1.1-bo'lim: Funksiyalar (functions)
Ushbu bo'limda biz sizning funksiyalar va funksiyalarning matematik belgilanishlari bilan yetarlicha tanish ekanligingizga ishonch hosil qilamiz. Funksiya tushunchasi va belgilari Calculus kursining deyarli har bir bo'limida uchraydi, shuning uchun ular bilan erkin ishlay olishingiz nihoyatda muhimdir.
Avvalo, funksiya o'zi nima? Eng sodda ta'rifga ko'ra: agar tenglamaning aniqlanish sohasidagi istalgan \(x\) qiymati uchun (aniqlanish sohasi — tenglamaga qo'yish mumkin bo'lgan barcha \(x\) qiymatlari to'plami), tenglama aynan bitta \(y\) qiymatini bersa, bunday tenglama funksiya deyiladi.
Buni aniq misollar orqali tushunish ancha osonroq.
- \(y = {x^2} + 1\)
- \({y^2} = x + 1\)
a \(y = {x^2} + 1\) Yechim
Ushbu birinchi tenglama funksiyadir. Berilgan har qanday \(x\) uchun uning kvadratini hisoblash va natijaga 1 ni qo'shishning yagona usuli mavjud. Demak, tenglamaga qanday \(x\) qiymatini qo'ymang, hisoblash natijasida aynan bitta mumkin bo'lgan \(y\) qiymati hosil bo'ladi.
b \({y^2} = x + 1\) Yechim
Ushbu tenglamaning birinchisidan yagona farqi — biz daraja ko'rsatkichini \(x\) dan olib, \(y\) ga qo'ydik. Bu kichik o'zgarish tenglamani funksiya bo'lishdan chiqarib, funksiya bo'lmagan munosabatga aylantirish uchun to'liq yetarlidir.
Buning funksiya emasligini ko'rish juda oson. Istalgan bitta \(x\) qiymatini, masalan \(x = 3\) ni tanlaymiz va uni tenglamaga qo'yamiz:
\[{y^2} = 3 + 1 = 4\]Endi bu yerda \(y\) ning ikkita mumkin bo'lgan qiymati hosil bo'ladi: \(y = 2\) yoki \(y = -2\). Bitta \(x\) qiymatidan ikkita turli \(y\) qiymati olingani sababli, bu tenglama funksiya emas.
E'tibor bering, tenglamaning funksiya emasligini ko'rsatish uchun kamida bitta \(x\) qiymatida shunday holat yuz berishi kifoya. Masalan, agar biz \(x = -1\) ni olganimizda, yagona \(y = 0\) qiymati hosil bo'lar edi. Biroq \(x = 3\) da sodir bo'lgan holat tufayli butun tenglama baribir funksiya hisoblanmaydi.
Keyingi navbatda, funksiya belgilanishi (notatsiyasi)ga qisqacha to'xtalib o'tamiz. Funksiya belgilanishi — bu funksiyadagi \(y\) o'rniga qo'llaniladigan qulay matematik shakl bo'lib, u yozuvlarni ixchamlashtirish va hisoblashlarimizni osonlashtirish imkonini beradi.
Quyidagi funksiyani ko'rib chiqaylik:
\[y = 2{x^2} - 5x + 3\]Funksiya belgilanishidan foydalanib, buni quyidagilarning istalgan biri ko'rinishida yozishimiz mumkin:
\[\begin{array}{ccc}\begin{aligned}f\left( x \right) & = 2{x^2} - 5x + 3 \\ h\left( x \right) & = 2{x^2} - 5x + 3 \\ w\left( x \right) & = 2{x^2} - 5x + 3 \end{aligned} &\hspace{0.75in} & \begin{aligned}g\left( x \right) & = 2{x^2} - 5x + 3\\ R\left( x \right) & = 2{x^2} - 5x + 3\\ y\left( x \right) & = 2{x^2} - 5x + 3\\ \end{aligned} \\ & \vdots & \end{array}\]Eslatib o'tamiz, bu harfni \(x\) ga ko'paytirish EMAS, balki shunchaki \(y\) ning zamonaviy matematik yozilishidir.
Xo'sh, bu nima uchun foydali? Keling, yuqoridagi funksiyani olib, uning \(x = -3\) dagi qiymatini topaylik. Funksiya belgilanishi yordamida funksiyaning \(x = -3\) dagi qiymati \(f\left( -3 \right)\) ko'rinishida ifodalanadi. Funksiya belgilanishi bizga funksiya qiymatlarini ixcham va tushunarli yozish imkonini beradi.
Xo'sh, funksiya amalda qanday hisoblanadi? Bu juda oddiy: tenglamaning o'ng tomonida qayerda \(x\) ni ko'rsak, uning o'rniga chap tomondagi qavs ichidagi ifodani qo'yamiz. Bizning funksiyamiz uchun bu quyidagicha bo'ladi:
\[\begin{align*}f\left( { - 3} \right) & = 2{\left( { - 3} \right)^2} - 5\left( { - 3} \right) + 3\\ & = 2\left( 9 \right) + 15 + 3\\ & = 36\end{align*}\]Keling, funksiyani hisoblashga oid yana bir nechta misollarni ko'rib chiqamiz.
- \(f\left( 2 \right)\)
- \(f\left( { - 10} \right)\)
- \(f\left( t \right)\)
- \(f\left( {t - 3} \right)\)
- \(f\left( {x - 3} \right)\)
- \(f\left( {4x - 1} \right)\)
a \(f\left( 2 \right)\) Yechim
b \(f\left( { - 10} \right)\)Yechim
Manfiy sonlarni kvadratga oshirganda qavslarga nihoyatda ehtiyot bo'ling!
c \(f\left( t \right)\) Yechim
Unutmang, biz \(x\) ning o'rniga chap tomondagi qavs ichida NIMA bo'lsa, shuni qo'yamiz. Ko'pincha bu sondan boshqa ifoda bo'lishi mumkin. Ushbu bandda biz o'ng tarafdagi barcha \(x\) lar o'rniga \(t\) ni qo'ydik.
d \(f\left( {t - 3} \right)\) Yechim
Ko'pincha sonlar yoki bitta harf o'rniga ancha murakkab ifodalarni funksiyaga qo'yishga to'g'ri keladi, shuning uchun bu kabi hisoblashlarni erkin bajara olishingiz zarur.
e \(f\left( {x - 3} \right)\) Yechim
Bu bandning oldingisidan yagona farqi — biz \(t\) ni \(x\) ga almashtirdik. Bundan boshqa hech qanday farq yo'q! Chap tomondagi qavs ichida yana \(x\) paydo bo'lishidan cho'chimang.
f \(f\left( {4x - 1} \right)\) Yechim
Bu misol ham oldingisiga o'xshash. Biz shunchaki funksiyaga qo'yilayotgan ifodani \(4x - 1\) ga o'zgartirdik.
Calculus kursi davomida biz tez-tez funksiyaning ildizlari (nollari)ni topish bilan shug'ullanamiz. Funksiyaning ildizi — bu funksiya qiymatini nolga aylantiradigan argument qiymatidir. Boshqacha aytganda, \(g\left( x \right)\) funksiyasining ildizlarini topish quyidagi tenglamani yechishga teng kuchlidir:
\[g\left( x \right) = 0\]Yechim
Demak, biz quyidagi tenglamani yechishimiz kerak:
\[9{t^3} - 18{t^2} + 6t = 0\]Avvalo, tenglamani iloji boricha ko'paytuvchilarga ajratamiz:
\[3t\left( {3{t^2} - 6t + 2} \right) = 0\]Eslaymizki, agar ikkita ifodaning ko'paytmasi nolga teng bo'lsa, ulardan kamida biri nolga teng bo'lishi shart. Bu quyidagilarni anglatadi:
\[\begin{align*}3t & = 0\hspace{0.5in}{\text{yoki,}}\\ 3{t^2} - 6t + 2 & = 0\end{align*}\]Birinchi tenglikdan ildizlardan biri \(t = 0\) ekani darhol ko'rinadi. Qolgan ildizlarni topish uchun ikkinchi tenglamaga kvadrat tenglama formulasini (diskriminantni) qo'llaymiz:
\[\begin{align*}t & = \frac{{ - \left( { - 6} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} - 4\left( 3 \right)\left( 2 \right)} }}{{2\left( 3 \right)}}\\ & = \frac{{6 \pm \sqrt {12} }}{6}\\ & = \frac{{6 \pm \sqrt {\left( 4 \right)\left( 3 \right)} }}{6}\\ & = \frac{{6 \pm 2\sqrt 3 }}{6}\\ & = \frac{{3 \pm \sqrt 3 }}{3}\\ & = 1 \pm \frac{1}{3}\sqrt 3 \\ & = 1 \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\end{align*}\]Radikallarni qanday soddalashtirishni eslatib o'tish uchun biz javobning bir nechta ekvivalent shakllarini ko'rsatdik.
Masalani yakunlash uchun, ushbu funksiyaning barcha ildizlari ro'yxatini keltiramiz:
\[t = 0,\,\,t = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3},\,\,\,t = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{3}\]Biz kvadrat tenglamadan olingan ildizlarning eng oxirgi shaklidan foydalanmadik, chunki odatda \(\frac{{3 \pm \sqrt 3 }}{3}\) ko'rinishida soddalashtirish to'xtatiladi.
Ushbu misol funksiyaning ildizlarini topishdan tashqari yana ikkita muhim jihatni ko'rsatib berdi:
Birinchisi — kvadrat tenglama formulasini eslatib qo'yish bo'ldi. Bu kurs davomida siz undan ko'p marotaba foydalanasiz.
Ikkinchisi — odatiy bo'lmagan, ya'ni "kasrli va ildizli" javoblarni ko'rishga o'rganishdir. Ko'pgina talabalar faqat butun sonlar yoki chiroyli qisqaradigan kasrlarni kutishga odatlanib qolishadi. Amaliyotda esa natijalar ko'pincha irratsional sonlar yoki murakkab kasrlar ko'rinishida bo'ladi.
Funksiyalarga oid eng muhim tushunchalardan biri bu funksiyaning aniqlanish sohasi (domain) va qiymatlar to'plami (range)dir. Eng sodda ma'noda, funksiyaning aniqlanish sohasi — bu funksiyaga qo'yish mumkin bo'lgan va natijada funksiya mavjud bo'lib, haqiqiy son qiymatini beradigan barcha argumentlar to'plamidir. Shuning uchun aniqlanish sohasida nolga bo'lishdan, manfiy sondan juft darajali ildiz chiqarishdan, nolning va manfiy sonlarning logarifmidan qochishimiz kerak bo'ladi. Funksiyaning qiymatlar to'plami esa funksiya qabul qilishi mumkin bo'lgan barcha qiymatlar to'plamidir.
Keling, bir nechta funksiyalarning aniqlanish sohasi va qiymatlar to'plamini topamiz.
- \(f\left( x \right) = 5x - 3\)
- \(g\left( t \right) = \sqrt {4 - 7t} \)
- \(h\left( x \right) = - 2{x^2} + 12x + 5\)
- \(f\left( z \right) = \left| {z - 6} \right| - 3\)
- \(g\left( x \right) = 8\)
a \(f\left( x \right) = 5x - 3\) Yechim
Biz bilamizki, bu to'g'ri chiziq tenglamasi bo'lib, u gorizontal chiziq emas (chunki burchak koeffitsiyenti 5 ga teng, nol emas). Bu degani, funksiya har qanday qiymatni qabul qila oladi, demak uning qiymatlar to'plami barcha haqiqiy sonlardir:
\[{\text{Qiymatlar to'plami}}:\,\,\,\left( { - \infty ,\infty } \right)\]Bu chiziqli ko'phad bo'lgani sababli, unga istalgan haqiqiy sonni qo'yish mumkin. Demak, aniqlanish sohasi ham barcha haqiqiy sonlar to'plamidir:
\[{\text{Aniqlanish sohasi}}:\,\,\, - \infty < x < \infty \hspace{0.25in}{\text{yoki}} \hspace{0.25in} \left( { - \infty ,\infty } \right)\]b \(g\left( t \right) = \sqrt {4 - 7t} \) Yechim
Bu kvadrat ildiz ifodasi bo'lib, arifmetik kvadrat ildiz doimo musbat yoki nolga teng bo'ladi. Demak, uning qiymatlar to'plami:
\[{\text{Qiymatlar to'plami}}:\,\,\,\left[ {0,\infty } \right)\]Aniqlanish sohasini topish uchun ildiz ostidagi ifoda manfiy bo'lmasligini talab qilamiz:
\[\begin{align*}4 - 7t & \ge 0\\ 4 & \ge 7t\\ \frac{4}{7} & \ge t \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}t \le \frac{4}{7}\end{align*}\]Demak, aniqlanish sohasi:
\[{\text{Aniqlanish sohasi}}:\,\,\,t \le \frac{4}{7}\hspace{0.25in}{\text{yoki}} \hspace{0.25in} \left( { - \infty ,\frac{4}{7}} \right]\]c \(h\left( x \right) = - 2{x^2} + 12x + 5\) Yechim
Bu yerda kvadratik funksiya (ko'phad) berilgan, shuning uchun uning aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar to'plamidir:
\[{\text{Aniqlanish sohasi}}:\,\,\, - \infty < x < \infty \hspace{0.25in} {\text{yoki}} \hspace{0.25in} \left( { - \infty ,\infty } \right)\]Qiymatlar to'plamini topish uchun funksiya grafigi — tarmoqlari pastga qaragan parabola ekanini inobatga olamiz (chunki \(x^2\) oldidagi koeffitsiyent manfiy: \(-2 < 0\)). Demak, parabolaning uchi funksiyaning eng katta (maksimum) qiymati bo'ladi. Parabola uchining koordinatalarini topamiz:
\[x = - \frac{{12}}{{2\left( { - 2} \right)}} = 3\hspace{0.25in}y = h\left( 3 \right) = - 2{\left( 3 \right)^2} + 12\left( 3 \right) + 5 = 23\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\left( {3,23} \right)\]Demak, funksiyaning eng katta qiymati 23 ga teng va u 23 dan kichik yoki unga teng bo'lgan barcha qiymatlarni qabul qiladi. Qiymatlar to'plami:
\[{\text{Qiymatlar to'plami}}:\,\,\,\left( { - \infty ,23} \right]\]d \(f\left( z \right) = \left| {z - 6} \right| - 3\) Yechim
Ushbu funksiya modul (absolyut qiymat)ni o'z ichiga oladi va biz bilamizki, modul ifodasi doimo noldan katta yoki teng bo'ladi: \(|z - 6| \ge 0\). Modul qismidan 3 ayrilayotgani sababli, butun funksiyaning eng kichik qiymati \(-3\) bo'ladi. Demak, qiymatlar to'plami:
\[{\text{Qiymatlar to'plami}}:\,\,\,\left[ { - 3,\infty } \right)\]Modul ichiga istalgan haqiqiy sonni qo'yish mumkin bo'lgani uchun, aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlardir:
\[{\text{Aniqlanish sohasi}}:\,\,\, - \infty < z < \infty \hspace{0.25in}{\text{yoki}} \hspace{0.25in} \left( { - \infty ,\infty } \right)\]e \(g\left( x \right) = 8\) Yechim
Bu o'zgarmas (konstanta) funksiyadir. Funksiyaga qanday \(x\) qiymatini qo'ysak ham, natija doimo 8 bo'ladi. Demak, uning qiymatlar to'plami faqat bitta sondan iborat:
\[{\text{Qiymatlar to'plami}}:\,\,\,\{8\}\]Aniqlanish sohasi esa barcha haqiqiy sonlar to'plamidir:
\[{\text{Aniqlanish sohasi}}:\,\,\, - \infty < x < \infty \hspace{0.25in}{\text{yoki}} \hspace{0.25in} \left( { - \infty ,\infty } \right)\]Umumiy holda, ixtiyoriy funksiyaning qiymatlar to'plamini aniqlash ancha murakkab jarayondir. Biz ko'rib chiqqan "oddiy" funksiyalar uchun buni tahliliy aniqlash oson bo'lsa-da, murakkabroq funksiyalarda qiymatlar to'plamini topish uchun hosilalar va ekstremumlarni o'rganish talab etiladi.
Shu sababli, keling, aniqlanish sohasini topishga oid yana bir nechta muhim misollarni ko'rib chiqamiz.
- \(f\left( x \right) = \displaystyle \frac{{x - 4}}{{{x^2} - 2x - 15}}\)
- \(g\left( t \right) = \sqrt {6 + t - {t^2}} \)
- \(h\left( x \right) = \displaystyle \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 9} }}\)
a \(f\left( x \right) = \displaystyle \frac{{x - 4}}{{{x^2} - 2x - 15}}\) Yechim
Kasrli ifodalarda nolga bo'lish mumkin emas, shuning uchun maxraj nolga teng bo'ladigan nuqtalarni aniqlaymiz:
\[{x^2} - 2x - 15 = \left( {x - 5} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = - 3,\,\,x = 5\]Ushbu ikkita nuqtadan boshqa barcha haqiqiy sonlarda funksiya mavjud. Demak, aniqlanish sohasi:
\[{\text{Aniqlanish sohasi}}:\,\,\,x \ne -3 \text{ va } x \ne 5 \text{ bo'lgan barcha haqiqiy sonlar}\]b \(g\left( t \right) = \sqrt {6 + t - {t^2}} \) Yechim
Kvadrat ildiz ostidagi ifoda manfiy bo'lmasligi kerak, shuning uchun tengsizlikni tuzamiz:
\[6 + t - {t^2} \ge 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{t^2} - t - 6 \le 0\]Tengsizlikning ikkala tomonini \(-1\) ga ko'paytirganimizda tengsizlik belgisi qarama-qarshisiga o'zgardi. Endi tenglama nollarini topamiz:
\[{t^2} - t - 6 = \left( {t - 3} \right)\left( {t + 2} \right) = 0 \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} t = -2, \,\, t = 3\]Ushbu nollar sonlar o'qini uchta oraliqqa ajratadi: \(t < -2\), \(-2 < t < 3\) va \(t > 3\). Oraliqlar usulidan foydalanib tekshiramiz:
Tekshirish shuni ko'rsatadiki, ko'phad o'rtadagi oraliqda manfiy bo'ladi. Demak, dastlabki ildiz ostidagi ifoda aynan o'rtadagi oraliqda musbat bo'ladi. Funksiyaning aniqlanish sohasi:
\[{\text{Aniqlanish sohasi}}:\,\,\, - 2 \le t \le 3 \hspace{0.25in} {\text{yoki}} \hspace{0.25in} \left[ { - 2,3} \right]\]c \(h\left( x \right) = \displaystyle \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 9} }}\) Yechim
Bu misolda biz ham nolga bo'lishdan, ham ildiz ostida manfiy son hosil bo'lishidan qochishimiz kerak. Maxrajdagi ildiz osti qat'iy noldan katta bo'lishi shart:
\[{x^2} - 9 > 0\]Buni yechish oson: \((x - 3)(x + 3) > 0\). Demak, aniqlanish sohasi:
\[{\text{Aniqlanish sohasi}}:\,\,\,x < - 3 \text{ va } x > 3\hspace{0.25in}{\text{yoki}} \hspace{0.25in} \left( { - \infty , - 3} \right) \cup \left( {3,\infty } \right)\]Bu yerda ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan navbatdagi muhim mavzu — funksiyalar kompozitsiyasi (yoki murakkab funksiya). \(f(x)\) va \(g(x)\) funksiyalarining kompozitsiyasi quyidagicha ta'riflanadi:
\[\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right)\]Boshqacha aytganda, kompozitsiya ikkinchi yozilgan funksiyani birinchi funksiyaning argumenti o'rniga qo'yish orqali hisoblanadi. Shuni unutmangki, bu yerda tartib muhim ahamiyatga ega bo'lib, tartibni o'zgartirish aksariyat hollarda butunlay boshqa natijaga olib keladi.
- \(\left( {f \circ g} \right)\left( 5 \right)\)
- \(\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)\)
- \(\left( {g \circ f} \right)\left( x \right)\)
- \(\left( {g \circ g} \right)\left( x \right)\)
a \(\left( {f \circ g} \right)\left( 5 \right)\) Yechim
Bu yerda \(x\) o'rniga aniq son berilgan, ammo u aynan bir xil qoidaga ko'ra hisoblanadi:
\[\begin{align*}\left( {f \circ g} \right)\left( 5 \right) & = f\left( {g\left( 5 \right)} \right)\\ & = f\left( {1 - 20(5)} \right) = f\left( { - 99} \right)\\ & = 3(-99)^2 - (-99) + 10 = 29512\end{align*}\]b \(\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)\) Yechim
Ushbu javobni keyingi band bilan taqqoslang va natijalar bir xil EMASLIGIGA e'tibor bering. Kompozitsiyada funksiyalarning yozilish tartibi juda muhim!
c \(\left( {g \circ f} \right)\left( x \right)\) Yechim
Yana bir bor ta'kidlaymiz: bu natija oldingi banddagidan butunlay farq qiladi. Funksiyalar kompozitsiyasida tartib o'ta muhimdir.
d \(\left( {g \circ g} \right)\left( x \right)\) Yechim
Funksiyani o'z-o'zi bilan kompozitsiya qilish ham xuddi shunday umumiy qoida bo'yicha bajariladi:
\[\begin{align*}\left( {g \circ g} \right)\left( x \right) & = g\left( {g\left( x \right)} \right)\\ & = g\left( {1 - 20x} \right)\\ & = 1 - 20\left( {1 - 20x} \right)\\ & = 400x - 19\end{align*}\]Keling, bizni keyingi bo'limga olib o'tuvchi yana bir muhim misolni tahlil qilamiz.
- \(\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)\)
- \(\left( {g \circ f} \right)\left( x \right)\)
a \(\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)\) Yechim
b \(\left( {g \circ f} \right)\left( x \right)\) Yechim
Ushbu misolda har ikkala kompozitsiya ham aynan bir xil natijani berdi va natija hayratlanarli darajada sodda — \(x\) bo'ldi:
\[\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = \left( {g \circ f} \right)\left( x \right) = x\]Odatda bunday bo'lmaydi. Biroq har ikkala kompozitsiya ham \(x\) ga teng bo'lsa, bu ikki funksiya o'rtasida ajoyib o'zaro munosabat mavjudligini bildiradi. Biz aynan shu munosabatni — ya'ni teskari funksiyalar mavzusini keyingi bo'limda batafsil o'rganamiz.