5.5-bo'lim: Qisman kasrlar
Ushbu bo'limning ushbu bobning qolgan qismiga umuman aloqasi yo'q, lekin mavzu yoritilishi kerak va bu juda qisqa bo'lim bo'lgani uchun, uni qo'yish uchun juda yaxshi joy bo'lib tuyuldi.
Shunday qilib, keling, quyidagilardan boshlaylik. Faraz qilaylik, biz quyidagi ikkita ratsional ifodani qo'shmoqchimiz.
\[\begin{align*}\frac{8}{{x + 1}} - \frac{5}{{x - 4}} & = \frac{{8\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} - \frac{{5\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}\\ & = \frac{{8x - 32 - \left( {5x + 5} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}\\ & = \frac{{3x - 37}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}\end{align*}\]Ushbu bo'limda biz ratsional ifodalardan boshlamoqchimiz va asl ifodani olish uchun qanday soddaroq ratsional ifodalarni qo'shganimizni va/yoki ayirishimizni so'rash. Buni amalga oshirish jarayoni deyiladi qisman kasrlar va natija ko'pincha deyiladi qisman fraksiya parchalanishi.
Jarayon biroz uzoq va ba'zida chigal bo'lishi mumkin, lekin aslida bu juda oddiy. Biz qisman fraktsiya parchalanishini aniqlashga harakat qilamiz,
\[\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}\]bu erda \(P(x)\) ham, \(Q(x)\) ham polinomlar va \(P(x)\) darajasi \(Q(x)\) darajasidan kichikroq. Qisman kasrlar faqat payning darajasi maxrajning darajasidan qat'iy kam bo'lgan taqdirdagina amalga oshirilishi mumkin. Buni eslash muhim.
Shunday qilib, biz qisman kasrlarni bajarish mumkinligini aniqlaganimizdan so'ng, maxrajni iloji boricha to'liq koeffitsientga olamiz. Keyin maxrajdagi har bir omil uchun biz qisman kasr parchalanishida oladigan atama(lar)ni aniqlash uchun quyidagi jadvaldan foydalanishimiz mumkin.
| Faktor maxraj |
Muddat qisman fraksiyalarning parchalanishi |
|---|---|
| \(ax + b\) | \(\displaystyle \frac{A}{{ax + b}}\) |
| \({\left( {ax + b} \right)^k}\) | \(\displaystyle \frac{{{A_1}}}{{ax + b}} + \frac{{{A_2}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}} + \cdots + \frac{{{A_k}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^k}}}\) |
| \(a{x^2} + bx + c\) | \(\displaystyle \frac{{Ax + B}}{{a{x^2} + bx + c}}\) |
| \({\left( {a{x^2} + bx + c} \right)^k}\) | \(\displaystyle \frac{{{A_1}x + {B_1}}}{{a{x^2} + bx + c}} + \frac{{{A_2}x + {B_2}}}{{{{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}^2}}} + \cdots + \frac{{{A_k}x + {B_k}}}{{{{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}^k}}}\) |
E'tibor bering, agar biz \(k = 1\) ga ruxsat bersak, birinchi va uchinchi holatlar mos ravishda ikkinchi va to'rtinchi holatlarning haqiqatan ham alohida holatlaridir. Bundan tashqari, har qanday polinomni chiziqli omillar (\(ax + b\)) va kvadratik omillar (\(a{x^2} + bx + c\)) mahsulotiga ko'paytirish har doim mumkin bo'ladi, ularning ba'zilari bir darajaga ko'tarilishi mumkin.
Har bir atama uchun koeffitsientlarni aniqlashning bir necha usullari mavjud va biz misollar bilan ishlaganimizda ularning har birini ko'rib chiqamiz. Bu haqda gapirganda, keling, ba'zi misollardan boshlaylik.
- \(\displaystyle \frac{{8x - 42}}{{{x^2} + 3x - 18}}\)
- \(\displaystyle \frac{{9 - 9x}}{{2{x^2} + 7x - 4}}\)
- \(\displaystyle \frac{{4{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
- \(\displaystyle \frac{{9x + 25}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)
Munozarani ko'rsatish
To'liq qisman kasr jarayonini ko'rsatish uchun birinchisini batafsil ko'rib chiqamiz va keyin qolgan qismlardan tushuntirishning ko'p qismini qoldiramiz.
a \(\displaystyle \frac{{8x - 42}}{{{x^2} + 3x - 18}}\) Yechim
Birinchi narsa, imkon qadar ko'proq maxrajni hisobga olishdir.
\[\frac{{8x - 42}}{{{x^2} + 3x - 18}} = \frac{{8x - 42}}{{\left( {x + 6} \right)\left( {x - 3} \right)}}\]Shunday qilib, yuqoridagi jadval bilan solishtirganda, qisman kasr parchalanishi quyidagicha ko'rinishi kerak:
\[\frac{{8x - 42}}{{{x^2} + 3x - 18}} = \frac{A}{{x + 6}} + \frac{B}{{x - 3}}\]E'tibor bering, bizda har bir atama uchun turli koeffitsientlar mavjud, chunki ular bir xil bo'ladi deb o'ylash uchun hech qanday sabab yo'q.
Endi biz \(A\) va \(B\) qiymatlarini aniqlashimiz kerak. Birinchi qadam, aslida ikkita atamani zaxiraga qo'shishdir. Bu odatda tuyulishi mumkin bo'lgandan ko'ra oddiyroq. Eslatib o'tamiz, bizga birinchi navbatda eng kam umumiy maxraj kerak bo'ladi, lekin biz buni asl ratsional ifodadan oldik. Bu holda,
\[LCD = \left( {x + 6} \right)\left( {x - 3} \right)\]Endi har bir atamani ko'rib chiqing va denominatorni LCD bilan solishtiring. Surat va maxrajni etishmayotgan narsaga ko'paytiring, keyin qo'shing. Bu holda, bu beradi,
\[\frac{{8x - 42}}{{{x^2} + 3x - 18}} = \frac{{A\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 6} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{B\left( {x + 6} \right)}}{{\left( {x + 6} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{A\left( {x - 3} \right) + B\left( {x + 6} \right)}}{{\left( {x + 6} \right)\left( {x - 3} \right)}}\]Bizga \(A\) va \(B\) qiymatlari kerak bo'lib, chapdagi ifodaning soni o'ngdagi atamaning soni bilan bir xil bo'ladi. Yoki,
\[8x - 42 = A\left( {x - 3} \right) + B\left( {x + 6} \right)\]Bu biz ushbu tenglamaga ulangan \(x\) dan qat'i nazar, to'g'ri bo'lishi kerak. Yuqorida aytib o'tilganidek, buni qilishning bir necha yo'li mavjud. Bir usul har doim ishlaydi, lekin tartibsiz bo'lishi mumkin va ko'pincha bizda hali mavjud bo'lmagan bilimlarni talab qiladi. Boshqa yo'l har doim ham ishlamaydi, lekin u bajarilganda talab qilinadigan ish hajmini sezilarli darajada kamaytiradi.
Ushbu misollar to'plamida ikkinchi (va osonroq) usul har doim ishlaydi, shuning uchun biz bu erda foydalanamiz. Bu erda biz ulagan \(x\) dan qat'i nazar, ushbu tenglama to'g'ri bo'lishi kerakligidan foydalanamiz.
Shunday qilib, keling, \(x\) ni tanlaymiz, uni ulaymiz va nima bo'lishini ko'ramiz. Hech qanday sababsiz \(x = 3\) ni ulashga harakat qilaylik. Buni qilish,
\[\begin{align*}8\left( 3 \right) - 42 & = A\left( {3 - 3} \right) + B\left( {3 + 6} \right)\\ - 18 & = 9B\\ - 2 & = B\end{align*}\]Nima uchun bu raqamni tanlaganimizni tushuna olasizmi? \(x = 3\) ni tanlab, biz \(A\) ni o‘z ichiga olgan atamani tashlab qo‘ydik va bizda \(B\) uchun yechishimiz mumkin bo‘lgan oddiy tenglama qoldi.
Endi biz xuddi shu sababga ko'ra \(x = - 6\) ni tanlashimiz mumkin. Agar biz \(x\) ning ushbu qiymatidan foydalansak nima bo'ladi.
\[\begin{align*}8\left( { - 6} \right) - 42 & = A\left( { - 6 - 3} \right) + B\left( { - 6 + 6} \right)\\ - 90 & = - 9A\\ 10 & = A\end{align*}\]Shunday qilib, \(x\) ni to'g'ri tanlash orqali biz \(A\) va \(B\) qiymatlarini tez va oson olishimiz mumkin edi. Shunday qilib, biz ushbu nuqtada qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa, muammoni tugatish uchun ularni ulashdir. Mana bu qism uchun qisman kasr parchalanishi.
\[\frac{{8x - 42}}{{{x^2} + 3x - 18}} = \frac{{10}}{{x + 6}} + \frac{{ - 2}}{{x - 3}} = \frac{{10}}{{x + 6}} - \frac{2}{{x - 3}}\]E'tibor bering, biz qo'shishni ayirma qilish uchun ikkinchi a'zodagi minus belgisini pastga tushirdik. Biz har doim shunday qilamiz.
b \(\displaystyle \frac{{9 - 9x}}{{2{x^2} + 7x - 4}}\) Yechim
OK, bu holda biz muammoga unchalik ko'p ma'lumot bermaymiz. Biz birinchi navbatda maxrajni faktorlarga ajratamiz, so'ngra qisman kasr parchalanish shaklini olamiz.
\[\frac{{9 - 9x}}{{2{x^2} + 7x - 4}} = \frac{{9 - 9x}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{A}{{2x - 1}} + \frac{B}{{x + 4}}\]Bu holda LCD displey \(\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)\) bo'ladi va shuning uchun ikkita shartni qo'shib, zaxira nusxasini beradi,
\[\frac{{9 - 9x}}{{2{x^2} + 7x - 4}} = \frac{{A\left( {x + 4} \right) + B\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)}}\]Keyinchalik, ikkita suratni tenglashtirishimiz kerak.
\[9 - 9x = A\left( {x + 4} \right) + B\left( {2x - 1} \right)\]Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - atamalardan birini nolga aylantiradigan va doimiylar uchun hal qiladigan \(x\) qiymatlarini to'g'ri tanlash. E'tibor bering, bu holda biz ulardan birini kasr qilishimiz kerak. Bu juda keng tarqalgan, shuning uchun bundan hayajonlanmang. Mana bu ish.
\[\begin{align*}x = - 4: & \hspace{0.25in}45 = - 9B & \Rightarrow \hspace{0.25in}B & = - 5\\ x = \frac{1}{2}:& \hspace{0.25in}\frac{9}{2} = A\left( {\frac{9}{2}} \right) & \Rightarrow \hspace{0.25in}A & = 1\end{align*}\]Bu ifoda uchun qisman kasr parchalanishi:
\[\frac{{9 - 9x}}{{2{x^2} + 7x - 4}} = \frac{1}{{2x - 1}} - \frac{5}{{x + 4}}\]c \(\displaystyle \frac{{4{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) Yechim
Bu holda biz uchun maxraj allaqachon faktorlangan. E'tibor bering, endi bizda kuchning chiziqli omili bor. Shunday qilib, jadvalimizdan eslaylik, bu biz ushbu omildan qisman kasr parchalanishida 2 ta a'zoni olamiz. Mana bu ifoda uchun qisman kasr parchalanish shakli.
\[\frac{{4{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{A}{{x - 1}} + \frac{B}{{x - 2}} + \frac{C}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\]Endi esda tutingki, LCD displey asl ifodaning maxrajidir, shuning uchun bu holda bizda \(\left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}\) bor. Zaxira uchta atamani qo'shish bizga beradi,
\[\frac{{4{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{A{{\left( {x - 2} \right)}^2} + B\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + C\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\]Esda tutingki, biz har bir atama uchun etishmayotgan omillarni qo'shishimiz kerak.
Endi hisoblagichlarni tenglashtiring.
\[4{x^2} = A{\left( {x - 2} \right)^2} + B\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + C\left( {x - 1} \right)\]Bu holatda biz oldingi ikki qismdan bir oz boshqacha vaziyatga egamiz. Keling, \(x\) ning bir nechta qiymatlarini tanlash va biz nimani qo'lga kiritishimizni ko'rishdan boshlaylik, chunki ikkitasi borki, ular bizga ayniqsa foydali bo'lishi kerak.
\[\begin{align*}x = 1: & \hspace{0.25in}4 = A{\left( { - 1} \right)^2} & \Rightarrow \hspace{0.25in}A & = 4\\ x = 2:&\hspace{0.25in}16 = C\left( 1 \right) & \Rightarrow \hspace{0.25in}C & = 16\end{align*}\]Shunday qilib, biz \(A\) va \(C\) ni shu paytgacha ishlatganimizdek olishimiz mumkin. Biroq, \(x\) ning hech qanday qiymati yo'q, bu bizga birinchi va uchinchi atamalarni o'chirishga imkon beradi, faqat \(B\) uchun echish uchun foydalanishimiz mumkin bo'lgan o'rta terminni qoldirib. Bu muammo bo'lib tuyulishi mumkin bo'lsa-da, aslida unday emas. Ushbu nuqtada biz uchta doimiydan ikkitasini bilamiz. Shunday qilib, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa \(x\) ning ishlash uchun qulay bo'lgan boshqa har qanday qiymatini tanlashdir (\(x = 0\) bu erda ayniqsa foydali ko'rinadi), uni \(A\) va \(C\) qiymatlari bilan birga ulang va biz \(B\) uchun yechishimiz mumkin bo'lgan oddiy tenglamani olamiz.
Mana o'sha ish.
\[\begin{align*}4{\left( 0 \right)^2} & = \left( 4 \right){\left( { - 2} \right)^2} + B\left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right) + 16\left( { - 1} \right)\\ 0 & = 16 + 2B - 16\\ 0 & = 2B\\ 0 & = B\end{align*}\]Bu holatda biz \(B = 0\) ni oldik, bu ba'zida sodir bo'ladi, lekin hamma hollarda bu sodir bo'lishini kutmang. Mana bu qism uchun qisman kasr parchalanishi.
\[\frac{{4{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{4}{{x - 1}} + \frac{{16}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\]d \(\displaystyle \frac{{9x + 25}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\) Yechim
Shunga qaramay, biz uchun maxraj allaqachon faktorlangan. Bu holda qisman kasr parchalanish shakli:
\[\frac{{9x + 25}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{A}{{x + 3}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\]Ikki atamani birgalikda qo'shish,
\[\frac{{9x + 25}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{A\left( {x + 3} \right) + B}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\]E'tibor bering, bu holda ikkinchi atama allaqachon LCD displeyga ega edi va shuning uchun biz o'sha paytda hech narsa qo'shishimiz shart emas edi.
Numeratorlarni teng belgilash,
\[9x + 25 = A\left( {x + 3} \right) + B\]Endi biz \(x = - 3\)-ni tanlab, \(B\)-ni bepul olishimiz mumkin.
\[\begin{align*}9\left( { - 3} \right) + 25 & = A\left( { - 3 + 3} \right) + B\\ - 2 & = B\end{align*}\]\(A\) ni topish uchun biz avvalgi qismda qilgan ishni qilamiz. Biz \(x = 0\) dan foydalanamiz va biz \(B\) nima ekanligini bilamiz.
\[\begin{align*}25 & = A\left( 3 \right) - 2\\ 27 & = 3A\\ 9 & = A\end{align*}\]Bunday holda, birinchisining suratidagi doimiy oldingi qismdagi kabi nolga teng emasligiga e'tibor bering. Mana bu qism uchun qisman kasr parchalanishi.
\[\frac{{9x + 25}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{9}{{x + 3}} - \frac{2}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\]Endi biz kvadrat omillar bilan bir qator misollar qilishimiz kerak. Shuni yodda tutingki, bu erda ish ko'pincha chalkash bo'ladi va aslida biz ushbu muammolarni hal qilish imkonini beradigan materialni hali ko'rib chiqmaganmiz. Ammo biz oddiy misollar bilan ishlashimiz mumkin, shuning uchun buni qilaylik.
- \(\displaystyle \frac{{8{x^2} - 12}}{{x\left( {{x^2} + 2x - 6} \right)}}\)
- \(\displaystyle \frac{{3{x^3} + 7x - 4}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}\)
a \(\displaystyle \frac{{8{x^2} - 12}}{{x\left( {{x^2} + 2x - 6} \right)}}\) Yechim
Bu holda old tomonda joylashgan \(x\) chiziqli atamadir, chunki biz uni quyidagicha yozishimiz mumkin:
\[x = x + 0\]va shuning uchun qisman kasr parchalanish shakli:
\[\frac{{8{x^2} - 12}}{{x\left( {{x^2} + 2x - 6} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{{Bx + C}}{{{x^2} + 2x - 6}}\]Endi biz LCD-ning \(x\left( {{x^2} + 2x - 6} \right)\) ekanligidan foydalanamiz va ikkita atamani birga qo'shamiz,
\[\frac{{8{x^2} - 12}}{{x\left( {{x^2} + 2x - 6} \right)}} = \frac{{A\left( {{x^2} + 2x - 6} \right) + x\left( {Bx + C} \right)}}{{x\left( {{x^2} + 2x - 6} \right)}}\]Keyinchalik, hisoblagichlarni teng qilib qo'ying.
\[8{x^2} - 12 = A\left( {{x^2} + 2x - 6} \right) + x\left( {Bx + C} \right)\]Bu erda jarayon oldingi misollar to'plamidan o'zgaradi. \(A\) qiymatini olish uchun biz \(x = 0\) ni tanlashimiz mumkin, ammo bu biz ushbu usuldan foydalanishimiz mumkin bo'lgan yagona doimiy ko'rsatkichdir va shuning uchun bu erda unchalik yaxshi ishlamaydi.
Bu erda qilishimiz kerak bo'lgan narsa o'ng tomonni ko'paytirish va keyin shunga o'xshash barcha shartlarni quyidagicha yig'ishdir:
\[\begin{align*}8{x^2} - 12 &= A{x^2} + 2Ax - 6A + B{x^2} + Cx\\ 8{x^2} - 12 & = \left( {A + B} \right){x^2} + \left( {2A + C} \right)x - 6A\end{align*}\]Endi bu ikkisi teng bo'lishi uchun \(A\), \(B\) va \(C\) ni tanlashimiz kerak. Bu koeffitsientni anglatadi x2 o'ng tomonda atama 8 bo'lishi kerak, chunki bu koeffitsientdir x2 chap tomonda atama. Xuddi shunday, o'ng tomondagi \(x\) atamasi koeffitsienti nolga teng bo'lishi kerak, chunki chap tomonda \(x\) atamasi yo'q. Nihoyat, o'ng tomondagi doimiy atama -12 bo'lishi kerak, chunki bu chap tomondagi doimiydir.
Biz buni odatda chaqiramiz teng koeffitsientlarni belgilash va biz quyidagi tenglamalarni yozamiz.
\[\begin{align*}A + B & = 8\\ 2A + C & = 0\\ - 6A & = - 12\end{align*}\]Endi biz tenglamalar sistemasini qanday echish haqida gapirmadik, ammo bu biz buni bilmasdan qila olamiz. Biz \(A = 2\) ni olish uchun to'g'ridan-to'g'ri \(A\) uchun uchinchi tenglamani hal qilishimiz mumkin. Keyin biz buni dastlabki ikkita tenglamaga qo'shishimiz mumkin,
\[\begin{align*}2 + B & = 8 & \Rightarrow \hspace{0.25in}B & = 6\\ 2\left( 2 \right) + C & = 0 & \Rightarrow \hspace{0.25in} C & = - 4\end{align*}\]Shunday qilib, bu ifoda uchun qisman kasr parchalanishi,
\[\frac{{8{x^2} - 12}}{{x\left( {{x^2} + 2x - 6} \right)}} = \frac{2}{x} + \frac{{6x - 4}}{{{x^2} + 2x - 6}}\]b \(\displaystyle \frac{{3{x^3} + 7x - 4}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}\) Yechim
Bu qism uchun qisman kasrning parchalanish shakli.
\[\frac{{3{x^3} + 7x - 4}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}} = \frac{{Ax + B}}{{{x^2} + 2}} + \frac{{Cx + D}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}\]Ikki shartni qo'shish,
\[\frac{{3{x^3} + 7x - 4}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {Ax + B} \right)\left( {{x^2} + 2} \right) + Cx + D}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}\]Endi hisoblagichlarni teng qilib qo'ying va biz ham davom etamiz va o'ng tomonni tashqariga ko'paytiramiz va shu bilan birga shartlarni yig'amiz.
\[\begin{align*}3{x^3} + 7x - 4 & = \left( {Ax + B} \right)\left( {{x^2} + 2} \right) + Cx + D\\ 3{x^3} + 7x - 4 & = A{x^3} + 2Ax + B{x^2} + 2B + Cx + D\\ 3{x^3} + 7x - 4 & = A{x^3} + B{x^2} + \left( {2A + C} \right)x + 2B + D\end{align*}\]Koeffitsientlarni teng belgilash,
\[\begin{align*}A & = 3\\ B & = 0\\ 2A + C & = 7\\ 2B + D & = - 4\end{align*}\]Bu holda biz \(A\) va \(B\)-ni bepul oldik va \(B = 0\)-dan xursand bo'lmang. Bu muammo emas va aslida bu sodir bo'lganda, qolgan ish ko'pincha biroz osonroq bo'ladi. Shunday qilib, \(A\) va \(B\) ning ma'lum qiymatlarini qolgan ikkita tenglamaga ulang,
\[\begin{align*}2\left( 3 \right) + C & = 7 &\Rightarrow \hspace{0.25in} C & = 1\\ 2\left( 0 \right) + D & = - 4 &\Rightarrow \hspace{0.25in} D & = - 4\end{align*}\]Bunda qisman fraksiya parchalanishi,
\[\frac{{3{x^3} + 7x - 4}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}} = \frac{{3x}}{{{x^2} + 2}} + \frac{{x - 4}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}\]