4-bob: Laplas o'zgarishlari
Ushbu bobda biz differensial tenglamalarni yechishda Laplas o'zgartirishlaridan qanday foydalanishni ko'rib chiqamiz. Dunyoda o'zgarishlarning ko'p turlari mavjud. Laplas transformatsiyalar va Furye o'zgarishlari, ehtimol, ishlatiladigan asosiy ikki turdagi transformatsiyalardir. Keyingilarda ko'rib turganimizdek, algebra muammosiga differensial tenglamani kamaytirish uchun Laplas o'zgartirishlaridan foydalanishimiz mumkin. Algebra vaqti-vaqti bilan chalkash bo'lishi mumkin, ammo bu ko'p hollarda to'g'ridan-to'g'ri differensial tenglamani echishdan ko'ra soddaroq bo'ladi. Laplas Transformatsiyalar IVP ni hal qilish uchun ham ishlatilishi mumkin, biz oldingi usullardan foydalana olmaydigan.
Oxirgi bobning birinchi bo'limlaridagi kabi "oddiy" differentsial tenglamalar uchun Laplas o'zgarishlari bizga kerak bo'lgandan ham murakkabroq bo'ladi. Aslida, oxirgi bobdagi kabi ko'pgina bir hil differensial tenglamalar uchun Laplas o'zgarishlari sezilarli darajada uzoqroq va unchalik foydali emas. Shuningdek, biz ko'rgan "oddiy" bir hil bo'lmagan differensial tenglamalarning ko'pchiligi Aniqlanmagan koeffitsientlar va Parametrlarning o'zgarishi Biz u erda qilganimizdek qilish hali ham soddaroq (yoki hech bo'lmaganda Laplas o'zgartirishlaridan qiyinroq emas). Biroq, hozirgi vaqtda Laplas konvertatsiyalari uchun talab qilinadigan ish hajmi biz ushbu bo'limlarda bajargan ish hajmiga tenglasha boshlaydi.
Differensial tenglamadagi majburlash funksiyasi murakkablasha boshlaganda Laplas konvertatsiyalari o'z-o'zidan paydo bo'ladi. Oldingi bobda biz faqat bir jinsli bo'lmagan differentsial tenglamalarni ko'rib chiqdik, ularda \(g(t)\) juda oddiy uzluksiz funksiya edi. Ushbu bobda biz doimiy bo'lmagan \(g(t)\)-larni ko'rib chiqamiz. Aynan shu muammolar Laplas o'zgarishlarini qo'llash sabablari aniqlana boshlaydi.
Bundan tashqari, biz oxirgi bobdagi ba'zi bir murakkab bir jinsli bo'lmagan differentsial tenglamalar uchun Laplas transformatsiyalar aslida bu muammolarda ham osonroq.
Mana, ushbu bobdagi bo'limlarning qisqacha tavsifi.
Ta'rif – Ushbu bo'limda biz Laplas konvertatsiyasining ta'rifini beramiz. Shuningdek, biz ta'rifdan foydalanib, bir nechta Laplas o'zgarishlarini hisoblaymiz.
Laplas o'zgarishlari - Ushbu bo'limda biz odatda Laplas o'zgarishlarini hisoblash usulini tanishtiramiz, bu ta'rifdan foydalanishni talab qilmaydi. Biz ushbu materialda foydalanilgan Laplas o'zgarishlar jadvalini muhokama qilamiz va Laplas o'zgartirishlar jadvalidan foydalanishni ko'rsatadigan turli misollar bilan ishlaymiz.
Teskari Laplas o'zgarishlari - Ushbu bo'limda biz oldingi bo'limga qarama-qarshi savol beramiz. Boshqacha qilib aytganda, Laplas konvertatsiyasini hisobga olgan holda, biz dastlab qanday funktsiyaga ega edik? Buni amalga oshirish uchun Laplas o'zgartirishlar jadvalidan qanday foydalanishni, shuningdek, jadvaldan foydalanish uchun zarur bo'lgan ushbu Laplas konvertatsiyasining ba'zi bir manipulyatsiyasini ko'rsatadigan turli xil misollarni yana bir bor ishlaymiz.
Bosqichli funksiyalar – Ushbu bo'limda biz qadam yoki Heaviside funktsiyasi bilan tanishamiz. Biz Heaviside funktsiyalari nuqtai nazaridan bo'laklarga bo'lingan funktsiyani qanday yozishni ko'rsatamiz. Shuningdek, biz Heaviside funktsiyalarini o'z ichiga olgan Laplas va teskari Laplas konvertatsiyalarini qanday olish kerakligini ko'rsatadigan turli xil misollar bilan ishlaymiz. Shuningdek, biz Heaviside funktsiyalarini o'z ichiga olgan funktsiyalarning Laplas konvertatsiyasini olish uchun formulalarni olamiz.
IVP ni Laplace Transforms bilan hal qilish - Ushbu bo'limda biz IVP ni hal qilish uchun Laplas transformlaridan qanday foydalanishni ko'rib chiqamiz. Ushbu bo'limdagi misollar Laplas konvertatsiyasidan foydalanmasdan yechish mumkin bo'lgan differentsial tenglamalar bilan cheklangan. Ushbu turdagi differensial tenglamadan boshlashning afzalligi shundaki, ish unchalik aralashmaydi va agar xohlasak, biz har doim javoblarimizni tekshirishimiz mumkin.
Doimiy bo'lmagan IVP koeffitsienti - Ushbu bo'limda biz ba'zi doimiy bo'lmagan IVP koeffitsientlarini echish uchun Laplas konvertatsiyasidan foydalanish haqida qisqacha ma'lumot beramiz. Biz bu bo'limda juda ko'p misollar ishlamaymiz. Laplas o'zgarishlari bilan jarayon qanday ishlashini ko'rsatish uchun biz faqat ikkita ishlaymiz.
Bosqichli funksiyalarga ega IVP - Bu Laplas transformatsiyasidan foydalanish sababi haqiqatan ham aniq bo'ladigan bo'lim. Biz Heaviside (yoki qadam) funktsiyalarini o'z ichiga olgan IVP ni hal qilish uchun Laplas transformlaridan foydalanamiz. Laplas transformatsiyasisiz ularni hal qilish juda ko'p ishlarni talab qiladi. Biz ushbu misollardan birini Laplas konvertatsiyasisiz ishlayotgan bo'lsak-da, biz buni faqat misollardan birini Laplas transformatsiyasidan foydalanmasdan echishga harakat qilsak, nima bo'lishini ko'rsatish uchun qilamiz.
Dirac Delta funktsiyasi – Ushbu bo'limda biz Dirac Delta funktsiyasi bilan tanishamiz va Dirac Delta funktsiyasining Laplas konvertatsiyasini olamiz. Biz Dirac Delta funksiyalarini o'z ichiga olgan differensial tenglamalarni yechishning bir nechta misollarini ishlab chiqamiz va Heaviside funktsiyalari bilan bog'liq muammolardan farqli o'laroq, bu turdagi differensial tenglama uchun yagona haqiqiy variantimiz Laplas transformatsiyasidan foydalanishdir. Shuningdek, biz Heaviside va Dirac Delta funktsiyalari o'rtasida yaxshi munosabatni beramiz.
Konvolyutsiya integrallari – Ushbu bo'limda biz konvolyutsiya integrali va undan teskari Laplas o'zgarishlarini olish uchun qanday foydalanish mumkinligi haqida qisqacha ma'lumot beramiz. Majburlash funksiyasi (ya'ni y harfi bo'lmagan atama) noma'lum bo'lgan differentsial tenglamani yechishda foydalanishni ham ko'rsatamiz.
Laplas o'zgarishlari jadvali - Ushbu bo'lim biz materialda foydalanadigan Laplace Transforms jadvalidir. Biz imkon qadar turli xil Laplas o'zgarishlarini beramiz, shu jumladan Laplas o'zgarishlari jadvallarida tez-tez berilmaydigan ba'zilari.