1.6-bo'lim: Ratsional ifodalar
Endi biz ratsional ifodalarni ko'rib chiqishimiz kerak. A ratsional ifodalash soni va/yoki maxraji ko‘phadli bo‘lgan kasrdan boshqa narsa emas. Bu erda ratsional ifodalarga ba'zi misollar keltirilgan.
\[\frac{6}{{x - 1}}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\frac{{{z^2} - 1}}{{{z^2} + 5}}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\frac{{{m^4} + 18m + 1}}{{{m^2} - m - 6}}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{4{x^2} + 6x - 10}}{1}\]Oxirgisi biroz g'alati ko'rinishi mumkin, chunki u ko'proq \(4{x^2} + 6x - 10\) deb yoziladi. Ammo shuni ta'kidlash kerakki, polinomlar, agar kerak bo'lsa, kamdan-kam hollarda bo'lsa-da, ratsional ifoda sifatida ko'rib chiqilishi mumkin.
Ratsional iboralar bilan ishlashda aytilmagan qoida mavjud, biz hozir unga murojaat qilishimiz kerak. Raqamlar bilan ishlashda biz bilamizki, nolga bo'lish mumkin emas. Xuddi shu narsa ratsional ifodalar uchun ham amal qiladi. Shunday qilib, ratsional iboralar bilan ishlaganda biz har doim \(x\) nima bo'lishidan qat'i nazar, u nolga bo'linmaydi deb hisoblaymiz. Biz bu cheklovlarni kamdan-kam yozamiz, lekin biz ularni doimo yodda tutishimiz kerak.
Birinchi sanab o'tilgan uchun biz \(x = 1\) dan qochishimiz kerak. Ikkinchi ratsional ifoda hech qachon maxrajda nolga teng emas va shuning uchun biz hech qanday cheklovlar haqida tashvishlanishimiz shart emas. E'tibor bering, ikkinchi ratsional ifodaning surati nolga teng bo'ladi. To'g'ri, biz nolga bo'linishdan qochishimiz kerak. Uchinchi ratsional ifoda uchun biz \(m = 3\) va \(m = - 2\) dan qochishimiz kerak. Yuqorida sanab o'tilgan yakuniy ratsional ifoda hech qachon maxrajda nolga teng bo'lmaydi, shuning uchun bizda hech qanday cheklovlar bo'lishi shart emas.
Bu erda muhokama qilishimiz kerak bo'lgan birinchi mavzu - bu ratsional ifodani eng past shartlarga qisqartirishdir. Ratsional ifoda bo'ldi eng past shartlarga qisqartiriladi agar hisoblagich va maxrajdan barcha umumiy omillar bekor qilingan bo'lsa. Biz buni raqamli kasrlar bilan qanday qilishni allaqachon bilamiz, shuning uchun misolni tez ko'rib chiqaylik.
\[{\mbox{not reduced to lowest terms }} \Rightarrow {\mbox{ }}\frac{{12}}{8} = \frac{{\require{cancel} \cancel{{\left( 4 \right)}}\left( 3 \right)}}{{\require{cancel} \cancel{{\left( 4 \right)}}\left( 2 \right)}} = \frac{3}{2}\,{\mbox{ }} \Leftarrow {\mbox{ reduced to lowest terms}}\]Ratsional ifoda bilan u xuddi shunday ishlaydi.
\[{\mbox{not reduced to lowest terms }} \Rightarrow {\mbox{ }}\frac{{\require{cancel} \cancel{{\left( {x + 3} \right)}}\left( {x - 1} \right)}}{{x\require{cancel} \cancel{{\left( {x + 3} \right)}}}} = \frac{{x - 1}}{x}\,{\mbox{ }} \Leftarrow {\mbox{ reduced to lowest terms}}\]Biroq, biz bekor qilishda ehtiyot bo'lishimiz kerak. Talabalar bu muammolar bilan tez-tez yo'l qo'yadigan ba'zi keng tarqalgan xatolar mavjud. Eslatib o'tamiz, koeffitsientni bekor qilish uchun u butun hisobni va butun maxrajni ko'paytirishi kerak. Shunday qilib, x+ Yuqoridagi 3 bekor qilishi mumkin, chunki u butun hisob va butun maxrajni ko'paytirdi. Biroq, qisqartirilgan ko'rinishdagi \(x\) bekor qila olmaydi, chunki hisoblagichdagi \(x\) butun hisobning ko'paytmasi emas.
Nima uchun \(x\) qisqartirilgan shaklda bekor qilinmasligini bilish uchun yuqoridagi raqamni kiriting va nima bo'lishini ko'ring. Keling, \(x = 4\) ni ulaymiz.
\[\frac{{4 - 1}}{4} = \frac{3}{4}\hspace{0.5in}\frac{{\require{cancel} \cancel{4} - 1}}{{\require{cancel} \cancel{4}}} = - 1\]Bu ikkalasi bir xil raqam emasligi aniq!
Shuning uchun, bekor qilishda ehtiyot bo'ling. Umumiy qoida sifatida esda tutingki, agar uning bir tomonida "+" yoki "-" bo'lsa, biror narsani bekor qila olmaysiz. “-” belgisi boʻlgan ushbu qoidadan bitta istisno bor, biz uni keyinroq misolda koʻrib chiqamiz.
Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
- \(\displaystyle \frac{{{x^2} - 2x - 8}}{{{x^2} - 9x + 20}}\)
- \(\displaystyle \frac{{{x^2} - 25}}{{5x - {x^2}}}\)
- \(\displaystyle \frac{{{x^7} + 2{x^6} + {x^5}}}{{{x^3}{{\left( {x + 1} \right)}^8}}}\)
Munozarani ko'rsatish
Ratsional ifodani eng kichik shartlarga qisqartirganda, biz qiladigan birinchi narsa, imkon qadar son va maxrajni hisobga olishdir. Bu har doim bu muammolarda birinchi qadam bo'lishi kerak.
Shuningdek, ushbu bo'limdagi faktoring va bu boradagi barcha keyingi bo'limlar tushuntirishsiz amalga oshiriladi. Faktoringni o'zingiz bajarishingiz va/yoki tekshirishingiz mumkin deb taxmin qilinadi. Boshqacha qilib aytganda, siz faktor qila olishingizga ishonch hosil qiling!
a \(\displaystyle \frac{{{x^2} - 2x - 8}}{{{x^2} - 9x + 20}}\) Yechim
Biz birinchi navbatda narsalarni iloji boricha to'liq aniqlaymiz. Esda tutingki, biz hozircha hech narsani bekor qila olmaymiz, chunki har bir atamaning bir tomonida “+” yoki “-” bor! Biz birinchi bo'lib hisobga olishimiz kerak!
\[\frac{{{x^2} - 2x - 8}}{{{x^2} - 9x + 20}} = \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x - 4} \right)}}\]Shu nuqtada biz hisoblagichda ham, maxrajda ham umumiy omil borligini ko'rishimiz mumkin va shuning uchun biz \(x\)-4 ni ikkalasidan ham bekor qilishimiz mumkin. Buni qilish,
\[\frac{{{x^2} - 2x - 8}}{{{x^2} - 9x + 20}} = \frac{{x + 2}}{{x - 5}}\]Bu ham biz borishimiz mumkin bo'lgan uzoqroq narsadir. Boshqa hech narsa bekor qilinmaydi va shuning uchun biz bu ifodani eng past shartlarga qisqartirdik.
b \(\displaystyle \frac{{{x^2} - 25}}{{5x - {x^2}}}\) Yechim
Shunga qaramay, biz bu erda qiladigan birinchi narsa - bu pay va maxrajni hisobga olish.
\[\frac{{{x^2} - 25}}{{5x - {x^2}}} = \frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {5 - x} \right)}}\]Bir qarashda, bekor qiladigan hech narsa yo'qdek ko'rinadi. E'tibor bering, maxrajda atama mavjud bo'lib, u hisoblagichdagi atama bilan deyarli bir xil bo'ladi, bundan tashqari barcha belgilar teskari.
Maxrajdagi ikkinchi atamada quyidagi faktdan foydalanishimiz mumkin.
\[a - b = - \left( {b - a} \right)\hspace{0.25in}{\mbox{OR}}\hspace{0.25in}\,\,\,\, - a + b = - \left( {a - b} \right)\]Bu odatda deyiladi minus chiqish faktoring chunki biz aynan shunday qildik. Bu erda biz duch kelishimiz kerak bo'lgan ikkala imkoniyatni qamrab oluvchi ikkita shakl mavjud. Biroq, bizning holatlarimizda bizga birinchi shakl kerak.
Ba'zi notatsiya muammolari tufayli keling, bir muddat maxraj bilan ishlaylik.
\[\begin{align*}x\left( {5 - x} \right) & = x\left[ { - \left( {x - 5} \right)} \right]\\ & = x\left[ {\left( { - 1} \right)\left( {x - 5} \right)} \right]\\ & = x\left( { - 1} \right)\left( {x - 5} \right)\\ & = \left( { - 1} \right)\left( x \right)\left( {x - 5} \right)\\ & = - x\left( {x - 5} \right)\end{align*}\]Bu erda ishlatiladigan qadamlarga e'tibor bering. Birinchi bosqichda biz minus belgisini ajratib oldik, lekin biz hali ham shartlarni ko'paytirmoqdamiz va shuning uchun biz buni unutmasligimiz uchun qo'shimcha qavslar to'plamini qo'ydik. Ikkinchi bosqichda biz oldingi minus belgisi "-1" ga ko'paytirish bilan bir xil ekanligini tan oldik. Buni qilganimizdan so'ng, bizga qo'shimcha qavslar to'plami kerak emas edi, shuning uchun biz ularni uchinchi bosqichda tashladik. Keyinchalik, agar kerak bo'lsa, biz ko'paytirish tartibini o'zgartirishimizni esladik, shuning uchun biz \(x\) va "-1" ni aylantirdik. Nihoyat, biz "-1" ni tashladik va faqat oldingi salbiy belgiga qaytdik.
Odatda, biz minus belgilarini hisobga olganimizda, biz barcha oraliq bosqichlarni o'tkazib yuboramiz va to'g'ridan-to'g'ri yakuniy bosqichga o'tamiz.
Endi muammoga qaytaylik. Ratsional ifoda bo'ladi,
\[\frac{{{x^2} - 25}}{{5x - {x^2}}} = \frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{ - x\left( {x - 5} \right)}}\]Shu nuqtada bizda umumiy omil borligini ko'rishimiz mumkin va shuning uchun biz bekor qilishimiz mumkin x-5.
\[\frac{{{x^2} - 25}}{{5x - {x^2}}} = \frac{{x + 5}}{{ - x}} = - \frac{{x + 5}}{x}\]c \(\displaystyle \frac{{{x^7} + 2{x^6} + {x^5}}}{{{x^3}{{\left( {x + 1} \right)}^8}}}\) Yechim
Bunday holda, bizning hayotimizni osonlashtirish uchun maxraj allaqachon faktorlangan. Biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa raqamni hisobga olishdir.
\[\frac{{{x^7} + 2{x^6} + {x^5}}}{{{x^3}{{\left( {x + 1} \right)}^8}}} = \frac{{{x^5}\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)}}{{{x^3}{{\left( {x + 1} \right)}^8}}} = \frac{{{x^5}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^3}{{\left( {x + 1} \right)}^8}}}\]Endi biz misolning ushbu qismiga etib boramiz. Numeratorda 5 ta \(x\) va maxrajda 3 ta mavjud, shuning uchun biz bekor qilganimizda hisobda 2 ta qoladi. Xuddi shunday, hisoblagichda 2 ta \(\left( {x + 1} \right)\) va maxrajda 8 ta mavjud, shuning uchun biz bekor qilganimizda maxrajda 6 ta qoladi. Bu erda ratsional ifoda eng kichik shartlarga qisqartiriladi.
\[\frac{{{x^7} + 2{x^6} + {x^5}}}{{{x^3}{{\left( {x + 1} \right)}^8}}} = \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^6}}}\]Davom etishdan oldin, keling, ushbu misolning ikkinchi qismida javobni qisqacha muhokama qilaylik. E'tibor bering, biz minus belgisini maxrajdan yakuniy shaklda ratsional ifodaning old tomoniga o'tkazdik. Bu har doim kerak bo'lganda amalga oshirilishi mumkin. Eslatib o'tamiz, quyida keltirilganlarning barchasi ekvivalentdir.
\[ - \frac{a}{b} = \frac{{ - a}}{b} = \frac{a}{{ - b}}\]Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, ratsional ifoda oldidagi minus belgisi, agar qulay bo'lsa, butun hisoblagichga yoki butun maxrajga o'tkazilishi mumkin. Biroq, biz bu bilan ehtiyot bo'lishimiz kerak. Quyidagi ratsional ifodani ko'rib chiqing.
\[\frac{{ - x + 3}}{{x + 1}}\]Bunday holda, \(x\)-dagi “-” ratsional ifodaning old tomoniga ko'chirilmaydi, chunki u faqat \(x\)-da. Minus belgisini ratsional ifodaning old tomoniga o'tkazish uchun u butun son yoki maxrajning marta bo'lishi kerak. Shunday qilib, agar biz suratdan minusni ajratsak, uni quyidagi tarzda ratsional ifodaning old qismiga o'tkazishimiz mumkin,
\[\frac{{ - x + 3}}{{x + 1}} = \frac{{ - \left( {x - 3} \right)}}{{x + 1}} = - \frac{{x - 3}}{{x + 1}}\]Bu erda axloq shundaki, biz mantiqiy ifodalarda minus belgilarini harakatlantirishda ehtiyot bo'lishimiz kerak.
Endi biz ratsional ifodalarni qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lishga o'tishimiz kerak.
Ratsional ifodalarni ko'paytirish va bo'lishdan boshlaylik. Umumiy formulalar quyidagicha:
\[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{{ac}}{{bd}}\] \[\frac{{\,\,\frac{a}{b}\,\,}}{{\frac{c}{d}}} = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\]Bo'linishning ikki xil shakliga e'tibor bering. Biz ikkalasidan ham kerak bo'lganda foydalanamiz, shuning uchun ikkalasini ham yaxshi bilganingizga ishonch hosil qiling. Shuni ham yodda tutingki, ratsional iboralarni bo'lish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - bu sonni maxrajning o'zaro soniga ko'paytirish (i.e. soni va maxraji almashtirilgan kasr).
Bir-ikkita misol keltirishdan oldin bir nechtasi bor maxsus biz ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan bo'linish holatlari. Yuqoridagi umumiy holatda ratsional ifodaning hisoblagichi ham, maxraji ham kasrdir, ammo ulardan biri kasr bo'lmasa-chi. Shunday qilib, keling, quyidagi holatlarni ko'rib chiqaylik.
\[\frac{a}{{\,\,\frac{c}{d}\,\,}}\hspace{0.5in}\frac{{\,\,\frac{a}{b}\,\,}}{c}\]Talabalar ko'pincha bu bilan dastlab xato qilishadi. Ularni to'g'ri hal qilish uchun biz hisoblagichni (birinchi holat) yoki maxrajni (ikkinchi holat) kasrga aylantiramiz va keyin ular bo'yicha umumiy bo'linishni qilamiz.
\[\begin{align*}\frac{a}{{\,\,\frac{c}{d}\,\,}} = \frac{{\,\,\frac{a}{1}\,\,}}{{\frac{c}{d}}} & = \frac{a}{1} \cdot \frac{d}{c} = \frac{{ad}}{c}\\ & \\ \frac{{\,\,\frac{a}{b}\,\,}}{c} = \frac{{\,\,\frac{a}{b}\,\,}}{{\frac{c}{1}}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c} & = \frac{a}{{bc}}\end{align*}\]Bunday hollarda ehtiyot bo'ling. Bular bilan xato qilish va bo'linishni noto'g'ri qilish oson.
Endi bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
- \(\displaystyle \frac{{{x^2} - 5x - 14}}{{{x^2} - 3x + 2}}\,\centerdot \,\frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 14x + 49}}\)
- \(\displaystyle \frac{{{m^2} - 9}}{{{m^2} + 5m + 6}} \div \frac{{3 - m}}{{m + 2}}\)
- \(\displaystyle \frac{{{y^2} + 5y + 4}}{{\frac{{{y^2} - 1}}{{y + 5}}}}\)
Munozarani ko'rsatish
E'tibor bering, bu muammo bilan biz misollardagi asosiy o'zgaruvchi sifatida \(x\) dan uzoqlasha boshladik. \(x\)-ni ko'rishga odatlanmang, shunda siz ularni doimo kutasiz. Muammolar biz o'zgaruvchi uchun ishlatadigan harfdan qat'iy nazar bir xil ishlaydi, shuning uchun bu erda turli harflar haqida hayajonlanmang.
a \(\displaystyle \frac{{{x^2} - 5x - 14}}{{{x^2} - 3x + 2}}\,\centerdot \,\frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 14x + 49}}\) Yechim
OK, bu ko'paytirish. Ko'paytirishda har doim qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa - bu ko'rinadigan hamma narsani iloji boricha ko'proq hisobga olishdir.
\[\frac{{{x^2} - 5x - 14}}{{{x^2} - 3x + 2}}\,\centerdot \,\frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 14x + 49}} = \frac{{\left( {x - 7} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}\,\centerdot \,\frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 7} \right)}^2}}}\]Keling, ko'paytirish bo'yicha narsalarni quyidagicha bekor qilishimiz mumkinligini eslaylik.
\[\frac{a}{{b\require{cancel} \cancel{k}}} \cdot \frac{{c\require{cancel} \cancel{k}}}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}\]E'tibor bering, bu FAQAT ko'paytirish uchun ishlaydi va bo'linish uchun EMAS!
Bunday holda, bizda ko'paytirish mavjud, shuning uchun imkon qadar ko'proq bekor qiling va javobni olish uchun ko'paytirishni bajaring.
\[\frac{{{x^2} - 5x - 14}}{{{x^2} - 3x + 2}}\,\centerdot \,\frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 14x + 49}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)}}\,\centerdot \,\frac{{\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 7} \right)}} = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 7} \right)}}\]b \(\displaystyle \frac{{{m^2} - 9}}{{{m^2} + 5m + 6}} \div \frac{{3 - m}}{{m + 2}}\) Yechim
Bo'linish bilan bog'liq muammolar bilan bekor qilinmasligi kerak bo'lgan narsani noto'g'ri bekor qilish juda oson va shuning uchun biz bu erda qiladigan birinchi narsa (faktoringdan oldin!!!!) bo'linishdir. Bo'linishni tugatganimizdan so'ng, bizda ko'paytirish muammosi bor va biz imkon qadar ko'proq faktorlar qilamiz, bekor qilinishi mumkin bo'lgan hamma narsani bekor qilamiz va nihoyat ko'paytiramiz.
Shunday qilib, keling, ushbu muammoni boshlaylik.
\[\begin{align*}\frac{{{m^2} - 9}}{{{m^2} + 5m + 6}} \div \frac{{3 - m}}{{m + 2}} & = \frac{{{m^2} - 9}}{{{m^2} + 5m + 6}} \cdot \frac{{m + 2}}{{3 - m}}\\ & = \frac{{\left( {m - 3} \right)\left( {m + 3} \right)}}{{\left( {m + 3} \right)\left( {m + 2} \right)}} \cdot \frac{{\left( {m + 2} \right)}}{{\left( {3 - m} \right)}}\end{align*}\]Endi e'tibor bering, bu erda juda ko'p bekor qilish bo'ladi. Yana e'tibor bering, agar biz ikkinchi ratsional ifodaning maxrajidan minus belgisini ajratsak. Keling, bekor qilishning bir qismini bajaramiz va keyin ko'paytiramiz.
\[\frac{{{m^2} - 9}}{{{m^2} + 5m + 6}} \div \frac{{3 - m}}{{m + 2}} = \frac{{\left( {m - 3} \right)}}{1} \cdot \frac{1}{{ - \left( {m - 3} \right)}} = \frac{{\left( {m - 3} \right)}}{{ - \left( {m - 3} \right)}}\]Esda tutingki, biz hisoblagich yoki maxrajdan barcha shartlarni bekor qilganimizda, aslida "1" qoladi! Endi biz nuqta qo'yish uchun bekor qilishni tugatmadik. Eslatib o'tamiz, ushbu munozaraning boshida biz, qoida tariqasida, biz shartlarni bekor qilishimiz mumkin, agar uning ikkala tomonida "+" yoki "-" bo'lmasa, "-" uchun bitta istisno bundan mustasno, deb aytgan edik. Biz hozir bu istisnodamiz. Agar butun hisob yoki maxraj oldida "-" belgisi mavjud bo'lsa, bizda mavjud bo'lganidek, biz hali ham atamani bekor qilishimiz mumkin. Bu holda "-" butun maxrajga ko'paytiriladigan "-1" vazifasini bajaradi va shuning uchun qo'shish yoki ayirish o'rniga omil bo'ladi. Mana bu qism uchun yakuniy javob.
\[\frac{{{m^2} - 9}}{{{m^2} + 5m + 6}} \div \frac{{3 - m}}{{m + 2}} = \frac{1}{{ - 1}} = - 1\]Bu holda barcha shartlar bekor qilindi va biz raqam bilan qoldik. Bu tez-tez sodir bo'lmaydi, lekin bu misol aniq ko'rsatganidek, bu vaqti-vaqti bilan sodir bo'lishi mumkin, shuning uchun bu sodir bo'lganda hayajonlanmang.
c \(\displaystyle \frac{{{y^2} + 5y + 4}}{{\frac{{{y^2} - 1}}{{y + 5}}}}\) Yechim
Bu bo'linish uchun maxsus holatlardan biridir. Shunday qilib, oldingi qismda bo'lgani kabi, biz avval bo'linishni qilamiz, keyin esa imkon qadar ko'proq faktor va bekor qilamiz.
Mana bu qism uchun ish.
\[\begin{align*}\frac{{{y^2} + 5y + 4}}{{\frac{{{y^2} - 1}}{{y + 5}}}} & = \frac{{\left( {{y^2} + 5y + 4} \right)\left( {y + 5} \right)}}{{{y^2} - 1}}\\ & = \frac{{\left( {y + 1} \right)\left( {y + 4} \right)\left( {y + 5} \right)}}{{\left( {y + 1} \right)\left( {y - 1} \right)}} = \frac{{\left( {y + 4} \right)\left( {y + 5} \right)}}{{y - 1}}\end{align*}\]Xo'sh, ratsional ifodalarni qo'shish va ayirishga o'tish vaqti keldi. Bu erda umumiy formulalar mavjud.
\[\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{{a + b}}{c}\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{{a - b}}{c}\]Bular ko'rsatganidek, biz ratsional ifoda yoki kasrlarni qo'shish yoki ayirish uchun umumiy maxrajlarga ega bo'lishi kerakligini yodda tutishimiz kerak. Agar bizda umumiy maxrajlar bo'lmasa, birinchi navbatda umumiy maxrajlarni olishimiz kerak.
Keling, buni qanday qilishni tez raqam misoli bilan eslaylik.
\[\frac{5}{6} - \frac{3}{4}\]Bunday holda, bizga umumiy maxraj kerak bo'ladi va esda tutingki, odatda undan foydalanish yaxshidir eng kichik umumiy maxraj, ko'pincha ifodalanadi LCD. Bu holda eng kichik umumiy maxraj 12 ga teng. Demak, bu ikki kasrning maxrajlarini 12 ga keltirishimiz kerak. Buni qilish oson. Birinchi holda, 12 ni olish uchun biz maxrajni 2 ga ko'paytirishimiz kerak, shuning uchun biz birinchi kasrning payini va maxrajini 2 ga ko'paytiramiz. Esda tutingki, biz pay va maxrajni bir xil songa ko'paytirishimiz kerak, chunki muammoni o'zgartirishga ruxsat berilmagan va bu MABL 17K kasrni ko'paytirishga teng. Ikkinchi muddat uchun biz pay va maxrajni 3 ga ko'paytirishimiz kerak.
\[\frac{5}{6} - \frac{3}{4} = \frac{{5\left( 2 \right)}}{{6\left( 2 \right)}} - \frac{{3\left( 3 \right)}}{{4\left( 3 \right)}} = \frac{{10}}{{12}} - \frac{9}{{12}} = \frac{{10 - 9}}{{12}} = \frac{1}{{12}}\]Endi ratsional ifodalar jarayoni bir xil. Asosiy qiyinchilik eng kichik umumiy maxrajni topishdir. Biroq, ratsional iboralar uchun eng kichik umumiy maxrajni topish uchun haqiqatan ham oddiy jarayon mavjud. Mana shu.
- Barcha maxrajlarni hisobga oling.
- Har bir maxrajda kamida bir marta paydo bo'lgan har bir omilni yozing. Har bir omilga tegishli quvvatni yozmang, faqat omilni yozing
- Endi oldingi bosqichda yozilgan har bir omil uchun ushbu omilni o'z ichiga olgan barcha maxrajlarda yuzaga keladigan eng katta quvvatni yozing.
- Oldingi bosqichdagi barcha omillar mahsuloti eng kam umumiy maxrajdir.
Keling, ba'zi misollar bilan ishlaylik.
- \(\displaystyle \frac{4}{{6{x^2}}} - \frac{1}{{3{x^5}}} + \frac{5}{{2{x^3}}}\)
- \(\displaystyle \frac{2}{{z + 1}} - \frac{{z - 1}}{{z + 2}}\)
- \(\displaystyle \frac{y}{{{y^2} - 2y + 1}} - \frac{2}{{y - 1}} + \frac{3}{{y + 2}}\)
- \(\displaystyle \frac{{2x}}{{{x^2} - 9}} - \frac{1}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}}\)
- \(\displaystyle \frac{4}{{y + 2}} - \frac{1}{y} + 1\)
a \(\displaystyle \frac{4}{{6{x^2}}} - \frac{1}{{3{x^5}}} + \frac{5}{{2{x^3}}}\) Yechim
Ushbu muammo uchun maxrajdagi har bir atama uchun koeffitsientlar mavjud, shuning uchun bizga birinchi navbatda koeffitsientlar uchun eng kichik umumiy maxraj kerak bo'ladi. Bu 6. Endi \(x\) (o'z-o'zidan 1 quvvat bilan) har qanday maxrajda uchraydigan yagona omil hisoblanadi. Demak, bu qism uchun eng kam umumiy maxraj \(x\) bo‘lib, masalaning barcha \(x\) larida uchraydigan eng katta quvvat 5 ga teng.
\[{\mbox{lcd : }}6{x^5}\]Shunday qilib, biz har bir atamani maxrajda olish uchun tegishli miqdorga ko'paytirishimiz va keyin qo'shish va ayirish amallarini bajarishimiz kerak. Keling, buni qilaylik.
\[\begin{align*}\frac{4}{{6{x^2}}} - \frac{1}{{3{x^5}}} + \frac{5}{{2{x^3}}} & = \frac{{4\left( {{x^3}} \right)}}{{6{x^2}\left( {{x^3}} \right)}} - \frac{{1\left( 2 \right)}}{{3{x^5}\left( 2 \right)}} + \frac{{5\left( {3{x^2}} \right)}}{{2{x^3}\left( {3{x^2}} \right)}}\\ & = \frac{{4{x^3}}}{{6{x^5}}} - \frac{2}{{6{x^5}}} + \frac{{15{x^2}}}{{6{x^5}}}\\ & = \frac{{4{x^3} - 2 + 15{x^2}}}{{6{x^5}}}\end{align*}\]b \(\displaystyle \frac{2}{{z + 1}} - \frac{{z - 1}}{{z + 2}}\) Yechim
Bu holda faqat ikkita omil mavjud va ularning ikkalasi ham birinchi darajaga to'g'ri keladi va shuning uchun eng kichik umumiy maxraj bo'ladi.
\[{\mbox{lcd : }}\left( {z + 1} \right)\left( {z + 2} \right)\]Endi, har bir qismni nimaga ko'paytirishni aniqlashda, hozirgi maxrajni eng kichik umumiy maxrajga solishtirish va yuqori va pastki qismini "etishmayotgan" bilan ko'paytirish kifoya. Birinchi muddatda biz \(z + 2\)-ni "yo'qotdik" va shuning uchun biz pay va maxrajni ko'paytiramiz. Ikkinchi muddatda biz \(z + 1\)-ni "yo'qotdik" va shuning uchun biz bu muddatda ko'paytiramiz.
Mana bu muammo uchun ish.
\[\frac{2}{{z + 1}} - \frac{{z - 1}}{{z + 2}} = \frac{{2\left( {z + 2} \right)}}{{\left( {z + 1} \right)\left( {z + 2} \right)}} - \frac{{\left( {z - 1} \right)\left( {z + 1} \right)}}{{\left( {z + 2} \right)\left( {z + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {z + 2} \right) - \left( {z - 1} \right)\left( {z + 1} \right)}}{{\left( {z + 1} \right)\left( {z + 2} \right)}}\]Yakuniy qadam - hisoblagichdagi har qanday ko'paytirishni bajarish va uni iloji boricha soddalashtirish.
\[\frac{2}{{z + 1}} - \frac{{z - 1}}{{z + 2}} = \frac{{2z + 4 - \left( {{z^2} - 1} \right)}}{{\left( {z + 1} \right)\left( {z + 2} \right)}} = \frac{{2z + 4 - {z^2} + 1}}{{\left( {z + 1} \right)\left( {z + 2} \right)}} = \frac{{ - {z^2} + 2z + 5}}{{\left( {z + 1} \right)\left( {z + 2} \right)}}\]Ayirish paytida minus belgilari va qavslar bilan ehtiyot bo'ling.
c \(\displaystyle \frac{y}{{{y^2} - 2y + 1}} - \frac{2}{{y - 1}} + \frac{3}{{y + 2}}\) Yechim
Avval maxrajlarni ajratamiz va eng kichik umumiy maxrajni aniqlaymiz.
\[\frac{y}{{{{\left( {y - 1} \right)}^2}}} - \frac{2}{{y - 1}} + \frac{3}{{y + 2}}\]Demak, a maxrajlarida ikkita omil mavjud y-1 va a y+2. Shunday qilib, biz ikkalasini ham yozamiz va keyin har biri uchun eng yuqori quvvatni olamiz. Bu uchun 2 degan ma'noni anglatadi y-1 va uchun 1 y+2. Mana bu ratsional ifoda uchun eng kichik umumiy maxraj.
\[{\mbox{lcd : }}\left( {y + 2} \right){\left( {y - 1} \right)^2}\]Endi har bir atama uchun maxrajda nima etishmayotganini aniqlang, son va maxrajni unga ko'paytiring va nihoyat ayirish va qo'shishni bajaring.
\[\begin{align*}\frac{y}{{{y^2} - 2y + 1}} - \frac{2}{{y - 1}} + \frac{3}{{y + 2}} & = \frac{{y\left( {y + 2} \right)}}{{{{\left( {y - 1} \right)}^2}\left( {y + 2} \right)}} - \frac{{2\left( {y - 1} \right)\left( {y + 2} \right)}}{{\left( {y - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {y + 2} \right)}} + \frac{{3{{\left( {y - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {y - 1} \right)}^2}\left( {y + 2} \right)}}\\ & = \frac{{y\left( {y + 2} \right) - 2\left( {y - 1} \right)\left( {y + 2} \right) + 3{{\left( {y - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {y - 1} \right)}^2}\left( {y + 2} \right)}}\end{align*}\]Xo'sh, endi raqamni ko'paytiramiz va soddalashtiramiz. Oxirgi muddatda 3 ni qavs orqali taqsimlashdan oldin ko'paytirishni amalga oshirishimiz kerakligini eslang. Mana bu qism uchun soddalashtirish ishi.
\[\begin{align*}\frac{y}{{{y^2} - 2y + 1}} - \frac{2}{{y - 1}} + \frac{3}{{y + 2}} & = \frac{{{y^2} + 2y - 2\left( {{y^2} + y - 2} \right) + 3\left( {{y^2} - 2y + 1} \right)}}{{{{\left( {y - 1} \right)}^2}\left( {y + 2} \right)}}\\ & = \frac{{{y^2} + 2y - 2{y^2} - 2y + 4 + 3{y^2} - 6y + 3}}{{{{\left( {y - 1} \right)}^2}\left( {y + 2} \right)}}\\ & = \frac{{2{y^2} - 6y + 7}}{{{{\left( {y - 1} \right)}^2}\left( {y + 2} \right)}}\end{align*}\]d \(\displaystyle \frac{{2x}}{{{x^2} - 9}} - \frac{1}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}}\) Yechim
Yana maxrajlarni ko‘paytiring va eng kichik umumiy maxrajni oling.
\[\frac{{2x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{1}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}}\]Eng kichik umumiy maxraj,
\[{\mbox{lcd : }}\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\]E'tibor bering, birinchi ratsional ifoda allaqachon o'z maxrajida buni o'z ichiga oladi, lekin bu yaxshi. Aslida, shuning uchun bu holda ish biroz osonroq bo'ladi. Mana bu muammo uchun ayirish.
\[\begin{align*}\frac{{2x}}{{{x^2} - 9}} - \frac{1}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} & = \frac{{2x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{1\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ & = \frac{{2x - \left( {x - 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ & = \frac{{2x - x + 3 - 2x - 6}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ & = \frac{{ - x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\end{align*}\]E'tibor bering, biz bu erda bir qadam oldinga borishimiz mumkin. Agar biz suratdan minusni hisoblasak, biz biroz bekor qilishimiz mumkin.
\[\frac{{2x}}{{{x^2} - 9}} - \frac{1}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} = \frac{{ - \left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{x - 3}}\]Ba'zida bunday bekor qilish qo'shish/ayirishdan keyin sodir bo'ladi, shuning uchun ehtiyot bo'ling.
e \(\displaystyle \frac{4}{{y + 2}} - \frac{1}{y} + 1\) Yechim
Bu muammoning mohiyati shundaki, "1" hamma narsaning orqasida o'tiradi. Bu aslida ko'rinadigan muammo emas. Keling, avval bu erda narsalarni biroz qayta yozaylik.
\[\frac{4}{{y + 2}} - \frac{1}{y} + \frac{1}{1}\]Shu tarzda biz bu erda haqiqatan ham uchta kasr borligini ko'ramiz. Ulardan birida oddiygina bittaning maxraji bor. Bu qism uchun eng kichik umumiy maxraj:
\[{\mbox{lcd : }}y\left( {y + 2} \right)\]Mana bu masala uchun qo'shish va ayirish.
\[\begin{align*}\frac{4}{{y + 2}} - \frac{1}{y} + \frac{1}{1} & = \frac{{4y}}{{\left( {y + 2} \right)\left( y \right)}} - \frac{{y + 2}}{{y\left( {y + 2} \right)}} + \frac{{y\left( {y + 2} \right)}}{{y\left( {y + 2} \right)}}\\ & = \frac{{4y - \left( {y + 2} \right) + y\left( {y + 2} \right)}}{{y\left( {y + 2} \right)}}\end{align*}\]Ayirmani bajarayotganda biz ikkinchi suratga qo'shgan qavslar to'plamiga e'tibor bering. Biz butun hisobni ayiryapmiz, shuning uchun ayirishda xato qilmasligimiz uchun qavs kerak.
Mana bu ratsional ifoda uchun soddalashtirilgan.
\[\frac{4}{{y + 2}} - \frac{1}{y} + \frac{1}{1} = \frac{{4y - y - 2 + {y^2} + 2y}}{{y\left( {y + 2} \right)}} = \frac{{{y^2} + 5y - 2}}{{y\left( {y + 2} \right)}}\]