1.9-bo'lim : Eksponensial va logarifm tenglamalari
8. \(\ln \left( {y - 1} \right) = 1 + \ln \left( {3y + 2} \right)\) ning barcha yechimlarini toping. Agar yechimlar bo'lmasa, sababini aniq tushuntiring.
Yechim
Biz buni bitta logarifmli tenglamaga tushirishimiz kerak va buning uchun avval uni biroz qayta yozishimiz kerak. Buni amalga oshirgandan so'ng, ikkita logarifmni bitta logarifmaga birlashtirish uchun asosiy logarifm xususiyatlaridan foydalanishimiz mumkin:
\[\begin{align*}\ln \left( {y - 1} \right) - \ln \left( {3y + 2} \right) & = 1\\ \ln \left( {\frac{{y - 1}}{{3y + 2}}} \right) & = 1\end{align*}\]2-qadam
Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa \(\bf{e}\) yordamida ikkala tomonni eksponentatsiya qilish (chunki biz tabiiy logarifm bilan ishlaymiz) va keyin \(y\) ni hal qilish.
\[\begin{align*}{{\bf{e}}^{\ln \left( {\frac{{y - 1}}{{3y + 2}}} \right)}} & = {{\bf{e}}^1}\\ \frac{{y - 1}}{{3y + 2}} & = {\bf{e}}\\ y - 1 & = {\bf{e}}\left( {3y + 2} \right) = 3{\bf{e}}y + 2{\bf{e}}\\ \left( {1 - 3{\bf{e}}} \right)y & = 1 + 2{\bf{e}}\\ y & = \frac{{1 + 2{\bf{e}}}}{{1 - 3{\bf{e}}}} = - 0.8996\end{align*}\]3-qadam
Biz logarifmlar bilan ishlayapmiz, shuning uchun potentsial echimlarimiz bilan hech qanday muammoga duch kelmasligimizga ishonch hosil qilishimiz kerak. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar biz potentsial echimlarni dastlabki tenglamaga kiritsak, manfiy son yoki nol logarifmini qabul qilmasligimizga ishonch hosil qilishimiz kerak.
Tekshiruvdan so'ng, agar biz potentsial yechimimizni birinchi logarifmga kiritsak, manfiy sonning logarifmini olishimizni tezda ko'rishimiz mumkin. Xuddi shu narsa ikkinchi logarifm uchun ham amal qiladi va shuning uchun \(y = - 0.8996\) yechim bo'la olmaydi.
Chunki bu bizning yagona potentsial yechimimiz edi, biz hozir bilamiz yechimlar yo'q bu tenglamaga.