Asosiy tarkibga o'tish

2.8-bo'lim: Muvozanatli yechimlar

Oldingida biz o'sish sur'ati doimiy bo'ladi degan taxminga asoslanib, populyatsiyani modellashtirdik. Biroq, aslida bu juda mantiqiy emas. Shubhasiz, aholining doimiy ravishda bir xil darajada o'sishiga yo'l qo'yib bo'lmaydi. Aholining o'sish sur'ati aholining o'ziga bog'liq bo'lishi kerak. Populyatsiya ma'lum bir nuqtaga yetgandan so'ng, o'sish sur'ati odatda keskin pasaya boshlaydi. Aholi o'sishining ancha real modeli tomonidan berilgan logistik o'sish tenglamasi. Bu erda logistik o'sish tenglamasi.

\[P' = r\left( {1 - \frac{P}{K}} \right)P\]

Logistik o'sish tenglamasida \(r\) - bu ichki o'sish tezligi va oxirgi qismdagi kabi bir xil \(r\). Boshqacha qilib aytganda, bu o'sish sur'ati hech qanday cheklovchi omillar bo'lmaganda sodir bo'ladi. \(K\) ham deyiladi to'yinganlik darajasi yoki tashish qobiliyati.

Endi biz bu aholi uchun realroq model ekanligini da'vo qildik. Keling, bu haqiqatan ham to'g'ri ekanligini bilib olaylik. Yo'nalish maydonini chizishga ruxsat berish uchun \(r\) va \(K\) uchun bir nechta raqamlarni tanlaylik. Biz \(r = \frac{1}{2}\) va \(K = 10\) dan foydalanamiz. Ushbu qiymatlar uchun logistika tenglamasi.

\[P' = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{P}{{10}}} \right)P\]

Agar sizga eskiz yo'nalishlari bo'yicha yangilanish kerak bo'lsa, orqaga qayting va buni ko'rib chiqing bo'limi. Birinchidan, hosila \(P = 0\) va \(P = 10\) da nolga teng bo'lishiga e'tibor bering. Shuni ham unutmangki, bular aslida differentsial tenglamaning yechimlari. Bu ikki qiymat deyiladi muvozanat yechimlari chunki ular differensial tenglamaning doimiy yechimlaridir. Yo'nalish maydonini chizish bo'yicha qolgan tafsilotlarni sizga qoldiramiz. Bu erda yo'nalish maydoni, shuningdek, bir nechta echimlar chizilgan.

A graph with domain $0 \le t \le 8$ and range $0 \le P(t) \le 14$. At P(t)=10 and P(t)=0 there are horizontal lines of arrows all pointing to the right. Below P(t)=0 there are arrows with a decreasing slope. In the range 0< P(t)<10 there are a series of increasing arrows. Arrows that start near P(t)=0 all have a shallow and increasing slope. As you move away from P(t)=0 the arrows steepen out and then as they near P(t)=10 they start to shallow back out. Above P(t)=10 there are a series of decreasing arrows. Arrows that are near P(t)=50 all have a shallow and decreasing slope. The farther above P(t)=10 the arrows get the steeper (and still decreasing) their slopes are. Along the P(t) axis a number of graph representing solutions start. All of the graphs are parallel to the arrows. The graphs at P(t) = 0 and P(t)=10 are a horizontal lines. Solutions that start above P(t)=10 all decrease towards P=10 and shallow out as they get closer to P=10 without actually crossing. Solutions in the range 0<P<10 all increase until they get close to P=10 and then shallow out as they get closer to P=10 without actually crossing.

E'tibor bering, biz bu erga salbiy \(P\) ning kichik qismini qo'shdik, garchi ular populyatsiya muammosi uchun hech qanday ma'noga ega bo'lmasa ham. Buning sababi yo'lda aniq bo'ladi. Bundan tashqari, e'tibor bering, 8 degan populyatsiya unchalik ma'noga ega emas, shuning uchun aholi minglab yoki millionlab deb faraz qilaylik, shuning uchun 8 aslida populyatsiyadagi 8 000 yoki 8 000 000 kishini anglatadi.

E'tibor bering, agar aholi noldan boshlasak, o'sish bo'lmaydi va aholi nolda qoladi. Shunday qilib, logistika tenglamasi buni to'g'ri aniqlaydi. Keyin e'tibor bering, agar biz \(0 < P\left( 0 \right) < 10\) diapazonidagi populyatsiyadan boshlasak, u holda aholi o'sib boradi, lekin 10 kishilik aholi soniga yaqinlashganimizdan so'ng tekislashni boshlaydi. Agar biz 10 kishilik aholi bilan boshlasak, aholi soni 10da qoladi. Va nihoyat, agar biz 10 dan ortiq aholi bilan boshlasak, aholi soni 10 dan yuqori bo'lganidan boshlagunimizcha, aholi aslida nobud bo'ladi, bu esa aholi soni 10 dan pastga tusha boshlaydi.

Endi, real nuqtai nazardan, bu qandaydir ma'noga ega bo'lishi kerak. Populyatsiyalar cheksiz abadiy o'sishi mumkin emas. Oxir-oqibat, aholi soni shunday hajmga etadiki, hududning resurslari aholini ushlab turolmaydi va bu chegaraga yaqinlashganda aholi o'sishi sekinlashadi. Bundan tashqari, agar siz hududning yashashi mumkin bo'lgan aholi sonidan ko'p bo'lsa, biz ushbu chegaraga yaqinlashgunimizcha, aslida nobud bo'ladi.

Bunday holda, bu chegara 10 bo'lib ko'rinadi, bu bizning muammomiz uchun \(K\) qiymatidir. Bu biz dastlab \(K\) bergan nomni tushuntirishi kerak. Hududning tashish qobiliyati yoki to'yinganlik darajasi ushbu hudud uchun maksimal barqaror aholi sonidir.

Shunday qilib, logistika tenglamasi juda sodda bo'lsa-da, populyatsiya bilan nima sodir bo'lishini modellashtirishda ancha yaxshi ishlaydi.

Keling, ushbu bo'limning nuqtasiga o'tamiz. Logistika tenglamasi bunga misoldir avtonom differensial tenglama. Avtonom differensial tenglamalar - bu ko'rinishdagi differentsial tenglamalar.

\[\frac{{dy}}{{dt}} = f\left( y \right)\]

Bu holda \(t\) mustaqil o'zgaruvchining paydo bo'ladigan yagona joyi hosilada.

E'tibor bering, agar \(f\left( {{y_0}} \right) = 0\) ma'lum qiymat uchun \(y = {y_0}\) bo'lsa, bu ham differentsial tenglamaning yechimi bo'ladi. Bu qiymatlar deyiladi muvozanat yechimlari or muvozanat nuqtalari. Biz nima qilishni xohlaymiz, bu echimlarni tasniflashdir. Tasniflash deganda biz quyidagilarni nazarda tutamiz. Agar yechimlar muvozanatli yechimga “yaqin” boshlansa, ular muvozanatli yechimdan uzoqlashadimi yoki muvozanat yechimiga qarab ketadimi? Muvozanat echimlarini tasniflagandan so'ng, biz differensial tenglamaning boshqa barcha echimlari uzoq muddatda nima qilishini shunchaki bilib olamiz. muvozanat yechimlari ular yaqindan boshlanadi.

Xo'sh, "yaqin" deganda nimani tushunamiz? Logistika tenglamamizga qayting.

\[P' = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{P}{{10}}} \right)P\]

Biz ta'kidlaganimizdek, \(P = 0\) va \(P = 10\) tenglamasining ikkita muvozanat yechimi mavjud. Agar biz aholi bilan ishlayotganimizni e'tiborsiz qoldiradigan bo'lsak, bu nuqtalar \(P\) raqamlar chizig'ini uchta alohida mintaqaga ajratadi.

\[ - \infty < P < 0\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\,\,\,\,0 < P < 10\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\,10 < P < \infty \]

Biz aytamizki, yechim muvozanat yechimining har ikki tomonida joylashgan hududda boshlansa, muvozanatli yechimga “yaqindan” boshlanadi. Shunday qilib, \(P = 10\) muvozanat yechimiga “yaqindan” boshlanadigan yechimlar ikkalasida ham boshlanadi.

\[0 < P < 10\hspace{0.25in}{\mbox{OR}}\hspace{0.25in}\,10 < P < \infty \]

va \(P = 0\) "yaqinida" boshlanadigan echimlar ikkalasida ham boshlanadi

\[ - \infty < P < 0\hspace{0.25in}\,\,\,{\mbox{OR}}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,0 < P < 10\]

Ikki muvozanat yechimi o'rtasida joylashgan hududlar uchun biz ushbu mintaqada boshlangan har qanday echimni, biz kerak bo'lganda, ikkita muvozanat echimining "yaqinida" boshlanadigan deb o'ylashimiz mumkin.

Endi \(P = 0\) “yaqinida” boshlangan yechimlar \(t\) ortishi bilan yechimdan uzoqlashadi. E'tibor bering, uzoqlashish ularning uzoqlashishi bilan bog'liq holda o'sishini anglatmaydi. Bu faqat ular uzoqlashishlarini anglatadi. \(P = 0\) dan kattaroq boshlangan yechimlar uzoqlashadi, lekin \(t\) o'sishi bilan chegaralanib qoladi. Aslida, ular \(P = 10\) tomon harakat qilishadi.

“Yaqindan” boshlangan yechimlar muvozanat yechimidan uzoqlashuvchi muvozanat yechimlari deyiladi. beqaror muvozanat nuqtalari or beqaror muvozanat yechimlari. Shunday qilib, bizning logistika tenglamamiz uchun \(P = 0\) beqaror muvozanat yechimidir.

Keyinchalik, \(P = 10\) “yaqinida” boshlangan yechimlar \(t\) ortishi bilan \(P = 10\) tomon harakatlanadi. “Yaqindan” boshlangan yechimlar muvozanat yechimi tomon harakatlanadigan muvozanat yechimlari deyiladi. asimptotik barqaror muvozanat nuqtalari or asimptotik barqaror muvozanat yechimlari. Demak, \(P = 10\) asimptotik barqaror muvozanat yechimidir.

Yana bitta tasnif bor, lekin men buni joriy qilish uchun misol keltirguncha kutaman. Shunday qilib, keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

1-misol Quyidagi differentsial tenglamaning barcha muvozanat yechimlarini toping va tasniflang.

\[y' = {y^2} - y - 6\]
Yechim

Birinchidan, muvozanat echimlarini toping. Umuman olganda, buni qilish juda oson.

\[{y^2} - y - 6 = \left( {y - 3} \right)\left( {y + 2} \right) = 0\]

Shunday qilib, bizda ikkita muvozanat yechimi borga o'xshaydi. \(y = -2\) ham, \(y = 3\) ham muvozanat yechimlaridir. Quyida ushbu differentsial tenglama uchun ba'zi integral egri chiziqlarning eskizi keltirilgan. Integral egri chiziqlar yoki yo'nalish maydonlarining eskizi muvozanat echimlarini tasniflash jarayonini soddalashtirishi mumkin.

A graph with domain $0 \le x \le 5$ and range $-5 \le y \le 5$. There are a series of sketches of solutions on the graph. At y=-2 and y=3 the solutions are horizontal lines. Solutions that start below y=-2 all increase up towards y=-2 shallowing out as they get near y=-2 without actually crossing. Graphs in the range -2<y<3 start near y=3 and are shallow decreasing graphs. As they move down from y=3 they steepen out and the start to shallow back out as they get near y=-2 without actually crossing. Graphs starting above y=3 all increase away from y=3.

Ushbu eskizdan ma'lum bo'lishicha, \(y = -2\) "yaqinida" boshlanadigan yechimlar \(t\) ortishi bilan unga qarab harakat qiladi va shuning uchun \(y = -2\) asimptotik barqaror muvozanat yechimidir va \(y = 3\) "yaqinida" boshlanadigan yechimlar \(t\) ning ortishi bilan \(y = 3\) dan uzoqlashadilar va shuning uchun \(y = 3\) beqaror muvozanat yechimidir.

Ushbu keyingi misol biz muvozanatli echimlarga beradigan uchinchi tasnifni taqdim etadi.

2-misol Quyidagi differensial tenglamaning muvozanat yechimlarini toping va tasniflang.

\[y' = \left( {{y^2} - 4} \right){\left( {y + 1} \right)^2}\]
Yechim

Bu differentsial tenglamaning muvozanat yechimlari \(y = -2\), \(y = 2\) va \(y = -1\) hisoblanadi. Quyida integral egri chiziqlarning eskizi keltirilgan.

A graph with domain $0 \le x \le 5$ and range $-3 \le y \le 3$. There are a series of sketches of solutions on the graph. At y=-2, y=-1 and y=2 the solutions are horizontal lines. Solutions that start below y=-2 all increase up towards y=-2 shallowing out as they get near y=-2 without actually crossing. Graphs in the range -2<y<-1 start near y=-1 and are shallow decreasing graphs. As they move down from y=-1 they steepen out and the start to shallow back out as they get near y=-2 without actually crossing. Graphs in the range -1<y<2 start near y=2 and are shallow decreasing graphs. As they move down from y=2 they steepen out and the start to shallow back out as they get near y=-1 without actually crossing. Graphs starting above y=2 all increase away from y=2.

Bundan aniq (umid qilamanki) \(y = 2\) beqaror muvozanat yechimi, \(y = -2\) esa asimptotik barqaror muvozanat yechimidir. Biroq, \(y = -1\) ikkalasidan ham farq qiladi. Undan yuqorida boshlangan yechimlar \(y = -1\) tomon harakatlanadi, \(y = -1\) ostida boshlangan yechimlar esa \(t\) ortishi bilan uzoqlashadi.

Muvozanatli eritmaning bir tomonidagi eritmalar muvozanat eritmasi tomon harakatlansa, muvozanat eritmasining boshqa tomonida esa undan uzoqlashsa, biz muvozanatli yechim deb ataladi. yarim barqaror.

Shunday qilib, \(y = -1\) yarim barqaror muvozanat yechimidir.