Asosiy tarkibga o'tish

2.12-bo'lim: Ko'phad tengsizliklar

Endi bir qancha qiyin tengsizliklarni yechish vaqti keldi. Ushbu bo'limda biz kamida ikki darajali ko'phadlarni o'z ichiga olgan (bitta) tengsizliklarni echamiz. Yoki boshqacha qilib aytganda, polinomlar endi chiziqli bo'lmaydi. Tenglamalarni yechishda biz ko'rganimizdek, chiziqli tengsizliklarni yechish jarayoni bu erda ishlamaydi.

Misol sifatida ishlayotganimizda jarayonni ko'rish osonroq bo'lgani uchun, keling, buni qilaylik. Chiziqli tengsizliklarda bo'lgani kabi, biz ham tengsizlikni haqiqatga aylantiradigan o'zgaruvchining barcha qiymatlarini qidiramiz. Bu shuni anglatadiki, bizning yechimimiz deyarli tengsizliklarni ham o'z ichiga oladi. Biz o'tadigan jarayon javoblarni o'sha shaklda beradi.

1-misol \({x^2} - 10 < 3x\) ni yeching.
Yechim

Ularni hal qilish uchun juda oddiy jarayon mavjud. Agar siz buni eslasangiz, har doim bunday tengsizliklarni hal qila olasiz.

1-qadam : Tengsizlikning bir tomonida nolni oling. Qaysi tomonda nol bo'lishi muhim emas, ammo biz keyingi bosqichda faktoringni o'tkazamiz, shuning uchun bu qadamni bajarayotganda buni yodda tuting. Hisoblash oson bo'ladigan narsangiz borligiga ishonch hosil qiling.

\[{x^2} - 3x - 10 < 0\]

2-qadam : Iloji bo'lsa, ko'phadni ko'paytiring. E'tibor bering, buni hisobga olish har doim ham mumkin emas, lekin bu narsalarni o'zgartirmaydi. Bu qadam, albatta, jarayonni hamma narsadan ko'ra soddalashtirish uchun. Biz ko'rib chiqadigan deyarli barcha muammolar omil bo'ladi.

\[\left( {x - 5} \right)\left( {x + 2} \right) < 0\]

3-qadam : Polinom qayerda nolga teng ekanligini aniqlang. E'tibor bering, bu nuqtalar tengsizlikni haqiqatga aylantirmaydi (bu holda), chunki \(0 < 0\) haqiqiy tengsizlik EMAS. Bu muammo emas. Bu nuqtalar bizga haqiqiy yechim topishga imkon beradi.

Bizning holatlarimizda polinom \(x = - 2\) va \(x = 5\) da nolga teng bo'ladi.

Endi, keyingi bosqichga o'tishdan oldin, keling, nima uchun bu fikrlarni xohlayotganimizni ko'rib chiqaylik.

Biz polinomlarning grafikasini hali muhokama qilmadik, ammo polinomlarning grafiklari ularda uzilishlarga ega bo'lmagan yoqimli silliq funktsiyalardir. Bu shuni anglatadiki, biz raqamlar chizig'i bo'ylab (har qanday yo'nalishda) harakatlanayotganimizda, agar polinomning qiymati ishorani o'zgartirsa (aytaylik, musbatdan manfiyga) u noldan o'tishi kerak!

Demak, bu ikki raqam (\(x = 5\) va \(x = - 2\)) ko‘phad belgisini o‘zgartirishi mumkin bo‘lgan FAQAT joydir. Keyin raqam chizig'i uchta mintaqaga bo'linadi. Har bir mintaqada tengsizlik shu mintaqadan bir ball bilan qanoatlantirilsa, bu mintaqadagi HAMMA nuqtalar uchun qanoatlantiriladi. Agar bu to'g'ri bo'lmasa (i.e u mintaqaning bir nuqtasida ijobiy va boshqa nuqtada salbiy edi) keyin u mintaqaning biron bir joyida nolga teng bo'lishi kerak, lekin bu sodir bo'lishi mumkin emas, chunki biz polinom nolga teng bo'lishi mumkin bo'lgan barcha joylarni allaqachon aniqlaganmiz! Xuddi shunday, agar tengsizlik o'sha mintaqaning biron bir nuqtasi uchun qoniqtirilmasa, u mintaqadagi HAR QANDAY nuqta uchun qoniqtirilmaydi.

Bu bizni keyingi bosqichga olib boradi.

4-qadam : Ko'phad nolga teng bo'lgan nuqtalarning grafigini tuzing (i.e. oldingi bosqichdagi nuqtalar) raqamlar chizig'ida va a ni tanlang sinov nuqtasi har bir viloyatdan. Ushbu test nuqtalarining har birini polinomga ulang va o'sha nuqtadagi polinomning belgisini aniqlang.

Bu juda yomon bo'lmasa-da, barcha ishlarga ega bo'lgan jarayonning bosqichidir. Mana bu muammo uchun raqam chizig'i.

Basic number line with scale in the range from -4 < x < 6 and divided into three ranges by vertical dashed lines at x=-2 and x=5. In the range x < -2 the polynomial is (-8)(-1)>0, so positive, at the test point of x=-3. In the range -2 < x < 5 the polynomial (-5)(2)<0, so negative, at the test point of x=0. In the range x > 5 the polynomial is (1)(8)>0, so positive, at the test point of x=6.

Keling, bu haqda bir oz gaplashaylik. Sinov nuqtalarini tanlaganimizda, ishlash uchun qulay raqamlarni tanlaganingizga ishonch hosil qiling. Shuning uchun, agar muammo sizni majburlamasa, katta raqamlar yoki kasrlarni tanlamang.

Shuni ham yodda tutingki, biz sinov nuqtalarini polinomning faktorlangan shakliga kiritdik va biz bu erda faqat polinom ijobiy yoki salbiy bo'ladimi yoki yo'qmi. Shuning uchun, biz polinomning qiymatlari bilan bezovta qilmadik va biz buni ko'rsatilgan mahsulotdan olishimiz mumkin. Ikki salbiyning ko'paytmasi ijobiy, va hokazo.

Endi biz jarayonning oxirgi bosqichiga tayyormiz.

5-qadam : Javobni yozing. Eslatib o'tamiz, biz avvalroq muhokama qilgan edik, agar mintaqaning biron bir nuqtasi tengsizlikni qanoatlantirsa, o'sha mintaqadagi HAMMA nuqtalar tengsizlikni qondiradi va xuddi shunday, agar mintaqaning biron bir nuqtasi tengsizlikni qanoatlantirmasa, u holda bu mintaqadagi HECH NOKTA tengsizlikni qanoatlantirmaydi.

Bu shuni anglatadiki, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa yuqoridagi raqamlar qatoriga qarashdir. Agar mintaqaning sinov nuqtasi tengsizlikni qondirsa, u holda bu mintaqa yechimning bir qismidir. Agar sinov nuqtasi tengsizlikni qondirmasa, bu mintaqa yechimning bir qismi emas.

Endi shuni ham e'tiborga olingki, \(x\) ning dastlabki tengsizlikni qondiradigan har qanday qiymati 2-bosqichdagi tengsizlikni ham qondiradi va xuddi shunday, agar \(x\) 2-bosqichdagi tengsizlikni qanoatlantirsa, u asl tengsizlikni qondiradi.

Bu shuni anglatadiki, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa 2-bosqichdagi ko'phad salbiy bo'lgan hududlarni aniqlashdir. Bu muammo uchun faqat o'rta mintaqa. Bu tengsizlikni yechish uchun tengsizlik va interval belgilanishi,

\[ - 2 < x < 5\hspace{0.5in}\left( { - 2,5} \right)\]

E'tibor bering, biz oxirgi nuqtalarni istisno qilishimiz kerak, chunki bizda tengsizlikda qat'iy tengsizlik (

OK, bu uzoq jarayon kabi ko'rinadi, lekin aslida unday emas. Oldingi misolda juda ko'p tushuntirishlar bor edi. Qolgan misollar unchalik uzoq bo'lmaydi, chunki ularda bizga unchalik ko'p tushuntirish kerak bo'lmaydi.

2-misol \({x^2} - 5x \ge - 6\) ni yeching.
Yechim

OK, bu safar biz barcha tushuntirishlar va qadamlarsiz jarayondan o'tamiz. Birinchi narsa, bir tomondan nolni olish va iloji bo'lsa, ko'phadni ko'paytirish.

\[\begin{array}{c}{x^2} - 5x + 6 \ge 0\\ \left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right) \ge 0\end{array}\]

Shunday qilib, polinom \(x = 2\) va \(x = 3\) da nolga teng bo'ladi. E'tibor bering, oldingi misoldan farqli o'laroq, bu tengsizlikning echimi bo'ladi, chunki biz tengsizlikda "katta yoki teng" ga egamiz.

Mana bu misol uchun raqamlar qatori.

Basic number line with scale in the range from 1 < x < 4.5 and divided into three ranges by vertical dashed lines at x=2 and x=3. In the range x < 2 the polynomial is (-2)(-1)>0, so positive, at the test point of x=1. In the range 2 < x < 3 the polynomial (-0.5)(0.5)<0, so negative, at the test point of x=2.5. In the range x > 3 the polynomial is (1)(2)>0, so positive, at the test point of x=4.

E'tibor bering, bu holda biz test nuqtalaridan biri uchun o'nli kasrni tanlashga majbur bo'ldik.

Endi biz polinom ijobiy bo'ladigan hududlarni xohlaymiz. Shunday qilib, birinchi va oxirgi hududlar yechimning bir qismi bo'ladi. Bundan tashqari, bu holda, biz tengsizlikda "yoki teng" ga egamiz va shuning uchun biz yechimimizga so'nggi nuqtalarni kiritishimiz kerak, chunki bu nuqtalarda biz tengsizlik uchun nolga erishamiz va \(0 \ge 0\) haqiqiy tengsizlikdir.

Bu erda ham tengsizlik, ham intervalli yozuv ko'rinishidagi yechim.

\[\begin{array}{c} - \infty < x \le 2\hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in}3 \le x < \infty \\ \left( { - \infty ,2} \right]\hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in}\left[ {3,\infty } \right)\end{array}\]
3-misol \({x^4} + 4{x^3} - 12{x^2} \le 0\) ni yeching.
Yechim

Shunga qaramay, biz to'g'ridan-to'g'ri muammoga o'tamiz. Bizda bir tomonda nol bor, shuning uchun to'g'ridan-to'g'ri faktoringga o'tishimiz mumkin.

\[\begin{array}{c}{x^4} + 4{x^3} - 12{x^2} \le 0\\ {x^2}\left( {{x^2} + 4x - 12} \right) \le 0\\ {x^2}\left( {x + 6} \right)\left( {x - 2} \right) \le 0\end{array}\]

Shunday qilib, bu ko'phad \(x = - 6\), \(x = 0\) va \(x = 2\) da nolga teng. Mana bu muammo uchun raqam chizig'i.

Basic number line with scale in the range from -7 < x < 3 and divided into four ranges by vertical dashed lines at x=-6, x=0 and x=2. In the range x < -6 the polynomial is (49)(-1)(-9)>0, so positive, at the test point of x=-7. In the range -6 < x < 0 the polynomial is (1)(5)(-3)<0, so negative, at the test point of x=-1. In the range 0 < x < 2 the polynomial is (1)(7)(-1)<0, so negative, at the test point of x=1. In the range x > 2 the polynomial is (9)(9)(1)>0, so positive, at the test point of x=3.

Birinchidan, birinchi ikkita misoldan farqli o'laroq, bu mintaqalar ijobiy va salbiy o'rtasida o'zgarmasligiga e'tibor bering. Bu talabalarning keng tarqalgan xatosi. Siz haqiqatan ham har bir mintaqadan test nuqtalarini ulashingiz kerak. Hech qachon birinchi mintaqaga ulanmang va keyin boshqa mintaqalar o'sha nuqtadan almashtiriladi deb o'ylamang.

Endi bizning yechimimiz uchun polinom manfiy bo'ladigan (bu erda o'rta ikkita) yoki nolga teng bo'lgan mintaqalarni xohlaymiz (hududlarni ajratuvchi uchta nuqta). Shunday qilib, biz bu holda o'rtadagi ikkita mintaqani va uchta nuqtani bitta tengsizlikka birlashtira olamiz. Yechim, ham tengsizlik, ham intervalli yozuv shaklida bo'ladi.

\[ - 6 \le x \le 2\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left[ { - 6,2} \right]\]
4-misol \(\left( {x + 1} \right){\left( {x - 3} \right)^2} > 0\) ni yeching.
Yechim

Bu erda biz uchun dastlabki ikki qadam allaqachon qilingan. Shunday qilib, biz to'g'ridan-to'g'ri ishga kirishamiz. Bu polinom \(x = - 1\) va \(x = 3\) da nolga teng bo'ladi. Mana bu muammo uchun raqam chizig'i.

Basic number line with scale in the range from -2 < x < 4 and divided into three ranges by vertical dashed lines at x=-1 and x=3. In the range x < -1 the polynomial is (-1)(25)<0, so negative, at the test point of x=-2. In the range -1 < x < 3 the polynomial (1)(9)>0, so positive, at the test point of x=0. In the range x > 3 the polynomial is (5)(1)>0, so positive, at the test point of x=4.

Yana bir bor e'tibor bering, mintaqalar bir-birini almashtirmaydi!

Ushbu tengsizlikni hal qilish uchun biz polinom musbat bo'lgan mintaqalarni qidiramiz (bu holda oxirgi ikkitasi), ammo biz bu safar polinom nolga teng bo'lgan qiymatlarni xohlamaymiz, chunki bu muammoda bizda qat'iy tengsizlik (>) mavjud. Bu shuni anglatadiki, biz oxirgi ikki mintaqani xohlaymiz, lekin \(x = 3\) emas.

Shunday qilib, oldingi misoldan farqli o'laroq, biz ikkita mintaqani bitta tengsizlikka birlashtira olmaymiz, chunki bu yechimning bir qismi bo'lmagan nuqtani o'z ichiga oladi. Mana bu muammoning yechimi.

\[\begin{array}{c} - 1 < x < 3\hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in}3 < x < \infty \\ \left( { - 1,3} \right)\hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in}\left( {3,\infty } \right)\end{array}\]

Endi biz shu nuqtaga qadar ishlagan barcha misollar faktorli polinomlarni o'z ichiga oladi. Biroq, bu shunday bo'lishi shart emas. Agar polinom omil bo'lmasa ham, biz bu tengsizliklarni ishlay olamiz. Biz ulardan birini faqat ular qanday ishlashini ko'rsatish uchun ishlatishimiz kerak.

5-misol \(3{x^2} - 2x - 11 > 0\) ni yeching.
Yechim

Bu holda polinom omil bo'lmaydi, shuning uchun biz bu qadamni bajara olmaymiz. Biroq, biz hali ham polinom qayerda nolga teng ekanligini bilishimiz kerak. Buning uchun kvadrat formuladan foydalanishimiz kerak. Mana kvadrat formula bizga nimani beradi.

\[x = \frac{{1 \pm \sqrt {34} }}{3}\]

Muammoni hal qilish uchun biz buni o'nli kasrlarga qisqartirishimiz kerak.

\[x = \frac{{1 + \sqrt {34} }}{3} = 2.27698\hspace{0.5in}x = \frac{{1 - \sqrt {34} }}{3} = - 1.61032\]

Shu nuqtadan boshlab, jarayon oldingi misollar bilan bir xil. Quyidagi son chizig'ida kesilgan chiziqlar yuqoridagi ikkita o'nlik kasrning taxminiy qiymatlarida joylashgan va tengsizliklar ko'rsatilgan test nuqtalarida baholangan kvadratikning qiymatini ko'rsatadi.

Basic number line with scale in the range from -3 < x < 3 and divided into three ranges by vertical dashed lines at x=-1.61 and x=2.27. In the range x < -1.61 the quadratic is 5>0, so positive, at the test point of x=-2. In the range -1.61 < x < 2.27 the quadratic is -11<0, so negative, at the test point of x=0. In the range x > 2.27 the quadratic is 10>0, so positive, at the test point of x=4.

Shunday qilib, yechim uchun bizga ikkita tashqi mintaqa kerak bo'lib tuyuladi. Yechim uchun tengsizlik va intervalli yozuv.

\[\begin{array}{c} \displaystyle - \infty < x < \frac{{1 - \sqrt {34} }}{3}\hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in}\frac{{1 + \sqrt {34} }}{3} < x < \infty \\ \displaystyle \left( { - \infty ,\frac{{1 - \sqrt {34} }}{3}} \right)\hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in}\left( {\frac{{1 + \sqrt {34} }}{3},\infty } \right)\end{array}\]