Birinchidan, biz har bir atamada 2 ni ko'paytirishimiz mumkinligini ko'ramiz. Shuni ham yodda tutingki, biz har bir atamada \(x^{2}\) ni hisobga olishimiz mumkin. Mana, bu muammo uchun faktoring.

\[8{x^4} - 4{x^3} + 10{x^2} = 2{x^2}\left( {4{x^2} - 2x + 5} \right)\]

E'tibor bering, biz faktoringni har doim shartlarni ko'paytirish orqali tekshirishimiz mumkin, bu asl polinomni olishimizga ishonch hosil qilish uchun.

Bu holda bizda \(x\) va \(y\) shartlar mavjud, ammo bu jarayon qanday ishlashini o'zgartirmaydi. Har bir atama \(x^{3}\) va \(y\) ni o'z ichiga oladi, shuning uchun ikkalasini ham hisobga olishimiz mumkin. Buni qilish,

\[{x^3}{y^2} + 3{x^4}y + 5{x^5}{y^3} = {x^3}y\left( {y + 3x + 5{x^2}{y^2}} \right)\]

Bunday holda biz har bir atamadan 3\(x\) ni ko'rib chiqishimiz mumkin. Mana bu ish uchun.

\[3{x^6} - 9{x^2} + 3x = 3x\left( {{x^5} - 3x + 1} \right)\]

3\(x\) dastlab oxirgi atamada boʻlgan “+1” ga eʼtibor bering, chunki oxirgi atama biz hisoblagan atama edi, biz oʻzimizga u yerda atama borligini eslatishimiz kerak edi. Buning uchun bizga “+1” kerak va “-1” o‘rniga “+1” ekanligini e’tiborga oling, chunki bu atama dastlab ijobiy atama bo‘lgan. Agar dastlab salbiy atama bo'lganida, biz "-1" dan foydalanishimiz kerak edi.

Ushbu turdagi faktoring muammolari bilan bog'liq eng keng tarqalgan xatolardan biri bu "1" ni unutishdir. Esda tutingki, biz asl nusxani olishimizga ishonch hosil qilish uchun har doim ikkitasini ko'paytirish orqali tekshirishimiz mumkin. “+1” zarurligini tekshirish uchun, keling, uni tashlab, keyin ko'paytiramiz va biz nimani olganimizni ko'ramiz.

\[3x\left( {{x^5} - 3x} \right) = 3{x^6} - 9{x^2} \ne 3{x^6} - 9{x^2} + 3x\]

Shunday qilib, "+1"siz biz asl polinomni olmaymiz! Bu bilan ehtiyot bo'ling. To'liq atamani hisobga olishda shoshqaloqlik qilish va kerak bo'lganda "+1" yoki "-1" qo'shishni unutish oson.

Bu boshqalarga nisbatan bir oz g'alati ko'rinadi. Biroq, u xuddi shunday ishlaydi. Har bir atamada 3\(x\) mavjud va har bir atamada \(2x + 7\) ham mavjud va shuning uchun ham uni hisobga olish mumkin. Ushbu muammo uchun faktoringni amalga oshirish,

\[9{x^2}\left( {2x + 7} \right) - 12x\left( {2x + 7} \right) = 3x\left( {2x + 7} \right)\left( {3x - 4} \right)\]

Bu holda biz guruh birinchi ikki atama va oxirgi ikki muddat bu yerda ko'rsatilganidek,

\[\left( {3{x^2} - 2x} \right) + \left( {12x - 8} \right)\]

Endi e'tibor bering, biz \(x\) ni birinchi guruhdan chiqarib tashlashimiz mumkin va a 4 ikkinchi guruhdan. Buni qilish,

\[3{x^2} - 2x + 12x - 8 = x\left( {3x - 2} \right) + 4\left( {3x - 2} \right)\]

Endi biz \(3x - 2\) ning umumiy omilini ajratib olishimiz mumkinligini ko'ramiz, shuning uchun buni yakuniy faktorlangan shaklga qilaylik.

\[3{x^2} - 2x + 12x - 8 = \left( {3x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)\]

Va biz tugatdik. Guruhlash orqali faktoring uchun bor narsa shu. Yana bir bor e'tibor bering, bu har doim ham ishlamaydi va ba'zida u ishlaydi yoki yo'qligini bilishning yagona yo'li - sinab ko'rish va nima olishingizni ko'rishdir.

Bu holda biz bir xil boshlang'ich qadamni qilamiz, lekin bu safar oxirgi ikki atamaning ikkalasi ham salbiy ekanligiga e'tibor bering, shuning uchun ularni guruhlaganimizda "-" ni ham ajratib olamiz. Buni qilish,

\[\left( {{x^5} + x} \right) - \left( {2{x^4} + 2} \right)\]

Shunga qaramay, biz asl ko'phadni olishimizga ishonch hosil qilish uchun har doim "-" ni qavslar orqali qayta taqsimlashimiz mumkin.

Shu nuqtada biz birinchi haddan \(x\) ni va ikkinchi haddan 2 ni faktor qilishimiz mumkinligini ko'rishimiz mumkin. Bu beradi,

\[{x^5} + x - 2{x^4} - 2 = x\left( {{x^4} + 1} \right) - 2\left( {{x^4} + 1} \right)\]

Endi biz muammoni hal qilish uchun ajratib ko'rsatishimiz mumkin bo'lgan umumiy omilga egamiz.

\[{x^5} + x - 2{x^4} - 2 = \left( {{x^4} + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\]

Bu, shuningdek, oxirgi qismda ko'rganimizdek, uchinchi atama oldida "-" belgisiga ega. Biroq, bu safar to'rtinchi atama oxirgi qismdan farqli o'laroq, uning oldida "+" belgisi mavjud. Guruhlashtirganda biz hali ham “-” belgisini qo'yamiz, ammo buni yo'qotmaslik uchun. “-” belgisini qo'yganimizda, to'rtinchi shartdagi “+”ni “-” ga o'zgartirishimiz kerakligiga e'tibor bering. Shunga qaramay, siz har doim bu to'g'ri bajarilganligini "-" ni qavs orqali ko'paytirish orqali tekshirishingiz mumkin.

\[\left( {{x^5} - 3{x^3}} \right) - \left( {2{x^2} - 6} \right)\]

Endi biz bularning bir nechtasini bajarganimizdan so'ng, qolgan tafsilotlarni kiritmaymiz va to'g'ridan-to'g'ri yakuniy faktoringga o'tamiz.

\[{x^5} - 3{x^3} - 2{x^2} + 6 = {x^3}\left( {{x^2} - 3} \right) - 2\left( {{x^2} - 3} \right) = \left( {{x^2} - 3} \right)\left( {{x^3} - 2} \right)\]

To'g'ri, birinchi atama \({x^2}\) bo'lgani uchun biz faktoring shaklini olishi kerakligini bilamiz.

\[{x^2} + 2x - 15 = \left( {x + \underline {\,\,\,\,} } \right)\left( {x + \underline {\,\,\,\,} } \right)\]

Biz bu shaklni olishini bilamiz, chunki ikkita chiziqli atamani ko'paytirganda birinchi had \(x^{2}\) bo'lishi kerak va buni ko'rsatishning yagona yo'li \(x\) ni \(x\) ga ko'paytirishdir. Shuning uchun har bir omildagi birinchi atama \(x\) bo'lishi kerak. Buni tugatish uchun biz bo'sh joylarga kirishi kerak bo'lgan ikkita raqamni aniqlashimiz kerak.

Imkoniyatlarni sezilarli darajada qisqartirishimiz mumkin. Ikki omilni ko'paytirgandan so'ng, -15 olish uchun bu ikki raqamni ko'paytirish kerak bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, bu ikki raqam -15 koeffitsienti bo'lishi kerak. Bu erda faqat butun sonlar yordamida -15 koeffitsientining barcha mumkin bo'lgan usullari keltirilgan.

\[\left( { - 1} \right)\left( {15} \right)\hspace{0.25in}\left( 1 \right)\left( { - 15} \right)\hspace{0.25in}\left( { - 3} \right)\left( 5 \right)\hspace{0.25in}\left( 3 \right)\left( { - 5} \right)\]

Endi biz ularni birin-ketin ulab, to'g'ri juftlikni olguncha ko'paytirishimiz mumkin. Biroq, bu erda bizga yordam berish uchun foydalanishimiz mumkin bo'lgan yana bir hiyla bor. \(x\) atamasi koeffitsientini olish uchun to'g'ri raqamlar jufti qo'shilishi kerak. Shunday qilib, bu holda uchinchi juft omillar "+2" ga qo'shiladi va biz bu juftlikka erishamiz.

Bu erda ko'phadning faktorlangan shakli keltirilgan.

\[{x^2} + 2x - 15 = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)\]

Shunga qaramay, biz har doim tez ko'paytirish orqali to'g'ri javob olganimizni tekshirishimiz mumkin.

E'tibor bering, biz bu erda qo'llagan usul \(x^{2}\) atamasi koeffitsienti bitta bo'lsagina ishlaydi. Agar boshqa narsa bo'lsa, bu ishlamaydi va biz haqiqatan ham to'g'ri faktoring shaklini olish uchun sinov va xatoga qaytamiz.

Keling, yana boshlang'ich shaklni yozamiz,

\[{x^2} - 10x + 24 = \left( {x + \underline {\,\,\,\,} } \right)\left( {x + \underline {\,\,\,\,} } \right)\]

Endi bizga 24 ni olish uchun ko'payadigan va -10 ni olish uchun qo'shiladigan ikkita raqam kerak. Ko'rinib turibdiki -6 va -4 hiyla qiladi va shuning uchun bu polinomning faktorlangan shakli:

\[{x^2} - 10x + 24 = \left( {x - 4} \right)\left( {x - 6} \right)\]

Yana, keling, boshlang'ich shakldan boshlaylik,

\[{x^2} + 6x + 9 = \left( {x + \underline {\,\,\,\,} } \right)\left( {x + \underline {\,\,\,\,} } \right)\]

Bu safar bizga 9 ni olish uchun ko'payadigan va 6 ni olish uchun qo'shiladigan ikkita raqam kerak. Bu holda 3 va 3 raqamlarning to'g'ri juftligi bo'ladi. Shuni unutmangki, bu ikki raqam vaqti-vaqti bilan bir xil bo'lishi mumkin.

Bu polinom uchun faktorlangan shakl.

\[{x^2} + 6x + 9 = \left( {x + 3} \right)\left( {x + 3} \right) = {\left( {x + 3} \right)^2}\]

Shuni ham yodda tutingki, biz faktoringni mukammal kvadrat ekanligini tan olish uchun yanada soddalashtirdik. Bu sodir bo'lganda, buni har doim qilish kerak.

Yana bir bor, bu erda dastlabki shakl,

\[{x^2} + 5x + 1 = \left( {x + \underline {\,\,\,\,} } \right)\left( {x + \underline {\,\,\,\,} } \right)\]

Yaxshi, bu safar bizga 1 ni olish uchun ko'payadigan va 5 ni olish uchun qo'shadigan ikkita raqam kerak. Buni bajaradigan ikkita butun son yo'q, shuning uchun bu kvadrat faktor bo'lmaydi.

Bu ba'zida sodir bo'ladi, shuning uchun bu sodir bo'lganda hayajonlanmang.

OK, bizda \({x^2}\) atamasida endi 1 koeffitsienti yo'q. Biroq, faktoringning dastlabki shakli haqida hali ham taxmin qilishimiz mumkin. \(x^{2}\) atamasi koeffitsienti 3 ga teng va 3 ning faqat ikkita ijobiy omili mavjud bo'lganligi sababli faktoringning dastlabki shakli uchun haqiqatan ham faqat bitta imkoniyat mavjud.

\[3{x^2} + 2x - 8 = \left( {3x + \underline {\,\,\,\,} } \right)\left( {x + \underline {\,\,\,\,} } \right)\]

\(3{x^2}\) ni olishning yagona yo'li 3\(x\) va \(x\) ni ko'paytirish bo'lgani uchun bular birinchi ikkita shart bo'lishi kerak. Biroq, ikkita blanka uchun raqamlarni topish avvalgi misollar kabi oson bo'lmaydi. Biz -8 ning barcha omillaridan boshlashimiz kerak.

\[\left( { - 1} \right)\left( 8 \right)\hspace{0.5in}\left( 1 \right)\left( { - 8} \right)\hspace{0.25in}\left( { - 2} \right)\left( 4 \right)\hspace{0.25in}\left( 2 \right)\left( { - 4} \right)\]

Bu nuqtada yagona variant - ularni bir juft ulashni tanlash va biz shartlarni ko'paytirganda nima bo'lishini ko'rish. To'rtinchi juftlikdan boshlaylik. Keling, raqamlarni kiritamiz va biz nimaga erishamiz.

\[\left( {3x + 2} \right)\left( {x - 4} \right) = 3{x^2} - 10x - 8\]

Birinchi va oxirgi shartlar to'g'ri, lekin ular to'g'ri ishlashiga ishonch hosil qilish uchun raqamlarni tanlaganimizdan keyin ular shunday bo'lishi kerak. Biroq, o'rta atama to'g'ri bo'lmaganligi sababli, bu polinomning to'g'ri faktoringi emas.

Bu biz noto'g'ri taxmin qilganimizni anglatmaydi. Ushbu misolning oldingi qismlarida qaysi blank qaysi raqamga ega bo'lishi muhim emas edi. Bu safar shunday. Keling, buyurtmani aylantiramiz va biz nimani olamiz.

\[\left( {3x - 4} \right)\left( {x + 2} \right) = 3{x^2} + 2x - 8\]

Shunday qilib, biz tushundik. Biz ularni noto'g'ri joyga birinchi marta qo'yganimizda to'g'ri taxmin qildik.

Shunday qilib, ushbu muammolarda har bir juftlik uchun ikkala joy ham ishlay oladimi yoki yo'qligini tekshirishni unutmang.

Shunga qaramay, \({x^2}\) atamasi koeffitsienti faqat ikkita ijobiy omilga ega, shuning uchun bizda faqat bitta mumkin bo'lgan boshlang'ich shakl mavjud.

\[5{x^2} - 17x + 6 = \left( {5x + \underline {\,\,\,\,} } \right)\left( {x + \underline {\,\,\,\,} } \right)\]

Keyinchalik, bizga 6 ning barcha omillari kerak. Mana ular.

\[\left( 1 \right)\left( 6 \right)\hspace{0.5in}\left( { - 1} \right)\left( { - 6} \right)\hspace{0.25in}\left( 2 \right)\left( 3 \right)\hspace{0.5in}\left( { - 2} \right)\left( { - 3} \right)\]

Salbiy omillarni unutmang. Ular ko'pincha biz xohlagan narsadir. Haqiqatan ham, \(x\) koeffitsienti manfiy ekanligini ko'rib, biz ikki juft salbiy omildan biriga muhtoj ekanligimizga amin bo'lishimiz mumkin, chunki bu biz u erda salbiy koeffitsientni olishning yagona yo'li bo'ladi. Ba'zi bir sinov va xato bilan biz ushbu ko'phadning faktoringini bilib olamiz,

\[5{x^2} - 17x + 6 = \left( {5x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\]

Ushbu oxirgi bosqichda bizda qiyinroq muammo bor. \({x^2}\) atamasi koeffitsienti endi bir nechta ijobiy omillarga ega. Bu shuni anglatadiki, boshlang'ich shakl quyidagi imkoniyatlardan biri bo'lishi kerak.

\[\begin{align*}4{x^2} + 10x - 6 & = \left( {4x + \underline {\,\,\,\,} } \right)\left( {x + \underline {\,\,\,\,} } \right)\\ 4{x^2} + 10x - 6 & = \left( {2x + \underline {\,\,\,\,} } \right)\left( {2x + \underline {\,\,\,\,} } \right)\end{align*}\]

Bo'shliqlarni to'ldirish uchun bizga -6 ning barcha omillari kerak bo'ladi. Mana ular,

\[\left( { - 1} \right)\left( 6 \right)\hspace{0.25in}\left( 1 \right)\left( { - 6} \right)\hspace{0.25in}\left( { - 2} \right)\left( 3 \right)\hspace{0.25in}\left( 2 \right)\left( { - 3} \right)\]

Ba'zi bir sinov va xato bilan biz ushbu ko'phadning to'g'ri faktoringi ekanligini bilib olamiz:

\[4{x^2} + 10x - 6 = \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 6} \right)\]

Shuni ham yodda tutingki, sinov va xato bosqichida biz ishonch hosil qilishimiz va har bir juftlikni ikkala mumkin bo'lgan shaklga va ikkala mumkin bo'lgan tartiblarga ulashimiz kerak, bu to'g'ri omillar juftligi yoki yo'qligini to'g'ri aniqlash uchun.

Agar xohlasak, biz bu erda yana bir qadam tashlab, ikkinchi atamaning 2-ni qo'shamiz. Bu beradi,

\[4{x^2} + 10x - 6 = 2\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)\]

Bu juda muhim, chunki biz buni ham hisobga olgan bo'lardik:

\[4{x^2} + 10x - 6 = \left( {4x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\]

Bu, sirtdan qaraganda, yuqorida keltirilgan birinchi shakldan farq qiladi. Biroq, bu holda biz birinchi haddan 2 ni olishimiz mumkin,

\[4{x^2} + 10x - 6 = 2\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)\]

Aynan shu narsa biz birinchi marta oldik va shuning uchun biz haqiqatan ham bu polinomning bir xil faktorlangan shakliga egamiz.

Bu holda bizda uchta had bor va bu kvadrat polinom. E'tibor bering, doimiy kvadrat mukammal kvadrat va uning kvadrat ildizi 10 ga teng. Shuningdek, 2(10)=20 va bu \(x\) hadining koeffitsienti ekanligiga e'tibor bering. Shunday qilib, bizda yuqoridagi ikkinchi maxsus shakl borga o'xshaydi. Ushbu ko'phadning to'g'ri faktoringi:

\[{x^2} - 20x + 100 = {\left( {x - 10} \right)^2}\]

Rostini aytsam, bu holda kvadratik ko'phadlarni faktoring qilish uchun umumiy jarayondan foydalanish bu maxsus shakllardan biri ekanligini tekshirishdan ko'ra osonroq bo'lishi mumkin edi, lekin biz ulardan biri ishlaganini ko'rishimiz kerak edi.

Bu holda biz e'tibor berishimiz kerak bo'lgan narsa shundaki, bizda mukammal kvadratlar farqi bor,

\[25{x^2} - 9 = {\left( {5x} \right)^2} - {\left( 3 \right)^2}\]

Shunday qilib, bu yuqoridagi uchinchi maxsus shakl bo'lishi kerak. Bu polinom uchun to'g'ri faktoring.

\[25{x^2} - 9 = \left( {5x + 3} \right)\left( {5x - 3} \right)\]

Bu muammo ikkita mukammal kublarning yig'indisidir,

\[8{x^3} + 1 = {\left( {2x} \right)^3} + {\left( 1 \right)^3}\]

va shuning uchun biz yuqoridan to'rtinchi maxsus shakl ekanligini bilamiz. Mana bu polinom uchun faktoring.

\[8{x^3} + 1 = \left( {2x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 2x + 1} \right)\]

Bu holda keling, barcha atamalardan \(3{x^2}\) ning umumiy omilini ajratib olishimiz mumkinligini bilib olaylik, shuning uchun avval buni qilaylik.

\[3{x^4} - 3{x^3} - 36{x^2} = 3{x^2}\left( {{x^2} - x - 12} \right)\]

Qolgan narsa kvadratik bo'lib, biz yuqoridan faktorga qadar usullardan foydalanishimiz mumkin. Bu bizga beradi,

\[3{x^4} - 3{x^3} - 36{x^2} = 3{x^2}\left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right)\]

Shuni unutmangki BIRINCHI faktoringga qadam har doim eng katta umumiy omilni hisobga olish bo'lishi kerak. Bu faqat jarayonga yordam berishi mumkin.

Bu erda eng katta umumiy omil yo'q. Biroq, bu ikkita mukammal kvadratning farqiga e'tibor bering.

\[{x^4} - 25 = {\left( {{x^2}} \right)^2} - {\left( 5 \right)^2}\]

Shunday qilib, biz yuqoridan uchinchi maxsus shakldan foydalanishimiz mumkin.

\[{x^4} - 25 = \left( {{x^2} + 5} \right)\left( {{x^2} - 5} \right)\]

Bularning hech birini qo'shimcha omillarga bog'lab bo'lmaydi, shuning uchun biz tugatdik. Shuni yodda tutingki, ko'pincha biz ushbu bosqichda qo'shimcha faktoring qilishimiz kerak bo'ladi.

Keling, buni boshqa ko'phadni faktoring qilishdan boshlaylik.

\[{u^2} + u - 20 = \left( {u - 4} \right)\left( {u + 5} \right)\]

Biz bu yerda boshqa oʻzgaruvchidan foydalandik, chunki biz asl polinom uchun \(x\) dan foydalanganmiz.

Xo'sh, nima uchun biz buni qildik? E'tibor bering, agar biz \(u = {x^2}\)-ga ruxsat bersak, keyin \({u^2} = {\left( {{x^2}} \right)^2} = {x^4}\). Keyin biz asl polinomni \(u\) ko'rinishida quyidagicha yozishimiz mumkin:

\[{x^4} + {x^2} - 20 = {u^2} + u - 20\]

va biz buni qanday hisobga olishni bilamiz! Shunday qilib, biz \(u = {x^2}\) ni bilganimizdan foydalanib, \(u\) ning orqa o‘rnini bosuvchi polinomni ko‘paytiring.

\[\begin{align*}{x^4} + {x^2} - 20 & = {u^2} + u - 20\\ & = \left( {u - 4} \right)\left( {u + 5} \right)\\ & = \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 5} \right)\end{align*}\]

Va nihoyat, e'tibor bering, birinchi atama ham omil bo'ladi, chunki u ikkita mukammal kvadratning farqidir. Ushbu ko'phadning to'g'ri faktoringi quyidagicha bo'ladi:

\[{x^4} + {x^2} - 20 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 5} \right)\]

E'tibor bering, avval \(u\) ga o'zgartirish vaqti-vaqti bilan foydali bo'lishi mumkin, ammo siz bunga ko'niksangiz, bu odatda bizning boshimizda amalga oshiriladi.