1.3-bo'lim: Radikallar
Quyidagilarni baholang.
- \(\sqrt[3]{{125}}\)
Yechim
Radikallarni baholash uchun siz eslab qolishingiz kerak bo'lgan yagona narsa
\[y = \sqrt[n]{x}\text{ teng kuchli: }x = {y^n}\]Boshqacha qilib aytganda, \(\sqrt[n]{x}\) ni baholashda biz \(x\) ni olish uchun \(n\) ga ko'taradigan \(y\) qiymatini qidiramiz. Shunday qilib, bu muammo uchun bizda quyidagilar mavjud.
\[\sqrt[3]{{125}} = 5\hspace{0.25in}\text{chunki }\hspace{0.25in}{5^3} = 125\] - \(\sqrt[6]{{64}}\)
Yechim
\[\sqrt[6]{{64}} = 2\hspace{0.25in}\text{chunki }\hspace{0.25in}{2^6} = 64\] - \(\sqrt[5]{{ - 243}}\)
Yechim
\[(\sqrt[5]{{ - 243}} = - 3\hspace{0.25in}\text{chunki }\hspace{0.25in}{\left( { - 3} \right)^5} = - 243\] - \(\sqrt[2]{{100}}\)
Yechim
\[\sqrt[2]{{100}} = \sqrt {100} = 10\hspace{0.25in}{\mbox{Remember that }}\sqrt[2]{x} = \sqrt x \] - \(\sqrt[4]{{ - 16}}\)
Yechim
\[\sqrt[4]{{ - 16}} = {\rm{n/a}}\]Texnik jihatdan, bu muammoning javobi murakkab sondir, lekin ko'pchilik hisob sinflarida, shu jumladan menikida, kompleks sonlar ko'rib chiqilmaydi. Bundan tashqari, ushbu muammoga murakkab javob olish tafsilotlarini o'rganish ushbu sharh doirasidan tashqarida ekanligi ham bor.
Quyidagilarning har birini eksponensial shaklga aylantiring.
- \(\sqrt {7x} \)
Yechim
Radikallarni eksponensial shaklga aylantirish uchun quyidagi formulani eslab qolish kerak
\[\sqrt[n]{p} = {p^{\frac{1}{n}}}\]Ushbu muammo uchun bizda mavjud.
\[\sqrt {7x} = \sqrt[2]{{7x}} = {\left( {7x} \right)^{\frac{1}{2}}}\]Bu bilan bir nechta narsani e'tiborga olish kerak. \(\sqrt p = \sqrt[2]{p}\) ni eslang va qavsga e'tibor bering. Bular talab qilinadi, chunki 7 va \(x\) ham radikal ostida edi, shuning uchun ikkalasi ham quvvatga ko'tarilishi kerak. Bu erda qilingan eng katta xato - buni o'zgartirish
\[7{x^{\frac{1}{2}}}\]ammo bu noto'g'ri, chunki
\[7{x^{\frac{1}{2}}} = 7\sqrt x \]Shunga qaramay, qavslar bilan ehtiyot bo'ling
- \(\sqrt[5]{{{x^2}}}\)
Yechim
\[\sqrt[5]{{{x^2}}} = {\left( {{x^2}} \right)^{\frac{1}{5}}} = {x^{\frac{2}{5}}}\]E'tibor bering, men bu erda ko'rsatkichlarni birlashtirdim. Siz har doim buni qilishni xohlaysiz.
- \(\sqrt[3]{{4x + 8}}\)
Yechim
\[\sqrt[3]{{4x + 8}} = {\left( {4x + 8} \right)^{\frac{1}{3}}}\]Siz \({\left( {4x} \right)^{\frac{1}{3}}} + {\left( 8 \right)^{\frac{1}{3}}}\) ga soddalashtira olmaysiz, shuning uchun bunday qilmang!!!! Esda tutingki, \({\left( {a + b} \right)^n} \ne {a^n} + {b^n}\)!!!!
Quyidagilarning har birini soddalashtiring.
- \(\sqrt[3]{{16{x^6}{y^{13}}}}\) Ushbu muammo uchun \(x \ge 0\) va \(y \ge 0\) deb faraz qiling.
Yechim
Bu erda foydalanish uchun mulk
\[\sqrt[n]{{xy}} = \sqrt[n]{x}\,\,\sqrt[n]{y}\]Ko'rsatkichlar uchun shunga o'xshash xususiyat
\[\sqrt[n]{{\frac{x}{y}}} = \frac{{\sqrt[n]{x}}}{{\sqrt[n]{y}}}\]Bu xususiyatlarning ikkalasi ham quyidagi xususiyatlardan kamida bittasi haqiqiy \(x \ge 0\) va/yoki \(y \ge 0\) bo‘lishini talab qiladi. Nima uchun bunday bo'lganini tushunish uchun quyidagi misolni ko'rib chiqing
\[4 = \sqrt {16} = \sqrt {\left( { - 4} \right)\left( { - 4} \right)} \ne \sqrt { - 4} \sqrt { - 4} = \left( {2i} \right)\left( {2i} \right) = 4{i^2} = - 4\]Agar ikkalasi ham manfiy sonlar bo'lsa, mulkdan foydalanishga harakat qilsak, biz noto'g'ri javob olamiz. Agar siz kompleks sonlarni bilmasangiz yoki eslamasangiz, ushbu misolni e'tiborsiz qoldirishingiz mumkin.
Agar biri salbiy, ikkinchisi ijobiy bo'lsa, mulk saqlanib qoladi, lekin siz ikkalasini ham salbiyga ega bo'lolmaysiz.
Ushbu muammo uchun menga quyidagi xususiyat ham kerak bo'ladi.
\[\sqrt[n]{{{x^n}}} = x\hspace{0.25in}{\mbox{provided \(n\) is odd}}\]Keyingi misolda men \(n\) bilan ham shug'ullanaman.
Endi ushbu misolning yechimiga o'tamiz. Men avval radikal ostidagi narsalarni biroz qayta yozaman, keyin bu erda bergan ikkala xususiyatdan foydalanaman.
\begin{align*}\sqrt[3]{{16{x^6}{y^{13}}}} & = \sqrt[3]{{8{x^3}{x^3}\,{y^3}{y^3}{y^3}{y^3}\,\,2y}}\\ & = \sqrt[3]{8}\sqrt[3]{{{x^3}}}\sqrt[3]{{{x^3}}}\sqrt[3]{{{y^3}}}\s qrt[3]{{{y^3}}}\sqrt[3]{{{y^3}}}\sqrt[3]{{{y^3}}}\sqrt[3]{{2y}}\\ & = 2x\,x\,y\,y\,y\,y\,\sqrt[3]{{2y}}\\ & = 2{x^2}{y^4}\sqrt[3]{{2y}}\end{align*}Shunday qilib, men hamma narsani mukammal kublar va mukammal kublar bo'lmagan atamalarga ajratish edi. Keyin men radikal ostida mahsulotni sindirishga ruxsat bergan mulkdan foydalandim. Buni amalga oshirgandan so'ng, men har bir mukammal kubni soddalashtirdim va biroz birlashtirdim.
- \(\sqrt[4]{{16{x^8}{y^{15}}}}\)
Yechim
Men \(x \ge 0\) va \(y \ge 0\) cheklovlarini ushbu muammoga kiritmadim, shuning uchun biz bu erda biroz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Ushbu muammoni hal qilish uchun bizga quyidagi xususiyat kerak bo'ladi.
\[\sqrt[n]{{{x^n}}} = \left| x \right|\hspace{0.25in}{\mbox{provided \(n\) is even}}\]Mutlaq qiymatlar nima uchun kerakligini bilish uchun \(\sqrt 4 \) ni ko'rib chiqing. Buni baholaganda, biz haqiqatan ham to'rtta olish uchun qaysi raqamni kvadrat qildik deb so'raymiz? Muammo shundaki, bunga ikkita javob bor: 2 va -2! Kvadrat ildizlarni (yoki bu masala uchun har qanday hatto ildizni) baholashda biz taxminiy javobni xohlaymiz. Biz har safar o'tirib, ijobiy yoki salbiy raqamni xohlaymizmi, qaror qabul qilishni xohlamaymiz. Shuning uchun, \(x\)-ga mutlaq qiymat satrlarini qo'yish orqali biz javob har doim ijobiy va shuning uchun oldindan aytish mumkin bo'lishini kafolatlaymiz.
Xo'sh, agar biz salbiy raqamni xohlayotganimizni bilsak nima qilamiz? Oddiy. Kvadrat ildiz oldiga minus belgisini quyidagicha qo'shamiz
\[ - \sqrt 4 = - \left( 2 \right) = - 2\]Bu biz xohlagan manfiy raqamni beradi va kvadrat ildiz har doim ijobiy raqamni qaytaradi degan qoidani buzmaydi!
OK, keling, nihoyat bu muammoni hal qilaylik. Ko'pincha u avvalgisi bilan bir xil ishlaydi, biz faqat mutlaq qiymat satrlari bilan ehtiyot bo'lishimiz kerak.
\begin{align*}\sqrt[4]{{16{x^8}{y^{15}}}} & = \sqrt[4]{{16{x^4}{x^4}\,{y^4}{y^4}{y^4}\,{y^3}}}\\ & = 2\left| x \right|\,\left| x \right|\left| y \right|\left| y \right|\left| y \right|\sqrt[4]{{{y^3}}}\\ & = 2{\left| x \right|^2}{\left| y \right|^3}\sqrt[4]{{{y^3}}}\\ & = 2{x^2}{\left| y \right|^3}\sqrt[4]{{{y^3}}}\end{hizalash*}E'tibor bering, \(\left| {{x^2}} \right|\) atamasidagi mutlaq qiymatni tushirishim mumkin, chunki 2 ning kuchi \(x\) belgisidan qat'iy nazar \({x^2}\) uchun ijobiy javob beradi. Biroq, ular kuch tufayli \(y\) atamasida qolishlari kerak.