3.2-bo'lim: Hosilaning talqini
Oldingida baholagan chegaralardan qochib, hosilalarni qanday hisoblashni o'rganadigan bo'limga o'tishdan oldin hosilalarning ba'zi talqinlarini tezda ko'rib chiqishimiz kerak. Bu talqinlarning barchasi hosila haqidagi ta'rifimiz qanday paydo bo'lganligini eslashdan kelib chiqadi. Ta'rif biz birinchi bo'lib ishlagan barcha muammolarni payqash orqali paydo bo'ldi bo'limi Limitlar bobida bizdan bir xil chegarani baholashimiz talab qilingan.
O'zgarish darajasi
Hosilaning birinchi talqini o'zgarish tezligidir. Bu biz Limitlar bobida ko'rib chiqqan birinchi muammo emas edi, lekin bu hosilaning eng muhim talqini. Agar \(f\left( x \right)\) istalgan \(x\) da miqdorni ifodalasa, unda \(f'\left( a \right)\) hosilasi \(f\left( x \right)\) ning \(x = a\) da bir lahzali o‘zgarish tezligini ifodalaydi.
- Idishdagi suv hajmi \(t = 1\) daqiqada ortib bormoqdami yoki kamayyaptimi?
- \(t = 5\) daqiqada idishdagi suv hajmi ortib bormoqdami yoki kamayyaptimi?
- \(t = 1\) yoki \(t = 5\) daqiqalarda idishdagi suv hajmi tezroq o'zgaradimi?
- Idishdagi suv hajmi hech qachon o'zgarmaydimi? Agar shunday bo'lsa, qachon?
Munozarani ko'rsatish
Ushbu misolning yechimida biz turli belgilar bilan tanishish uchun hosila uchun ikkala belgidan ham foydalanamiz.
Bu savollarga javob berish uchun bizga ovoz balandligining o'zgarish tezligi kerak bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, bizga ushbu funktsiyaning hosilasi kerak bo'ladi, chunki bu bizga istalgan vaqtda \(t\) o'zgarish tezligi formulasini beradi. Endi e'tibor bering, idishdagi suv hajmini beruvchi funktsiya biz oxirgi 1-misolda ko'rgan funksiya bilan bir xil. bo'limi faqat harflar o'zgargan. Ushbu misoldagi funktsiya va oxirgi qismdagi misoldagi funksiya o'rtasidagi harflarning o'zgarishi ishga ta'sir qilmaydi va shuning uchun biz faqat javobdan foydalanishimiz mumkin. harflarning tegishli o'zgarishi bilan bu misol.
lotin hisoblanadi.
\[V'\left( t \right) = 4t - 16\hspace{0.5in}{\rm{OR}}\hspace{0.5in}\frac{{dV}}{{dt}} = 4t - 16\]Birinchi chegaralar bo'limidagi ishimizdan shuni esga olamizki, agar o'zgarish tezligi ijobiy bo'lsa, unda miqdor ortib borayotganini va o'zgarish tezligi salbiy bo'lsa, miqdorning kamayishini aniqladik.
Endi muammoni hal qilishimiz mumkin.
a \(t = 1\) daqiqada idishdagi suv hajmi ortib bormoqdami yoki kamayyaptimi? Yechim
Bunday holda, bizga faqat \(t = 1\) or da ovoz balandligining o'zgarish tezligi kerak bo'ladi,
\[V'\left( 1 \right) = - 12\hspace{0.5in}{\rm{OR}}\hspace{0.5in}{\left. {\frac{{dV}}{{dt}}} \right|_{\,t = 1}} = - 12\]Shunday qilib, \(t = 1\) da o'zgarish tezligi manfiy va shuning uchun bu vaqtda ovoz hajmi kamayishi kerak.
b \(t = 5\) daqiqada idishdagi suv hajmi ortib bormoqdami yoki kamayyaptimi? Yechim
Shunga qaramay, bizga \(t = 5\) da o'zgarish tezligi kerak bo'ladi.
\[V'\left( 5 \right) = 4\hspace{0.5in}{\rm{OR}}\hspace{0.5in}{\left. {\frac{{dV}}{{dt}}} \right|_{\,t = 5}} = 4\]Bu holda o'zgarish tezligi ijobiy bo'ladi va shuning uchun \(t = 5\) da hajm ortib borishi kerak .
c \(t = 1\) yoki \(t = 5\) daqiqalarida idishdagi suv hajmi tezroq o'zgaradimi? Yechim
Bu savolga javob berish uchun biz o'zgarish tezligining o'lchamini ko'rib chiqamiz va biz o'zgarish tezligi belgisi haqida tashvishlanmaymiz. Bu erda bilishimiz kerak bo'lgan narsa shundaki, raqam qanchalik katta bo'lsa, o'zgarish tezligi shunchalik tez bo'ladi. Shunday qilib, bu holda \(t = 1\) da ovoz balandligi tezroq o'zgaradi \(t = 5\) ga qaraganda.
d Idishdagi suv hajmi hech qachon o'zgarmaydimi? Agar shunday bo'lsa, qachon? Yechim
O'zgarish tezligi nolga teng bo'lsa, ovoz balandligi o'zgarmaydi. O'zgarish tezligi nolga teng bo'lishi uchun hosila nolga teng bo'lishi kerak degan ma'noni anglatadi. Shunday qilib, bu savolga javob berish uchun biz hal qilishimiz kerak
\[V'\left( t \right) = 0\hspace{0.5in}{\rm{OR}}\hspace{0.5in}\frac{{dV}}{{dt}} = 0\]Buni qilish yetarlicha oson.
\[4t - 16 = 0\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}t = 4\]Shunday qilib, \(t = 4\) da ovoz balandligi o'zgarmaydi. E'tibor bering, bularning barchasi bir lahzaga ovoz balandligi o'zgarmasligini anglatadi. Bu nuqtada ovoz balandligi doimiy ravishda o'zgarishini to'xtatadi, deb aytmaydi.
Agar (a) va (b) qismlaridagi javoblarimizga qaytsak, nima bo'layotgani haqida tasavvurga ega bo'lishimiz mumkin. \(t = 1\) da ovoz balandligi pasaymoqda va \(t = 5\) da ovoz balandligi ortib bormoqda. Shunday qilib, bir vaqtning o'zida ovoz balandligi pasayishdan oshirishga o'tishi kerak. Bu vaqt \(t = 4\).
Bu ovoz balandligi pasayishdan oshib borishga o'tadigan vaqt va shuning uchun qisqa vaqt ichida ovoz balandligi pasayishdan ortishgacha o'zgarganda o'zgarishni to'xtatadi.
E'tibor bering, o'quvchilar bunday muammolarni hal qilishda eng ko'p uchraydigan xatolardan biri hosilalardan ko'ra funktsiya qiymatlaridan ko'payish/kamayishni aniqlashga harakat qilishdir. Bunday holda, agar biz \(t = 0\), \(t = 1\) va \(t = 5\) da funktsiya qiymatlarini olsak, biz quyidagilarni olamiz:
\[V\left( 0 \right) = 35\hspace{0.5in}V\left( 1 \right) = 21\hspace{0.5in}V\left( 5 \right) = 5\]Ma'lumki, biz \(t = 0\) dan \(t = 1\) ga o'tganimizdan so'ng ovoz balandligi pasaygan. Bu bizni \(t = 1\) da ovoz balandligi pasaymoqda degan qarorga kelishimiz mumkin. Biroq, biz buni shunchaki ayta olmaymiz. Aytishimiz mumkinki, \(t = 0\) va \(t = 1\) o'rtasida ma'lum bir vaqtda ovoz balandligi pasaygan. \(t = 1\) da nima sodir bo‘layotganini bilishning yagona yo‘li \(V'\left( 1 \right)\) ni hisoblash va ortish/kamayishni aniqlash uchun uning belgisiga qarashdir. Bu holda \(V'\left( 1 \right)\) manfiy va shuning uchun \(t = 1\) da ovoz balandligi haqiqatan ham pasaymoqda.
Endi, agar biz lotin emas, balki funktsiyaga ulangan bo'lsak, bizning fikrimiz noto'g'ri bo'lsa ham, \(t = 1\) uchun to'g'ri javobni olgan bo'lardik. Bu sizga har doim shunday bo'ladi degan fikrni berishiga yo'l qo'ymaslik muhimdir. Bu \(t = 1\) misolida sodir bo'ldi.
Bu har doim ham ishlamasligini bilish uchun endi \(t = 5\) ga qaraylik. Agar biz \(t = 1\) va \(t = 5\) ni tovushga ulab olsak, \(t = 1\) dan \(t = 5\) ga o‘tganimizda ovozning pasayganini yana ko‘ramiz. Shunga qaramay, bularning barchasi \(t = 1\) va \(t = 5\) o'rtasida ovoz balandligi pasayganligini aytadi. Bu \(t = 5\) da ovoz balandligi pasayib borayotganini aytmaydi. Nima bo'layotganini bilishning yagona yo'li \(t = 5\) \(V'\left( 5 \right)\) ni hisoblash uchun mo'ljallangan va bu holda \(V'\left( 5 \right)\) ijobiy bo'ladi va shuning uchun \(t = 5\) da ovoz balandligi oshib bormoqda.
Shunday ekan, ehtiyot bo'ling. Funktsiyaning bir nuqtada ortib borayotganini yoki kamayib borayotganini aniqlash so'ralganda ishonch hosil qiling va hosilaga qarang. Bu to'g'ri javobni olishning yagona ishonchli usuli. Biz ma'lum bir nuqtaga yetganimizdan so'ng funktsiya o'sgan/kamayganligini aniqlashga intilmayapmiz. Biz ushbu funktsiyaning o'sha nuqtada ortib borayotganini/kamayayotganini aniqlashga intilamiz.
Tangens chiziqning qiyaligi
Bu hosilaning keyingi asosiy talqini. \(x = a\) da \(f\left( x \right)\) ga teguvchi chiziqning qiyaligi \(f'\left( a \right)\). Tangens chizig'i quyidagicha ifodalanadi:
\[y = f\left( a \right) + f'\left( a \right)\left( {x - a} \right)\]Yechim
Bizga birinchi navbatda funktsiyaning hosilasi kerak va biz buni oxirgi 3-misolda topdik bo'limi. hosilasi,
\[R'\left( z \right) = \frac{5}{{2\sqrt {5z - 8} }}\]Endi bizga kerak bo'lgan narsa - \(z = 3\) da funktsiya qiymati va hosilasi (qiyalik uchun).
\[R\left( 3 \right) = \sqrt 7 \hspace{0.5in}m = R'\left( 3 \right) = \frac{5}{{2\sqrt 7 }}\]Tangens chiziq u holda,
\[y = \sqrt 7 + \frac{5}{{2\sqrt 7 }}\left( {z - 3} \right)\]Tezlik
Eslatib o'tamiz, buni o'zgarish tezligini talqin qilishning alohida holati deb hisoblash mumkin. Agar ob'ektning pozitsiyasi \(f\left( t \right)\) tomonidan \(t\) vaqt birliklaridan keyin berilgan bo'lsa, \(t = a\) dagi ob'ektning tezligi \(f'\left( a \right)\) tomonidan beriladi.
Ushbu ob'ekt haqida quyidagi ikkala javobga javob bering.
- Ob'ekt \(t = 10\) soatlarida o'ngga yoki chapga siljiyaptimi?
- Ob'ekt hech qachon harakatni to'xtatadimi?
Munozarani ko'rsatish
Bizga yana bir bor hosila kerak va biz buni oxirgi 2-misolda topdik bo'limi. hosilasi,
\[g'\left( t \right) = \frac{1}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}\]a Ob'ekt \(t = 10\) soatlarida o'ngga yoki chapga harakat qilmoqdami? Yechim
Ob'ekt o'ngga (tezlik ijobiy) yoki chapga (tezlik manfiy) harakatlanayotganini aniqlash uchun bizga \(t = 10\) da hosila kerak.
\[g'\left( {10} \right) = \frac{1}{{121}}\]Shunday qilib, \(t = 10\) da tezlik musbat va shuning uchun ob'ekt \(t = 10\) da o'ngga siljiydi.
b Ob'ekt hech qachon harakatni to'xtatadimi? Yechim
Tezlik nolga teng bo'lsa, jism harakatni to'xtatadi. Ammo shuni yodda tutingki, agar ratsional ifoda nolga teng bo'lishining yagona yo'li bu surat nolga teng bo'lsa. Hosilaning surati (va shuning uchun tezlik) doimiy bo'lgani uchun u nolga teng bo'lishi mumkin emas.
Shuning uchun ob'ekt hech qachon harakatdan to'xtamaydi.
Aslida, biz bu erda bir oz ko'proq gapirishimiz mumkin. Ob'ekt har doim o'ngga harakat qiladi, chunki tezlik har doim ijobiy bo'ladi.
Biz bu erda hosilaning uchta asosiy talqinini ko'rdik. Bularni, ayniqsa o'zgarish tezligini eslab qolishingiz kerak, chunki ular kurs davomida doimiy ravishda namoyon bo'ladi.
Ushbu bo'limni tark etishdan oldin, keling, bu erda muhokama qilingan ba'zi g'oyalarni o'z ichiga olgan va ishlash uchun yaxshi misol bo'lgan yana bir misolni ishlab chiqaylik.
Yechim
Bir qarashda, bu imkonsiz bo'lib tuyuladi. Biroq, agar siz hosilaning talqini bo'yicha ba'zi bir asosiy bilimga ega bo'lsangiz, hosilaning eskizini olishingiz mumkin. Bu ko'pincha mukammal eskiz bo'lmaydi, lekin siz eskizda hosilaning asosiy xususiyatlaridan ko'pini olishingiz kerak.
Keling, bir nechta qo'shimchalar bilan funktsiyaning quyidagi eskizidan boshlaylik.
E'tibor bering, \(x = - 3\), \(x = - 1\), \(x = 2\) va \(x = 4\) da funktsiyaga teginish chizig'i gorizontaldir. Bu tangens chiziqning qiyaligi nolga teng bo'lishi kerakligini anglatadi. Endi biz bilamizki, ma'lum bir nuqtadagi teginish chizig'ining qiyaligi ham funktsiyaning shu nuqtadagi hosilasining qiymatidir. Shuning uchun biz endi bilamizki,
\[f'\left( { - 3} \right) = 0\hspace{0.5in}f'\left( { - 1} \right) = 0\hspace{0.5in}f'\left( 2 \right) = 0\hspace{0.5in}f'\left( 4 \right) = 0\]
Bu biz uchun yaxshi boshlanish nuqtasi. Bu bizga lotin grafigida bir nechta nuqtalarni beradi. Shuningdek, u funktsiya sohasini funksiya ortib borayotgan va kamayadigan hududlarga ajratadi. Yuqoridagi muhokamalarimizdan shuni bilamizki, agar funktsiya bir nuqtada ortib borayotgan bo'lsa, hosila shu nuqtada ijobiy bo'lishi kerak. Xuddi shunday, biz bilamizki, agar funktsiya bir nuqtada kamayib borayotgan bo'lsa, unda hosila shu nuqtada manfiy bo'lishi kerak.
Endi hosila haqida quyidagi ma'lumotlarni berishimiz mumkin.
\[\begin{align*} x & < - 3 & \hspace{0.5in}f'\left( x \right) & < 0\\ - 3 < x & < - 1 & \hspace{0.5in}f'\left( x \right) & > 0\\ - 1 < x & < 2 & \hspace{0.5in}f'\left( x \right) & < 0\\ 2 < x & < 4 & \hspace{0.5in}f'\left( x \right) & < 0\\ x & > 4 & \hspace{0.5in}f'\left( x \right) & > 0\end{align*}\]
Esda tutingki, biz bu erda hosilalarning belgilarini beramiz va ular faqat funktsiyaning ortishi yoki kamayishiga bog'liq. Funktsiyaning o'zi bu erda mutlaqo ahamiyatsiz va hosila belgisiga hech qanday ta'sir ko'rsatmaydi.
Bu hali bizda eskizni olish uchun etarli ma'lumotga ega emasdek tuyulishi mumkin, ammo biz funktsiya grafigidan hosila haqida biroz ko'proq ma'lumot olishimiz mumkin. \(x < - 3\) diapazonida hosila manfiy bo'lishi kerakligini bilamiz, lekin hosila shu diapazonda ortib borishi kerakligini ham ko'rishimiz mumkin. Bu erda biz \(x = - 3\) ga yetguncha manfiy bo'ladi va bu nuqtada hosila nolga teng bo'lishi kerak. Hosilaning \(x = - 3\) ning chap tomonida manfiy bo‘lishi va \(x = - 3\) da nolga teng bo‘lishining yagona yo‘li bu hosila ko‘payishi, chunki biz \(x\) ni \(x = - 3\) tomon oshiramiz.
Endi, \( - 3 < x < - 1\) diapazonida biz hosila oxirgi nuqtalarda nolga teng bo'lishi va ikkita oxirgi nuqta o'rtasida musbat bo'lishi kerakligini bilamiz. To'g'ridan-to'g'ri \(x = - 3\) ning o'ng tomonida hosila ham ortib borishi kerak (chunki u noldan boshlanadi va keyin ijobiy bo'ladi - shuning uchun u ortib borishi kerak). Shunday qilib, ushbu diapazondagi lotin ortib borishi kerak va oxir-oqibat \(x = - 1\) da nolga qaytishi kerak. Shunday qilib, bu oraliqda ma'lum bir nuqtada hosila \(x = - 1\) ga yetguncha pasayishni boshlashi kerak. Endi biz bu erda ehtiyot bo'lishimiz kerak, chunki bu ikkita oxirgi nuqtadagi umumiy xatti-harakatlar. Biz hosila oʻsishdan qayerga borishini bilmaymiz va \(x = - 1\) ga yetgunimizcha u bir necha marta oshirish va kamaytirish oʻrtasida oʻzgarishi mumkin. Haqiqatan ham aytishimiz mumkinki, darhol \(x = - 3\) ning o'ng tomonida hosila ko'payadi va darhol \(x = - 1\) ning chap tomonida hosila kamayadi.
Keyinchalik, \( - 1 < x < 2\) va \(2 < x < 4\) diapazonlari uchun lotin so'nggi nuqtalarda nolga teng bo'lishini bilamiz va ular orasida manfiy bo'ladi. Bundan tashqari, yuqorida keltirilgan mulohaza turlaridan so'ng, biz ushbu diapazonlarning har birida hosila chap tomonning so'nggi nuqtasining o'ng tomonida kamayishi va o'ng tomonning so'nggi nuqtasining chap tomonida ortib borishini ko'rishimiz mumkin.
Nihoyat, \(x > 4\) oxirgi hududida hosila \(x = 4\) da nolga teng va \(x = 4\) ning o‘ng tomonida ijobiy ekanligini bilamiz. Yana bir bor, yuqoridagi mulohazalardan so'ng, hosila ham bu oraliqda ortib borishi kerak.
Ushbu materialning barchasini bir joyga to'plash (va har doim ma'lumotni oshirish va/yoki kamaytirish uchun eng oddiy variantlarni olish) bizga lotin uchun quyidagi eskizni beradi.
E'tibor bering, bu haqiqiy lotin bilan qilingan va bu haqiqatan ham to'g'ri. Siz qilgan har qanday eskiz, ehtimol, bir xil ko'rinmaydi. Har bir mintaqadagi "qo'ng'izlar" turli joylarda va/yoki turli balandliklarda bo'lishi mumkin. Shuni ham yodda tutingki, biz vertikal shkaladan voz kechdik, chunki bizda mavjud bo'lgan ma'lumotlarga ko'ra, bu ma'lumotni bilishning haqiqiy usuli yo'q edi.
Biroq, bu hosilaning nol ekanligini bilganimizdan tashqari, hosila bo'yicha aniq nuqtalar haqida ba'zi fikrlarni ololmasligimizni anglatmaydi. Buni ko'rish uchun funksiyaning quyidagi grafigini ko'rib chiqamiz (hosil emas, balki funktsiya).
\(x = - 2\) va \(x = 3\) da biz bir nechta tangens chiziqlarni chizdik. Ushbu nuqtalarda lotin qiymatini baholash uchun asosiy ko'tarilish/yugurish qiyalik tushunchasidan foydalanishimiz mumkin.
Keling, \(x = 3\) dan boshlaylik. Bu yerda bizda ikkita ochko bor. Ko'rishimiz mumkinki, ularning har biri tarmoq chizig'idan taxminan to'rtdan bir qismida joylashganga o'xshaydi. Shunday qilib, biz bitta to'liq to'rdan o'tayotganimizni hisobga olsak, tangens chiziqning qiyaligi va shuning uchun hosila taxminan -1,5 ekanligini ko'rishimiz mumkin.
\(x = - 2\) da (ba'zi katta hisob-kitoblar bilan) ikkinchi nuqta birinchi nuqtadan taxminan 6,5 to'r yuqorida joylashganga o'xshaydi va shuning uchun bu erda tangens chiziqning qiyaligi va shuning uchun hosila taxminan 6,5 ga teng.
Bu erda vertikal shkala bilan hosilaning eskizi keltirilgan va shundan biz bizning taxminlarimiz haqiqatga juda yaqin ekanligini ko'rishimiz mumkin.
Esda tutingki, hosilalarning qiymatlarini baholash g'oyasi murakkab jarayon bo'lishi mumkin va adolatli miqdorni (ehtimol yomon) taxminlarni talab qiladi, shuning uchun uni ishlatish mumkin bo'lsa-da, siz undan ehtiyot bo'lishingiz kerak.
Biz ushbu bo'limni tugatamiz, lekin biz bu erda misol keltirmoqchi bo'lmasak-da, biz funktsiyaning o'zi chizmasini berish uchun hosila grafigidan ham foydalanishimiz mumkin. Darhaqiqat, hosilalarning ba'zi ilovalarini muhokama qiladigan keyingi bobda biz hosila bizga funktsiya grafigini chizish uchun beradigan ma'lumotlardan foydalanishni ko'rib chiqamiz.