10.17-bo'lim: Seriya ilovalari
Endi biz funktsiyani quvvat seriyasi sifatida qanday ko'rsatishni bilganimizdan so'ng, biz seriyalarning kamida bir nechta ilovalari haqida gapirishimiz mumkin.
Darhaqiqat, seriyalarning ko'plab ilovalari mavjud, afsuski, ularning aksariyati ushbu kurs doirasidan tashqarida. Quvvat seriyalarining bir qo'llanilishi (Teylor seriyasining vaqti-vaqti bilan ishlatilishi bilan) oddiy differensial tenglamalarni topishda. Differensial tenglamalarning ketma-ket yechimlari. Agar siz bu qanday ishlashini ko'rishni xohlasangiz, mening Differensial tenglamalar bo'limining o'sha bobini ko'rishingiz mumkin.
Qismlarning yana bir qo'llanilishi qisman differentsial tenglamalarni o'rganishda paydo bo'ladi. Ushbu mavzuda eng ko'p qo'llaniladigan usullardan biri foydalanadi Furye seriyasi.
Seriyalarning ko'p qo'llanilishi, ayniqsa differentsial tenglamalar sohalarida, funktsiyalarni ketma-ket ko'rsatish mumkinligiga tayanadi. Ushbu ilovalarda funktsiyaning o'zini topish juda qiyin, agar imkonsiz bo'lmasa. Shu bilan birga, noma'lum funktsiya uchun ketma-ket tasvirni aniqlash usullari mavjud.
Differensial tenglamalarni qo'llash ushbu kurs doirasidan tashqarida bo'lsa-da, biz ko'rib chiqishimiz mumkin bo'lgan Hisoblash sozlamalaridan ba'zi ilovalar mavjud.
Yechim
Buning uchun biz avval integrand uchun \(x = 0\) haqida Teylor seriyasini topishimiz kerak. Biroq, bu unchalik qiyin emas. Bizda \(x = 0\) haqida sinus uchun Teylor seriyasi allaqachon mavjud, shuning uchun biz undan quyidagi tarzda foydalanamiz:
\[\frac{{\sin x}}{x} = \frac{1}{x}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^{2n + 1}}}}{{\left( {2n + 1} \right)!}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^{2n}}}}{{\left( {2n + 1} \right)!}}} \]Endi muammoni hal qila olamiz.
\[\begin{align*}\int{{\frac{{\sin x}}{x}\,dx}} & = \int{{\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^{2n}}}}{{\left( {2n + 1} \right)!}}} \,dx}}\\ & = C + \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^{2n + 1}}}}{{\left( {2n + 1} \right)\,\,\left( {2n + 1} \right)!}}} \end{align*}\]Shunday qilib, biz bu funktsiyani ma'lum funktsiyalar nuqtai nazaridan integrallashtira olmasak-da, biz integral uchun ketma-ket tasvirni yaratishimiz mumkin.
Funktsiyaning o'zini topishga urinish o'rniga funktsiyaning ketma-ket tasvirini olish haqidagi bu g'oya bir nechta sohalarda tez-tez qo'llaniladi. Darhaqiqat, ba'zi sohalar borki, bu asosiy g'oyalardan biri bo'lib, bu g'oyasiz bu sohalarda biror narsaga erishish juda qiyin bo'ladi.
Seriyalarning yana bir qo'llanilishi aslida cheksiz seriyalarning ilovasi emas. Bu ko'proq qisman summalarni qo'llashdir. Darhaqiqat, biz ushbu bobda ushbu ilovani bir marta ishlatganligini ko'rdik. In Seriyaning qiymatini baholash qator qiymatini baholash uchun biz qisman summadan foydalandik. Biz funktsiyalarning kuch seriyalari va ketma-ket tasvirlari bilan ham xuddi shunday qilishimiz mumkin. Asosiy farq shundaki, biz endi bitta qiymat o'rniga funksiyani taxmin qilish uchun qisman yig'indidan foydalanamiz.
Biz Teylorga qaraymiz bizning misollarimiz uchun seriyalar, lekin biz bu erda har qanday seriya tasviridan osongina foydalanishimiz mumkin. Eslatib o'tamiz, n-darajali Teylor polinomi \(f\left( x \right)\) tomonidan berilgan,
\[{T_n}\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {\frac{{{f^{\left( i \right)}}\left( a \right)}}{{i!}}{{\left( {x - a} \right)}^i}} \]Keling, bunga misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Kosinus uchun Teylor polinomlarining umumiy formulasi.
\[{T_{2n}}\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^i}{x^{2i}}}}{{\left( {2i} \right)!}}} \]Bizda mavjud bo'lgan uchta Teylor ko'phadlari,
\[\begin{align*}{T_2}\left( x \right) & = 1 - \frac{{{x^2}}}{2}\\ {T_4}\left( x \right) & = 1 - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^4}}}{{24}}\\ {T_8}\left( x \right) & = 1 - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^4}}}{{24}} - \frac{{{x^6}}}{{720}} + \frac{{{x^8}}}{{40320}}\end{align*}\]Mana bu uchta Teylor ko'phadining grafigi hamda kosinus grafigi.
Teylor darajasini oshirganimizda, biz ushbu grafikdan ko'rishimiz mumkin polinom u ko'proq funktsiyaning o'ziga o'xshay boshlaydi. Haqiqatan ham, biz \({T_8}\left( x \right)\) ga borganimizdan so'ng, farq faqat oxirida bo'ladi. Teylor darajasi qanchalik baland bo'lsa polinom funksiyaga qanchalik yaqin bo'lsa.
Bundan tashqari, oraliq qanchalik katta bo'lsa, Teylor polinomining darajasi shunchalik yuqori bo'lsa, biz butun oraliq uchun yaxshi taxminan olishimiz kerak.
Davom etishdan oldin oldingi misoldagi yana bir nechta Teylor polinomlarini yozamiz. E'tibor bering, kosinus uchun Teylor seriyasida \(x\) da g'alati kuchlarga ega bo'lgan atamalar mavjud emasligi sababli biz quyidagi Teylorni olamiz. polinomlar.
\[\begin{align*}{T_3}\left( x \right) & = 1 - \frac{{{x^2}}}{2}\\ {T_5}\left( x \right) & = 1 - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^4}}}{{24}}\\ {T_9}\left( x \right) & = 1 - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^4}}}{{24}} - \frac{{{x^6}}}{{720}} + \frac{{{x^8}}}{{40320}}\end{align*}\]Bular misolda ishlatilganlar bilan bir xil. Ba'zida bu sodir bo'ladi, garchi bu aslida bu emas edi. Gap shundaki, n-darajali Teylor polinom aslida \(n\) dan kichikroq darajaga ega bo'lishi mumkin. Bu hech qachon \(n\) dan ortiq bo'lmaydi, lekin \(n\) dan kam bo'lishi mumkin.
Ushbu bo'limdagi yakuniy misol, albatta, seriyalar ilovasi emas va ehtimol oldingi bo'limga tegishli. Biroq, oldingi bo'lim juda uzun bo'ldi, shuning uchun misol ushbu bo'limda. Bu qatorlarni qanday qilib ko'paytirishga misol va bu ketma-ketlik ilovasi bo'lmasa-da, bu ilovalarda vaqti-vaqti bilan bajarilishi kerak bo'lgan narsadir. Demak, bu ma'noda u ushbu bo'limga tegishli.
Yechim
Ishni boshlashdan oldin tan olaylik, bu muammoni hal qilishning eng oson yo'li oddiygina dastlabki 3-4 hosilani hisoblash, ularni \(x = 0\) da baholash, formulaga ulanish va biz tugatamiz. Biroq, biz ushbu misoldan oldin ta'kidlaganimizdek, biz seriyalarni qanday ko'paytirishimizni ko'rsatish uchun ushbu misoldan foydalanmoqchimiz.
Biz ularning har biri uchun Teylor seriyasiga ega ekanligimizdan foydalanamiz, shuning uchun biz ulardan ushbu muammoda foydalanishimiz mumkin.
\[{{\bf{e}}^x}\cos x = \left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{n!}}} } \right)\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^{2n}}}}{{\left( {2n} \right)!}}} } \right)\]Biz bu seriyalarni to'liq ko'paytirmoqchi emasmiz. Javob olish uchun biz ko'paytirishni etarli darajada bajaramiz. Muammo bayonotida aytilishicha, biz birinchi uchtalikni xohlaymiz nolga teng bo'lmagan shartlari. Bu nolga teng bo'lmagan bit muhim, chunki ba'zi atamalar nolga teng bo'lishi mumkin. Agar atamalarning hech biri nolga teng bo'lmasa, bu birinchi uchta nolga teng bo'lmagan atamalar doimiy atama, \(x\) atamasi va \({x^2}\) atamasi bo'lishini anglatadi. Biroq, ba'zilari nolga teng bo'lishi mumkinligi sababli, agar biz \({x^4}\) orqali barcha shartlarni o'rgansak, javob olish uchun etarli bo'ladi deb faraz qilaylik. Agar biz noto'g'ri deb hisoblagan bo'lsak, uni tuzatish juda oson bo'ladi, shuning uchun tashvishlanmang.
Keling, har bir seriyaning dastlabki bir nechta shartlarini yozamiz va biz to'xtab qolamiz x4 har birida muddat.
\[{{\bf{e}}^x}\cos x = \left( {1 + x + \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{{x^4}}}{{24}} + \cdots } \right)\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^4}}}{{24}} + \cdots } \right)\]E'tibor bering, biz ushbu seriyalar to'xtamasligini tan olishimiz kerak. Bu har birining oxiridagi "\( + \cdots \)" ning maqsadi. Bir lahzaga, keling, ularning har biri to'xtadi va o'zimizdan har birini qanday ko'paytirishimiz haqida so'raymiz. Agar shunday bo'lganida, biz ikkinchisida har bir a'zoni olib, birinchisida har bir a'zoga ko'paytirardik. Boshqacha qilib aytganda, biz birinchi navbatda ikkinchi qatordagi har bir hadni 1 ga, keyin ikkinchi qatordagi har bir hadni \(x\) ga, keyin \({x^2}\) ga ko'paytiramiz. va hokazo.
\({x^4}\) da har bir seriyani toʻxtatib, endi biz koʻrsatkichi 4 yoki undan kam boʻlgan barcha atamalarni olishimizga kafolat berdik. Ko'ryapsizmi, nega?
Biz yozishni e'tiborsiz qoldirgan atamalarning har biri kamida 5 ko'rsatkichga ega va shuning uchun 1 ga yoki \(x\) ning istalgan darajasiga ko'paytirilsa, ko'rsatkichi kamida 5 bo'lgan atama hosil bo'ladi. Shuning uchun e'tibordan chetda qolgan atamalarning hech biri ko'rsatkichi 4 yoki undan kichik bo'lgan atamalarga hissa qo'shmaydi va shuning uchun kerak emas edi.
Shunday qilib, ko'paytirish jarayonini boshlaylik.
\[\begin{align*}{{\bf{e}}^x}\cos x & = \left( {1 + x + \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{{x^4}}}{{24}} + \cdots } \right)\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^4}}}{{24}} + \cdots } \right)\\ & = \underbrace {1 - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^4}}}{{24}} + \cdots }_{{\mbox{Second Series }} \times {\mbox{ 1}}} + \underbrace {x - \frac{{{x^3}}}{2} + \frac{{{x^5}}}{{24}} + \cdots }_{{\mbox{Second Series }} \times {\mbox{ }}x} + \underbrace {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^6}}}{{48}} + \cdots }_{{\mbox{Second Series }} \times {\mbox{ }}{\displaystyle{}^{{{x^2}}}/{}_{2}}}\\ & \hspace{0.75in} + \underbrace {\frac{{{x^3}}}{6} - \frac{{{x^5}}}{{12}} + \frac{{{x^7}}}{{144}} + \cdots }_{{\mbox{Second Series }} \times {\mbox{ }}{\displaystyle{}^{{{x^3}}}/{}_{6}}} + \underbrace {\frac{{{x^4}}}{{24}} - \frac{{{x^6}}}{{48}} + \frac{{{x^8}}}{{576}} + \cdots }_{{\mbox{Second Series }} \times {\mbox{ }}{\displaystyle{}^{{{x^4}}}/{}_{{24}}}} + \cdots \end{align*}\]Endi koʻrsatkichi 5 yoki undan koʻp boʻlgan hamma narsani eʼtiborsiz qoldirib, xuddi shunday atamalarni toʻplang, chunki bizda bu atamalarning hammasi boʻlmaydi va ularni ham xohlamaymiz. Buni qilish,
\[\begin{align*}{{\bf{e}}^x}\cos x & = 1 + x + \left( { - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \right){x^2} + \left( { - \frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \right){x^3} + \left( {\frac{1}{{24}} - \frac{1}{4} + \frac{1}{{24}}} \right){x^4} + \cdots \\ & = 1 + x - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{6} + \cdots \end{align*}\]Mana, boramiz. Biz taxmin qildik va to'rtta nolga teng bo'lmagan shartlar bilan yakunlandik, lekin bu yaxshi. Agar biz taxmin qilgan bo'lsak va bizga \({x^5}\) bilan atamalar kerak bo'lsa, bu erda qilishimiz kerak bo'lgan narsa orqaga qaytish va bu atamalarni asl seriyaga qo'shish va bir nechta tez ko'paytirishni amalga oshirishdir. Boshqacha qilib aytganda, barcha ishlarni butunlay qayta tiklash uchun hech qanday sabab yo'q.