3.2-bo'lim: To'g'ri chiziqlar (lines)

Ushbu bo'limni to'g'ri chiziqning qisqa matematik ta'rifi bilan boshlaylik. Quyidagi umumiy ko'rinishda yozilishi mumkin bo'lgan har qanday tenglama to'g'ri chiziqni ifodalaydi:

Bu yerda \(A\) va \(B\) koeffitsiyentlar bir vaqtning o'zida nolga teng bo'la olmaydi. Ulardan biri nolga teng bo'lishi mumkin, biroq ikkalasi bir vaqtda nol bo'lmasligi shart. Bu ko'rinish to'g'ri chiziqning standart shakli (standard form) deb ham ataladi.

Mavzuga chuqurroq kirishdan oldin, to'g'ri chiziq uning ustida yotgan ixtiyoriy ikkita nuqta orqali bir qiymatli aniqlanishini eslash foydalidir. Agar to'g'ri chiziqda yotuvchi ikki nuqta berilgan bo'lsa, biz chiziqning grafigini chiza olamiz va/yoki uning tenglamasini yoza olamiz. Ushbu faktdan bo'lim davomida muntazam foydalanamiz.

Ushbu bo'limda muhokama qilinadigan eng asosiy tushunchalardan biri — bu to'g'ri chiziqning burchak koeffitsiyenti (qiyaligi / slope). Burchak koeffitsiyenti to'g'ri chiziqning qanchalik tik ekanligini hamda chapdan o'ngga harakatlanganda chiziq o'suvchi yoki kamayuvchi ekanligini o'lchash imkonini beradi. Quyida to'g'ri chiziq qiyaligining aniq ta'rifi keltirilgan:

To'g'ri chiziqda yotuvchi ixtiyoriy ikki nuqta \(\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) va \(\left( {{x_2},{y_2}} \right)\) berilgan bo'lsa, to'g'ri chiziqning burchak koeffitsiyenti (qiyaligi) quyidagi formula orqali aniqlanadi:

Boshqacha aytganda, qiyalik — bu \(y\) koordinatalar farqining \(x\) koordinatalar farqiga nisbatidir. O'zgaruvchilarning pastki indekslari sizni chalg'itmasin: ular shunchaki ikkala qiymat ham \(x\) yoki \(y\) ekanligini, biroq turli nuqtalarga tegishli ekanini bildiradi.

Ushbu ta'rifdan foydalanganda qaysi nuqtani birinchi va qaysi birini ikkinchi deb tanlashning hech qanday ahamiyati yo'q. Istalgan nuqtani birinchi deb olsangiz ham burchak koeffitsiyenti ayni bir xil qiymatga ega bo'ladi.

Shuningdek, burchak koeffitsiyentining geometrik ta'rifi ham mavjud bo'lib, u ko'pincha quyidagicha ifodalanadi:

Quyidagi chizma ko'rsatib turganidek, har ikkala ta'rif bir-biri bilan to'liq mos keladi:

Shuni ham yodda tutingki, agar bizda to'g'ri chiziqning qiyaligi (kasr ko'rinishida yozilgan) va uning ustidagi biror nuqta, masalan \(\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) ma'lum bo'lsa, biz chiziqdagi ikkinchi nuqtani osongina topa olamiz. Buni amalga oshirish uchun kelishuv qabul qilamiz: agar qiyalik manfiy bo'lsa, manfiy ishorani kasr suratiga qo'yamiz. Boshqacha aytganda, agar qiyalik manfiy bo'lsa, vertikal o'zgarish (rise) manfiy bo'ladi, bu esa pastga siljishni anglatadi.

Demak, to'g'ri chiziqdagi ikkinchi nuqta \(\left( {{x_2},{y_2}} \right)\) ning koordinatalarini topish uchun dastlabki \(\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) nuqtadan o'ngga qarab mahrajcha (run) siljiymiz, so'ngra suratning (rise) ishorasiga qarab yuqoriga yoki pastga siljiymiz:

1-Misol Quyidagi to'g'ri chiziqlarning har birining burchak koeffitsiyentini aniqlang va ularning grafiklarini chizing:

1. \(\left( { - 2, - 3} \right)\) va \(\left( {3,1} \right)\) nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq.
2. \(\left( { - 1,5} \right)\) va \(\left( {0, - 2} \right)\) nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq.
3. \(\left( { - 3,2} \right)\) va \(\left( {5,2} \right)\) nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq.
4. \(\left( {4,3} \right)\) va \(\left( {4, - 2} \right)\) nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq.

a \(\left( { - 2, - 3} \right)\) va \(\left( {3,1} \right)\) nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq. Yechim

Qiyalik formulasiga qo'yamiz:

\[m = \frac{{1 - \left( { - 3} \right)}}{{3 - \left( { - 2} \right)}} = \frac{{1 + 3}}{{3 + 2}} = \frac{4}{5}\]

Quyida ushbu to'g'ri chiziqning grafigi keltirilgan. E'tibor bering, burchak koeffitsiyenti musbat bo'lgani sababli, chapdan o'ngga qarab yurganda to'g'ri chiziq o'sib boradi:

b \(\left( { - 1,5} \right)\) va \(\left( {0, - 2} \right)\) nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq. Yechim

Qiyalikni hisoblaymiz:

\[m = \frac{{ - 2 - 5}}{{0 - \left( { - 1} \right)}} = \frac{{ - 7}}{1} = - 7\]

Qiyalik manfiy bo'lgani sababli, chapdan o'ngga qarab harakatlanganda to'g'ri chiziq keskin pastga qarab kamayib boradi:

c \(\left( { - 3,2} \right)\) va \(\left( {5,2} \right)\) nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq. Yechim

Qiyalikni topamiz:

\[m = \frac{{2 - 2}}{{5 - \left( { - 3} \right)}} = \frac{0}{8} = 0\]

Burchak koeffitsiyenti nolga teng! Bu to'g'ri chiziqning gorizontal to'g'ri chiziq ekanligini bildiradi:

d \(\left( {4,3} \right)\) va \(\left( {4, - 2} \right)\) nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq. Yechim

Qiyalikni hisoblaymiz:

\[m = \frac{{ - 2 - 3}}{{4 - 4}} = \frac{{ - 5}}{0}\]

Nolga bo'lish mumkin emas! Demak, bu to'g'ri chiziq uchun burchak koeffitsiyenti (qiyalik) mavjud emas (aniqlanmagan). Bu to'g'ri chiziq vertikal to'g'ri chiziq bo'ladi:

Yuqoridagi misoldan quyidagi xulosalarni chiqarish mumkin:

• Agar \(m > 0\) bo'lsa, to'g'ri chiziq o'suvchi bo'ladi.
• Agar \(m < 0\) bo'lsa, to'g'ri chiziq kamayuvchi bo'ladi.
• Agar \(m = 0\) bo'lsa, to'g'ri chiziq qat'iy gorizontal bo'ladi.
• Agar \(m\) aniqlanmagan (maxraj nol) bo'lsa, to'g'ri chiziq vertikal bo'ladi.

Nuqta va qiyalik bo'yicha to'g'ri chiziq tenglamasi (Point-Slope Form)

Agar to'g'ri chiziqning burchak koeffitsiyenti \(m\) hamda uning ustida yotuvchi biror \(\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) nuqta ma'lum bo'lsa, to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagicha yoziladi:

Burchak koeffitsiyentli to'g'ri chiziq tenglamasi (Slope-Intercept Form)

To'g'ri chiziqning eng mashhur va qulay shakllaridan biri:

Bu yerda \(m\) — burchak koeffitsiyenti, \(b\) esa to'g'ri chiziqning ordinata (\(y\)) o'qini kesib o'tish nuqtasi \((0, b)\) koordinatasidir.

3-Misol Quyidagi to'g'ri chiziqlarning burchak koeffitsiyentini aniqlang va grafiklarini chizing:

1. \(3x + 2y = 6\)
2. \(x - 4y = 8\)

a \(3x + 2y = 6\) Yechim

Tenglamani \(y\) ga nisbatan yechamiz:

\[2y = - 3x + 6 \implies y = - \frac{3}{2}x + 3\]

Demak, qiyalik \(m = -\frac{3}{2}\) va \(y\)-o'qini kesib o'tish nuqtasi \((0, 3)\) dir:

b \(x - 4y = 8\) Yechim

Tenglamani \(y\) ga nisbatan yechamiz:

\[ - 4y = - x + 8 \implies y = \frac{1}{4}x - 2\]

Demak, qiyalik \(m = \frac{1}{4}\) va \(y\)-kesish nuqtasi \((0, -2)\) dir:

Parallel va perpendikulyar to'g'ri chiziqlar (Parallel & Perpendicular Lines)

To'g'ri chiziqlarning o'zaro joylashuvi ularning burchak koeffitsiyentlari orqali aniqlanadi:

• Ikki to'g'ri chiziq parallel bo'ladi faqat va faqat ularning burchak koeffitsiyentlari teng bo'lsa: \[{m_1} = {m_2}\]
• Ikki to'g'ri chiziq perpendikulyar (o'zaro to'g'ri burchak ostida) bo'ladi faqat va faqat ularning burchak koeffitsiyentlari ko'paytmasi \(-1\) ga teng bo'lsa: \[{m_1}{m_2} = - 1 \iff {m_2} = - \frac{1}{{{m_1}}}\]