Faktorli shakldan biz nollar ekanligini ko'rishimiz mumkin,

\[x = 4 = \frac{4}{1}\hspace{0.25in}\,\,\,x = \frac{2}{3}\hspace{0.25in}x = - \frac{5}{4}\]

E'tibor bering, biz butun sonni teoremaga sig'dirish uchun kasr sifatida yozdik. Bundan tashqari, salbiy nol bilan biz manfiyni pay yoki maxrajga qo'yishimiz mumkin. Bu muhim emas.

Demak, ratsional ildiz teoremasiga ko‘ra, bu kasrlarning sanoqchilari (uchinchi nolda minus belgisi bo‘lgan yoki bo‘lmagan) hammasi 40 ko‘paytmalari, maxrajlari esa 12 ko‘paytmalari bo‘lishi kerak.

40 va 12 ni koeffitsient qilishning bir necha usullari mavjud.

\[\begin{align*}40 & = \left( 4 \right)\left( {10} \right) & \hspace{0.25in}40 & = \left( 2 \right)\left( {20} \right) & \hspace{0.25in}40 & = \left( 5 \right)\left( 8 \right)& \hspace{0.25in}40 & = \left( { - 5} \right)\left( { - 8} \right)\\ 12 & = \left( 1 \right)\left( {12} \right) & \hspace{0.25in}12 & = \left( 3 \right)\left( 4 \right) & \hspace{0.25in}12 & = \left( { - 3} \right)\left( { - 4} \right) & & \end{align*}\]

Bulardan ko'rishimiz mumkinki, aslida sanoqlarning hammasi 40 ning ko'paytmalari va maxrajlarning hammasi 12 ning ko'paytmalaridir. Shuningdek, ko'rsatilgandek, uchinchi nolga minus belgisini yoki ayiruvchiga yoki maxrajga qo'yishimiz mumkin va u hali ham tegishli sonning koeffitsienti bo'lib qolaveradi.

Endi ratsional ildiz teoremasi nima deydi? Unda aytilishicha, agar \(x = \frac{b}{c}\) \(P\left( x \right)\) ning nolga teng bo'lishi kerak bo'lsa, \(b\) 6 koeffitsienti va \(c\) 1 faktor bo'lishi kerak. Bundan tashqari, oldingi misolda ko'rganimizdek, biz salbiy omillarni unuta olmaymiz.

Shunday qilib, birinchi navbatda, 1 va 6 ning barcha mumkin bo'lgan omillarini sanab o'tish kerak. Mana ular.

\[\begin{align*}6 & : \pm 1,\,\, \pm 2,\,\, \pm 3,\,\, \pm 6\\ 1 & : \pm 1\end{align*}\]

Endi, polinomning mumkin bo'lgan ratsional nollari ro'yxatini olish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa bu raqamlardan hosil qilishimiz mumkin bo'lgan barcha mumkin bo'lgan kasrlarni yozishdir, bu erda paylar 6 koeffitsienti va maxrajlari 1 koeffitsienti bo'lishi kerak. Bu aslida birinchi qarashda ko'rinadiganidan osonroq.

Buni amalga oshirishning juda oddiy qisqacha usuli mavjud. Keling, birinchisini batafsil ko'rib chiqaylik, keyin qolganini tezroq qilamiz. Birinchidan, suratlar ro'yxatidan birinchi omilni, shu jumladan \( \pm \) ni oling va uni maxrajlar ro'yxatidan birinchi omilga (yaxshi, bu holda faqat omil) bo'ling, yana \( \pm \). Buni qilish,

\[\frac{{ \pm 1}}{{ \pm 1}}\]

Bu tartibsizlikka o'xshaydi, lekin bu juda yomon emas. Bu erda to'rtta kasr mavjud. Ular,

\[\frac{{ + 1}}{{ + 1}} = 1\hspace{0.25in}\frac{{ + 1}}{{ - 1}} = - 1\hspace{0.25in}\frac{{ - 1}}{{ + 1}} = - 1\hspace{0.25in}\frac{{ - 1}}{{ - 1}} = 1\]

E'tibor bering, to'rtta kasrning barchasi ikkita mumkin bo'lgan songa kamayadi. Bu har doim bunday kasrlar bilan sodir bo'ladi. Endi biz kasrni hosil qilamiz, \( \pm \) ga e'tibor bermay, raqamlarni soddalashtiramiz va keyin \( \pm \) dan birini tashlab qo'yamiz.

Shunday qilib, ushbu ko'phad uchun mumkin bo'lgan ratsional nollar ro'yxati:

\[\frac{{ \pm 1}}{{ \pm 1}} = \pm 1\hspace{0.25in}\frac{{ \pm 2}}{{ \pm 1}} = \pm 2\hspace{0.25in}\frac{{ \pm 3}}{{ \pm 1}} = \pm 3\hspace{0.25in}\frac{{ \pm 6}}{{ \pm 1}} = \pm 6\]

Shunday qilib, faqat 8 ta mumkin bo'lgan ratsional nol bor ko'rinadi va bu holda ularning barchasi butun sonlardir. Shuni ham yodda tutingki, ushbu polinomning har qanday ratsional nollari ushbu ro'yxatda bo'ladi, garchi biz ularni hali topa olmadik.

Biz bu haqda unchalik ko'p tafsilotlarni keltirmaymiz. Avval -9 va 2 ning barcha omillari roʻyxatini oling. Eʼtibor bering, 9-dagi minus belgisi unchalik muhim emas, chunki biz har bir omil boʻyicha \( \pm \) ni olamiz.

\[\begin{align*} - 9 & : \pm 1,\,\, \pm 3,\,\, \pm 9\\ 2 & : \pm 1,\,\, \pm 2\end{align*}\]

Endi -9 ning koeffitsientlari barcha mumkin bo'lgan sonlar va 2 ning ko'rsatkichlari barcha mumkin bo'lgan maxrajlardir.

Bu erda ushbu polinomning barcha mumkin bo'lgan ratsional nollari ro'yxati keltirilgan.

\[\begin{align*}\frac{{ \pm 1}}{{ \pm 1}} & = \pm 1 & \hspace{0.25in}\frac{{ \pm 3}}{{ \pm 1}} & = \pm 3 & \hspace{0.25in}\frac{{ \pm 9}}{{ \pm 1}} & = \pm 9\\ & \\ \frac{{ \pm 1}}{{ \pm 2}} & = \pm \frac{1}{2} & \hspace{0.25in}\frac{{ \pm 3}}{{ \pm 2}} & = \pm \frac{3}{2} & \hspace{0.25in}\frac{{ \pm 9}}{{ \pm 2}} & = \pm \frac{9}{2}\end{align*}\]

Shunday qilib, bizda jami 12 ta mumkin bo'lgan ratsional nol bor, yarmi butun sonlar va yarmi kasrlar.

Biz oldingi misolda barcha mumkin bo'lgan ratsional nollarning ro'yxatini topdik. Mana ular.

\[ \pm 1,\,\, \pm 2,\,\, \pm 3,\,\, \pm 6\]

Endi biz polinomni ushbu raqamlarda baholashni boshlashimiz kerak. Biz ro'yxatning istalgan joyidan boshlashimiz mumkin va biz nolni topgunimizcha davom etamiz.

Baholash uchun biz quramiz sintetik bo'linish jadvali. Sintetik bo'linish jadvalida ko'paytirishni boshimiz bilan bajaring va o'rta qatorni faqat uchinchi qatorni yozib qo'ying va biz jarayonni bir necha marta o'tkazganimiz uchun biz barcha qatorlarni jadvalga joylashtiramiz.

Mana bu muammo uchun birinchi sintetik bo'linish jadvali.

\[\begin{array}{r|rrrrl} {} & 1 & -7 & 17 & -17 & 6 \\ \hline -1 & 1 & -8 & 25 & -42 & 48=P\left( -1 \right)\ne 0 \\ 1 & 1 & -6 & 11 & -6 & 0=P\left( 1 \right)=0\,\,!\,\,! \end{array}\]

Shunday qilib, biz nolni topdik. Bunga kirishdan oldin, ularni amalga oshirishingiz mumkinligiga ishonch hosil qilish uchun bu erda hisob-kitoblarni takrorlaymiz.

Yuqori qator polinomning koeffitsientlari, birinchi ustun esa polinomni baholayotgan raqamlardir.

Har bir qator (birinchi qatordan keyin) dan uchinchi qatordir sintetik bo'linish jarayoni. Keling, ikkinchi qatordagi birinchi juft raqamlarni tezda ko'rib chiqaylik. Ikkinchi ustundagi raqam pastga tushirilgan birinchi koeffitsientdir. Uchinchi ustundagi raqam -1 ni 1 ga ko'paytirish va -7 ni qo'shish orqali topiladi. Bu -8 ni beradi. To'rtinchi raqam uchun 17 ga -1 marta -8 qo'shiladi. Bu 25, va hokazo.

Agar kerak bo'lsa, muntazam sintetik bo'linishni amalga oshirishingiz mumkin, ammo bu jadvallarni bajarish yaxshi fikr, chunki bu jarayonda yordam berishi mumkin.

OK, muammoga qaytish. Endi biz \(x = 1\) nol ekanligini bilamiz va shuning uchun polinomni quyidagicha yozishimiz mumkin:

\[P\left( x \right) = {x^4} - 7{x^3} + 17{x^2} - 17x + 6 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6} \right)\]

Endi bu jarayonni \(Q\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 11x - 6\) polinomi bilan takrorlashimiz kerak. Shunday qilib, birinchi narsa qilish kerak bo'lgan narsa - bu ko'phadning barcha mumkin bo'lgan ratsional ildizlarini yozish va bu holda biz bu ko'phaddagi birinchi va oxirgi raqamlar asl ko'phad bilan bir xil bo'lishidan baxtiyormiz, bu odatda sodir bo'lmaydi, shuning uchun har doim ham buni kutmang. Bu polinomning barcha mumkin bo'lgan ratsional nollarining ro'yxati.

\[ \pm 1,\,\, \pm 2,\,\, \pm 3,\,\, \pm 6\]

Endi, yangi sintetik bo'linish jadvalini yaratishdan oldin, biz \(P\left( x \right)\) uchun nollarni qidirayotganimizni eslaylik va birinchi bo'linish jadvalimizdan \(x = - 1\) \(P\left( x \right)\) ning noli EMASligini aniqladik va shuning uchun bu raqam bilan yana bezovtalanish uchun hech qanday sabab yo'q.

Bu biz doimo ushbu bosqichda qilishimiz kerak bo'lgan narsadir. Yangi mumkin bo'lgan ratsional nollar ro'yxatini ko'rib chiqing va asl polinomning ratsional nollari bo'la olmaydiganlar bormi, deb so'rang. Agar ba'zilari bo'lsa, ularni tashlab yuboring, chunki ular ishlamasligini allaqachon bilib olamiz. Shunday qilib, bu erda sinab ko'rish uchun raqamlarning qisqartirilgan ro'yxati,

\[1,\,\, \pm 2,\,\, \pm 3,\,\, \pm 6\]

Shuni yodda tutingki, biz \(x = 1\) ni ro'yxatga kiritishimiz kerak, chunki nol bir martadan ko'proq bo'lishi mumkin (i.e. ko'plik birdan katta).

Mana bu polinom uchun sintetik bo'linish jadvali.

\[\begin{array}{r|rrrl} {} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ \hline 1 & 1 & -5 & 6 & \,\,0=P\left( 1 \right)=0!! \\ \end{array}\]

Shunday qilib, \(x = 1\) ham \(Q\left( x \right)\) ning nolga teng va biz endi \(Q\left( x \right)\) ni quyidagicha yozishimiz mumkin:

\[Q\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 11x - 6 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 5x + 6} \right)\]

Endi texnik jihatdan biz \({x^2} - 5x + 6\) bilan jarayonni davom ettirishimiz mumkin edi, lekin bu kvadrat tenglama va biz bu kabi murakkab jarayonsiz ularning nollarini qanday topishni bilamiz, shuning uchun buni odatdagidek hal qilaylik.

\[{x^2} - 5x + 6 = \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,x = 2,\,\,x = 3\]

E'tibor bering, bu ikki raqam mumkin bo'lgan ratsional nollar ro'yxatida.

Ushbu muammoni yakunlash \(P\left( x \right)\) uchun quyidagi nollarning ro'yxatini beradi.

\[\begin{align*}& x = 1\hspace{0.25in}\left( {{\mbox{multiplicity 2}}} \right)\\ & x = 2\hspace{0.25in}\left( {{\mbox{multiplicity 1}}} \right)\\ & x = 3\hspace{0.25in}\left( {{\mbox{multiplicity 1}}} \right)\end{align*}\]

E'tibor bering, \(x=1\) 2 ning ko'pligiga ega, chunki u yuqoridagi ishimizda ikki marta ko'rsatilgan.

Ikkinchi misoldan bilamizki, barcha mumkin bo'lgan ratsional nollarning ro'yxati quyidagicha:

\[\begin{align*}\frac{{ \pm 1}}{{ \pm 1}} & = \pm 1 & \hspace{0.25in}\frac{{ \pm 3}}{{ \pm 1}} & = \pm 3 & \hspace{0.25in}\frac{{ \pm 9}}{{ \pm 1}} & = \pm 9\\ & \\ \frac{{ \pm 1}}{{ \pm 2}} & = \pm \frac{1}{2} & \hspace{0.25in}\frac{{ \pm 3}}{{ \pm 2}} & = \pm \frac{3}{2} & \hspace{0.25in}\frac{{ \pm 9}}{{ \pm 2}} & = \pm \frac{9}{2}\end{align*}\]

Keyingi qadam sintetik bo'linish jadvalini tuzishdir. Bizda kasrlar bo'lsa, odatda butun sonlardan boshlash va ularni birinchi bo'lib bajarish yaxshidir. Bundan tashqari, bu safar biz avval barcha manfiy sonlarni bajarishdan boshlaymiz. Biz buni nollarni aniqlashga yordam berish uchun yuqorida keltirilgan faktdan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ishora qilish uchun qilyapmiz.

\[\begin{array}{r|rrrrl} {} & 2 & 1 & 3 & 3 & -9 \\ \hline -9 & 2 & -17 & 156 & -1401 & 12600=P\left( -9 \right)\ne 0 \\ -3 & 2 & -5 & 18 & -51 & 144=P\left( -3 \right)\ne 0 \\ -1 & 2 & -1 & 4 & -1 & -8=P\left( -1 \right)\ne 0 \\ \end{array}\]

Endi biz hali nolni topa olmadik, ammo keling, \(P\left( { - 3} \right) = 144 > 0\) va \(P\left( -1 \right)=-8<0\) va shuning uchun yuqoridagi faktdan biz \(x = - 3\) va \(x = - 1\) o'rtasida nol bo'lishi kerakligini bilamiz. Endi biz \(x = - \frac{3}{2} = - 1.5\) ushbu diapazonda ekanligini va bizning ro'yxatimizda ushbu diapazondagi yagona raqam ekanligini va shuning uchun bu nol bo'lish ehtimoli borligini ham payqashimiz mumkin. Keling, sintetik bo'linishni tezda tekshirib ko'raylik va nol ekanligini tekshiring va agar u nol bo'lsa, \(Q\left( x \right)\) uchun koeffitsientlarni oling.

\[\begin{array}{r|rrrrr} {} & 2 & \,\,1 & 3 & \,\,3 & -9 \\ \hline -\frac{3}{2} & 2 & -2 & 6 & -6 & \,\,0 \\ \end{array}\]

Shunday qilib, biz oxirgi nuqtada nolga ega bo'ldik, bu bizga bu nol ekanligini va \(Q\left( x \right)\) ekanligini ko'rsatadi,

\[Q\left( x \right) = 2{x^3} - 2{x^2} + 6x - 6\]

Endi biz ushbu polinom bilan butun jarayonni takrorlashimiz kerak. Bundan tashqari, oldingi misoldan farqli o'laroq, biz asl ro'yxatni qayta ishlata olmaymiz, chunki bu safar oxirgi raqam boshqacha. Shunday qilib, bu erda -6 va 2 omillari mavjud.

\[\begin{align*} - 6 & : \pm 1,\,\, \pm 2,\,\, \pm 3,\,\, \pm 6\\ 2 & : \pm 1,\,\, \pm 2\end{align*}\]

Mana \(Q\left( x \right)\) uchun barcha mumkin bo'lgan ratsional nollarning ro'yxati.

\[\begin{align*}\frac{{ \pm 1}}{{ \pm 1}} & = \pm 1 & \hspace{0.25in}\frac{{ \pm 2}}{{ \pm 1}} & = \pm 2 & \hspace{0.25in}\frac{{ \pm 3}}{{ \pm 1}} & = \pm 3 &\hspace{0.25in}\frac{{ \pm 6}}{{ \pm 1}} & = \pm 6\\ & \\ \frac{{ \pm 1}}{{ \pm 2}} & = \pm \frac{1}{2} & \hspace{0.25in}\frac{{ \pm 2}}{{ \pm 2}} & = \pm 1& \hspace{0.25in}\frac{{ \pm 3}}{{ \pm 2}} & = \pm \frac{3}{2} & \hspace{0.25in}\frac{{ \pm 6}}{{ \pm 2}} & = \pm 3\end{align*}\]

E'tibor bering, ba'zi raqamlar ikkala qatorda ko'rinadi va shuning uchun biz ularni faqat bir marta yozish orqali ro'yxatni qisqartirishimiz mumkin. Shuni ham yodda tutingki, biz \(P\left( x \right)\) nollarini qidirmoqdamiz va shuning uchun biz \(P\left( x \right)\) uchun bergan asl ro'yxatda bo'lmagan har qanday raqamni ushbu ro'yxatdan chiqarib tashlashimiz mumkin. Shunday qilib, \(P\left( x \right)\) ning nolga teng bo'lmagan, shuningdek, asl ro'yxatda bo'lmagan oldindan tekshirilgan raqamlarni hisobga olmaganda, biz tekshirishimiz kerak bo'lgan quyidagi mumkin bo'lgan raqamlar ro'yxatini beradi.

\[1,\,\,3,\,\, \pm \frac{1}{2},\,\, \pm \frac{3}{2}\]

Shunga qaramay, biz \(x = - 3\) va \(x = - 1\) ni allaqachon tekshirib chiqdik va ular nol emasligini bilamiz, shuning uchun ularni qayta tekshirish uchun hech qanday sabab yo‘q. Keling, yana butun sonlardan boshlaylik va biz nimani olganimizni ko'ramiz.

Shunday qilib, \(x = 1\) \(Q\left( x \right)\) ning nolga teng va biz endi \(Q\left( x \right)\) ni quyidagicha yozishimiz mumkin:

\[Q\left( x \right) = 2{x^3} - 2{x^2} + 6x - 6 = \left( {x - 1} \right)\left( {2{x^2} + 6} \right)\]

va oldingi misolda bo'lgani kabi, kvadratni boshqa usullar bilan yechishimiz mumkin.

\[\begin{align*}2{x^2} + 6 & = 0\\ {x^2} & = - 3\\ x & = \pm \sqrt 3 \,i\end{align*}\]

Shunday qilib, bu holda biz bir nechta murakkab nollarni olamiz. Bu sodir bo'lishi mumkin.

Mana \(P\left( x \right)\) uchun barcha nollarning to'liq ro'yxati va ularning barchasi bittaning ko'pligiga ega ekanligini unutmang.

\[x = - \frac{3}{2},\,\,\,x = 1,\,\,\,x = - \sqrt 3 \,\,i,\,\,\,x = \sqrt 3 \,\,i\]