1.1-bo'lim: Ta'riflar (definitions)
Differensial tenglama (Differential Equation)
Biz ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan ilk va eng asosiy tushuncha — bu differensial tenglama ta'rifidir. Hosilalarni (oddiy hosilalar yoki xususiy hosilalarni) o'z ichiga olgan har qanday tenglama differensial tenglama deb ataladi.
Ehtimol, har birimizga fizika kursidan yaxshi tanish bo'lgan mashhur differensial tenglama bor — bu Nyutonning ikkinchi harakat qonunidir. Agar massasi \(m\) bo'lgan jism \(a\) tezlanish bilan harakatlanayotgan bo'lsa va unga \(F\) kuch ta'sir etayotgan bo'lsa, Nyutonning ikkinchi qonuni quyidagicha ifodalanadi:
\[\begin{equation}F = ma \label{eq:eq1} \end{equation}\]Ushbu ifoda haqiqatan ham differensial tenglama ekanini ko'rish uchun uni biroz boshqacha ko'rinishda yozib olishimiz kerak. Avvalo, tezlanish \(a\) ni quyidagi ikki usuldan biri orqali hosila shaklida ifodalash mumkinligini eslaylik:
\[\begin{equation}a = \frac{{dv}}{{dt}}\hspace{0.25in}\text{yoki}\hspace{0.25in}a = \frac{{{d^2}u}}{{d{t^2}}} \label{eq:eq2}\end{equation}\]Bu yerda \(v\) — jismning tezligi, \(u\) esa ixtiyoriy \(t\) vaqt momentidagi jismning koordinatasi (harakat funksiyasi) dir. Shuningdek, bu o'rinda ta'sir etuvchi \(F\) kuch ham vaqt, tezlik va/yoki koordinataning funksiyasi bo'lishi mumkinligini yodda tutishimiz lozim.
Demak, yuqoridagilarni inobatga olgan holda, Nyutonning ikkinchi qonunini jismning tezligi \(v\) yoki uning koordinatasi \(u\) orqali differensial tenglama ko'rinishida quyidagicha yozishimiz mumkin:
\[\begin{equation}m\frac{{dv}}{{dt}} = F\left( {t,v} \right)\label{eq:eq3}\end{equation}\] \[\begin{equation}m\frac{{{d^2}u}}{{d{t^2}}} = F\left( {t,u,\frac{{du}}{{dt}}} \right) \label{eq:eq4}\end{equation}\]Mana, bizning ilk differensial tenglamamiz! Ushbu tenglamaning har ikkala shaklini ham keyingi boblarda batafsil tahlil qilamiz.
Quyida differensial tenglamalarga yana bir nechta misollar keltirilgan:
\[\begin{equation}ay'' + by' + cy = g\left( t \right)\label{eq:eq5}\end{equation}\] \[\begin{equation}\sin \left( y \right)\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \left( {1 - y} \right)\frac{{dy}}{{dx}} + {y^2}{{\bf{e}}^{ - 5y}}\label{eq:eq6}\end{equation}\] \[\begin{equation}{y^{\left( 4 \right)}} + 10y''' - 4y' + 2y = \cos \left( t \right) \label{eq:eq7}\end{equation}\] \[\begin{equation}{\alpha ^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} = \frac{{\partial u}}{{\partial t}}\label{eq:eq8}\end{equation}\] \[\begin{equation}{a^2}{u_{xx}} = {u_{tt}}\label{eq:eq9}\end{equation}\] \[\begin{equation}\frac{{{\partial ^3}u}}{{{\partial}x^2\partial t}} = 1 + \frac{{\partial u}}{{\partial y}} \label{eq:eq10}\end{equation}\]Tartib (Order)
Differensial tenglamaning tartibi — bu differensial tenglama tarkibidagi eng yuqori hosilaning tartibidir. Yuqorida sanab o'tilgan misollarda:
- \(\eqref{eq:eq3}\) — birinchi tartibli differensial tenglama;
- \(\eqref{eq:eq4}\), \(\eqref{eq:eq5}\), \(\eqref{eq:eq6}\), \(\eqref{eq:eq8}\) va \(\eqref{eq:eq9}\) — ikkinchi tartibli differensial tenglamalar;
- \(\eqref{eq:eq10}\) — uchinchi tartibli differensial tenglama;
- \(\eqref{eq:eq7}\) — to'rtinchi tartibli differensial tenglamadir.
Shuni yodda tutingki, tenglamaning tartibi unda oddiy yoki xususiy hosilalar qatnashayotganiga mutlaqo bog'liq emas.
Ushbu ma'ruzalar kursida biz deyarli faqat birinchi va ikkinchi tartibli differensial tenglamalar ustida to'xtalamiz. Keyinroq ko'rasizki, ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni yechish usullarining aksariyati yuqori tartibli tenglamalarga ham oson va tabiiy ravishda umumlashtiriladi.
Oddiy va xususiy hosilali differensial tenglamalar (Ordinary and Partial Differential Equations)
Agar differensial tenglama faqat bir o'zgaruvchili funksiyaning oddiy hosilalarini o'z ichiga olsa, u oddiy differensial tenglama (qisqacha ODT yoki inglizcha ODE) deb ataladi. Xuddi shuningdek, agar tenglamada ikki yoki undan ortiq o'zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari qatnashsa, u xususiy hosilali differensial tenglama (qisqacha XHDT yoki inglizcha PDE) deb yuritiladi. Yuqoridagi misollardan \(\eqref{eq:eq3}\) – \(\eqref{eq:eq7}\) gacha bo'lganlari ODT, \(\eqref{eq:eq8}\) – \(\eqref{eq:eq10}\) gacha bo'lganlari esa XHDT hisoblanadi.
Qo'llanmamizning asosiy qismi ODT larni yechish va tahlil qilishga bag'ishlanadi. Yagona istisno — eng oxirgi bob bo'lib, unda biz XHDT larni yechishning eng mashhur va asosiy usuli bilan qisqacha tanishamiz.
Chiziqli differensial tenglamalar (Linear Differential Equations)
Chiziqli differensial tenglama — bu quyidagi standart ko'rinishda yozilishi mumkin bo'lgan har qanday differensial tenglamadir:
\[\begin{equation} {a_n}\left( t \right){y^{\left( n \right)}}\left( t \right) + {a_{n - 1}}\left( t \right){y^{\left( {n - 1} \right)}}\left( t \right) + \cdots + {a_1}\left( t \right)y'\left( t \right) + {a_0}\left( t \right)y\left( t \right) = g\left( t \right) \label{eq:eq11}\end{equation}\]Chiziqli differensial tenglamalar haqida bilish lozim bo'lgan eng muhim xususiyat shuki: noma'lum \(y(t)\) funksiya va uning hosilalari o'zaro ko'paytirilmagan bo'lishi hamda na funksiyaning o'zi va na uning hosilalari 1-darajadan boshqa darajaga ko'tarilmagan bo'lishi shart. Shuningdek, funksiya yoki uning hosilalari boshqa bir funksiyaning "ichida" bo'lmasligi kerak (masalan, \(\sqrt{y'}\) yoki \({\bf e}^y\), \(\sin(y)\) kabi ifodalar uchramasligi shart).
Koeffitsiyentlar \({a_0}\left( t \right), \ldots, {a_n}\left( t \right)\) va ozod had \(g\left( t \right)\) esa nol yoki noldan farqli, o'zgarmas sonlar yoki ixtiyoriy o'zgaruvchan funksiyalar, chiziqli yoki hatto chiziqsiz funksiyalar bo'lishi ham mumkin. Tenglamaning chiziqliligini aniqlashda faqat noma'lum funksiya \(y(t)\) va uning hosilalari qanday qatnashganiga qaraladi.
Agar differensial tenglamani \(\eqref{eq:eq11}\) ko'rinishida yozishning iloji bo'lmasa, bunday tenglama chiziqsiz differensial tenglama (non-linear differential equation) deyiladi.
Yuqoridagi \(\eqref{eq:eq5}\) – \(\eqref{eq:eq7}\) tenglamalar ichida faqat \(\eqref{eq:eq6}\) chiziqsizdir, qolgan ikkitasi esa chiziqli differensial tenglamalardir. \(\eqref{eq:eq3}\) va \(\eqref{eq:eq4}\) tenglamalarni esa hozircha to'liq tasniflay olmaymiz, chunki \(F\) kuch funksiyasining aniq ko'rinishi berilmagan. Ular \(F\) funksiyaning ko'rinishiga qarab chiziqli ham, chiziqsiz ham bo'lishi mumkin.
Yechim (yechim)
\(\alpha < t < \beta \) oraliqda differensial tenglamaning yechimi deb, ushbu oraliqdagi barcha \(t\) lar uchun tenglamani ayniyatga aylantiruvchi (qanoatlantiruvchi) har qanday \(y(t)\) funksiyaga aytiladi. Shuni ta'kidlash muhimki, yechimlar ko'pincha muayyan aniqlanish oraliqlari bilan birga beriladi va bu oraliqlar yechim haqida juda muhim ma'lumotlarni beradi. Quyidagi misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Buni amalga oshirish uchun bizga funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari kerak bo'ladi:
\[y'\left( x \right) = - \frac{3}{2}{x^{ - \frac{5}{2}}}\hspace{0.25in}y''\left( x \right) = \frac{{15}}{4}{x^{ - \frac{7}{2}}}\]Ushbu hosilalarni hamda funksiyaning o'zini differensial tenglamaga qo'yamiz:
\[\begin{align*}4{x^2}\left( {\frac{{15}}{4}{x^{ - \,\frac{7}{2}}}} \right) + 12x\left( { - \frac{3}{2}{x^{ - \,\frac{5}{2}}}} \right) + 3\left( {{x^{ - \,\frac{3}{2}}}} \right) & = 0\\ 15{x^{ - \,\frac{3}{2}}} - 18{x^{ - \,\frac{3}{2}}} + 3{x^{ - \,\frac{3}{2}}} & = 0\\ 0 & = 0\end{align*}\]Demak, \(y\left( x \right) = {x^{ - \frac{3}{2}}}\) haqiqatan ham differensial tenglamani qanoatlantiradi va shuning uchun u yechim hisoblanadi. Unday bo'lsa, nega shartda aynan \(x > 0\) oraliq talabi kiritildi? Axir biz funksiyaning tenglamani qanoatlantirishini ko'rsatish jarayonida bu shartdan hech qayerda foydalanmadik-ku?!
Buning sababini tushunish uchun funksiyani quyidagi shaklda yozib olaylik:
\[y\left( x \right) = {x^{ - \frac{3}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}\]Bu shaklda ochiq-oydin ko'rinib turibdiki, biz kamida \(x = 0\) nuqtadan qochishimiz shart, chunki bu holatda nolga bo'lish yuzaga keladi.
Bundan tashqari, biz ushbu kursimiz davomida qat'iy amal qiladigan umumiy bir "oltin qoida" mavjud: Haqiqiy sonlar bilan boshladikmi, haqiqiy sonlar bilan yakunlaymiz. Boshqacha aytganda, agar differensial tenglamamiz faqat haqiqiy sonlarni o'z ichiga olgan bo'lsa, biz yechim sifatida kompleks sonlarni beruvchi natijalarni qabul qilmaymiz. Shuning uchun, ildiz ostida manfiy son va natijada kompleks sonlar hosil bo'lishining oldini olish maqsadida biz \(x\) ning manfiy qiymatlaridan ham voz kechishimiz lozim bo'ladi. Shu sababli \(x > 0\) oraliq talabi qo'yiladi.
Shunday qilib, oldingi misolda ko'rganimizdek, funksiya differensial tenglamani algebraik jihatdan qanoatlantirsa-da, yechim keltirib chiqargan muayyan cheklovlar tufayli biz erkli o'zgaruvchining barcha qiymatlarini ishlata olmaymiz va oraliqqa cheklov qo'yishga majbur bo'lamiz. Bu differensial tenglamalarning ko'plab yechimlarida uchraydigan odatiy holdir.
Yuqoridagi misolda berilgan differensial tenglama uchun aslida yana boshqa juda ko'p yechimlar mavjudligini ta'kidlash lozim. Masalan, quyidagi funksiyalarning har biri ham ayni shu tenglamaning yechimi bo'ladi:
\[\begin{align*}y\left( x \right) & = {x^{ - \frac{1}{2}}}\\ y\left( x \right) & = - 9{x^{ - \frac{3}{2}}}\\ y\left( x \right) & = 7{x^{ - \frac{1}{2}}}\\ y\left( x \right) & = - 9{x^{ - \frac{3}{2}}} + 7{x^{ - \frac{1}{2}}}\end{align*}\]Bularning haqiqatan ham yechim ekanligini tekshirishni sizga havola qilamiz. Ushbu misollardan kelib chiqib, mazkur differensial tenglamaga yana boshqa yechimlar topa olasizmi? Aslida, bu differensial tenglama cheksiz ko'p yechimlarga ega!
Demak, oldingi misoldagi differensial tenglama cheksiz ko'p yechimlarga ega ekan (har holda, bizning so'zimizga ishongan bo'lsangiz…), tabiiy bir savol tug'iladi: Bizga aynan qaysi yechim kerak yoki qaysi yechimni tanlashimizning farqi bormi? Ushbu savol bizni navbatdagi tushunchaga yetaklaydi.
Boshlang'ich shart(lar) (Initial Conditions)
Boshlang'ich shart(lar) — bu biz qidirayotgan aniq bir yechimni cheksiz ko'p mumkin bo'lgan yechimlar orasidan bir qiymatli qilib ajratib olish imkonini beruvchi qo'shimcha shart yoki shartlar majmuidir. Boshlang'ich shartlar odatda quyidagi ko'rinishda beriladi:
\[y\left( {{t_0}} \right) = {y_0}\hspace{0.25in}\text{va/yoki}\hspace{0.25in}{y^{\left( k \right)}}\left( {{t_0}} \right) = {y_k}\]Boshqacha aytganda, boshlang'ich shartlar — bu yechimning va/yoki uning hosilalarining muayyan bir \(t_0\) nuqtadagi berilgan aniq qiymatlaridir. Keyinchalik ko'rib o'tganimizdek, "yetarlicha silliq va qulay" differensial tenglamalarning yechimlari yagonadir va binobarin, berilgan boshlang'ich shartlarni aynan bitta yagona yechim qanoatlantiradi.
Muayyan differensial tenglama uchun talab qilinadigan boshlang'ich shartlar soni esa, keyinroq ko'radiganimizdek, tenglamaning tartibiga bevosita bog'liq bo'ladi.
Yechim
Oldingi misolda ko'rganimizdek, bu funksiya differensial tenglamaning yechimidir. Endi boshlang'ich shartlarni tekshirib ko'ramiz:
\[\begin{align*}y\left( 4 \right) & = {4^{ - \frac{3}{2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 4 } \right)}^3}}} = \frac{1}{8}\\ y'\left( 4 \right) & = - \frac{3}{2}{4^{ - \frac{5}{2}}} = - \frac{3}{2}\frac{1}{{{{\left( {\sqrt 4 } \right)}^5}}} = - \frac{3}{{64}}\end{align*}\]Ko'rib turganimizdek, ushbu yechim \(y\left( 4 \right) = \frac{1}{8}\) va \(y'\left( 4 \right) = - \frac{3}{{64}}\) boshlang'ich shartlarini ham to'liq qanoatlantiradi. Aslida, \(y\left( x \right) = {x^{ - \frac{3}{2}}}\) — mazkur differensial tenglamaning ushbu ikki boshlang'ich shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimidir.
Boshlang'ich qiymat masalasi (Initial Value Problem / Koshi masalasi)
Boshlang'ich qiymat masalasi (yoki qisqacha IVP, shuningdek Koshi masalasi) — bu differensial tenglama va unga mos keluvchi yetarli miqdordagi boshlang'ich shartlarning birgalikda berilishidir.
Yuqorida ta'kidlaganimizdek, talab qilinadigan boshlang'ich shartlar soni differensial tenglamaning tartibiga bog'liq bo'ladi.
Yechim mavjud bo'lgan oraliq (Interval of Validity)
Boshlang'ich shart(lar)i quyidagicha bo'lgan Koshi masalasi uchun:
\[y\left( {{t_0}} \right) = {y_0}\hspace{0.25in}\text{va/yoki}\hspace{0.25in}{y^{\left( k \right)}}\left( {{t_0}} \right) = {y_k}\]yechim mavjud bo'lgan oraliq (interval of validity) — bu boshlang'ich \(t_0\) nuqtani o'z ichiga olgan va unda yechim to'liq aniqlangan hamda uzluksiz bo'lgan eng katta mumkin bo'lgan oraliqdir. Bu tushunchaga ta'rif berish juda oson, biroq uni aniq topish ancha murakkab bo'lishi mumkin. Shu sababli, differensial tenglamalarni amaliy yechishga kirishib, bu oraliqqa bevosita ehtiyoj sezilguniga qadar bu haqda ortiqcha to'xtalib o'tirmaymiz.
Umumiy yechim (General yechim)
Differensial tenglamaning umumiy yechimi (general yechim) — bu tenglama qabul qilishi mumkin bo'lgan eng umumiy ko'rinishdagi yechim bo'lib, unda hali hech qanday boshlang'ich shartlar hisobga olinmagan bo'ladi (u o'z ichiga ixtiyoriy \(c\) o'zgarmaslarni oladi).
Ushbu funksiya haqiqatan ham berilgan differensial tenglamaning yechimi ekanini mustaqil tekshirib ko'rishingiz mumkin. Aslida, mazkur differensial tenglamaning barcha yechimlari aynan shu ko'rinishda bo'ladi. Bu siz yaqin orada yechishni o'rganadigan ilk differensial tenglama turlaridan biri bo'lib, tez orada buni o'zingiz ham mustaqil tekshira olasiz.
Aniq yechim (Actual yechim)
Differensial tenglamaning aniq yechimi (actual / particular yechim) — bu nafaqat differensial tenglamani, balki berilgan boshlang'ich shart(lar)ni ham to'liq qanoatlantiruvchi xususiy yechimdir.
Yechim
Bu dastlab tuyulganidan ancha oson! Oldingi misoldan bizga allaqachon ma'lumki (albatta, oldingi misoldagi yechimimizga ishongan bo'lsangiz…), differensial tenglamaning barcha yechimlari quyidagi umumiy ko'rinishga ega:
\[y\left( t \right) = \frac{3}{4} + \frac{c}{{{t^2}}}\]Bizdan talab qilinadigan barcha narsa — qidirilayotgan yechimni beruvchi \(c\) ning qiymatini topishdan iborat. Buni aniqlash uchun berilgan boshlang'ich shartdan foydalanamiz:
\[ - 4 = y\left( 1 \right) = \frac{3}{4} + \frac{c}{{{1^2}}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}c = - 4 - \frac{3}{4} = - \frac{{19}}{4}\]Demak, mazkur Koshi masalasining aniq yechimi quyidagicha bo'ladi:
\[y\left( t \right) = \frac{3}{4} - \frac{{19}}{{4{t^2}}}\]Ushbu so'nggi misoldan ko'rinib turibdiki, bizda differensial tenglamaning umumiy yechimi mavjud bo'lsa, aniq yechimni topish — shunchaki boshlang'ich shart(lar)ni qo'llash va umumiy yechim tarkibidagi o'zgarmas(lar)ni hisoblab topishdan iboratdir.
Oshkor va Oshkormas yechimlar (Implicit / Explicit yechim)
Bu holatda dastlab oshkor yechimga ta'rif berish, so'ngra oshkormas yechim nima emasligini tushuntirish va misol orqali farqni ko'rsatish eng yaxshi yo'ldir.
Oshkor yechim (explicit yechim) — bu \(y = y\left( t \right)\) ko'rinishida berilgan har qanday yechimdir. Boshqacha aytganda, \(y\) o'zgaruvchi faqat tenglikning chap tomonida, aynan bitta joyda va faqat birinchi darajada qatnashadi. Oshkormas yechim (implicit yechim) esa oshkor shaklda bo'lmagan har qanday yechimdir. Shuni unutmangki, umumiy yechimlar ham, aniq yechimlar ham oshkor yoki oshkormas shaklda bo'lishi mumkin.
Hozircha bu ifodaning haqiqatan ham differensial tenglama yechimi ekaniga ishonishingizni so'raymiz. Keyingilarda bunday yechimlarni qanday hosil qilishni o'rganasiz. Ushbu misoldan ko'zlangan asosiy nuqta shundaki: chap tomonda bitta \(y(t)\) o'rniga \({y^2}\) turgani sababli bu oshkor yechim emas, balki oshkormas yechimdir!
Yechim
Oldingi misoldan bizga allaqachon ma'lumki, ushbu Koshi masalasining oshkormas yechimi \({y^2} = {t^2} - 3\) dir. Oshkor yechimni topish uchun \(y\left( t \right)\) ga nisbatan yechishimiz kifoya:
\[y\left( t \right) = \pm \sqrt {{t^2} - 3} \]Biroq bu yerda muammo paydo bo'ldi: bizda ikkita funksiya hosil bo'ldi, bizga esa faqat bittasi kerak va aslida faqat bittasi to'g'ri bo'ladi! Qaysi biri to'g'ri ekanligini boshlang'ich shartni qayta qo'llash orqali aniqlaymiz. Ulardan faqat bittasi boshlang'ich shartni qanoatlantiradi.
Bizning holatimizda boshlang'ich shart \(y(2) = -1 < 0\) bo'lganligi sababli, manfiy ishorali ("-") yechim to'g'ri bo'lishini ko'ramiz. Demak, aniq oshkor yechim quyidagicha bo'ladi:
\[y\left( t \right) = - \sqrt {{t^2} - 3} \]Ushbu misolda biz differensial tenglamaning oshkor yechimini topishga muvaffaq bo'ldik. Shuni alohida aytish kerakki, har doim ham oshkor yechimni topishning imkoni bo'lavermaydi (ko'pincha yechim oshkormas ko'rinishda qoldiriladi).
Shuningdek, bu misolda ikkita funksiyadan aynan qaysi biri to'g'ri yechim ekanini ajratib olishimizga yordam bergan narsa — berilgan boshlang'ich shart bo'ldi.
Mana, biz asosiy tayanch ta'riflarni to'liq o'rganib chiqdik va endi keyingi mavzularga bemalol o'tishimiz mumkin.