14.3-bo'lim: Nisbiy minimal va maksimallar
Ushbu bo'limda biz Calculus I dan eng muhim g'oyalardan birini ikkita o'zgaruvchining funktsiyalariga kengaytirmoqchimiz. Biz funktsiyalarning minimal va maksimallarini topishga harakat qilishni boshlaymiz. Bu aslida keyingi ikki bo'limning mavzusi bo'ladi.
Ushbu bo'limda biz nisbiy minimal va nisbiy maksimallarni aniqlashni ko'rib chiqamiz. Eslatib o'tamiz, biz ko'pincha ekstremal so'zni minimal va maksimallarga nisbatan ishlatamiz.
Ikki o'zgaruvchining funktsiyalari uchun nisbiy ekstremalarning ta'rifi bitta o'zgaruvchining funktsiyalari bilan bir xil bo'lib, biz ikkita o'zgaruvchining funktsiyalari bilan ishlayotganimizni eslashimiz kerak. Shunday qilib, to'liqlik uchun bu erda ikkita o'zgaruvchining funktsiyalari uchun nisbiy minimumlar va nisbiy maksimallarning ta'rifi keltirilgan.
Ta'riflar
- \(f\left( {x,y} \right)\) funktsiyasi mavjud nisbiy minimal \(\left( {a,b} \right)\) nuqtasida \(f\left( {x,y} \right) \ge f\left( {a,b} \right)\), agar \(\left( {a,b} \right)\) atrofidagi ba'zi mintaqalarda \(\left( {x,y} \right)\) barcha nuqtalar uchun.
- \(f\left( {x,y} \right)\) funktsiyasi mavjud nisbiy maksimal \(\left( {a,b} \right)\) nuqtasida, agar \(f\left( {x,y} \right) \le f\left( {a,b} \right)\), \(\left( {a,b} \right)\) atrofidagi ba'zi mintaqalarda \(\left( {x,y} \right)\) barcha nuqtalar uchun.
E'tibor bering, bu ta'rif nisbiy minimum funktsiya qabul qiladigan eng kichik qiymat ekanligini aytmaydi. Bu faqat \(\left( {a,b} \right)\) nuqtasi atrofidagi ba'zi mintaqalarda funktsiya har doim \(f\left( {a,b} \right)\) dan kattaroq bo'lishini aytadi. Ushbu hududdan tashqarida funksiya kichikroq bo'lishi mumkin. Xuddi shunday, nisbiy maksimal faqat \(\left( {a,b} \right)\) atrofida funktsiya har doim \(f\left( {a,b} \right)\) dan kichikroq bo'lishini aytadi. Shunga qaramay, mintaqadan tashqarida funktsiya kattaroq bo'lishi mumkin.
Keyinchalik, biz g'oyani kengaytirishimiz kerak tanqidiy nuqtalar ikkita o'zgaruvchining funktsiyalarigacha. Eslatib o'tamiz, \(f\left( x \right)\) funktsiyasining kritik nuqtasi \(x = c\) raqami bo'lib, \(f'\left( c \right) = 0\) yoki \(f'\left( c \right)\) mavjud emas. Ikki o'zgaruvchining funktsiyalarining kritik nuqtalari uchun bizda xuddi shunday ta'rif mavjud.
Kritik nuqtaning ta'rifi
\(\left( {a,b} \right)\) nuqtasi a tanqidiy nuqta (or a statsionar nuqta) \(f\left( {x,y} \right)\), agar quyidagilardan biri to'g'ri bo'lsa,
- \(\nabla f\left( {a,b} \right) = \vec 0\) (bu \({f_x}\left( {a,b} \right) = 0\) va \({f_y}\left( {a,b} \right) = 0\) deb aytishga teng),
- \({f_x}\left( {a,b} \right)\) va/yoki \({f_y}\left( {a,b} \right)\) mavjud emas.
Birinchi qismdagi ekvivalentlikni ko'rish uchun keling, \(\nabla f = \vec 0\) dan boshlaymiz va har bir qismning ta'rifini kiritamiz.
\[\begin{align*}\nabla f\left( {a,b} \right) & = \vec 0\\ \left\langle {{f_x}\left( {a,b} \right),{f_y}\left( {a,b} \right)} \right\rangle & = \left\langle {0,0} \right\rangle \end{align*}\]Bu ikki vektor teng bo'lishining yagona yo'li \({f_x}\left( {a,b} \right) = 0\) va \({f_y}\left( {a,b} \right) = 0\) ga ega bo'lishdir. Darhaqiqat, biz gradient ta'rifidan ko'ra kritik nuqtaning ushbu ta'rifidan ko'proq foydalanamiz, chunki qisman hosila ta'rifidan boshlasak, kritik nuqtalarni topish osonroq bo'ladi.
Shuni ham yodda tutingki, \(\left( {a,b} \right)\) da birinchi tartibli qisman hosilalarning ikkalasi ham nolga teng bo'lishi kerak. Agar nuqtada birinchi tartibli qisman hosilalardan faqat bittasi nolga teng bo'lsa, nuqta kritik nuqta bo'lmaydi.
Endi bizda hech bo'lmaganda qisman tanqidiy nuqtalarni nisbiy ekstremal bilan bog'laydigan quyidagi fakt mavjud.
Nisbiy ekstremallar muhim nuqtalardir
Agar \(\left( {a,b} \right)\) nuqtasi \(f\left( {x,y} \right)\) funktsiyasining nisbiy ekstremasi bo'lsa va \(f\left( {x,y} \right)\) ning birinchi tartibli hosilalari \(\left( {a,b} \right)\) da mavjud bo'lsa, \(\left( {a,b} \right)\) ham \(f\left( {x,y} \right)\) ning muhim nuqtasidir va bizda \(\nabla f\left( {a,b} \right) = \vec 0\) bo'ladi.
Nisbiy ekstremallarning muhim nuqtalar ekanligini isbotlash
Bu biz bir o'zgaruvchan versiyaga tayanadigan haqiqatan ham oddiy dalil ko'rgan Calculus I versiyasida, ko'pincha Fermat teoremasi deb ataladi.
Keling, \(g\left( x \right) = f\left( {x,b} \right)\) ni aniqlashdan boshlaylik va \(f\left( {x,y} \right)\) ning \(\left( {a,b} \right)\) da nisbiy ekstremalga ega deb faraz qilaylik. Biroq, bu \(g\left( x \right)\) ham \(x = a\) da nisbiy ekstremaga (\(f\left( {x,y} \right)\) bilan bir xil) ega ekanligini anglatadi. Ferma teoremasi bo'yicha biz \(g'\left( a \right) = 0\) ekanligini bilamiz. Ammo biz \(g'\left( a \right) = {f_x}\left( {a,b} \right)\) ni ham bilamiz va shuning uchun bizda \({f_x}\left( {a,b} \right) = 0\) bor.
Agar biz hozir \(h\left( y \right) = f\left( {a,y} \right)\) ni aniqlasak va yuqoridagi kabi jarayondan o'tsak, biz \({f_y}\left( {a,b} \right) = 0\) ni ko'ramiz.
Shunday qilib, bularning barchasini bir joyga jamlash \(\nabla f\left( {a,b} \right) = \vec 0\) va shuning uchun \(f\left( {x,y} \right)\) \(\left( {a,b} \right)\) da muhim nuqtaga ega ekanligini anglatadi.
E'tibor bering, bu barcha tanqidiy nuqtalar nisbiy ekstremal deb aytmaydi. Bu faqat nisbiy ekstremal funktsiyaning muhim nuqtalari bo'lishini aytadi. Buni ko'rish uchun funksiyani ko'rib chiqaylik
\[f\left( {x,y} \right) = xy\]Ikkita birinchi tartibli qisman hosilalar,
\[{f_x}\left( {x,y} \right) = y\hspace{0.75in}{f_y}\left( {x,y} \right) = x\]Bu hosilalarning ikkalasini bir vaqtning o'zida nolga aylantiradigan yagona nuqta \(\left( {0,0} \right)\) va shuning uchun \(\left( {0,0} \right)\) funktsiya uchun muhim nuqtadir. Mana funktsiyaning grafigi.
E'tibor bering, o'qlar bu erda standart yo'nalishda emas, shuning uchun biz boshlang'ichda nima sodir bo'layotganini aniqroq ko'rishimiz mumkin, i.e. \(\left( {0,0} \right)\) da. Agar biz boshlang'ichdan boshlasak va \(x\) va \(y\) bir xil belgi bo'lgan kvadrantlardan biriga o'tsak, funktsiya kuchayadi. Biroq, agar biz boshlang'ichdan boshlasak va \(x\) va \(y\) qarama-qarshi belgiga ega bo'lgan kvadrantlardan biriga o'tsak, funktsiya kamayadi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, kelib chiqishi haqida qaysi mintaqani qabul qilsangiz ham, \(f\left( {0,0} \right) = 0\) dan kattaroq nuqtalar va \(f\left( {0,0} \right) = 0\) dan kichikroq nuqtalar bo'ladi. Shuning uchun, \(\left( {0,0} \right)\) nisbiy ekstremal bo'lishi mumkin emas.
Bunday xatti-harakatni ko'rsatadigan tanqidiy nuqtalar deyiladi egar nuqtalari.
Ushbu faktning natijalarini noto'g'ri talqin qilishdan ehtiyot bo'lishimiz kerak bo'lsa-da, bu nisbiy ekstremallikni aniqlashda juda foydali. Shu sababli, biz bilamizki, agar bizda funktsiyaning barcha kritik nuqtalari bo'lsa, u holda biz funktsiya uchun barcha mumkin bo'lgan nisbiy ekstremalarga ega bo'lamiz. Haqiqat shuni ko'rsatadiki, barcha nisbiy ekstremallar kritik nuqtalar bo'lishi kerak, shuning uchun biz bilamizki, agar funktsiya nisbiy ekstremallarga ega bo'lsa, ular barcha tanqidiy nuqtalar to'plamida bo'lishi kerak. Shuni yodda tutingki, hech bo'lmaganda muhim nuqtalardan biri nisbiy ekstremal bo'lmasligi mumkin.
Shunday qilib, bizda barcha muhim nuqtalar mavjud bo'lganda, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa bu nuqtalarni nisbiy ekstremal yoki yo'qligini aniqlash uchun sinab ko'rishdir. Kritik nuqta nisbiy ekstrema ekanligini aniqlash uchun (va aslida u minimal yoki maksimal ekanligini aniqlash uchun) quyidagi faktdan foydalanishimiz mumkin.
Ikki o'zgaruvchan funktsiya uchun ikkinchi hosilaviy test
Faraz qilaylik, \(\left( {a,b} \right)\) \(f\left( {x,y} \right)\) ning kritik nuqtasidir va ikkinchi tartibli qisman hosilalar \(\left( {a,b} \right)\) ni o'z ichiga olgan ba'zi mintaqalarda uzluksizdir. Keyinchalik aniqlang,
\[D = D\left( {a,b} \right) = {f_{x\,x}}\left( {a,b} \right){f_{y\,y}}\left( {a,b} \right) - {\left[ {{f_{x\,y}}\left( {a,b} \right)} \right]^2}\]Keyin bizda kritik nuqtaning quyidagi tasniflari mavjud.
- Agar \(D > 0\) va \({f_{x\,x}}\left( {a,b} \right) > 0\) bo'lsa, \(\left( {a,b} \right)\) da nisbiy minimal bo'ladi.
- Agar \(D > 0\) va \({f_{x\,x}}\left( {a,b} \right) < 0\) bo'lsa, \(\left( {a,b} \right)\) da nisbiy maksimal bo'ladi.
- Agar \(D < 0\) bo'lsa, \(\left( {a,b} \right)\) nuqtasi egar nuqtasidir.
- Agar \(D = 0\) bo'lsa, \(\left( {a,b} \right)\) nuqtasi nisbiy minimal, nisbiy maksimal yoki egar nuqtasi bo'lishi mumkin. Kritik nuqtani tasniflash uchun boshqa usullardan foydalanish kerak bo'ladi.
E'tibor bering, agar \(D > 0\), \({f_{\,x\,x}}\left( {a,b} \right)\) ham, \({f_{\,y\,y}}\left( {a,b} \right)\) ham bir xil belgiga ega bo'ladi va shuning uchun yuqoridagi birinchi ikkita holatda biz \({f_{\,x\,x}}\left( {a,b} \right)\) ni \({f_{\,y\,y}}\left( {a,b} \right)\) bilan osongina almashtirishimiz mumkin. Shuni ham yodda tutingki, biz ushbu sinfda \(D = 0\) ni tasniflash juda qiyin bo'lgan holatlarni ko'rmaymiz. Biz topilgan barcha muhim nuqtalarni tasniflashimiz mumkin.
Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Bizga birinchi navbatda barcha birinchi tartib (kritik nuqtalarni topish uchun) va ikkinchi tartib (kritik nuqtalarni tasniflash uchun) qisman hosilalari kerak, shuning uchun ularni olamiz.
\[\begin{array}{c}{f_x} = 3{x^2} - 3y\hspace{0.5in}{f_y} = 3{y^2} - 3x\\ {f_{x\,x}} = 6x\hspace{0.5in}{f_{y\,y}} = 6y\hspace{0.5in}{f_{x\,y}} = - 3\end{array}\]Avval tanqidiy nuqtalarni topamiz. Kritik nuqtalar tenglamalar sistemasining yechimlari bo'ladi,
\[\begin{align*}{f_x} & = 3{x^2} - 3y = 0\\ {f_y} & = 3{y^2} - 3x = 0\end{align*}\]Bu chiziqli bo'lmagan tenglamalar sistemasi va ularni echish ba'zan qiyin bo'lishi mumkin. Biroq, bu holda, bu juda yomon emas. \(y\) uchun birinchi tenglamani quyidagicha yechishimiz mumkin,
\[3{x^2} - 3y = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}y = {x^2}\]Buni ikkinchi tenglamaga kiritish,
\[3{\left( {{x^2}} \right)^2} - 3x = 3x\left( {{x^3} - 1} \right) = 0\]Bundan bizda \(x = 0\) yoki \(x = 1\) bo'lishi kerakligini ko'rishimiz mumkin. Endi muhim nuqtalarni olish uchun \(y = {x^2}\) faktidan foydalaning.
\[\begin{align*}x = 0: & \hspace{0.25in}y = {0^2} = 0\hspace{0.1in} & \Rightarrow & \hspace{0.5in}\left( {0,0} \right)\\ x = 1: & \hspace{0.25in}y = {1^2} = 1\hspace{0.1in} & \Rightarrow & \hspace{0.5in}\left( {1,1} \right)\end{align*}\]Shunday qilib, biz ikkita muhim nuqtani olamiz. Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa ularni tasniflashdir. Buning uchun bizga \(D\) kerak bo'ladi. Mana \(D\) uchun umumiy formula.
\[\begin{align*}D\left( {x,y} \right) & = {f_{x\,x}}\left( {x,y} \right){f_{y\,y}}\left( {x,y} \right) - {\left[ {{f_{x\,y}}\left( {x,y} \right)} \right]^2}\\ & = \left( {6x} \right)\left( {6y} \right) - {\left( { - 3} \right)^2}\\ & = 36xy - 9\end{align*}\]Kritik nuqtalarni tasniflash uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - bu muhim nuqtalarni ulash va ularni tasniflash uchun yuqoridagi faktdan foydalanish.
\(\left( {0,0} \right)\) : \[D = D\left( {0,0} \right) = - 9 < 0\]Shunday qilib, \(\left( {0,0} \right)\) uchun \(D\) salbiy va shuning uchun bu egar nuqtasi bo'lishi kerak.
\(\left( {1,1} \right)\) : \[D = D\left( {1,1} \right) = 36 - 9 = 27 > 0\hspace{0.5in}{f_{x\,x}}\left( {1,1} \right) = 6 > 0\]\(\left( {1,1} \right)\) uchun \(D\) ijobiy va \({f_{x\,x}}\) ijobiy, shuning uchun bizda nisbiy minimum bo'lishi kerak.
To'liqlik uchun bu funktsiyaning grafigi.
E'tibor bering, vizualni yaxshiroq qilish uchun biz biroz nostandart yo'nalishdan foydalanganmiz. Biz \(\left( {1,1} \right)\)-da nisbiy minimum mavjudligini ko'rishimiz mumkin va (umid qilamanki) \(\left( {0,0} \right)\)-da biz egar nuqtasini olishimiz aniq.
Yechim
Birinchi misolda bo'lgani kabi, biz birinchi va ikkinchi darajali hosilalarni olishimiz kerak.
\[\begin{array}{c}{f_x} = 6xy - 6x\hspace{0.5in}{f_y} = 3{x^2} + 3{y^2} - 6y\\ {f_{x\,x}} = 6y - 6\hspace{0.5in}{f_{y\,y}} = 6y - 6\hspace{0.75in}{f_{x\,y}} = 6x\end{array}\]Bizga birinchi navbatda muhim nuqtalar kerak bo'ladi. Bu safar hal qilishimiz kerak bo'lgan tenglamalar:
\[\begin{align*}6xy - 6x & = 0\\ 3{x^2} + 3{y^2} - 6y & = 0\end{align*}\]Bu tenglamalarni yechish birinchi to'plamga qaraganda biroz qiyinroq, lekin nima qilish kerakligini ko'rganingizdan so'ng ular unchalik yomon emas.
Birinchidan, e'tibor bering, biz birinchi tenglamadan 6\(x\) ni ajratib olishimiz mumkin,
\[6x\left( {y - 1} \right) = 0\]Shunday qilib, agar \(x = 0\) yoki \(y = 1\) bo'lsa, birinchi tenglama nolga teng bo'lishini ko'rishimiz mumkin. Faqat \(x\) ni ikkala tomondan bekor qilmaslik uchun ehtiyot bo'ling. Agar biz buni qilganimizda \(x = 0\)-ni o'tkazib yuborgan bo'lardik.
Kritik nuqtalarni topish uchun biz ularni (alohida) ikkinchi tenglamaga qo'shishimiz va qolgan o'zgaruvchini hal qilishimiz mumkin.
\(x = 0\) : \[3{y^2} - 6y = 3y\left( {y - 2} \right) = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}y = 0,\,\,y = 2\] \(y = 1\) : \[3{x^2} - 3 = 3\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = - 1,\,\,x = 1\]Shunday qilib, agar \(x = 0\) bizda quyidagi muhim fikrlar mavjud,
\[\left( {0,0} \right)\hspace{0.25in}\left( {0,2} \right)\]va agar \(y = 1\) kritik nuqtalar bo'lsa,
\[\left( {1,1} \right)\hspace{0.25in}\left( { - 1,1} \right)\]Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa - muhim nuqtalarni tasniflash. Buning uchun bizga \(D\) uchun umumiy formula kerak bo'ladi.
\[D\left( {x,y} \right) = \left( {6y - 6} \right)\left( {6y - 6} \right) - {\left( {6x} \right)^2} = {\left( {6y - 6} \right)^2} - 36{x^2}\] \(\left( {0,0} \right)\) : \[D = D\left( {0,0} \right) = 36 > 0\hspace{0.5in}{f_{x\,x}}\left( {0,0} \right) = - 6 < 0\] \(\left( {0,2} \right)\) : \[D = D\left( {0,2} \right) = 36 > 0\hspace{0.5in}{f_{x\,x}}\left( {0,2} \right) = 6 > 0\] \(\left( {1,1} \right)\) : \[D = D\left( {1,1} \right) = - 36 < 0\] \(\left( { - 1,1} \right)\) : \[D = D\left( { - 1,1} \right) = - 36 < 0\]Shunday qilib, biz ushbu muhim nuqtalarning har birining quyidagi tasnifiga egamiz.
\[\begin{align*} & \left( {0,0} \right) & & :\hspace{0.5in}{\mbox{Relative Maximum}}\\ & \left( {0,2} \right) & & : \hspace{0.5in} {\mbox{Relative Minimum}}\\ & \left( {1,1} \right) & & :\hspace{0.5in}{\mbox{Saddle Point}}\\ & \left( { - 1,1} \right) & & :\hspace{0.5in}{\mbox{Saddle Point}}\end{align*}\]To'liqlik uchun bu erda sirtning grafigi.
Birinchi ikkitadan bir oz farq qiladigan yana bir misol keltiraylik.
Yechim
E'tibor bering, biz samolyotning muhim nuqtalarini so'ramaymiz. Ushbu misolni bajarish uchun biz birinchi navbatda ishlashimiz kerak bo'lgan tenglamani ishlab chiqishimiz kerak.
Birinchidan, \(\left( {x,y,z} \right)\) samolyotning istalgan nuqtasi deb faraz qilaylik. Ushbu nuqta va ko'rib chiqilayotgan nuqta o'rtasidagi masofa \(\left( { - 2, - 1,5} \right)\), formula bilan berilgan:
\[d = \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2} + {{\left( {z - 5} \right)}^2}} \]Keyin bizdan bu tenglamaning minimal qiymatini topish so'raladi. Ushbu tenglamaning minimal qiymatini beradigan \(\left( {x,y,z} \right)\) nuqtasi \(\left( { - 2, - 1,5} \right)\) ga eng yaqin bo'lgan tekislikdagi nuqta bo'ladi.
Bu tenglamada bir nechta muammo bor. Birinchidan, bu \(x\), \(y\) va \(z\) funksiyasi va biz bu nuqtada faqat \(x\) va \(y\) funksiyalari bilan shug‘ullanishimiz mumkin. Biroq, buni tuzatish oson. Buni ko'rish uchun tekislik tenglamasini yechishimiz mumkin,
\[z = 1 - 4x + 2y\]Buni masofa formulasiga kiritish,
\[\begin{align*}d & = \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 4x + 2y - 5} \right)}^2}} \\ & = \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - 4x + 2y} \right)}^2}} \end{align*}\]Endi keyingi masala shundaki, bu formulada kvadrat ildiz bor va biz buni oxir-oqibat farqlashimizni bilamiz. Shunday qilib, hayotimizni biroz osonlashtirish uchun \(d\) ning minimal qiymatini topish \({d^2}\) ning minimal qiymatini topishga teng bo'lishini ta'kidlaymiz.
Shunday qilib, uning o'rniga minimal qiymatini topamiz
\[f\left( {x,y} \right) = {d^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( { - 4 - 4x + 2y} \right)^2}\]Endi bu erda biroz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Bizdan \(\left( { - 2, - 1,5} \right)\) ga samolyotning eng yaqin nuqtasini topish so'raladi va bu bizning ushbu bo'limda qilgan ishimiz bilan bir xil emas. Ushbu bo'limda biz tanqidiy nuqtalarni nisbiy minimumlar yoki maksimallar sifatida topdik va tasnifladik va biz so'ragan narsa funktsiya oladigan eng kichik qiymatni yoki mutlaq minimumni topishdir. Umid qilamanki, jismoniy nuqtai nazardan, samolyotda \(\left( { - 2, - 1,5} \right)\) ga eng yaqin nuqta bo'lishi mantiqiydir. Bu nuqta mutlaq minimum bo'lishdan tashqari nisbiy minimum ham bo'lishi kerak.
Shunday qilib, keling, birinchi va ikkinchi misoldagi jarayonni ko'rib chiqamiz va nisbiy minimumlargacha nima olishimizni ko'rib chiqamiz. Agar biz faqat bitta nisbiy minimumni olsak, biz bajaramiz, chunki bu nuqta funktsiyaning mutlaq minimumi va shuning uchun \(\left( { - 2, - 1,5} \right)\) ga eng yaqin bo'lgan tekislikdagi nuqta bo'lishi kerak.
Bizga birinchi navbatda hosilalar kerak bo'ladi.
\[\begin{align*}{f_x} & = 2\left( {x + 2} \right) + 2\left( { - 4} \right)\left( { - 4 - 4x + 2y} \right) = 36 + 34x - 16y\\ {f_y} & = 2\left( {y + 1} \right) + 2\left( 2 \right)\left( { - 4 - 4x + 2y} \right) = - 14 - 16x + 10y\\ {f_{x\,x}} & = 34\\ {f_{y\,y}} & = 10\\ {f_{x\,y}} & = - 16\end{align*}\]Kritik nuqtani topishdan oldin \(D\) ni tezda hisoblab chiqamiz.
\[D = 34\left( {10} \right) - {\left( { - 16} \right)^2} = 84 > 0\]Shunday qilib, bu holda \(D\) har doim ijobiy bo'ladi va \({f_{x\,x}} = 34 > 0\) har doim ijobiy ekanligiga e'tibor bering va shuning uchun biz olgan har qanday kritik nuqtalar nisbiy minimal bo'lishi kafolatlanadi.
Endi kritik nuqta(lar)ni topamiz. Bu tizimni hal qilishni anglatadi.
\[\begin{align*}36 + 34x - 16y & = 0\\ - 14 - 16x + 10y & = 0\end{align*}\]Buning uchun biz \(x\) uchun birinchi tenglamani yechishimiz mumkin.
\[x = \frac{1}{{34}}\left( {16y - 36} \right) = \frac{1}{{17}}\left( {8y - 18} \right)\]Endi buni ikkinchi tenglamaga ulang va \(y\) ni hal qiling.
\[ - 14 - \frac{{16}}{{17}}\left( {8y - 18} \right) + 10y = 0\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}y = - \frac{{25}}{{21}}\]Buni \(x\) uchun tenglamaga almashtirish \(x = - \frac{{34}}{{21}}\) ni beradi.
Shunday qilib, biz bitta muhim nuqtaga o'xshaymiz: \(\left( { - \frac{{34}}{{21}}, - \frac{{25}}{{21}}} \right)\). Bundan tashqari, biz bu nisbiy minimum bo'lishini bilganimiz uchun va bu biz biladigan yagona muhim nuqta, bu ham biz ketayotgan tekislikdagi nuqtaning \(x\) va \(y\) koordinatalari. Biz \(z\) koordinatasini tekislik tenglamasiga quyidagi tarzda kiritish orqali topishimiz mumkin,
\[z = 1 - 4\left( { - \frac{{34}}{{21}}} \right) + 2\left( { - \frac{{25}}{{21}}} \right) = \frac{{107}}{{21}}\]Demak, tekislikdagi \(\left( { - 2, - 1,5} \right)\) ga eng yaqin nuqta \(\left( { - \frac{{34}}{{21}}, - \frac{{25}}{{21}},\frac{{107}}{{21}}} \right)\) hisoblanadi.