15.9-bo'lim: Er yuzasi
Ushbu bo'limda biz ushbu materialdagi bir nechta integrallarning yagona qo'llanilishini (maydon va hajm talqinlaridan tashqari) ko'rib chiqamiz. Bu biz sirt maydonini birinchi marta ko'rib chiqayotganimiz yo'q, biz birinchi marta sirt maydonini ko'rdik Calculus II, ammo bu sharoitda biz inqilob jismining sirt maydonini ko'rib chiqdik. Boshqacha qilib aytganda, biz funktsiyani \(x\) yoki \(y\) o'qi atrofida aylantirish orqali olingan qattiq jismning sirt maydonini ko'rib chiqdik. Ushbu bo'limda biz ko'proq umumiy sozlamalarni ko'rib chiqmoqchimiz, ammo bu erdagi formula biz Calculus II da ko'rgan formulaga juda o'xshashligini ta'kidlaysiz.
Bu erda biz \(z = f\left( {x,y} \right)\) tomonidan berilgan sirtning sirt maydonini topmoqchimiz, bu erda \(\left( {x,y} \right)\) \(xy\) tekisligidagi \(D\) mintaqasidan nuqtadir. Bu holda sirt maydoni quyidagicha ifodalanadi:
Sirt maydoni
Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Esda tutingki, birinchi oktant ning qismidir xyz-uchala o'zgaruvchining hammasi ijobiy bo'lgan eksa tizimi. Keling, avval samolyotning bizni qiziqtirgan qismining eskizini olamiz.
Bizga \(D\) hududining eskizi ham kerak bo'ladi.
Esda tutingki, \(D\) mintaqasini olish uchun biz to'g'ridan-to'g'ri samolyot ustida turgandek ko'rsatishimiz mumkin va biz ko'rgan narsa \(D\) hududidir. Biz uchburchakning gipotenuzasi tenglamasini bu tekislikning \(xy\) tekisligi bilan kesishgan chiziqdan boshqa narsa emasligini va \(xy\) tekisligida \(z = 0\) ekanligini ham bilamiz. \(z = 0\) ni tekislik tenglamasiga ulash bizga gipotenuza tenglamasini beradi.
E'tibor bering, sirt maydoni formulasidan foydalanish uchun biz \(z = f\left( {x,y} \right)\) ko'rinishidagi funktsiyaga ega bo'lishimiz kerak va shuning uchun \(z\) uchun echish va qisman hosilalarni olish,
\[z = 6 - 3x - 2y\hspace{0.5in}{f_x} = - 3\hspace{0.25in}{f_y} = - 2\]\(D\) ni belgilaydigan chegaralar:
\[0 \le x \le 2\hspace{0.5in}0 \le y \le - \frac{3}{2}x + 3\]Keyin sirt maydoni,
\[\begin{align*}S & = \iint\limits_{D}{{\sqrt {\,{{\left[ { - 3} \right]}^2} + {{\left[ { - 2} \right]}^2} + 1} \,dA}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2}}{{\int_{{\,0}}^{{\, - \frac{3}{2}x + 3}}{{\sqrt {14} \,dy}}\,dx}}\\ & = \sqrt {14} \int_{{\,0}}^{{\,2}}{{ - \frac{3}{2}x + 3\,dx}}\\ & = \sqrt {14} \left. {\left( { - \frac{3}{4}{x^2} + 3x} \right)} \right|_0^2\\ & = 3\sqrt {14} \end{align*}\]Yechim
Bunday holda, biz \(z = xy\) qismining sirt maydonini qidiramiz, bu erda \(\left( {x,y} \right)\) radius 1 diskdan kelib chiqadi, chunki bu silindrning ichida joylashgan mintaqadir.
Mana qisman hosilalar,
\[{f_x} = y\hspace{0.5in}{f_y} = x\]Sirt maydoni uchun integral,
\[S = \iint\limits_{D}{{\sqrt {\,{x^2} + {y^2} + 1} \,dA}}\]\(D\) disk ekanligini hisobga olsak, bu integralni qutb koordinatalarida bajarish mantiqiy.
\[\begin{align*}S & = \iint\limits_{D}{{\sqrt {\,{x^2} + {y^2} + 1} \,dA}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\int_{{\,0}}^{{\,1}}{{r\sqrt {1 + {r^2}} \,dr}}\,d\theta }}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\left. {\frac{1}{2}\left( {\frac{2}{3}} \right){{\left( {1 + {r^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_0^1\,d\theta }}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\frac{1}{3}\left( {{2^{\frac{3}{2}}} - 1} \right)\,d\theta }}\\ & = \frac{{2\pi }}{3}\left( {{2^{\frac{3}{2}}} - 1} \right)\end{align*}\]