necha marta aniqlansa, har doim shunday bo'ladi, deb taxmin qilishdan ehtiyot bo'ling. Egri chiziq \(n\) marta kuzatilishi, bu yoy uzunligi formulasi bizga egri chiziqning haqiqiy uzunligidan \(n\) barobarini beradi degani emas!
Keyingiga o'tishdan oldin, biz ushbu bo'limda olingan yoy uzunligi formulasini yoy uzunligini birinchi marta ko'rib chiqqanimizda bo'lgan shaklga qo'yishimiz mumkinligini bilib olaylik. Yagona farq shundaki, biz parametrik tenglamalar mavjud bo'lganda \(ds\) ta'rifini qo'shamiz.
Yoy uzunligi formulasini quyidagicha umumlashtirish mumkin:
\[L = \int{{ds}}\]qayerda,
\[\begin{align*}ds & = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \,dx\,\hspace{0.5in}{\mbox{if }}y = f\left( x \right),\,\,a \le x \le b\\ ds & = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{{dx}}{{dy}}} \right)}^2}} \,dy\,\hspace{0.5in}{\mbox{if }}x = h\left( y \right),\,\,c \le y \le d\\ ds & = \sqrt {{{\left( {\frac{{dx}}{{dt}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{dy}}{{dt}}} \right)}^2}} \,\,dt\hspace{0.25in}{\mbox{if }}x = f\left( t \right),y = g\left( t \right),\,\,\alpha \le t \le \beta \end{align*}\]