2.14-bo'lim: Mutlaq qiymat tenglamalari
Ushbu bobning oxirgi ikki qismida biz mutlaq qiymatlarni o'z ichiga olgan tenglamalar va tengsizliklarni yechish haqida gaplashmoqchimiz. Biz ushbu bo'limda mutlaq qiymatga ega bo'lgan tenglamalarni ko'rib chiqamiz va keyingi bo'limda tengsizliklarni ko'rib chiqamiz.
Biroq, hal qilishdan oldin, biz mutlaq qiymat nima ekanligini qisqacha muhokama qilishimiz kerak. \(p\) mutlaq qiymatining belgisi \(\left| p \right|\) hisoblanadi. Shuni ham yodda tutingki, mutlaq qiymat satrlari qavs EMAS va ko'p hollarda qavs sifatida ishlamaydi, shuning uchun ular bilan ehtiyot bo'ling.
Mutlaq qiymatni aniqlashning ikki yo'li mavjud. Geometrik ta'rif va matematik ta'rif mavjud. Biz ikkalasini ham ko'rib chiqamiz.
Geometrik ta'rif
Ushbu ta'rifda biz \(\left| p \right|\) ni \(p\) ning raqamlar chizig'idagi boshlang'ichdan masofasi sifatida ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz har doim masofa uchun ijobiy qiymatdan foydalanamiz. Quyidagi son qatorini ko'rib chiqing.
Bundan mutlaq qiymatning quyidagi qiymatlarini olishimiz mumkin.
\[\left| 2 \right| = 2\hspace{0.25in}\left| { - 3} \right| = 3\hspace{0.25in}\left| {\frac{9}{2}} \right| = \frac{9}{2}\]Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa bu raqam chizig'idagi nuqtani aniqlash va uning boshlang'ich nuqtasidan masofani aniqlashdir. Shuni ham yodda tutingki, bizda \(\left| 0 \right| = 0\) ham mavjud.
Matematik ta'rif
Mutlaq qiymat uchun qat'iy matematik/formula ta'rifini ham berishimiz mumkin. Bu,
\[\left| p \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}p&{{\mbox{if }}p \ge 0}\\{ - p}&{{\mbox{if }}p < 0}\end{array}} \right.\]Bu bizga \(p\) belgisiga qarash kerakligini aytadi va agar u ijobiy bo'lsa, biz shunchaki mutlaq qiymat satrini tushiramiz. Agar \(p\) manfiy bo'lsa, biz mutlaq qiymat satrlarini tushiramiz va uning oldiga salbiy qo'yamiz.
Shunday qilib, keling, bir nechta tezkor misollarni ko'rib chiqaylik.
\[\begin{align*}\left| 4 \right| & = 4\hspace{0.25in}\text{chunki }4 \ge 0\\ \left| { - 8} \right| & = - \left( { - 8} \right) = 8\hspace{0.25in}\text{chunki } - 8 < 0\\ \left| 0 \right| & = 0\hspace{0.25in}\text{chunki }0 \ge 0\end{align*}\]E'tibor bering, ular xuddi biz geometrik talqinni ishlatgandek bir xil qiymat beradi.
Mutlaq qiymat haqida o'ylashning bir usuli shundaki, u raqamni oladi va uni ijobiy qiladi. Aslida, biz kafolat bera olamiz,
\[\left| p \right| \ge 0\]\(p\) qiymatidan qat'iy nazar.
Biroq, biz ushbu ta'riflardan birini noto'g'ri ishlatmaslik uchun ehtiyot bo'lishimiz kerak. Misol uchun, biz ta'rifdan foydalana olmaymiz
\[\left| { - x} \right|\]chunki biz \(x\) qiymatini bilmaymiz.
Bundan tashqari, mutlaq qiymat barcha minus belgilarini ortiqcha belgilarga aylantiradi deb xato qilmang. Boshqacha qilib aytganda, quyidagi xatoga yo'l qo'ymang,
\[\left| {4x - 3} \right| \ne 4x + 3\]Bu shunchaki haqiqat emas! Agar bunga ishonchingiz komil bo'lmasa, \(x\) uchun raqamni ulang. Misol uchun, agar \(x = - 1\) biz olsak,
\[7 = \left| { - 7} \right| = \left| {4\left( { - 1} \right) - 3} \right| \ne 4\left( { - 1} \right) + 3 = - 1\]Bu borada bir nechta muammo bor. Birinchidan, raqamlar bir xil emas va shuning uchun biz ikkita ibora bir xil emasligini isbotlashimiz kerak. Shu bilan birga, to'g'ri raqam manfiy va biz hech qachon mutlaq qiymatdan salbiy qiymat olmaymiz! Bu ham bu ikki iboraning bir xil emasligini kafolatlaydi.
Yuqoridagi ta'riflarni qo'llash oson, agar bizda faqat mutlaq qiymatlar qatoridagi raqamlar bo'lsa. Biroq, ularning ichiga o'zgaruvchilarni qo'yganimizdan so'ng, biz juda ehtiyot bo'lishni boshlashimiz kerak.
Mutlaq qiymatlarni o'z ichiga olgan tenglamalarni qanday echish haqida o'ylashni boshlash vaqti keldi. Keling, juda oddiydan boshlaymiz va quyidagi tenglamani ko'rib chiqamiz.
\[\left| p \right| = 4\]Endi, agar biz buni geometrik nuqtai nazardan o'ylaydigan bo'lsak, bu \(p\) nima bo'lishidan qat'i nazar, u boshlang'ichdan 4 masofaga ega bo'lishi kerakligini anglatadi. Xo'sh, faqat ikkita raqam bor, ular boshlang'ichdan 4 ga teng, ya'ni 4 va -4. Demak, bu tenglamaning ikkita yechimi bor:
\[p = - 4\hspace{0.25in}\text{yoki}\hspace{0.25in}p = 4\]Endi, agar siz bu haqda o'ylab ko'rsangiz, biz buni faqat 4 emas, har qanday musbat son uchun qilishimiz mumkin. Demak, bu mutlaq qiymatni o'z ichiga olgan tenglamalar uchun quyidagi umumiy formulaga olib keladi.
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{{\mbox{If }}\left| p \right| = b,\,\,\,b > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\mbox{then }}p = - b\,\,\,{\mbox{or }}p = b}}\]E'tibor bering, bu shunday qiladi talab qiladi \(b\) ijobiy raqam bo'lsin. Agar \(b\) biroz nolga yoki manfiy bo'lsa nima bo'lishini ko'rib chiqamiz.
Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik.
- \(\left| {2x - 5} \right| = 9\)
- \(\left| {1 - 3t} \right| = 20\)
- \(\left| {5y - 8} \right| = 1\)
Munozarani ko'rsatish
Endi esda tutingki, mutlaq qiymat faqat barcha minus belgilarini ortiqcha belgilarga aylantirmaydi! Bularni hal qilish uchun biz yuqoridagi formuladan foydalanishimiz kerak, chunki barcha holatlarda teng belgisining o'ng tomonidagi raqam ijobiydir.
a \(\left| {2x - 5} \right| = 9\) Yechim
Haqiqatan ham, yuqorida aytib o'tilganidek, yuqoridagi formuladan foydalanishdan boshqa ko'p ish yo'q. Biz shuni ta'kidlashimiz kerakki, bu erda yuqoridagi formula \(p\) mutlaq qiymatlar satrining ichki qismidagi barcha narsani ifodalaydi va shuning uchun bu holda bizda,
\[2x - 5 = - 9\hspace{0.25in}\text{yoki}\hspace{0.25in}2x - 5 = 9\]Ushbu nuqtada biz ikkita chiziqli tenglamani oldik, ularni echish oson.
\[\begin{align*}2x & = - 4\hspace{0.25in}\text{yoki}\hspace{0.25in}2x = 14\\ x & = - 2\hspace{0.25in}\text{yoki}\hspace{0.25in}\,\,\,x = 7\end{align*}\]Shunday qilib, bizda \(x = - 2\) va \(x = 7\) tenglamalarining ikkita yechimi bor.
b \(\left| {1 - 3t} \right| = 20\) Yechim
Bu avvalgi qism bilan deyarli bir xil, shuning uchun biz bu qismga unchalik ko'p ma'lumot bermaymiz.
\[\begin{align*}1 - 3t & = - 20\hspace{0.25in}\text{yoki}\hspace{0.25in}1 - 3t = 20\\ - 3t & = - 21\hspace{0.25in}\text{yoki}\hspace{0.25in} - 3t = 19\\ t & = 7\hspace{0.25in}\text{yoki}\hspace{0.25in} t = - \frac{{19}}{3}\end{align*}\]Bu tenglamaning ikkita yechimi \(t = - \frac{{19}}{3}\) va \(t = 7\).
c \(\left| {5y - 8} \right| = 1\) Yechim
Shunga qaramay, bu haqda ko'p emas.
\[\begin{align*}5y - 8 & = - 1 & \hspace{0.25in}& \text{yoki} & \hspace{0.25in}5y - 8 & = 1\\ 5y & = 7 & \hspace{0.25in}& \text{yoki}& \hspace{0.25in} 5y & = 9\\ y & = \frac{7}{5}& \hspace{0.25in}& \text{yoki}& \hspace{0.25in} y & = \frac{9}{5}\end{align*}\]Bu holda ikkita yechim \(y = \frac{7}{5}\) va \(y = \frac{9}{5}\) hisoblanadi.
Keling, \(b\) nol yoki manfiy bo'lgan tenglamalar bilan qanday ishlashni ko'rib chiqaylik. Biz buni misol bilan qilamiz.
- \(\left| {10x - 3} \right| = 0\)
- \(\left| {5x + 9} \right| = - 3\)
a \(\left| {10x - 3} \right| = 0\) Yechim
Keling, bunga geometrik nuqtai nazardan yondashaylik. Bu shuni anglatadiki, mutlaq qiymat satridagi miqdor boshlang'ichdan nolga teng masofaga ega. Xususiyatga ega bo'lgan faqat bitta raqam mavjud va u nolga teng. Shunday qilib, bizda bo'lishi kerak,
\[10x - 3 = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = \frac{3}{{10}}\]Bunday holda biz bitta yechimga ega bo'lamiz.
b \(\left| {5x + 9} \right| = - 3\) Yechim
Endi, bu holda, biz ushbu bo'limning boshida \(\left| p \right| \ge 0\) ekanligini ta'kidlaganimizni eslaylik. Boshqacha qilib aytganda, biz mutlaq qiymatdan salbiy qiymatni ololmaymiz. Biroq, bu tenglama aynan shuni aytmoqda. Bu mumkin emasligi sababli, bu bor degan ma'noni anglatadi yechim yo'q bu tenglamaga.
Xulosa qilib aytganda, agar \(b\) nolga teng bo'lsa, biz shunchaki mutlaq qiymat satrlarini tashlab, tenglamani echishimiz mumkinligini ko'rishimiz mumkin. Xuddi shunday, agar \(b\) manfiy bo'lsa, tenglamaning yechimi bo'lmaydi.
Shu paytgacha biz faqat mutlaq qiymat songa teng bo'lgan tenglamalarni ko'rib chiqdik, ammo tenglik belgisining boshqa tomonida faqat raqam bo'lishi kerak deb o'ylash uchun hech qanday sabab yo'q. Xuddi shunday, muammoda faqat bitta mutlaq qiymatga ega bo'lishimiz mumkin deb o'ylash uchun hech qanday sabab yo'q. Shunday qilib, biz bunday tenglamalarning bir nechtasini ko'rib chiqishimiz kerak.
- \(\left| {x - 2} \right| = 3x + 1\)
- \(\left| {4x + 3} \right| = 3 - x\)
- \(\left| {2x - 1} \right| = \left| {4x + 9} \right|\)
Munozarani ko'rsatish
Birinchi qarashda biz ishlatgan formula yuqorida bu erda bizga hech qanday foyda keltirmaydi. Bu tenglamaning o'ng tomoni ijobiy son bo'lishini talab qiladi. Ma'lum bo'lishicha, biz uni bu erda ham ishlatishimiz mumkin, ammo javoblarga ehtiyot bo'lishimiz kerak, chunki bu formuladan foydalanish ba'zida noto'g'ri javobni keltirib chiqaradi. Shunday qilib, biz formuladan foydalanishimiz mumkin bo'lsa-da, ular haqiqatan ham ishlayotganligini tekshirish uchun echimlarimizni tekshirib ko'rishimiz kerak.
a \(\left| {x - 2} \right| = 3x + 1\) Yechim
Shunday qilib, biz oldingi masalalarda bo'lgani kabi yuqoridagi formuladan foydalanishni va ikkita chiziqli tenglamani echishni boshlaymiz.
\[\begin{align*}x - 2 & = - \left( {3x + 1} \right) = - 3x - 1 & \hspace{0.25in} &\text{yoki}& \hspace{0.25in}x - 2 & = 3x + 1\\ 4x & = 1&\hspace{0.25in}&\text{yoki} &\hspace{0.25in} - 2x & = 3\\ x & = \frac{1}{4}&\hspace{0.25in}&\text{yoki}&\hspace{0.25in} x &= - \frac{3}{2}\end{align*}\]OK, bizda ikkita potentsial javob bor. Biroq, ikkinchisida muammo bor. Agar biz buni tenglamaga kiritsak,
\[\begin{align*}\left| { - \frac{3}{2} - 2} \right| & \mathop = \limits^? 3\left( { - \frac{3}{2}} \right) + 1\\ \left| { - \frac{7}{2}} \right|& \mathop = \limits^? - \frac{7}{2}\\ \frac{7}{2} & \ne - \frac{7}{2}\hspace{0.25in}{\mbox{NOT OK}}\end{align*}\]Biz har tomondan bir xil raqamni olamiz, lekin qarama-qarshi belgilar bilan. Ba'zida bunday tenglamani mutlaq qiymatlar bilan yechsak, bu sodir bo'ladi. E'tibor bering, bu erda biz yechimni butun tenglamaga ulashimiz shart emas edi. Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa qismni mutlaq qiymatsiz tekshirish edi va agar u salbiy bo'lsa, potentsial yechim aslida yechim bo'lmaydi va agar u ijobiy yoki nol bo'lsa, u yechim bo'ladi.
Birinchi potentsial yechim haqiqatda ishlayotganini va shuning uchun bu tenglamaning yagona yechimi borligini tekshirishni sizga qoldiramiz: \[x = \frac{1}{4}\] va bu 2 dan kichik (bizning farazimiz talab qilganidek) va undagi mutlaq qiymatga ega tenglamaning yechimi ham ekanligiga e'tibor bering.
Demak, bu tenglamaning yagona yechimi bor: \[x = \frac{1}{4}\].
b \(\left| {4x + 3} \right| = 3 - x\) Yechim
Bu deyarli xuddi shunday ishlaydi, shuning uchun biz unchalik ko'p izoh bermaymiz.
\[\begin{align*}4x + 3 & = - \left( {3 - x} \right) = - 3 + x & \hspace{0.25in} & \text{yoki} & \hspace{0.25in}4x + 3 & = 3 - x\\ 3x & = - 6 & \hspace{0.25in} & \text{yoki} & \hspace{0.25in} 5x & = 0\\ x & = - 2 & \hspace{0.25in} & \text{yoki} & \hspace{0.25in} x & = 0\end{align*}\]Endi, ularning har birini tekshirishdan oldin, biz tezda ogohlantirishimiz kerak. Birinchi potentsial yechim salbiy bo'lgani uchun bu yechim bo'lmaydi, deb o'ylamang. Mutlaq qiymatlar satriga ega bo'lmagan qismni manfiy qilsagina potentsial yechimni istisno qilamiz. Bunday holda, ikkala potentsial yechim ham mutlaq qiymat majmuasi bo'lmagan qismni ijobiy qiladi va shuning uchun ikkalasi ham aslida echimdir.
Shunday qilib, bu holda, birinchi misoldan farqli o'laroq, biz ikkita echimni olamiz: \(x = - 2\) va \(x = 0\).
c \(\left| {2x - 1} \right| = \left| {4x + 9} \right|\) Yechim
Bu holat biz hozirgacha ishlagan oldingi muammolardan juda farq qiladi va bu holda biz ishlatgan formula umuman ishlamaydi. Ammo, agar biz bu haqda bir oz o'ylab ko'rsak, hal qilish uchun bu erda shunga o'xshash biror narsa qilishimizni ko'rishimiz mumkin.
Tenglamaning ikkala tomoni ham mutlaq qiymatlarni o'z ichiga oladi va shuning uchun ikkala tomon teng bo'lishining yagona yo'li mutlaq qiymatlar qatorlari ichidagi ikkita miqdor teng yoki teng, ammo qarama-qarshi belgilarga ega bo'lsa. Yoki boshqacha qilib aytganda, bizda bo'lishi kerak,
\[\begin{align*}2x - 1 & = - \left( {4x + 9} \right) = - 4x - 9 & \hspace{0.25in} & \text{yoki} & \hspace{0.25in}2x - 1 & = 4x + 9\\ 6x & = - 8 & \hspace{0.25in} & \text{yoki} & \hspace{0.25in} - 2x & = 10\\ x & = - \frac{8}{6} = - \frac{4}{3} & \hspace{0.25in}& \text{yoki}& \hspace{0.25in} x & = - 5\end{align*}\]Endi biz ushbu muammoning oldingi ikki qismida bo'lgani kabi bu erda echimlarimizni tekshirishimiz shart emas. Ikkala tenglamani to'g'ri yechish sharti bilan ikkalasi ham yechim bo'ladi. Biroq, biz bu erda qo'llagan yechim texnikasi haqiqatan ham to'g'ri ishlaganligini ko'rsatish uchun baribir ularni tekshirish yaxshi fikr bo'ladi.
Avval \(x = - \frac{4}{3}\) ni tekshiramiz.
\[\begin{align*}\left| {2\left( { - \frac{4}{3}} \right) - 1} \right| & \mathop = \limits^? \left| {4\left( { - \frac{4}{3}} \right) + 9} \right|\\ \left| { - \frac{{11}}{3}} \right| & \mathop = \limits^? \left| {\frac{{11}}{3}} \right|\\ \frac{{11}}{3} & = \frac{{11}}{3}\hspace{0.25in}{\mbox{OK}}\end{align*}\]Mutlaq qiymat ichidagi miqdorlar bir xil sonli, ammo qarama-qarshi belgilar bo'lgan holda. Biroq, mutlaq qiymatni olganimizdan so'ng, biz bir xil raqamga ega bo'ldik va shuning uchun \(x = - \frac{4}{3}\) bu yechimdir. Endi \(x = - 5\) ni tekshiramiz.
\[\begin{align*}\left| {2\left( { - 5} \right) - 1} \right| & \mathop = \limits^? \left| {4\left( { - 5} \right) + 9} \right|\\ \left| { - 11} \right| & \mathop = \limits^? \left| { - 11} \right|\\ 11 & = 11\hspace{0.25in}{\mbox{OK}}\end{align*}\]Bunday holda, biz mutlaq qiymat satrida bir xil qiymatga ega bo'ldik.
Shunday qilib, yuqorida aytib o'tilganidek, ikkala javob ham ishladi va ikkalasi ham tenglamaning echimidir.
Shunday qilib, oldingi misollarda ko'rganimizdek, tenglik belgisining ikkala tomonida o'zgaruvchilar mavjud bo'lsa, biroz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Agar bir tomonda mutlaq qiymat bo'lmasa, biz ikkita potentsial javobni ko'rib chiqishimiz va ularning har biri aslida yechim ekanligiga ishonch hosil qilishimiz kerak.