Asosiy tarkibga o'tish

1.8-bo'lim: Logarifm funktsiyalari

Ushbu bo'limda biz oxirgi bo'limda ko'rib chiqqan eksponensial funktsiyalar bilan bog'liq funktsiyani ko'rib chiqamiz. Ushbu bo'limda logarifmlarni ko'rib chiqamiz. Logarifmlar o'quvchilar eng qo'rqadigan funktsiyalardan biridir. Buning asosiy sababi shundaki, ular hech qachon ular bilan ishlashga majbur bo'lmaganlar. Ular bilan ishlashni boshlagandan so'ng, talabalar ular birinchi o'ylagandek yomon emasligini tushunishadi.

Biz oxirgi bo'limda bo'lgani kabi \(b > 0\), \(b \ne 1\) bilan boshlaymiz. Keyin bizda bor

\[y = {\log _b}x\hspace{0.5in}{\mbox{is equivalent to }}\hspace{0.5in}x = {b^y}\]

Birinchisi logarifmik shakl, ikkinchisi esa eksponensial shakl deb ataladi. Ushbu ekvivalentlikni eslab qolish logarifmlarni baholashning kalitidir. \(b\) raqami baza deb ataladi.

Keling, ba'zi tezkor baholashlarni qilaylik.

1-misol Kalkulyatorsiz quyidagi logarifmlarning har birining aniq qiymatini bering.
  1. \({\log _2}16\)
  2. \({\log _4}16\)
  3. \({\log _5}625\)
  4. \({\log _9}\frac{1}{{531441}}\)
  5. \({\log _{\frac{1}{6}}}36\)
  6. \({\log _{\frac{3}{2}}}\frac{{27}}{8}\)

Logarifmlarni tezda baholash uchun eng oson narsa logarifmni eksponensial shaklga aylantirishdir. Shunday qilib, keling, birinchisini ko'rib chiqaylik.

a \({\log _2}16\) Yechim

Birinchidan, eksponensial shaklga o'tamiz.

\[{\log _2}16 = ?\hspace{0.5in}{\mbox{is equivalent to }}\hspace{0.5in}{2^?} = 16\]

Shunday qilib, biz haqiqatan ham 2 dan 16 ga ko'tarilganini so'rayapmiz. 4 ga ko'tarilgan 2 ni 16 bo'lgani uchun, biz olamiz,

\[{\log _2}16 = 4\hspace{0.5in}{\rm{because}}\hspace{0.5in}{2^4} = 16\]

Qolgan qismlarni unchalik batafsil bajarmaymiz, lekin ularning barchasi shu tarzda ishlaydi.


b \({\log _4}16\) Yechim
\[{\log _4}16 = 2\hspace{0.5in}{\rm{because}}\hspace{0.5in}{4^2} = 16\]

Birinchi va ikkinchi logarifm o'rtasidagi farqga e'tibor bering! Baza muhim! Bu javobni butunlay o'zgartirishi mumkin.


c \({\log _5}625\) Yechim
\[{\log _5}625 = 4\hspace{0.5in}{\rm{because}}\hspace{0.5in}{5^4} = 625\]

d \({\log _9}\frac{1}{{531441}}\) Yechim
\[{\log _9}\frac{1}{{531441}} = - 6\hspace{0.25in}{\rm{because}}\hspace{0.5in}{9^{ - 6}} = \frac{1}{{{9^6}}} = \frac{1}{{531441}}\]

e \({\log _{\frac{1}{6}}}36\) Yechim
\[{\log _{\frac{1}{6}}}36 = - 2\hspace{0.5in}{\rm{because}}\hspace{0.5in}{\left( {\frac{1}{6}} \right)^{ - 2}} = {6^2} = 36\]

f \({\log _{\frac{3}{2}}}\frac{{27}}{8}\) Yechim
\[{\log _{\frac{3}{2}}}\frac{{27}}{8} = 3\hspace{0.5in}{\rm{because}}\hspace{0.5in}{\left( {\frac{3}{2}} \right)^3} = \frac{{27}}{8}\]

Ko'p joylarda paydo bo'ladigan bir nechta maxsus logarifmlar mavjud. Bular,

\[\begin{align*}\ln x & = {\log _{\bf{e}}}x\hspace{0.5in}{\mbox{This log is called the natural logarithm}}\\ \log x & = {\log _{10}}x\hspace{0.5in}{\mbox{This log is called the common logarithm}}\end{align*}\]

Tabiiy logarifmda asos e Bu biz oxirgi marta ko'rgan tabiiy eksponensial funktsiyadagi bilan bir xil sondir bo'limi. Mana bu ikkala logarifmning eskizi.

Graph of \(\ln \left( x \right)\) and \(\log \left( x \right)\). Both are increasing functions that intersect at (1,0) with \(\ln \left( x \right)\) below the graph of \(\log \left( x \right)\) to the left of (1,0) and above the graph of \(\log \left( x \right)\) to the right of (1,0).

Ushbu grafikdan biz tabiiy logarifm haqida bir nechta juda yaxshi xususiyatlarni olishimiz mumkin, biz ushbu va keyingi Hisob kurslarida ko'p marta ishlatamiz.

\[\begin{array}{l}\ln x \to \infty {\mbox{ as }}x \to \infty \\ \ln x \to - \infty {\mbox{ as }}x \to 0,\,\,x > 0\end{array}\]

Keling, yana bir nechta logarifm baholashlarini ko'rib chiqaylik. Ulardan ba'zilari tabiiy yoki umumiy logarifm bilan shug'ullanadi, ba'zilari esa yo'q.

2-misol Kalkulyatorsiz quyidagi logarifmlarning har birining aniq qiymatini bering.
  1. \(\ln \sqrt[3]{{\bf{e}}}\)
  2. \(\log 1000\)
  3. \({\log _{16}}16\)
  4. \({\log _{23}}1\)
  5. \({\log _2}\sqrt[7]{{32}}\)

Ular avvalgi misol bilan bir xil ishlaydi, shuning uchun biz juda ko'p tafsilotlarni kiritmaymiz.

a \(\ln \sqrt[3]{{\bf{e}}}\) Yechim
\[\ln \sqrt[3]{{\bf{e}}} = \frac{1}{3}\hspace{0.5in}{\rm{because}}\hspace{0.5in}{{\bf{e}}^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{{\bf{e}}}\]

b \(\log 1000\) Yechim
\[\log 1000 = 3\hspace{0.5in}{\rm{because}}\hspace{0.5in}{10^3} = 1000\]

c \({\log _{16}}16\) Yechim
\[{\log _{16}}16 = 1\hspace{0.5in}{\rm{because}}\hspace{0.5in}{16^1} = 16\]

d \({\log _{23}}1\) Yechim
\[{\log _{23}}1 = 0\hspace{0.5in}{\rm{because}}\hspace{0.5in}{23^0} = 1\]

e \({\log _2}\sqrt[7]{{32}}\) Yechim
\[{\log _2}\sqrt[7]{{32}} = \frac{5}{7}\hspace{0.5in}{\rm{because}}\hspace{0.5in}\sqrt[7]{{32}} = {32^{\frac{1}{7}}} = {\left( {{2^5}} \right)^{\frac{1}{7}}} = {2^{\frac{5}{7}}}\]

Bu so'nggi misollar to'plami bizni logarifmlarning ba'zi asosiy xususiyatlariga olib boradi.

Logarifmlarning xossalari

  1. Logarifm funksiyasining sohasi \(\left( {0,\infty } \right)\). Boshqacha qilib aytganda, biz logarifmaga faqat ijobiy raqamlarni kiritishimiz mumkin! Biz nol yoki manfiy raqamni kirita olmaymiz.
  2. Logarifm funksiyasining diapazoni \(\left( { - \infty ,\infty } \right)\).
  3. \({\log _b}b = 1\)
  4. \({\log _b}1 = 0\)
  5. \({\log _b}{b^x} = x\)
  6. \({b^{{{\log }_b}x}} = x\)

Oxirgi ikkita xususiyat keyingi davrda ayniqsa foydali bo'ladi bo'limi. E'tibor bering, ushbu oxirgi ikkita xususiyat bizga shuni aytadi:

\[f\left( x \right) = {b^x}\hspace{0.5in}{\rm{and }}\hspace{0.5in}g\left( x \right) = {\log _b}x\]

bor teskarilar bir-biridan.

Logarifmlarni manipulyatsiya qilishda foydali bo'lgan yana bir nechta xususiyatlar.

Logarifmlarning boshqa xususiyatlari

  1. \({\log _b} (xy) = {\log _b}(x) + {\log _b}(y)\)
  2. \(\displaystyle {\log _b}\left( {\frac{x}{y}} \right) = {\log _b}(x) - {\log _b}(y)\)
  3. \({\log _b}\left( {{x^r}} \right) = r{\log _b}(x)\)

E'tibor bering, yig'indilar va farqlar uchun birinchi ikkitasiga teng xususiyat yo'q. Boshqacha aytganda,

\[\begin{align*}{\log _b}\left( {x + y} \right) & \ne {\log _b}x + {\log _b}y\\ {\log _b}\left( {x - y} \right) & \ne {\log _b}x - {\log _b}y\end{align*}\]
3-misol Quyidagilarning har birini oddiyroq logarifmlar shaklida yozing.
  1. \(\ln \left({x^3}{y^4}{z^5}\right)\)
  2. \(\displaystyle {\log _3}\left( {\frac{{9{x^4}}}{{\sqrt y }}} \right)\)
  3. \(\displaystyle \log \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^3}}}} \right)\)

Bu erda ko'rsatmalar aslida nimani anglatadi, biz imkon qadar narsalarni soddalashtirish uchun logarifmlarning ko'plab xususiyatlaridan foydalanishdir.

a \(\ln \left({x^3}{y^4}{z^5}\right)\) Yechim

Yuqoridagi 7-xususiyat ikkitadan ortiq funksiyali mahsulotlarga ham kengaytirilishi mumkin. 7-xususiyatidan foydalanganimizdan so'ng, biz 9-xususiyatdan foydalanishimiz mumkin.

\[\begin{align*} \ln \left({x^3}{y^4}{z^5}\right) & = \ln (x^3) + \ln (y^4) + \ln (z^5) \\ & = 3\ln (x) + 4\ln (y) + 5\ln (z) \end{align*}\]

b \(\displaystyle {\log _3}\left( {\frac{{9{x^4}}}{{\sqrt y }}} \right)\) Yechim

Yuqoridagi 8-xususiyatdan foydalanganda siz olib tashlagan logarifm uning argumenti sifatida maxrajni o'z ichiga olgan logarifm ekanligiga ishonch hosil qiling. Shuni ham yodda tutingki, biz birinchi bosqichda ildizni kasr ko'rsatkichlariga aylantiramiz.

\[\begin{align*} {\log _3}\left( {\frac{{9{x^4}}}{{\sqrt y }}} \right) & = {\log _3}(9{x^4}) - {\log _3}({y^{\frac{1}{2}}}) \\ & = {\log _3}(9) + {\log _3}(x^4) - {\log _3}(y^{\frac{1}{2}}) \\ & = 2 + 4\log _{3}(x) - \frac{1}{2}\log_{3}(y) \end{align*}\]

c \(\displaystyle \log \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^3}}}} \right)\) Yechim

Bu muammoning nuqtasi asosan yuqoridagi 9 xususiyatdan to'g'ri foydalanishdir.

\[\begin{align*}\log \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^3}}}} \right) & = \log \left( {{x^2} + {y^2}} \right) - \log {\left( {x - y} \right)^3}\\ & = \log \left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 3\log \left( {x - y} \right)\end{align*}\]

9-xususiyatdan ikkinchi atamada foydalanishingiz mumkin, chunki BUTUN atama 3 ga ko'tarilgan, lekin birinchi logarifmda faqat individual atamalar kvadratga aylangan va butun atama emas, shuning uchun 2 lar turgan joyida qolishi kerak!

Ushbu bo'limda biz ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan oxirgi mavzu bazaning o'zgarishi logarifmlar uchun formula. Asosiy formulaning o'zgarishi,

\[{\log _b}x = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}b}}\]

Bu asosiy formulaning eng umumiy o'zgarishi bo'lib, \(b\) bazasidan \(a\) bazasiga aylanadi. Biroq, asosiy formulani o'zgartirishdan foydalanishning odatiy sababi, siz osonlik bilan ishlay olmaydigan bazada joylashgan logarifmning qiymatini hisoblashdir. Asosiy formulani o'zgartirish logarifmni o'zingiz hal qila oladigan logarifm shaklida yozishingiz mumkinligini anglatadi. Asosiy formulalarning ikkita eng keng tarqalgan o'zgarishi

\[{\log _b}x = \frac{{\ln x}}{{\ln b}}\hspace{0.5in}{\rm{and}}\hspace{0.5in}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\rm{b}}}x = \frac{{\log x}}{{\log b}}\]

Haqiqatan ham, siz ko'pincha asosiy formulaning o'zgarishi sifatida ro'yxatga olingan birini yoki boshqasini ko'rasiz!

Ushbu bo'limning birinchi qismida biz bir nechta logarifmlarning qiymatini hisobladik, lekin biz buni asosiy formulani o'zgartirmasdan qilishimiz mumkin edi, chunki barcha argumentlar bir darajaga asos bo'yicha yozilishi mumkin edi. Masalan,

\[{\log _7}49 = 2\hspace{0.5in}{\rm{because}}\hspace{0.5in}{7^2} = 49\]

Biroq, bu faqat ishlaydi, chunki 49 ni 7 ning kuchi sifatida yozish mumkin! \({\log _7}50\) ni hisoblash uchun bizga asosiy formulani o'zgartirish kerak bo'ladi.

\[{\log _7}50 = \frac{{\ln 50}}{{\ln 7}} = \frac{{3.91202300543}}{{1.94591014906}} = 2.0103821378\]

OR

\[{\log _7}50 = \frac{{\log 50}}{{\log 7}} = \frac{{1.69897000434}}{{0.845098040014}} = 2.0103821378\]

Shunday qilib, qaysi birini ishlatishimiz muhim emas, biz asosiy formulani o'zgartirishda foydalanadigan logarifmdan qat'iy nazar bir xil javobni olamiz.

Shuni ham yodda tutingki, agar biz xohlasak, \({\log _7}49\) da asosiy formulani o'zgartirishimiz mumkin.

\[{\log _7}49 = \frac{{\ln 49}}{{\ln 7}} = \frac{{3.89182029811}}{{1.94591014906}} = 2\]

Biroq, bu juda ko'p ish va bu bilan kurashishning eng yaxshi usuli emas.

Shunday qilib, ushbu bo'limda biz logarifmlarning qanday ishlashini ko'rib chiqdik va logarifmlarning ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqdik. Biz vaqti-vaqti bilan logarifmlarga duch kelamiz, shuning uchun biz ularga duch kelganimizda ular bilan shug'ullanishingiz mumkinligiga ishonch hosil qiling.