1.9-bo'lim : Eksponensial va logarifm tenglamalari
9. \(\log \left( w \right) + \log \left( {w - 21} \right) = 2\) ning barcha yechimlarini toping. Agar yechimlar bo'lmasa, sababini aniq tushuntiring.
Yechim
Biz buni bitta logarifmli tenglamaga tushirishimiz kerak va buning uchun avval uni biroz qayta yozishimiz kerak. Buni amalga oshirgandan so'ng, ikkita logarifmni bitta logarifmaga birlashtirish uchun asosiy logarifm xususiyatlaridan foydalanishimiz mumkin:
\[\begin{align*}\log \left( {w\left( {w - 21} \right)} \right) & = 2\\ \log \left( {{w^2} - 21w} \right) & = 2\end{align*}\]2-qadam
Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - 10 dan foydalanib ikkala tomonni eksponentatsiya qilish (chunki biz umumiy logarifm bilan ishlaymiz) va keyin \(y\) ni hal qilish.
\[\begin{align*}\log \left( {{w^2} - 21w} \right) & = 2\\ {10^{\log \left( {{w^2} - 21w} \right)}} & = {10^2}\\ {w^2} - 21w & = 100\\ {w^2} - 21w - 100 & = 0\\ \left( {w - 25} \right)\left( {w + 4} \right) & = 0\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}w = - 4,\,\,\,\,w = 25\end{align*}\]3-qadam
Biz logarifmlar bilan ishlayapmiz, shuning uchun potentsial echimlarimiz bilan hech qanday muammoga duch kelmasligimizga ishonch hosil qilishimiz kerak. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar biz ikkita potentsial echimdan birini asl tenglamaga qo'shsak, manfiy son yoki nol logarifmini qabul qilmasligimizga ishonch hosil qilishimiz kerak.
Tekshiruvdan so'ng, agar biz \(w = - 4\) ni ulasak, manfiy sonning logarifmini olamiz (bu holda ikkala logarifmda ham) va \(w = - 4\) yechim bo'la olmasligini tezda ko'rishimiz mumkin. Boshqa tomondan, agar biz \(w = 25\) ga ulansak, biz manfiy sonlarning logarifmlarini olmaymiz va shuning uchun \(w = 25\) bu yechimdir.
Xulosa qilib aytganda, tenglamaning yagona yechimi: \(\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{w = 25}}\).