Asosiy tarkibga o'tish

1.7-bo'lim: Eksponensial funksiyalar

Ushbu bo'limda biz hisoblash va fanlarda eng keng tarqalgan funktsiyalardan birini ko'rib chiqamiz. Biroq, ushbu funktsiyaga kirishdan oldin, keling, narsalarga umumiyroq yondashamiz.

Keling, \(b > 0\), \(b \ne 1\) bilan boshlaylik. Eksponensial funktsiya shakldagi funktsiyadir,

\[f\left( x \right) = {b^x}\]

E'tibor bering, biz \(b = 1\) dan qochamiz, chunki bu \(f\left( x \right) = 1\) doimiy funktsiyasini beradi. Biz \(b = 0\) dan qochamiz, chunki bu ham doimiy funktsiyani beradi va quyidagi sabablarga ko'ra \(b\) ning salbiy qiymatlaridan qochamiz.

Bir lahzaga, biz \(b\) ga manfiy bo'lishiga ruxsat berdik va quyidagi funktsiyani ko'rib chiqaylik.

\[g\left( x \right) = {\left( { - 4} \right)^x}\]

Keling, bir oz baholash qilaylik.

\[g\left( 2 \right) = {\left( { - 4} \right)^2} = 16\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}g\left( {\frac{1}{2}} \right) = {\left( { - 4} \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt { - 4} = 2i\]

Shunday qilib, \(x\) ning ba'zi qiymatlari uchun biz haqiqiy sonlarni olamiz va \(x\) ning boshqa qiymatlari uchun biz kompleks sonlarni olamiz. Biz bundan qochishni xohlaymiz, shuning uchun agar bizga \(b > 0\) kerak bo'lsa, bu muammo bo'lmaydi.

Keling, bir nechta eksponensial funktsiyalarni ko'rib chiqaylik.

1-misol \(f\left( x \right) = {2^x}\) va \(\displaystyle g\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\) grafigini chizing.
Yechim

Keling, avval ushbu ikki funktsiya uchun qiymatlar jadvalini olamiz.

\(x\) \(f(x)\) \(g(x)\)
-2 \(f\left( { - 2} \right) = {2^{ - 2}} = \frac{1}{4}\) \(g\left( { - 2} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 2}} = 4\)
-1 \(f\left( { - 1} \right) = {2^{ - 1}} = \frac{1}{2}\) \(g\left( { - 1} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}} = 2\)
0 \(f\left( 0 \right) = {2^0} = 1\) \(g\left( 0 \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^0} = 1\)
1 \(f\left( 1 \right) = 2\) \(g\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\)
2 \(f\left( 2 \right) = 4\) \(g\left( 2 \right) = \frac{1}{4}\)

Mana bu ikkala funksiyaning eskizi.

Graph of \(f\left( x \right)={{2}^{x}}\) and \(g\left( x \right)={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}\). The graph of \(f\left( x \right)={{2}^{x}}\) is an increasing always positive function starting at (-2,1/4) and ending at (2,4). The graph of \(g\left( x \right)={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}\) is a decreasing always positive function starting at (-2,4) and ending at (2,1/4).

Ushbu grafikda eksponensial funktsiyalar haqida juda yaxshi xususiyatlar ko'rsatilgan.

\(f\left( x \right) = {b^x}\) xususiyatlari

  1. \(f\left( 0 \right) = 1\). Funktsiya har doim \(x = 0\) da 1 qiymatini oladi.
  2. \(f\left( x \right) \ne 0\). Eksponensial funktsiya hech qachon nolga teng bo'lmaydi.
  3. \(f\left( x \right) > 0\). Eksponensial funktsiya har doim ijobiydir.
  4. Oldingi ikkita xususiyatni eksponensial funktsiya diapazoni \(\left( {0,\infty } \right)\) ekanligini aytish orqali umumlashtirish mumkin.
  5. Eksponensial funksiyaning sohasi \(\left( { - \infty ,\infty } \right)\). Boshqacha qilib aytganda, har bir \(x\) ni eksponensial funktsiyaga ulashingiz mumkin.
  6. Agar \(0 < b < 1\) u holda,
    1. \(f\left( x \right) \to 0{\mbox{ as }}x \to \infty \)
    2. \(f\left( x \right) \to \infty {\mbox{ as }}x \to - \infty \)
  7. Agar \(b > 1\) u holda,
    1. \(f\left( x \right) \to \infty {\mbox{ as }}x \to \infty \)
    2. \(f\left( x \right) \to 0{\mbox{ as }}x \to - \infty \)

Bularning barchasi biz ushbu kurs bo'ylab harakat qilganimizda, ba'zida eslash uchun juda foydali xususiyatlar bo'ladi (va keyinchalik bu boradagi Kalkulyator kurslari ...).

Ko'p joylarda tabiiy ravishda paydo bo'ladigan juda muhim eksponensial funktsiya mavjud. Bu funktsiya deyiladi tabiiy eksponensial funktsiya. Biroq, ko'pchilik uchun bu shunchaki eksponensial funktsiyadir.

Tabiiy ko'rsatkichli funktsiyaning ta'rifi

tabiiy eksponensial funktsiya bu \(f\left( x \right) = {{\bf{e}}^x}\) bu erda, \({\bf{e}} = 2.71828182845905 \ldots \).

Shunday qilib, \({\bf{e}} > 1\) dan beri biz \({{\bf{e}}^x} \to \infty {\mbox{ as }}x \to \infty \) va \({{\bf{e}}^x} \to 0 {\mbox{ as }}x \to - \infty \) ekanligini ham bilamiz.

Keling, bir misolni tez ko'rib chiqaylik.

2-misol \(\displaystyle h\left( t \right) = 1 - 5{{\bf{e}}^{1 - \frac{t}{2}}}\) grafigini chizing.
Yechim

Avval ushbu funksiya uchun qiymatlar jadvalini olamiz.

\(t\) -2 -1 0 1 2 3
\(h\left( t \right)\) -35.9453 -21.4084 -12.5914 -7.2436 -4 -2.0327

Mana eskiz.

Graph of \(h\left( t \right)=1-5{{\mathbf{e}}^{1-\frac{t}{2}}}\). It is an increasing always negative function starting at (-2,-35.9453) and ending at (3,-20327).

Ushbu muammoning orqasida turgan asosiy nuqta, siz ushbu turdagi baholashni amalga oshirishingiz mumkinligiga ishonch hosil qilishdir, shuning uchun biz ushbu misolda chizilgan qiymatlarni olishingiz mumkinligiga ishonch hosil qiling. Vaqti-vaqti bilan ushbu sinfda sizdan shunday baholashni amalga oshirishingiz so'raladi.

Ushbu sinfning deyarli har bir bobida eksponensial funktsiyalarni ko'rasiz, shuning uchun ular bilan qulay ekanligingizga ishonch hosil qiling.