8.1-bo'lim: Yoy uzunligi
Ushbu bo'limda biz funksiya grafigi yoyining uzunligini hisoblash usullarini ko'rib chiqamiz. Bu bo'limda qo'llaniladigan formulalarni keltirib chiqarish yetarlicha oson bo'lgani sababli, ulardan birini to'liq isbotlaymiz, ikkinchisini esa mustaqil keltirib chiqarish uchun qoldiramiz.
Biz \(\left[ {a,b} \right]\) kesmada uzluksiz bo'lgan \(y = f\left( x \right)\) funksiya grafigi yoyining uzunligini aniqlashni maqsad qilganmiz. Shuningdek, hosila ham \(\left[ {a,b} \right]\) kesmada uzluksiz deb faraz qilamiz.
Dastlab egri chiziq uzunligini taqribiy baholashimiz lozim. Buning uchun kesmani har birining kengligi \(\Delta x\) ga teng bo'lgan \(n\) ta teng bo'lakka bo'lamiz va egri chiziqdagi har bir bo'linish nuqtasini Pi deb belgilaymiz. So'ngra ushbu nuqtalarni ketma-ket to'g'ri chiziq kesmalari bilan tutashtirib, siniq chiziq hosil qilamiz. Quyidagi chizmada \(n = 9\) holati tasvirlangan.
Har bir to'g'ri chiziqli kesmaning uzunligini \(\left| {{P_{i - 1}}\,\,{P_i}} \right|\) orqali belgilaymiz, u holda egri chiziqning umumiy uzunligi taqriban quyidagiga teng bo'ladi:
\[L \approx \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{P_{i - 1}}\,\,{P_i}} \right|} \]\(n\) sonini cheksiz orttirib borish orqali egri chiziqning aniq uzunligiga ega bo'lamiz. Boshqacha aytganda, aniq uzunlik quyidagi limitga teng:
\[L = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{P_{i - 1}}\,\,{P_i}} \right|} \]Endi ushbu to'g'ri chiziq kesmalarining har birining uzunligini aniqroq ifodalaylik. Avvalo, har bir oraliqda \(\Delta {y_i} = {y_i} - {y_{i - 1}} = f\left( {{x_i}} \right) - f\left( {{x_{i - 1}}} \right)\) deb belgilaymiz. Ikki nuqta orasidagi masofa formulasiga binoan:
\[\left| {{P_{i - 1}}\,\,{P_i}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_i} - {x_{i - 1}}} \right)}^2} + {{\left( {{y_i} - {y_{i - 1}}} \right)}^2}} = \sqrt {\Delta {x^2} + \Delta y_i^2} \]Lagranj teoremasi (O'rta qiymat haqidagi teorema)ga binoan, \(\left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right]\) oraliqda shunday \(x_i^*\) nuqta mavjudki:
\[\begin{align*}f\left( {{x_i}} \right) - f\left( {{x_{i - 1}}} \right) & = f'\left( {x_i^*} \right)\left( {{x_i} - {x_{i - 1}}} \right)\\ \Delta {y_i} & = f'\left( {x_i^*} \right)\Delta x\end{align*}\]Shu sababli, har bir kesma uzunligini quyidagicha yozish mumkin:
\[\begin{align*}\left| {{P_{i - 1}}\,\,{P_i}} \right| & = \sqrt {{{\left( {{x_i} - {x_{i - 1}}} \right)}^2} + {{\left( {{y_i} - {y_{i - 1}}} \right)}^2}} \\ & = \sqrt {\Delta {x^2} + {{\left[ {f'\left( {x_i^*} \right)} \right]}^2}\Delta {x^2}} \\ & = \sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( {x_i^*} \right)} \right]}^2}} \,\,\,\Delta x\end{align*}\]Egri chiziqning aniq uzunligi:
\[\begin{align*}L & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{P_{i - 1}}\,\,{P_i}} \right|} \\ & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( {x_i^*} \right)} \right]}^2}} \,\,\,\Delta x} \end{align*}\]Biroq, aniq integral ta'rifiga ko'ra, bu ifoda aynan quyidagi integralni bildiradi:
\[L = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{\sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} \,dx}}\]Amaliyotda qulayroq bo'lgan Leibniz belgilashidagi ko'rinishi quyidagicha:
\[L = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \,dx}}\]Xuddi shunday mulohazalar yordamida \(\left[ {c,d} \right]\) kesmada berilgan \(x = h\left( y \right)\) egri chiziq uchun ham yoy uzunligi formulasini keltirib chiqarish mumkin:
\[L = \int_{{\,c}}^{{\,d}}{{\sqrt {1 + {{\left[ {h'\left( y \right)} \right]}^2}} \,dy}} = \int_{{\,c}}^{{\,d}}{{\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{dx}}{{dy}}} \right)}^2}} \,dy}}\]Yana bir bor aytish joizki, ikkinchi ko'rinish hisoblashlar uchun ancha qulay hisoblanadi.
E'tibor bering, kvadrat ildiz ostidagi hosila qaysi o'zgaruvchi bo'yicha olinganligiga qarang! Birlashmada chalkashmaslik kerak: birinchi holatda biz \(x\) bo'yicha hosila olamiz, ikkinchisida esa \(y\) bo'yicha. Eslab qolishning oson usuli shuki, hosilaning "maxraji"dagi differensial integral differensiali bilan bir xil bo'ladi. Aynan shu sababli ham ikkinchi ko'rinish qulayroqdir.
Misollarni yechishdan oldin belgilashlarda kichik bir o'zgartirish kiritamiz. Funksiya yoyi uzunligi uchun ikkita alohida formuladan foydalanish o'rniga, ularni umumiy bitta formula ostida birlashtiramiz.
Bundan buyon egri chiziq uzunligini hisoblashda quyidagi qisqa formuladan foydalanamiz:
Yoy uzunligi formulalari
bu yerda:
\[\begin{array}{*{20}{l}}\begin{aligned}ds & = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \,dx\,\hspace{0.25in}\text{agar }y = f\left( x \right),\,\,a \le x \le b\\ ds & = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{{dx}}{{dy}}} \right)}^2}} \,dy\,\hspace{0.25in}\text{agar }x = h\left( y \right),\,\,c \le y \le d\end{aligned}\end{array}\]E'tibor bering, integralda integrallash chegaralari qo'yilmagan, chunki chegaralar qaysi \(ds\) dan foydalanishimizga bog'liq bo'ladi. Birinchi \(ds\) ni qo'llash \(x\) bo'yicha chegaralarni, ikkinchi \(ds\) ni qo'llash esa \(y\) bo'yicha chegaralarni talab qiladi.
Yoy uzunligi formulasini \(ds\) turlicha aniqlanadigan yagona integral sifatida tasavvur qilish keyingi bo'limlarda juda qo'l keladi. Shuningdek, bu \(ds\) belgilashi sirt yuzini hisoblashda ham qulaylik tug'diradi.
Yoy uzunligi formulasini keltirib chiqardik, endi bir nechta amaliy misollarni ko'rib chiqamiz.
Yechim
Funksiya \(y = f\left( x \right)\) ko'rinishida berilganligi sababli, biz birinchi \(ds\) dan foydalanamiz. Dastlab funksiyaning hosilasini hisoblab olamiz:
\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{\sec x\tan x}}{{\sec x}} = \tan x\hspace{0.5in}{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2} = {\tan ^2}x\]Integral ostidagi ildizli ifodani soddalashtirib olamiz:
\[\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} = \sqrt {1 + {{\tan }^2}x} = \sqrt {{{\sec }^2}x} = \left| {\sec x} \right| = \sec x\]Berilgan oraliqda sekans musbat bo'lgani sababli modul belgisini tashlab yuborish mumkin.
U holda yoy uzunligi quyidagicha hisoblanadi:
\[\begin{align*}L & = \int_{{\,0}}^{{\,\frac{\pi }{4}}}{{\sec x\,dx}}\\ & = \left. {\ln \left| {\sec x + \tan x} \right|} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\\ & = \ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\end{align*}\]Yechim
Bunday turdagi masalalarda talabalar ko'pincha bitta xatoga yo'l qo'yishadi. Funksiya \(x = h\left( y \right)\) ko'rinishida ekanini ko'rib, bu shaklda ishlash qiyin deb o'ylashadi va darhol \(y\) ni \(x\) orqali ifodalab olishga harakat qilishadi. Garchi bu yerda buni amalga oshirish mumkin bo'lsa-da, natijada ancha murakkab integral hosil bo'ladi.
Ba'zan funksiyani aynan \(x = h\left( y \right)\) shaklida qoldirib ishlash ancha osonroq. Aslida \(y = f\left( x \right)\) ko'rinishida ishlay olsangiz, \(x = h\left( y \right)\) ko'rinishida ham bemalol ishlay olasiz. Ular orasida hech qanday tub farq yo'q.
Hosilani va kvadrat ildiz ostidagi ifodani hisoblaymiz:
\[\frac{{dx}}{{dy}} = {\left( {y - 1} \right)^{\frac{1}{2}}}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{dx}}{{dy}}} \right)}^2}} = \sqrt {1 + y - 1} = \sqrt y \]Ko'rinib turibdiki, funksiyani \(x = h\left( y \right)\) ko'rinishida saqlash juda sodda integralga olib keladi. Agar funksiyani \(y = f\left( x \right)\) ko'rinishiga o'tkazsak nima bo'lishini keyingi misolda ko'ramiz.
Yoy uzunligini hisoblaymiz:
\[\begin{align*}L & = \int_{{\,1}}^{{\,4}}{{\sqrt y \,dy}}\\ & = \left. {\frac{2}{3}{y^{\frac{3}{2}}}} \right|_1^4\\ & = \frac{{14}}{3}\end{align*}\]Oldingi misoldan ko'rinib turibdiki, bizda qaysi \(ds\) dan foydalanish bo'yicha tanlov mavjud. Funksiyani talab qilingan ko'rinishga keltira olsak, istalgan formulani qo'llashimiz mumkin. Biroq hosil bo'ladigan integrallarning murakkablik darajasida katta farq bo'lishi mumkin. Keling, 2-misoldagi funksiyani \(y = f\left( x \right)\) shakliga keltirib ishlaganda nima sodir bo'lishini ko'rib chiqaylik.
Yechim
Bu holatda funksiya va uning hosilasi quyidagicha bo'ladi:
\[y = {\left( {\frac{{3x}}{2}} \right)^{\frac{2}{3}}} + 1\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}\frac{{dy}}{{dx}} = {\left( {\frac{{3x}}{2}} \right)^{ - \frac{1}{3}}}\]Yoy uzunligi formulasidagi ildiz ifodasi esa:
\[\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} = \sqrt {1 + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{3x}}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {\frac{{3x}}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}} + 1}}{{{{\left( {\frac{{3x}}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\frac{{3x}}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}} + 1} }}{{{{\left( {\frac{{3x}}{2}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}\]Yuqoridagi barcha almashtirishlar ildizni integrallash uchun qulay shaklga keltirish maqsadida bajarildi.
Endi integralni yozishdan oldin integrallash chegaralarini aniqlashimiz kerak. Bu \(ds\) formulasi \(x\) bo'yicha chegaralarni talab qiladi, bizda esa \(y\) bo'yicha chegaralar berilgan. Dastlabki \(y\) chegaralarini \(x\) ning ifodasiga qo'yib, \(x\) chegaralarini topamiz:
\[0 \le x \le \frac{2}{3}{\left( 3 \right)^{\frac{3}{2}}}\]Chegaralar uncha yoqimli ko'rinishda emas, lekin ular mavjud.
Endi yoy uzunligini ifodalovchi integralni yozamiz:
\[L = \int_{{\,0}}^{{\,\frac{2}{3}{{\left( 3 \right)}^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{{\sqrt {{{\left( {\frac{{3x}}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}} + 1} }}{{{{\left( {\frac{{3x}}{2}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}\,dx}}\]Bu integral ancha murakkab ko'rinsa-da, quyidagi o'zgaruvchini almashtirish orqali hisoblanishi mumkin:
\[u = {\left( {\frac{{3x}}{2}} \right)^{\frac{2}{3}}} + 1\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}du = {\left( {\frac{{3x}}{2}} \right)^{ - \frac{1}{3}}}dx\] \[\begin{align*}x & = 0 & \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.5in}u = 1\\ x & = \frac{2}{3}{\left( 3 \right)^{\frac{3}{2}}} & \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.5in}u = 4\end{align*}\]Ushbu almashtirish yordamida integral quyidagi ko'rinishga keladi:
\[\begin{align*}L & = \int_{{\,1}}^{{\,4}}{{\sqrt u \,du}}\\ & = \left. {\frac{2}{3}{u^{\frac{3}{2}}}} \right|_1^4\\ & = \frac{{14}}{3}\end{align*}\]Shunday qilib, oldingi misoldagi kabi bir xil natijaga erishdik. Bu ajablanarli emas, chunki ikkala holatda ham ayni bir egri chiziq uzunligini hisobladik.
Nazariy jihatdan qaralganda, 3-misoldagi integral qiyin emas edi — u shunchaki oddiy o'zgaruvchini almashtirish usuli edi. Biroq amaliy hisoblash nuqtai nazaridan, bu integral 2-misoldagiga qaraganda ancha ko'proq mehnat va e'tiborni talab qildi. Demak, xulosa shuki: biz ikkala formuladan ham foydalana olamiz, lekin ulardan biri hisoblash uchun ancha oson va qulay bo'lishi mumkin.
Yana bir misolni ko'rib chiqamiz.
Yechim
Funksiya allaqachon qulay shaklda berilganligi sababli, ikkinchi \(ds\) formulasidan foydalanamiz. Aks holda birinchi formula yana qiyin integralga olib kelar edi. Hosila va ildiz ifodasi quyidagicha bo'ladi:
\[\frac{{dx}}{{dy}} = y\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{dx}}{{dy}}} \right)}^2}} = \sqrt {1 + {y^2}} \]Uzunlikni yozishdan oldin chegaralarga e'tibor bering: bizga \(x\) bo'yicha chegaralar berilgan, lekin bu \(ds\) uchun \(y\) chegaralari talab qilinadi. \(y\) ning musbatligini hisobga olib, chegaralarni osongina topamiz:
\[0 \le y \le 1\]Yoy uzunligi integrali:
\[L = \int_{{\,0}}^{{\,1}}{{\sqrt {1 + {y^2}} \,dy}}\]Ushbu integral quyidagi trigonometrik almashtirishni talab qiladi:
\[y = \tan \theta \hspace{0.5in}dy = {\sec ^2}\theta \,d\theta \] \[\begin{align*}y & = 0 & \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}0 = \tan \theta \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\theta = 0 \,\,\, \\ y & = 1 & \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}1 = \tan \theta \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\theta = \frac{\pi }{4}\end{align*}\] \[\sqrt {1 + {y^2}} = \sqrt {1 + {{\tan }^2}\theta } = \sqrt {{{\sec }^2}\theta } = \left| {\sec \theta } \right| = \sec \theta \]U holda yoy uzunligi:
\[\begin{align*}L & = \int_{{\,0}}^{{\,\frac{\pi }{4}}}{{{{\sec }^3}\theta \,d\theta }}\\ & = \left. {\frac{1}{2}\left( {\sec \theta \tan \theta + \ln \left| {\sec \theta + \tan \theta } \right|} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\\ & = \frac{1}{2}\left( {\sqrt 2 + \ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right)\end{align*}\]Dastlabki misollar oddiy almashtirishlar bilan yechilgan bo'lsa-da, bu so'nggi misol ko'rsatganidek, yoy uzunligini hisoblashda ba'zan trigonometrik almashtirishlarni qo'llashga ham to'g'ri keladi.