Baholash deganda qavs ichidagi narsaga qarab ikkita narsadan birini nazarda tutamiz. Agar qavs ichida raqam bo'lsa, biz raqamni xohlaymiz. Agar \(x\) bo'lsa (yoki qavssiz, chunki bu \(x\) ni nazarda tutadi), biz operatsiyani bajaramiz va iloji boricha soddalashtiramiz.

Bu holda bizda raqam bor, shuning uchun biz funktsiyani baholashimiz kerak.

\[\begin{align*}\left( {f + g} \right)\left( 4 \right) & = f\left( 4 \right) + g\left( 4 \right)\\ & = \left( {2 + 3\left( 4 \right) - {4^2}} \right) + \left( {2\left( 4 \right) - 1} \right)\\ & = - 2 + 7\\ & = 5\end{align*}\]

Bu erda bizda \(x\) yoki raqam yo'q, shuning uchun bu xuddi qavs ichida \(x\) borligi bilan bir xil narsani anglatadi. Shuning uchun biz ikkita funktsiyani ayirib, soddalashtiramiz. Shuni ham yodda tutingki, bu yuqoridagi ta'riflarga qarama-qarshi tartibda yozilgan, ammo u xuddi shunday ishlaydi.

\[\begin{align*}g - f & = g\left( x \right) - f\left( x \right)\\ & = 2x - 1 - \left( {2 + 3x - {x^2}} \right)\\ & = 2x - 1 - 2 - 3x + {x^2}\\ & = {x^2} - x - 3\end{align*}\]

Oxirgi qismdagi kabi bu qavs ichida \(x\) bor, shuning uchun biz ko'paytiramiz va keyin soddalashtiramiz.

\[\begin{align*}\left( {fg} \right)\left( x \right) & = f\left( x \right)g\left( x \right)\\ & = \left( {2 + 3x - {x^2}} \right)\left( {2x - 1} \right)\\ & = 4x + 6{x^2} - 2{x^3} - 2 - 3x + {x^2}\\ & = - 2{x^3} + 7{x^2} + x - 2\end{align*}\]

Ushbu yakuniy qismda bizda raqam bor, shuning uchun biz yana bir bor funktsiyani baholashni amalga oshiramiz.

\[\begin{align*}\left( {\frac{f}{g}} \right)\left( 0 \right) & = \frac{{f\left( 0 \right)}}{{g\left( 0 \right)}}\\ & = \frac{{2 + 3\left( 0 \right) - {{\left( 0 \right)}^2}}}{{2\left( 0 \right) - 1}}\\ & = \frac{2}{{ - 1}}\\ & = - 2\end{align*}\]

Bu biz birinchi misollar to'plamida ishlatgan funksiyalardir va biz bu qismni allaqachon bajarganmiz, shuning uchun bu erda barcha ishlarni qayta bajarmaymiz. Bu erda faqat funktsiya tarkibi funktsiyani ko'paytirish emasligini isbotlash uchun berilgan.

Mana bu ikki funktsiyaning ko'paytmasi.

\[\left( {fg} \right)\left( x \right) = - 2{x^3} + 7{x^2} + x - 2\]

Endi funktsiya tarkibi uchun siz eslashingiz kerak bo'lgan yagona narsa shundaki, biz ro'yxatdagi ikkinchi funktsiyani ro'yxatdagi birinchi funktsiyaga ulaymiz. Agar siz doimo kompozitsiyaning asosiy formulasini yozishingiz kerakligini eslay olsangiz.

Mana bu funktsiya tarkibi.

\[\begin{align*}\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) &= f\left[ {g\left( x \right)} \right]\\ & = f\left[ {2x - 1} \right]\end{align*}\]

Endi e'tibor bering, bizda \(g\left( x \right)\) uchun formula mavjud bo'lganligi sababli, biz oldinga o'tdik va avval uni uladik. Bundan tashqari, biz birinchi navbatda bunday funktsiyani baholashni amalga oshirdik bo'limi funktsiyalarni ko'rib chiqdik. O'sha paytda, ehtimol, funktsiyani baholashning bunday turini ko'rib chiqish unchalik foydali bo'lmagandek tuyulardi, ammo bu erda.

Keling, bu muammoni hal qilaylik.

\[\begin{align*}\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) &= f\left[ {g\left( x \right)} \right]\\ & = f\left[ {2x - 1} \right]\\ & = 2 + 3\left( {2x - 1} \right) - {\left( {2x - 1} \right)^2}\\ & = 2 + 6x - 3 - \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)\\ & = - 1 + 6x - 4{x^2} + 4x - 1\\ & = - 4{x^2} + 10x - 2\end{align*}\]

E'tibor bering, bu ko'paytirishdan juda farq qiladi! Funktsiya tarkibi funktsiyani ko'paytirish emasligini unutmang.

Biz bu qismga batafsil ma'lumot bermaymiz, chunki u avvalgi qism bilan bir xil ishlaydi.

\[\begin{align*}\left( {g \circ f} \right)\left( x \right) &= g\left[ {f\left( x \right)} \right]\\ & = g\left[ {2 + 3x - {x^2}} \right]\\ & = 2\left( {2 + 3x - {x^2}} \right) - 1\\ & = 4 + 6x - 2{x^2} - 1\\ & = - 2{x^2} + 6x + 3\end{align*}\]

E'tibor bering, bu ikkinchi qismdagi javob bilan bir xil emas. Aksariyat hollarda funktsiya tarkibini bajarish tartibi turli xil javoblarni beradi.

Bu erda formuladan o'tishdan boshqa narsa qilish kerak emas.

\[\begin{align*}\left( {f \circ h} \right)\left( x \right)& = f\left[ {h\left( x \right)} \right]\\ & = f\left[ {\sqrt {x + 1} } \right]\\ & = {\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^2} - 3\\ & = x + 1 - 3\\ & = x - 2\end{align*}\]

Shunga qaramay, bu erda qiladigan ko'p narsa yo'q.

\[\begin{align*}\left( {h \circ f} \right)\left( x \right) & = h\left[ {f\left( x \right)} \right]\\ & = h\left[ {{x^2} - 3} \right]\\ & = \sqrt {{x^2} - 3 + 1} \\ & = \sqrt {{x^2} - 2} \end{align*}\]

Endi bu holda, bu erda ikkita funktsiya bir xil ekanligidan hayajonlanmang. Kompozitsiya xuddi shunday ishlaydi.

\[\begin{align*}\left( {f \circ f} \right)\left( x \right) & = f\left[ {f\left( x \right)} \right]\\ & = f\left[ {{x^2} - 3} \right]\\ & = {\left( {{x^2} - 3} \right)^2} - 3\\ & = {x^4} - 6{x^2} + 9 - 3\\ & = {x^4} - 6{x^2} + 6\end{align*}\]

Bu holda, oldingi barcha misollardan farqli o'laroq, bizda \(x\) o'rniga qavs ichida raqam bor, lekin u xuddi shu tarzda ishlaydi.

\[\begin{align*}\left( {h \circ h} \right)\left( 8 \right) & = h\left[ {h\left( 8 \right)} \right]\\ & = h\left[ {\sqrt {8 + 1} } \right]\\ & = h\left[ {\sqrt 9 } \right]\\ & = h\left[ 3 \right]\\ & = \sqrt {3 + 1} \\ & = 2\end{align*}\]

Shunga qaramay, bizda raqam bor. Bu safar ushbu baholashni amalga oshirishning ikkita usuli bor. Birinchisi, birinchi qismdagi natijalardan oddiygina foydalanish, chunki bu umumiy funktsiya tarkibi uchun formuladir.

Agar biz muammoni shu tarzda hal qilsak,

\[\left( {f \circ h} \right)\left( 4 \right) = 4 - 2 = 2\]

Biz ham oldingi qismda bo'lgani kabi to'g'ridan-to'g'ri baholashni ham amalga oshirishimiz mumkin edi. Javoblar, ularni qanday olishimizdan qat'i nazar, bir xil bo'lishi kerak. Shunday qilib, bunday baholashning yana bir misolini olish uchun to'g'ridan-to'g'ri baholashni amalga oshiramiz.

\[\begin{align*}\left( {f \circ h} \right)\left( 4 \right) & = f\left[ {h\left( 4 \right)} \right]\\ & = f\left[ {\sqrt {4 + 1} } \right]\\ & = f\left[ {\sqrt 5 } \right]\\ & = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - 3\\ & = 5 - 3\\ & = 2\end{align*}\]

Shunday qilib, biz bir xil javob oldik, garchi uni olish uchun ko'proq mehnat kerak bo'lsa ham.

Umid qilamanki, shu paytgacha bular yomon emas.

\[\begin{align*}\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) &= f\left[ {g\left( x \right)} \right]\\ & = f\left[ {\frac{x}{3} + \frac{2}{3}} \right]\\ & = 3\left( {\frac{x}{3} + \frac{2}{3}} \right) - 2\\ & = x + 2 - 2\\ & = x\end{align*}\]

Bu yerda ishlar ancha soddalashtirilganga o'xshaydi.

Bu erda qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa formuladan foydalanish, shuning uchun buni qilaylik.

\[\begin{align*}\left( {g \circ f} \right)\left( x \right)& = g\left[ {f\left( x \right)} \right]\\ & = g\left[ {3x - 2} \right]\\ & = \frac{1}{3}\left( {3x - 2} \right) + \frac{2}{3}\\ & = x - \frac{2}{3} + \frac{2}{3}\\ & = x\end{align*}\]

Shunday qilib, bu holda biz kompozitsiyani qanday tartibda qilganimizdan qat'i nazar, bir xil javobni olamiz.