7.1-bo'lim: Qismlar bo'yicha integratsiya
Keling, ushbu bo'limni biz boshlash uchun allaqachon bajarishimiz kerak bo'lgan bir nechta integrallardan boshlaylik. Avval quyidagi narsalarni ko'rib chiqaylik.
\[\int{{{{\bf{e}}^x}\,dx}} = {{\bf{e}}^x} + c\]Shunday qilib, bu juda oddiy edi. Keling, bir ko'rib chiqaylik,
\[\int{{x{{\bf{e}}^{{x^2}}}\,dx}}\]Ushbu integralni bajarish uchun biz quyidagi almashtirishdan foydalanamiz.
\[u = {x^2}\hspace{0.5in}du = 2x\,dx\hspace{0.25in}\,\, \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,x\,dx = \frac{1}{2}\,du\] \[\int{{x{{\bf{e}}^{{x^2}}}\,dx}} = \frac{1}{2}\int{{{{\bf{e}}^u}\,du}} = \frac{1}{2}{{\bf{e}}^u} + c = \frac{1}{2}{{\bf{e}}^{{x^2}}} + c\]Shunga qaramay, qanday qilishni eslab qolsangiz, buni qilish juda oddiy almashtirishlar. Aytgancha, bunday almashtirishlarni tez va oson bajarishingiz mumkinligiga ishonch hosil qiling. Shu paytdan boshlab biz boshimizda bunday almashtirishlarni amalga oshiramiz. Agar siz to'xtab, har bir muammo bilan ularni yozishingiz kerak bo'lsa, bu muammolarni hal qilish uchun sizga ancha uzoq vaqt ketishini bilib olasiz.
Keling, biz haqiqatan ham qilmoqchi bo'lgan integralni ko'rib chiqaylik.
\[\int{{x{{\bf{e}}^{6x}}\,dx}}\]Agar bizda faqat \(x\) yoki o'z-o'zidan \({{\bf{e}}^{6x}}\) bo'lsa, biz integralni osonlikcha bajarishimiz mumkin edi. Xuddi shunday, agar integral \(x{{\bf{e}}^{6{x^{\,2}}}}\) bo'lsa, biz integralni almashtirish bilan bajarishimiz mumkin edi. Biroq, afsuski, bularning hech biri variant emas. Shunday qilib, bizda bu integralni bajarish uchun bilimimiz yo'q.
Ushbu integralni bajarish uchun biz qismlar bo'yicha integratsiyadan foydalanishimiz kerak, shuning uchun qismlar formulasi bo'yicha integratsiyani chiqaramiz. Biz mahsulot qoidasidan boshlaymiz.
\[{\left( {f\,g} \right)^\prime } = f'\,g + f\,g'\]Endi buning ikkala tomonini birlashtiring.
\[\int{{{{\left( {f\,g} \right)}^\prime }\,dx}} = \int{{f'\,g + f\,g'\,dx}}\]Chap tomonni integrallash juda oson (biz bilamizki, hosila integrasiyasi hosilani “bekor qiladi”) va biz integralning o‘ng tomonini ajratamiz.
\[fg = \int{{f'\,g\,dx}} + \int{{f\,g'\,dx}}\]E'tibor bering, texnik jihatdan biz integratsiyadan so'ng chap tomonda doimiy integratsiya ko'rinishini ko'rsatishimiz kerak edi. Biz uni shu nuqtada tashlab qo'yishimiz mumkin, chunki integratsiyaning boshqa doimiylari yo'lda paydo bo'ladi va ular buni o'zlashtirib olishadi.
Nihoyat, formulani quyidagi tarzda qayta yozing va biz qismlar formulasi bo'yicha integratsiyaga erishamiz.
Qismlar boʻyicha integratsiya (rasmiy)
Biroq, bu ishlatish uchun eng oson formula emas. Shunday qilib, keling, bir nechta almashtirishlarni qilaylik.
\[\begin{align*}u = f\left( x \right)\hspace{0.5in}v = g\left( x \right)\\ & du = f'\left( x \right)\,dx\hspace{0.5in}dv = g'\left( x \right)\,dx\end{align*}\]Bularning ikkalasi ham standart Hisob I o'zgartirishlari bo'lib, siz hozirgacha o'rganib qolgansiz. Bu erda ikkita almashtirishdan foydalanayotganimizdan hayajonlanmang. Ular xuddi shunday ishlaydi.
Ushbu almashtirishlardan foydalanish bizga ko'p odamlar qismlar bo'yicha integratsiya formulasi deb o'ylaydigan formulani beradi.
Qismlar bo‘yicha integratsiya (soddalashtirilgan)
Ushbu formuladan foydalanish uchun biz \(u\) va \(dv\) ni aniqlashimiz, \(du\) va \(v\) ni hisoblashimiz va keyin formuladan foydalanishimiz kerak. Shuni ham yodda tutingki, \(v\) ni hisoblash juda oson. Bizga faqat \(dv\) ni integratsiya qilish kerak.
\[v = \int{{dv}}\]Ushbu formuladan foydalanishning eng murakkab jihatlaridan biri siz \(u\) va \(dv\) ni to'g'ri aniqlashingiz kerak. To'g'ri tanlov nima ekanligi har doim ham aniq bo'lmaydi va biz ba'zida noto'g'ri tanlov qilamiz. Bu tashvishlanadigan narsa emas. Agar biz noto'g'ri tanlov qilsak, har doim orqaga qaytib, boshqa tanlovlar to'plamini sinab ko'rishimiz mumkin.
Bu biz \(u\) va \(dv\) uchun to'g'ri tanlov qilganimizni qanday bilamiz degan aniq savolga olib keladi? Javob aslida juda oddiy. Biz \(u\) va \(dv\) uchun to'g'ri tanlov qildik, agar qismlar formulasi bo'yicha integratsiyadan so'ng yangi integral (formulaning o'ng tomonidagi) biz haqiqatda integrallashimiz mumkin bo'lsa.
Shunday qilib, keling, yuqorida aytib o'tgan integralni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Shunday qilib, ma'lum darajada, bu erda muammo eksponensialning oldida joylashgan \(x\). Agar bu bo'lmasa, biz integralni bajarishimiz mumkin edi. E'tibor bering, qismlar bo'yicha integratsiyani amalga oshirishda biz \(u\) uchun tanlagan hamma narsa farqlanadi. Shunday qilib, \(u = x\) ni tanlash yaxshi tanlov bo'ladi, chunki \(x\) farqlangandan so'ng o'z-o'zidan chiqib ketadi.
Endi biz \(u\) ni tanlaganimizdan ma'lumki, \(dv\) qolgan hamma narsa bo'ladi. Shunday qilib, bu erda \(u\) va \(dv\), shuningdek, \(du\) va \(v\) uchun tanlovlar mavjud.
\[\begin{align*}u & = x & \hspace{0.5in} dv & = {{\bf{e}}^{6x}}\,dx\\ du & = dx & \hspace{0.5in} v & = \int{{{{\bf{e}}^{6x}}\,dx}} = \frac{1}{6}{{\bf{e}}^{6x}}\end{align*}\]U holda integral,
\[\begin{align*}\int{{x{{\bf{e}}^{6x}}\,dx}} &= \frac{x}{6}{{\bf{e}}^{6x}} - \int{{\frac{1}{6}{{\bf{e}}^{6x}}\,dx}}\\ & = \frac{x}{6}{{\bf{e}}^{6x}} - \frac{1}{{36}}{{\bf{e}}^{6x}} + c\end{align*}\]Muammoning oxirgi integralini bajarganimizdan so'ng, yakuniy javobni olish uchun biz integratsiya konstantasini qo'shamiz.
Shuni ham yodda tutingki, yuqorida aytib o'tilganidek, biz yangi integralni olganimizda, biz \(u\) va \(dv\) uchun to'g'ri tanlov qilganimizni bilamiz, uni qismlar formulasi bo'yicha integratsiyani qo'llaganimizdan so'ng baholashimiz mumkin.
Keyinchalik, aniq integrallar uchun qismlar bo'yicha integrallashni ko'rib chiqamiz. Aniq integrallar uchun qismlar bo'yicha integrallash formulasi:
Qismlar bo'yicha integratsiya, aniq integrallar
E'tibor bering, birinchi davrdagi \(\left. {uv} \right|_a^b\) - bu siz ushbu nuqtada tanishishingiz kerak bo'lgan standart integral baholash belgisidir. Biz qiladigan narsa - bu atamani baholash, uv bu holda, \(b\) da, keyin \(a\) da atamaning bahosini olib tashlang.
Ba'zi darajada bu erda bizga formula kerak emas, chunki biz aniq integrallarni bajarishda noaniq integralni baholashimiz va keyin baholashimiz kerakligini bilamiz. Aslida, bu biroz osonroq bo'ladi, chunki har bir atamani shu tarzda baholashni kuzatishimiz shart emas.
Keling, qismlar bo'yicha integratsiyadan foydalangan holda aniq integralni tez ko'rib chiqaylik.
Yechim
Bu biz birinchi misolda ko'rib chiqqan bir xil integraldir, shuning uchun biz bir xil \(u\) va \(dv\) dan foydalanamiz,
\[\begin{align*}\int_{{\, - 1}}^{{\,2}}{{x{{\bf{e}}^{6x}}\,dx}} & = \left. {\frac{x}{6}{{\bf{e}}^{6x}}} \right|_{ - 1}^2 - \frac{1}{6}\int_{{\, - 1}}^{{\,2}}{{{{\bf{e}}^{6x}}\,dx}}\\ & = \left. {\frac{x}{6}{{\bf{e}}^{6x}}} \right|_{ - 1}^2 - \left. {\frac{1}{{36}}{{\bf{e}}^{6x}}} \right|_{ - 1}^2\\ & = \frac{{11}}{{36}}{{\bf{e}}^{12}} + \frac{7}{{36}}{{\bf{e}}^{ - 6}}\end{align*}\]Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, baholashni amalga oshirish uchun biz birinchi misoldagi natijadan osongina foydalanishimiz mumkin. Birinchi misoldan bilamizki,
\[\int{{x{{\bf{e}}^{6x}}\,dx}} = \frac{x}{6}{{\bf{e}}^{6x}} - \frac{1}{{36}}{{\bf{e}}^{6x}} + c\]
Bundan foydalanib, biz tezda aniq integralni baholashga o'tamiz:
\[\begin{align*}\int_{{\, - 1}}^{{\,2}}{{x{{\bf{e}}^{6x}}\,dx}} & = \left. {\left( {\frac{x}{6}{{\bf{e}}^{6x}} - \frac{1}{{36}}{{\bf{e}}^{6x}}} \right)} \right|_{ - 1}^2\\ & = \left( {\frac{1}{3}{{\bf{e}}^{12}} - \frac{1}{{36}}{{\bf{e}}^{12}}} \right) - \left( { - \frac{1}{6}{{\bf{e}}^{ - 6}} - \frac{1}{{36}}{{\bf{e}}^{ - 6}}} \right)\\ & = \frac{{11}}{{36}}{{\bf{e}}^{12}} + \frac{7}{{36}}{{\bf{e}}^{ - 6}}\end{align*}\]
Aniq integrallarni qismlar bo'yicha integratsiyalashgan holda baholashning har qanday usuli juda oddiy, shuning uchun qaysi birini tanlash sizga bog'liq.
Aniq integralni bajarish va aniq integral miqdorlarini bajarish uchun biz noaniq integralni bajarishimiz kerakligi sababli, noaniq integralni bir necha nuqtada baholashdan boshqa narsa emas, chunki biz ushbu bo'limning qolgan qismida noaniq integrallarni bajarishga e'tibor qaratamiz. Aslida, ushbu bobning aksariyat qismida shunday bo'ladi. Biz aniq integrallardan ko'ra ko'proq noaniq integrallarni qilamiz.
Keling, yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Ushbu misolni davom ettirishning ikki yo'li mavjud. Ko'pchilik uchun ular birinchi bo'lib kosinusni qavs orqali ko'paytirish, integralni bo'lish va keyin birinchi integraldagi qismlarga integratsiya qilishdir.
Bu muammoni hal qilishning mutlaqo maqbul usuli bo'lsa-da, bu biz qilishimiz kerak bo'lgandan ko'ra ko'proq ishdir. Integralni bo'lish o'rniga \(u\) va \(dv\) uchun quyidagi variantlardan foydalanamiz.
\[\begin{align*}u & = 3t + 5& \hspace{0.5in}dv & = \cos \left( {\frac{t}{4}} \right)\,dt\\ du & = 3\,dt & \hspace{0.5in}v & = 4\sin \left( {\frac{t}{4}} \right)\end{align*}\]U holda integral,
\[\begin{align*}\int{{\left( {3t + 5} \right)\cos \left( {\frac{t}{4}} \right)\,dt}} & = 4\left( {3t + 5} \right)\sin \left( {\frac{t}{4}} \right) - 12\int{{\sin \left( {\frac{t}{4}} \right)\,dt}}\\ & = 4\left( {3t + 5} \right)\sin \left( {\frac{t}{4}} \right) + 48\cos \left( {\frac{t}{4}} \right) + c\end{align*}\]E'tibor bering, biz qismlar formulasi bo'yicha integratsiyani qo'llaganimizda, biz integraldan har qanday doimiylarni chiqarib oldik. Odatda biz buni integralni biroz soddalashtirish uchun qilamiz.
Yechim
Ushbu misol uchun biz \(u\) va \(dv\) uchun quyidagi variantlardan foydalanamiz.
\[\begin{align*}u & = {w^2} & \hspace{0.5in}dv & = \sin \left( {10w} \right)\,dw\\ du & = 2w\,dw & \hspace{0.5in}v & = - \frac{1}{{10}}\cos \left( {10w} \right)\end{align*}\]U holda integral,
\[\int{{{w^2}\sin \left( {10w} \right)\,dw}} = - \frac{{{w^2}}}{{10}}\cos \left( {10w} \right) + \frac{1}{5}\int{{w\cos \left( {10w} \right)\,dw}}\]Ushbu misolda, oldingi misollardan farqli o'laroq, yangi integral qismlar bo'yicha integratsiyani ham talab qiladi. Ushbu ikkinchi integral uchun biz quyidagi tanlovlardan foydalanamiz.
\[\begin{align*}u & = w & \hspace{0.5in}dv & = \cos \left( {10w} \right)\,dw\\ du & = \,dw & \hspace{0.5in}v & = \frac{1}{{10}}\sin \left( {10w} \right)\end{align*}\]Shunday qilib, integral bo'ladi,
\[\begin{align*}\int{{{w^2}\sin \left( {10w} \right)\,dw}} & = - \frac{{{w^2}}}{{10}}\cos \left( {10w} \right) + \frac{1}{5}\left( {\frac{w}{{10}}\sin \left( {10w} \right) - \frac{1}{{10}}\int{{\sin \left( {10w} \right)\,dw}}} \right)\\ & = - \frac{{{w^2}}}{{10}}\cos \left( {10w} \right) + \frac{1}{5}\left( {\frac{w}{{10}}\sin \left( {10w} \right) + \frac{1}{{100}}\cos \left( {10w} \right)} \right) + c\\ & = - \frac{{{w^2}}}{{10}}\cos \left( {10w} \right) + \frac{w}{{50}}\sin \left( {10w} \right) + \frac{1}{{500}}\cos \left( {10w} \right) + c\end{align*}\]Qismlar bo'yicha integratsiyani ikkinchi marta qo'llash uchun integral koeffitsientiga ehtiyot bo'ling. Integral \(\frac{1}{5}\) ga ko'paytirilgani uchun biz integralni amalda bajarish natijalari ham \(\frac{1}{5}\) ga ko'paytirilishiga ishonch hosil qilishimiz kerak. Buni unutish - qismlarga integratsiyalashuv bilan bog'liq eng keng tarqalgan xatolardan biridir.
Ushbu oxirgi misol bizga ko'rsatganidek, ba'zida integralni to'liq baholash uchun qismlar bo'yicha integratsiyaning bir nechta qo'llanilishi kerak bo'ladi. Bu sodir bo'ladigan narsa, shuning uchun u sodir bo'lganda hayajonlanmang.
Ushbu keyingi misolda biz integratsiya texnikasi haqidagi muhim nuqtani tan olishimiz kerak. Ba'zi integrallar turli xil texnikalar yordamida amalga oshirilishi mumkin. Keyingi misoldagi integral ham shunday.
- Qismlar bo'yicha integratsiyadan foydalanish.
- Standart hisoblash I o'rnini bosishdan foydalanish.
a Qismlar bo'yicha integratsiyadan foydalanish. Yechim
Birinchidan, bu integralda trig funksiyalar yoki eksponensiallar mavjud emasligiga e'tibor bering. Qismlar integrallari bo'yicha juda ko'p integratsiya trig funktsiyalari va/yoki eksponensiallarni o'z ichiga olsa ham, ularning hammasi ham ularning paydo bo'lishini kutish fikriga yopishib qolmaydi.
Bunday holda biz \(u\) va \(dv\) uchun quyidagi variantlardan foydalanamiz.
\[\begin{align*}u & = x & \hspace{0.5in}dv & = \sqrt {x + 1} \,dx\\ du & = dx & \hspace{0.5in}v & = \frac{2}{3}{\left( {x + 1} \right)^{\frac{3}{2}}}\end{align*}\]U holda integral,
\[\begin{align*}\int{{x\sqrt {x + 1} \,dx}} &= \frac{2}{3}x{\left( {x + 1} \right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{3}\int{{{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{3}{2}}}\,dx}}\\ & = \frac{2}{3}x{\left( {x + 1} \right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{{15}}{\left( {x + 1} \right)^{\frac{5}{2}}} + c\end{align*}\]b Standart hisoblash I o'rnini bosishdan foydalanish. Yechim
Endi integralni almashtirish bilan bajaramiz. Quyidagi almashtirishdan foydalanishimiz mumkin.
\[u = x + 1\hspace{0.5in}x = u - 1\hspace{0.5in}du = dx\]E'tibor bering, biz almashtirishni ikki marta ishlatamiz, bir marta kvadrat ildiz ostidagi miqdor uchun va bir marta kvadrat ildiz oldidagi \(x\) uchun. U holda integral,
\[\begin{align*}\int{{x\sqrt {x + 1} \,dx}} & = \int{{\left( {u - 1} \right)\sqrt u \,du}}\\ & = \int{{{u^{\frac{3}{2}}} - {u^{\frac{1}{2}}}\,du}}\\ & = \frac{2}{5}{u^{\frac{5}{2}}} - \frac{2}{3}{u^{\frac{3}{2}}} + c\\ & = \frac{2}{5}{\left( {x + 1} \right)^{\frac{5}{2}}} - \frac{2}{3}{\left( {x + 1} \right)^{\frac{3}{2}}} + c\end{align*}\]Shunday qilib, biz ushbu misolda ikkita turli integratsiya texnikasidan foydalandik va biz ikki xil javob oldik. Shunda aniq savol bo'lishi kerak: biz noto'g'ri ish qildikmi?
Aslida, biz noto'g'ri ish qilmadik. Bizga kerak eslab qoling Calculus I dan quyidagi fakt.
\[{\rm{If }}\,\,f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\,\,\,{\rm{then}}\,\,\,f\left( x \right) = g\left( x \right) + c\]Boshqacha qilib aytganda, agar ikkita funktsiya bir xil hosilaga ega bo'lsa, ular doimiydan ko'p bo'lmagan farq qiladi. Xo'sh, bu yuqoridagi muammoga qanday taalluqlidir? Avval quyidagilarni aniqlang,
\[f'\left( x \right) = g'\left( x \right) = x\sqrt {x + 1} \]Keyin biz \(f\left( x \right)\) va \(g\left( x \right)\) ni quyidagi tarzda integratsiyalash orqali hisoblashimiz mumkin,
\[f\left( x \right) = \int{{f'\left( x \right)\,dx}}\hspace{0.5in}g\left( x \right) = \int{{g'\left( x \right)\,dx}}\]Biz birinchi integral uchun qismlar bo'yicha integrallashdan va ikkinchi integral uchun almashtirishdan foydalanamiz. Keyin, haqiqatga ko'ra, \(f\left( x \right)\) va \(g\left( x \right)\) doimiydan ko'p bo'lmagan farq qilishi kerak. Keling, buni tekshirib ko'raylik va bu shundaymi yoki yo'qmi. Ikkalasining farqini ko'rib chiqsak va biroz algebraik manipulyatsiya va soddalashtirsak, ular doimiydan ko'p bo'lmagan farq qilishini tekshirishimiz mumkin.
\[\begin{array}{l}\left( {\frac{2}{3}x{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{{15}}{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{5}{2}}}} \right) - \left( {\frac{2}{5}{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{5}{2}}} - \frac{2}{3}{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right)\\ \hspace{2.0in} = {\left( {x + 1} \right)^{\frac{3}{2}}}\left( {\frac{2}{3}x - \frac{4}{{15}}\left( {x + 1} \right) - \frac{2}{5}\left( {x + 1} \right) + \frac{2}{3}} \right)\\ \hspace{2.0in} = {\left( {x + 1} \right)^{\frac{3}{2}}}\left( 0 \right)\\ \hspace{2.0in} = 0\end{array}\]Shunday qilib, bu holda ikkala funktsiya aynan bir xil funktsiya ekanligi ayon bo'ladi, chunki farq nolga teng. E'tibor bering, bu har doim ham sodir bo'lmaydi. Ba'zan farq nolga teng bo'lmagan doimiylikni beradi. Bunga misol uchun qarang Integratsiya doimiyligi Calculus I eslatmalari bo'limi.
Xo'sh, biz nimani o'rgandik? Birinchidan, ba'zida integralni baholashning bir nechta usullari bo'ladi. Ikkinchidan, turli usullar ko'pincha turli xil javoblarga olib kelishini ko'rdik. Nihoyat, javoblar har xil bo'lsa ham, ba'zan juda ko'p ish bilan ular doimiydan ko'p bo'lmagan farq qilishini ko'rsatish mumkin.
Biz integralga duch kelganimizda, biz qaror qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa - bu integralni bajarishning bir nechta usuli bormi. Agar bir nechta usul bo'lsa, biz qaysi usuldan foydalanishimiz kerakligini aniqlashimiz kerak. Men darslarimda ishlatadigan umumiy qoida shuki, siz shunday usuldan foydalanishingiz kerak siz eng oson toping. Bu boshqalarga eng oson deb hisoblaydigan usul bo'lmasligi mumkin, ammo bu uni noto'g'ri usulga aylantirmaydi.
Qismlar bo'yicha integratsiyadagi eng keng tarqalgan xatolardan biri odamlarning idrok etilgan naqshlarga haddan tashqari yopishib qolishidir. Misol uchun, oldingi barcha misollarda \(u\) ni boshqa funktsiya oldida turgan ko'phad sifatida qabul qilish va keyin \(dv\) ni boshqa funktsiya bo'lishiga ruxsat berishning asosiy namunasi ishlatilgan. Bu har doim ham sodir bo'lmaydi, shuning uchun biz ehtiyot bo'lishimiz kerak va biz ko'rib turganimizdek, har qanday naqshlarga tushib qolmaslik kerak.
Keling, yuqoridagi naqshga mos kelmaydigan ba'zi integrallarni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Shunday qilib, biz hozirgacha bajargan boshqa integrallardan farqli o'laroq, integralda faqat bitta funktsiya mavjud va logarifm oldida polinom o'tirmaydi.
Bu erda ko'pchilikning birinchi tanlovi buni yuqoridan namunaga moslashtirishga harakat qilish va \(u\) va \(dv\) uchun quyidagi tanlovlarni amalga oshirishdir.
\[u = 1\hspace{0.5in}dv = \ln x\,dx\]Bu haqiqiy muammoga olib keladi, ammo bu \(v\) bo'lishi kerakligini anglatadi,
\[v = \int{{\ln x\,dx}}\]Boshqacha qilib aytganda, muammoni hal qilish uchun biz javobni oldindan bilishimiz kerak. Shunday qilib, bu tanlov shunchaki ishlamaydi.
Shuning uchun, agar logarifm \(dv\) ga tegishli bo'lmasa, u \(u\) ga tegishli bo'lishi kerak. Shunday qilib, keling, uning o'rniga quyidagi tanlovlardan foydalanamiz
\[\begin{align*}u & = \ln x & \hspace{0.5in} dv & = \,dx\\ du & = \frac{1}{x}dx & \hspace{0.5in}v & = x\end{align*}\]U holda integral,
\[\begin{align*}\int{{\ln x\,dx}} & = x\ln x - \int{{\frac{1}{x}\,x\,dx}}\\ & = x\ln x - \int{{dx}}\\ & = x\ln x - x + c\end{align*}\]Yechim
Shunday qilib, agar biz ushbu integral uchun dastlabki bir necha misoldagi naqshdan yana bir bor foydalanishga harakat qilsak, \(u\) va \(dv\) uchun tanlovimiz quyidagicha bo'lishi mumkin.
\[u = {x^5}\hspace{0.5in} dv = \sqrt {{x^3} + 1} \,dx\]Biroq, oldingi misolda bo'lgani kabi, bu ishlamaydi, chunki biz \(v\) ni osongina hisoblay olmaymiz.
\[v = \int{{\sqrt {{x^3} + 1} \,dx}}\]Buni qilish oson integral emas. Biroq, e'tibor bering, agar bizda ildiz bilan birga integralda \({x^2}\) bo'lsa, biz almashtirish bilan integralni juda oson bajarishimiz mumkin edi. Bundan tashqari, bizda asl integralda juda ko'p \(x\) suzayotganiga e'tibor bering. Shunday qilib, barcha \(x\)-larni (ildizdan tashqarida) \(u\)-ga qo'yish o'rniga, keling, ularni quyidagicha ajratamiz.
\[\begin{align*}u & = {x^3} & \hspace{0.5in}dv & = {x^2}\sqrt {{x^3} + 1} \,dx\\ du & = 3{x^2}dx & \hspace{0.5in}v & = \frac{2}{9}{\left( {{x^3} + 1} \right)^{\frac{3}{2}}}\end{align*}\]Endi biz \(v\) ni osongina hisoblashimiz mumkin va qismlar bo'yicha integratsiyadan foydalangandan so'ng, biz olamiz:
\[\begin{align*}\int{{{x^5}\sqrt {{x^3} + 1} \,dx}} & = \frac{2}{9}{x^3}{\left( {{x^3} + 1} \right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{3}\int{{{x^2}{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^{\frac{3}{2}}}\,dx}}\\ & = \frac{2}{9}{x^3}{\left( {{x^3} + 1} \right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{{45}}{\left( {{x^3} + 1} \right)^{\frac{5}{2}}} + c\end{align*}\]Shunday qilib, oldingi ikkita misolda biz birinchi ikkita misoldan olgan bo'lishimiz mumkin bo'lgan har qanday qabul qilingan naqshga to'g'ri kelmaydigan holatlarni ko'rdik. Bu har doim qismlar bo'yicha integratsiyaga e'tibor qaratishimiz kerak bo'lgan narsadir.
Keling, ba'zan qismlar bilan integratsiyalashuvdan kelib chiqadigan boshqa integratsiya texnikasini ko'rsatadigan yana bir misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Xo'sh, shu paytgacha biz \(u\) ni har doim shunday tanladikki, farqlashdan so'ng u bu qismni yo'qotadi yoki hech bo'lmaganda uni hal qilishni osonlashtiradigan shaklga integral qo'yadi. Bunday holda, biz \(u\)-ning qaysi qismini yaratmasak ham, farqlash jarayonida u hech qachon yo'qolmaydi.
Qaysi birini \(u\) deb tanlashimiz muhim emas, shuning uchun biz quyidagi tarzda tanlaymiz. Ammo shuni yodda tutingki, biz boshqa yo'lni ham tanlashimiz mumkin va biz oxir-oqibat bir xil natijaga erishamiz.
\[\begin{align*}u & = \cos \theta & \hspace{0.5in}dv & = {{\bf{e}}^\theta }\,d\theta \\ du & = - \sin \theta \,d\theta & \hspace{0.5in}v & = {{\bf{e}}^\theta }\end{align*}\]U holda integral,
\[\int{{{{\bf{e}}^\theta }\cos \theta \,d\theta }} = {{\bf{e}}^\theta }\cos \theta + \int{{{{\bf{e}}^\theta }\sin \theta \,d\theta }}\]Shunday qilib, biz yana qismlar bo'yicha integratsiyani amalga oshiramiz. Mana bu safargi tanlovlarimiz.
\[\begin{align*}u & = \sin \theta & \hspace{0.5in}dv & = {{\bf{e}}^\theta }\,d\theta \\ du & = \cos \theta \,d\theta & \hspace{0.5in}v & = {{\bf{e}}^\theta }\end{align*}\]Integral endi,
\[\int{{{{\bf{e}}^\theta }\cos \theta \,d\theta }} = {{\bf{e}}^\theta }\cos \theta + {{\bf{e}}^\theta }\sin \theta - \int{{{{\bf{e}}^\theta }\cos \theta \,d\theta }}\]Endi, bu nuqtada biz shunchaki aylana bo'ylab yugurayotganga o'xshaymiz. Biroq, e'tibor bering, endi biz ikkala tomonda bir xil integralga egamiz va o'ng tomonda uning oldida minus belgisi bor. Bu shuni anglatadiki, biz ikkala tomonga integral qo'shishimiz mumkin,
\[2\int{{{{\bf{e}}^\theta }\cos \theta \,d\theta }} = {{\bf{e}}^\theta }\cos \theta + {{\bf{e}}^\theta }\sin \theta \]Endi qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa - 2 ga bo'lish va biz tugatdik. Integral bu,
\[\int{{{{\bf{e}}^\theta }\cos \theta \,d\theta }} = \frac{1}{2}\left( {{{\bf{e}}^\theta }\cos \theta + {{\bf{e}}^\theta }\sin \theta } \right) + c\]E'tibor bering, ikkiga bo'lingandan so'ng, biz o'sha nuqtada integratsiya doimiysini qo'shamiz.
Teng belgisining har ikki tomonida bir xil integralga ega bo'lguningizcha, keyin integralni oddiygina hal qilmaguningizcha integrallash g'oyasini eslash yoqimli. Bu tez-tez ko'rinmaydi, lekin bu sodir bo'lganda, bu integralni amalga oshirishning yagona yo'li bo'lishi mumkin.
Shuni ham yodda tutingki, bu haqiqatan ham faqat Algebra, tan olish kerakki, siz uni ko'rishga odatlanmagan bo'lishingiz mumkin, lekin bu haqiqatan ham faqat Algebra.
Matematik karerangizning ushbu bosqichida hamma hal qila oladi,
\[x = 3 - x\hspace{0.5in} \to \hspace{0.5in} x = \frac{3}{2}\]Biz hali ham "tenglama" ni hal qilmoqdamiz. Yagona farq shundaki, biz yuqoridagi Algebra masalasida \(x\) ni yechish o‘rniga integralni va yaxshi doimiy “3” o‘rniga bizda “betartibroq” funksiyaga ega bo‘ldik.
Bizda yana bitta misol bor. Ko'rib turganimizdek, ba'zi muammolar bizdan qismlar bo'yicha integratsiyani ko'p marta talab qilishi mumkin va qisqa qo'l usuli mavjud bo'lib, bizga qismlar bo'yicha integratsiyaning bir nechta ilovalarini tez va oson bajarishga imkon beradi.
Yechim
Biz har doimgidek \(u\) va \(dv\) ni tanlash bilan boshlaymiz. Biroq, \(du\) va \(v\) ni hisoblash o'rniga biz ularni quyidagi jadvalga joylashtiramiz. Keyin biz \(u\) ga mos keladigan ustunni nolga yetguncha farqlaymiz. \(dv\) ga mos keladigan ustunda biz birinchi ustundagi har bir yozuv uchun bir marta integratsiya qilamiz. Uchinchi ustun ham bor, biz uni birozdan keyin tushuntiramiz va u har doim "+" bilan boshlanadi va keyin ko'rsatilgandek belgilarni almashtiradi.
Endi jadvalda ko'rsatilgan diagonallar bo'ylab ko'paytiring. Har bir mahsulot oldida ushbu mahsulot uchun "\(u\)" atamasiga mos keladigan uchinchi ustunga belgi qo'ying. Bunday holda, bu beradi,
\[\begin{align*}\int{{{x^4}{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}}\,dx}} & = \left( {{x^4}} \right)\left( {2{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}}} \right) - \left( {4{x^3}} \right)\left( {4{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}}} \right) + \left( {12{x^2}} \right)\left( {8{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}}} \right) - \left( {24x} \right)\left( {16{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}}} \right) + \left( {24} \right)\left( {32{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}}} \right)\\ & = 2{x^4}{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}} - 16{x^3}{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}} + 96{x^2}{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}} - 384x{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}} + 768{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}} + c\end{align*}\]Bizda integral bor. Bu biz boshqacha qilishimiz kerak bo'lgan turli xil \(u\) va \(dv\)-larni yozishdan ko'ra osonroqdir.
Shunday qilib, ushbu bo'limda biz qismlarga integratsiyani qanday qilishni ko'rib chiqdik. Keyingi matematika darslarida bu tez-tez uchraydigan integratsiya usullaridan biri bo'lishi mumkin.
Siz ko'rgan deb o'ylashingiz mumkin bo'lgan naqshlarga haddan tashqari berilmaslik muhimdir. Ko'p hollarda siz ko'rgan deb o'ylagan har qanday naqsh bir vaqtning o'zida buzilishi mumkin (va bo'ladi). Ehtiyot bo'ling!