17.4-bo'lim: Vektor maydonlarining sirt integrallari
Chiziqli integrallar bilan qilganimiz kabi, endi vektor maydonlarining sirt integrallariga o'tishimiz kerak. Eslatib o'tamiz, chiziqli integrallarda biz integrallashayotgan egri chiziqning yo'nalishi javobni o'zgartirishi mumkin. Xuddi shu narsa sirt integrallari uchun ham amal qiladi. Shunday qilib, vektor maydonlarining sirt integrallarini yaratishga kirishishdan oldin, avvalo, bir g'oyani kiritishimiz kerak yo'naltirilgan sirt.
Keling, ikki tomoni bo'lgan sirtdan boshlaylik (bu g'alati tuyulishi mumkin, lekin esda tutingki, Mobius Strip har bir nuqtada (ehtimol chegara bo'ylab) teginish tekisligiga ega bo'lgan yuzadir. Ushbu taxminni amalga oshirish har bir nuqtada ikkita birlik normal vektorga ega bo'lishini anglatadi, \({\vec n_1}\) va \({\vec n_2} = - {\vec n_1}\). Bu shuni anglatadiki, har bir sirt ikkita normal vektor to'plamiga ega bo'ladi. Biz tanlagan to'plam sirtga yo'nalish beradi.
Muayyan turdagi yo'naltirilgan sirtlarga nisbatan biz tuzadigan bitta konventsiya mavjud. Birinchidan, biz a ni aniqlashimiz kerak yopiq sirt. \(S\) sirti yopiladi, agar u ba'zi bir qattiq mintaqaning \(E\) chegarasi bo'lsa. Yopiq sirtning yaxshi namunasi sharning sirtidir. Biz \(S\) yopiq sirtining a borligini aytamiz ijobiy Agar biz \(E\) mintaqasidan tashqariga qaraydigan birlik normal vektorlar to'plamini tanlasak, orientatsiya salbiy orientatsiya \(E\) hududiga ishora qiluvchi normal birlik vektorlar to'plami bo'ladi.
E'tibor bering, ushbu konventsiya faqat yopiq yuzalar uchun qo'llaniladi.
Vektor maydonlarining sirt integrallari bilan ishlash uchun biz tanlagan yo'nalishga mos keladigan normal vektor birligi formulasini yozishimiz kerak. Sirt bizga qanday berilganiga qarab, buni qilishning ikkita usuli bor.
Birinchidan, funksiya \(z = g\left( {x,y} \right)\) tomonidan berilgan deb faraz qilaylik. Bu holda biz birinchi navbatda yangi funktsiyani aniqlaymiz,
\[f\left( {x,y,z} \right) = z - g\left( {x,y} \right)\]Yangi funktsiyamiz nuqtai nazaridan sirt \(f\left( {x,y,z} \right) = 0\) tenglamasi bilan berilgan. Endi, eslash \(\nabla f\) \(f\left( {x,y,z} \right) = 0\) tomonidan berilgan sirtga ortogonal (yoki normal) bo'ladi. Bu bizning sirtga normal vektorimiz borligini anglatadi. Yagona potentsial muammo shundaki, u normal birlik vektor bo'lmasligi mumkin. Bu muammo emas, chunki biz vektorni uzunligiga bo'lish orqali har qanday vektorni birlik vektoriga aylantirishimiz mumkinligini ham bilamiz. Bizning holatlarimizda bu,
\[\vec n = \frac{{\nabla f}}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\]Bunday holda, gradient vektorini hisoblash va uni oddiy vektor formulasiga ulash qulay bo'ladi. Buni qilish,
\[\vec n = \frac{{\nabla f}}{{\left\| {\nabla f} \right\|}} = \frac{{ - {g_x}\,\vec i - {g_y}\,\vec j + \vec k}}{{\sqrt {{{\left( {{g_x}} \right)}^2} + {{\left( {{g_y}} \right)}^2} + 1} }}\]Endi, notatsion nuqtai nazardan, bu unchalik qulay bo'lmagan bo'lishi mumkin, ammo bu bizga bir nechta qo'shimcha izohlar berishga imkon beradi.
Birinchidan, \(z\) yo'nalishidagi normal vektorning komponenti (normal vektorda \(\vec k\) tomonidan aniqlangan) har doim ijobiy ekanligiga e'tibor bering va shuning uchun bu normal vektor odatda yuqoriga ishora qiladi. U to'g'ridan-to'g'ri yuqoriga ishora qilmasligi mumkin, lekin uning yuqori qismiga ega bo'ladi.
Bu biz yopiq sirt bilan ishlayotganimizda muhim bo'ladi va biz ijobiy yo'nalishni xohlaymiz. Agar biz normal vektorga qarashimiz mumkinligini bilsak va "ijobiy" yo'nalish yuqoriga yoki pastga qarab turishini aniqlashimiz mumkin. Esda tutingki, "ijobiy" yo'nalish mintaqani ko'rsatishi kerak va bu joylarda pastga tushishni anglatishi mumkin. Albatta, agar bizga pastga yo'naltirish kerak bo'lsa, biz har doim bu birlik vektorining salbiyini olishimiz mumkin va biz kerakli narsani olamiz. Yana shuni yodda tutingki, normal vektor birligini tanlashda bizda har doim shunday imkoniyat mavjud.
Sirtni berishning ikkinchi usuliga o'tishdan oldin shuni ta'kidlashimiz kerakki, biz buni faqat \(z = g\left( {x,y} \right)\) shaklidagi sirtlar uchun qilganmiz. Yuqoridagi ishni \(y = g\left( {x,z} \right)\) (shuning uchun \(f\left( {x,y,z} \right) = y - g\left( {x,z} \right)\)) yoki \(x = g\left( {y,z} \right)\) (ya'ni \(f\left( {x,y,z} \right) = x - g\left( {y,z} \right)\)) shaklidagi sirtlar uchun ham xuddi shunday osonlik bilan bajarishimiz mumkin edi.
Endi, agar sirt parametrik ravishda berilgan bo'lsa, normal vektor birligini qanday topishni muhokama qilishimiz kerak:
\[\vec r\left( {u,v} \right) = x\left( {u,v} \right)\vec i + y\left( {u,v} \right)\vec j + z\left( {u,v} \right)\vec k\]Bu holda eslash \({\vec r_u} \times {\vec r_v}\) vektori ma'lum bir nuqtada teginish tekisligiga normal bo'ladi. Ammo agar vektor bir nuqtada tangens tekisligiga normal bo'lsa, u holda bu nuqtada sirt uchun ham normal bo'ladi. Demak, bu oddiy vektor. Bu normal birlik vektor ekanligini ta'minlash uchun biz uni kattaligiga bo'lishimiz kerak.
Demak, parametrik sirtlarda birlik normal vektorlardan biri bo'ladi,
\[\vec n = \frac{{{{\vec r}_u} \times {{\vec r}_v}}}{{\left\| {{{\vec r}_u} \times {{\vec r}_v}} \right\|}}\]Birinchi holatda bo'lgani kabi, biz buni hisoblab chiqqandan so'ng ko'rib chiqishimiz va u to'g'ri yo'nalishga ishora qiladimi yoki yo'qligini aniqlashimiz kerak. Agar shunday bo'lmasa, biz har doim bu vektorning salbiyini olishimiz mumkin va bu to'g'ri yo'nalishga ishora qiladi.
Va nihoyat, shuni yodda tutingki, biz har doim \(z = g\left( {x,y} \right)\) (yoki \(y = g\left( {x,z} \right)\) yoki \(x = g\left( {y,z} \right)\)) tomonidan berilgan har qanday sirtni osonlikcha parametrlashtira olamiz va shuning uchun agar xohlasak, birlik normal vektorini topish uchun har doim parametrlash formulasidan foydalanishimiz mumkin.
Xo'sh, endi biz yo'naltirilgan sirtlarni va ular bilan bog'liq birlik normal vektorlarini ko'rib chiqdik, biz vektor maydonlarining sirt integrallarini baholash uchun formulani berishimiz mumkin.
\(\vec F\) normal vektorli \(\vec n\) vektor maydoni berilgan bo'lsa, \(\vec F\) ning \(S\) sirt ustidagi sirt integrali quyidagicha ifodalanadi:
Vektor maydonining sirt integrali
bu erda o'ng integrali standart sirt integralidir. Bu ba'zan deyiladi oqimi \(\vec F\) \(S\) bo'ylab.
Har qanday misollar bilan ishlashdan oldin, a ni olish uchun normal vektor birligini o'rniga qo'yishimiz mumkinligini bilib olaylik biroz formuladan foydalanish osonroq. Quyidagi formulalarning har biri bilan ehtiyot bo'lishimiz kerak, biroq ularning har biri ma'lum bir yo'nalishni qabul qiladi va biz berilgan yo'nalishga mos kelish uchun normal vektorni o'zgartirishimiz kerak bo'lishi mumkin.
Avval sirt \(z = g\left( {x,y} \right)\) tomonidan berilgan deb faraz qilishdan boshlaylik. Bunday holda, vektor maydoni \(\vec F = P\,\vec i + Q\,\vec j + R\,\vec k\) tomonidan berilgan va biz kutayotgan yo'nalish "yuqoriga" yo'naltirilgan deb faraz qilaylik. Ushbu barcha taxminlar ostida \(\vec F\) ning \(S\) ustidan sirt integrali,
\[\begin{align*}\iint\limits_{S}{{\vec F\centerdot d\vec S}} & = \iint\limits_{S}{{\vec F\centerdot \vec n\,dS}}\\ & = \iint\limits_{D}{{\left( {P\,\vec i + Q\,\vec j + R\,\vec k} \right)\centerdot \left( {\frac{{ - {g_x}\,\vec i - {g_y}\,\vec j + \vec k}}{{\sqrt {{{\left( {{g_x}} \right)}^2} + {{\left( {{g_y}} \right)}^2} + 1} }}} \right)}}\sqrt {{{\left( {{g_x}} \right)}^2} + {{\left( {{g_y}} \right)}^2} + 1} \,dA\\ & = \iint\limits_{D}{{\left( {P\,\vec i + Q\,\vec j + R\,\vec k} \right)\centerdot \left( { - {g_x}\,\vec i - {g_y}\,\vec j + \vec k} \right)}}\,dA\\ & = \iint\limits_{D}{{ - P{g_x} - Q{g_y} + R}}\,dA\end{align*}\]Endi esda tutingki, bu "yuqori" yo'nalishini nazarda tutgan. Agar bizga "pastga" yo'naltirish kerak bo'lsa, oddiy vektordagi belgilarni o'zgartirishimiz kerak bo'ladi. Bu o'z navbatida integraldagi belgilarni ham o'zgartiradi. Shunday qilib, biz ushbu formuladan foydalanganda juda ehtiyot bo'lishimiz kerak. Umuman olganda, ushbu formulani sizga kerak bo'lganda qayta tiklash yaxshidir.
Bizga parametrik shaklda bo'lmagan sirt berilganda, bu erda 6 ta mumkin bo'lgan integral mavjud. \(z = g\left( {x,y} \right)\), \(y = g\left( {x,z} \right)\) va \(x = g\left( {y,z} \right)\) sirtining har bir shakli uchun ikkitadan. Sirtning har bir shaklini hisobga olgan holda ikkita mumkin bo'lgan birlik normal vektor bo'ladi va biz sirtning berilgan yo'nalishiga mos keladigan to'g'risini tanlashimiz kerak. Biroq, har bir formulaning kelib chiqishi bu erda keltirilganga o'xshaydi va shuning uchun kerak bo'lganda qilish juda yomon bo'lmasligi kerak.
Shuni ham yodda tutingki, biz normal vektor birligidan foydalanayotganimiz sababli tartibsiz kvadrat ildiz har doim o'chib ketadi. Bu shuni anglatadiki, agar biz formulani olishimiz kerak bo'lsa, biz uni qo'yishimiz shart emas. Biz faqat birlik vektorining surati bilan ishlashimiz kerak. Quyidagi misollarda ulardan kamida bittasini ko'ramiz. Shuni ham ta'kidlash kerakki, kvadrat ildiz bundan boshqa narsa emas:
\[\sqrt {{{\left( {{g_x}} \right)}^2} + {{\left( {{g_y}} \right)}^2} + 1} = \left\| {\nabla f} \right\|\]shuning uchun keyingi ishda, ehtimol, biz narsalarni biroz soddalashtirish uchun kvadrat ildiz o'rniga ushbu belgidan foydalanamiz.
Endi sirt \(\vec r\left( {u,v} \right)\) tomonidan parametrik berilganda sirt integrali formulasini tez ko‘rib chiqamiz. Bu holda sirt integrali,
\[\begin{align*}\iint\limits_{S}{{\vec F\centerdot d\vec S}} & = \iint\limits_{S}{{\vec F\centerdot \vec n\,dS}}\\ & = \iint\limits_{D}{{\vec F\centerdot \left( {\frac{{{{\vec r}_u} \times {{\vec r}_v}}}{{\left\| {{{\vec r}_u} \times {{\vec r}_v}} \right\|}}} \right)\left\| {{{\vec r}_u} \times {{\vec r}_v}} \right\|\,dA}}\\ & = \iint\limits_{D}{{\vec F\centerdot \left( {{{\vec r}_u} \times {{\vec r}_v}} \right)\,dA}}\end{align*}\]Yana shuni yodda tutingki, biz \({\vec r_u} \times {\vec r_v}\) belgisini sirt yo'nalishiga mos ravishda o'zgartirishimiz kerak bo'lishi mumkin va bu erda yana ikkita formula mavjud. Shuni ham yodda tutingki, bu holatda kattalik yana bekor qilinadi va shuning uchun biz bu muammolarda ham tashvishlanishimiz shart emas.
Shuni ham yodda tutingki, biz \(\iint\limits_{S}{{\vec F\centerdot d\vec S}} = \iint\limits_{S}{{\vec F\centerdot \vec n\,dS}}\) ta'rifini to'g'ridan-to'g'ri ishlatadigan paytlar ham bor. Buning misolini quyida ko'rib chiqamiz.
Endi bir nechta misollar bilan ishlaylik.
Yechim
Xo'sh, birinchi navbatda diskning paraboloiddagi qopqoqdan boshqa narsa emasligini bilib olaylik. Bu bizning yopiq sirtimiz borligini anglatadi. Bu juda muhim, chunki bizga sirt ijobiy yo'nalishga ega ekanligi va konventsiyaga ko'ra, bu barcha normal vektorlar \(S\) tomonidan o'ralgan hududdan tashqariga ishora qilish kerakligini anglatadi.
Keling, avval \(S\) ning eskizini olamiz, shunda biz nima bo'layotganini va qaysi yo'nalishda normal vektorlarni birlashtirishimiz kerakligini his qilishimiz mumkin.
Eskizda ta'kidlanganidek, biz paraboloidni \({S_1}\) va diskni \({S_2}\) bilan belgilaymiz. Shuni ham yodda tutingki, paraboloiddagi normal birlik vektorlar mintaqadan uzoqlashishi uchun ularning barchasi odatda manfiy \(y\) yo'nalishiga ishora qilishi kerak. Boshqa tomondan, diskdagi normal birlik vektorlari mintaqadan uzoqroqqa yo'naltirish uchun ijobiy \(y\) yo'nalishiga ishora qilishi kerak.
\(S\) ikkita sirtdan iborat bo'lganligi sababli, biz har birida sirt integralini bajarishimiz kerak va keyin umumiy sirt integralini olish uchun natijalarni qo'shishimiz kerak. Paraboloiddan boshlaylik. Bu holda bizda \(y = g\left( {x,z} \right)\) ko'rinishidagi sirt mavjud, shuning uchun biz to'g'ri formulani olishimiz kerak, chunki dastlab berilgan formula bunday funktsiya uchun emas edi. Biroq, buni qilish juda oson. Avval belgilang,
\[f\left( {x,y,z} \right) = y - g\left( {x,z} \right) = y - {x^2} - {z^2}\]Keyinchalik bizga ushbu funktsiyaning gradient vektori kerak bo'ladi.
\[\nabla f = \left\langle { - 2x,1, - 2z} \right\rangle \]Endi gradientning \(y\) komponenti musbat va shuning uchun bu vektor odatda ijobiy \(y\) yo‘nalishiga ishora qiladi. Biroq, yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, u yopiq hududdan uzoqroqqa yo'naltirilganligiga ishonch hosil qilish uchun salbiy \(y\) yo'nalishidagi normal vektor nuqtasi kerak. Bu shuni anglatadiki, biz foydalanishimiz kerak
\[\vec n = \frac{{ - \nabla f}}{{\left\| { - \nabla f} \right\|}} = \frac{{\left\langle {2x, - 1,2z} \right\rangle }}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\]Davom etishdan oldin bu erda bir nechta narsalarni eslatib o'tamiz. Biz buni gradientning kattaligiga bo'lishning hojati yo'q, chunki biz integralni bajarganimizdan so'ng, bu bekor qilinadi. Shuning uchun, biz uni hisoblash bilan bezovta qilmadik. Bundan tashqari, minus belgisining tushishi matn terish xatosi emas. Kattalikni hisoblaganimizda, biz har bir komponentni kvadratga aylantiramiz va shuning uchun minus belgisi o'chib ketadi.
\({S_1}\) : Paraboloid
OK, bu holda sirt integrali.
\[\begin{align*}\iint\limits_{{{S_1}}}{{\vec F\centerdot d\vec S}} & = \iint\limits_{D}{{\left( {y\,\vec j - z\,\vec k} \right)\centerdot \left( {\frac{{\left\langle {2x, - 1,2z} \right\rangle }}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}} \right)\,\left\| {\nabla f} \right\|\,dA}}\\ & = \iint\limits_{D}{{ - y - 2{z^2}\,dA}}\\ & = \iint\limits_{D}{{ - \left( {{x^2} + {z^2}} \right) - 2{z^2}\,dA}}\\ & = - \iint\limits_{D}{{{x^2} + 3{z^2}\,dA}}\end{align*}\]Shuni unutmangki, biz integralni hisoblashdan oldin \(y\) uchun sirt tenglamasini kiritishimiz kerak. Bu holda \(D\) \(xz\) tekisligidagi radius 1 diskidir va shuning uchun bu integralni bajarish uchun qutb koordinatalaridan foydalanish mantiqan to'g'ri keladi. Bu mintaqa uchun qutb koordinatalari.
\[\begin{array}{c}x = r\cos \theta \hspace{0.5in}z = r\sin \theta \\ 0 \le \theta \le 2\pi \hspace{0.5in}0 \le r \le 1\end{array}\]E'tibor bering, biz \(x\) konvertatsiya formulasini \(x\) uchun ishlatganimiz bilan bir xilda saqlab qoldik va \(z\) sinusdan foydalangan formula bo'lsin. Biz buni har qanday buyurtmani bajarishimiz mumkin edi, ammo shu tarzda biz hech bo'lmaganda ulardan biri bilan ishlashga odatlanganimizdek ishlaymiz.
Mana bu integralning bahosi.
\[\begin{align*}\iint\limits_{{{S_1}}}{{\vec F\centerdot d\vec S}} & = - \iint\limits_{D}{{{x^2} + 3{z^2}\,dA}}\\ & = - \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\int_{{\,0}}^{{\,1}}{{\left( {{r^2}{{\cos }^2}\theta + 3{r^2}{{\sin }^2}\theta } \right)r\,dr}}\,d\theta }}\\ & = - \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\int_{{\,0}}^{{\,1}}{{\left( {{{\cos }^2}\theta + 3{{\sin }^2}\theta } \right){r^3}\,dr}}\,d\theta }}\\ & = - \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\left( {\frac{1}{2}\left( {1 + \cos \left( {2\theta } \right)} \right) + \frac{3}{2}\left( {1 - \cos \left( {2\theta } \right)} \right)} \right)\left. {\left( {\frac{1}{4}{r^4}} \right)} \right|_0^1\,d\theta }}\\ & = - \frac{1}{8}\int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{4 - 2\cos \left( {2\theta } \right)\,d\theta }}\\ & = - \left. {\frac{1}{8}\left( {4\theta - \sin \left( {2\theta } \right)} \right)} \right|_0^{2\pi }\\ & = - \pi \end{align*}\]\({S_2}\) : Paraboloid qopqog'i
Endi biz diskdagi sirt integralini bajarishimiz mumkin (paraboloiddagi qopqoq). Buni amalga oshirish juda oson va aslida biz to'g'ridan-to'g'ri sirt integralining ta'rifidan foydalanishimiz mumkin. Birinchidan, disk haqiqatan ham \(xz\) tekisligida 1 radiusli disk oldida joylashgan \(y = 1\) tekisligining bir qismi ekanligini bilib olaylik.
Endi biz normal birlik vektori yopiq hududdan uzoqlashishini istaymiz va u \(y = 1\) tekisligiga ortogonal bo'lishi kerakligi sababli, u \(y\) o'qiga parallel bo'lgan yo'nalishni ko'rsatishi kerak, lekin bizda buni amalga oshiradigan birlik vektori allaqachon mavjud. Ya'ni,
\[\vec n = \vec j\]standart birlik bazis vektori. Bundan tashqari, biz foydalanishimiz uchun to'g'ri yo'nalishga ishora qiladi. Bizda vektor maydoni va normal vektor mavjud bo'lgani uchun biz to'g'ridan-to'g'ri sirt integralining ta'rifiga ulanishimiz mumkin,
\[\iint\limits_{{{S_2}}}{{\vec F\centerdot d\vec S}} = \iint\limits_{{{S_2}}}{{\left( {y\,\vec j - z\,\vec k} \right)\centerdot \left( {\vec j} \right)\,dS}}\, = \iint\limits_{{{S_2}}}{{y\,dS}}\]Ushbu nuqtada biz \(y\) ni ulashimiz kerak (chunki \({S_2}\) \(y = 1\) tekisligining bir qismi, biz bu nima ekanligini bilamiz) va bu safar sirt integralini qo'sh integralga aylantirganimizda kvadrat ildiz kerak bo'ladi. Bunday holda, biz to'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan foydalanganimiz uchun biz birinchi qismda ko'rgan kvadrat ildizni bekor qilmaymiz. Kvadrat ildizni olish uchun buni tan olish kerak
\[y = 1 = g\left( {x,z} \right)\]va shuning uchun kvadrat ildiz,
\[\sqrt {{{\left( {{g_x}} \right)}^2} + 1 + {{\left( {{g_z}} \right)}^2}} \]U holda sirt integrali,
\[\begin{align*}\iint\limits_{{{S_2}}}{{\vec F\centerdot d\vec S}} & = \iint\limits_{{{S_2}}}{{y\,dS}}\\ & = \iint\limits_{D}{{1\sqrt {0 + 1 + 0} \,dA}} = \iint\limits_{D}{{dA}}\end{align*}\]Shu o‘rinda tan olishimiz mumkinki, \(D\) radiusi 1 bo‘lgan disk va bu qo‘sh integral \(D\) mintaqasining maydonini beradigan qo‘sh integraldan boshqa narsa emas, shuning uchun integralni hisoblash uchun hech qanday sabab yo‘q. Bu erda sirt integralining qiymati.
\[\iint\limits_{{{S_2}}}{{\vec F\centerdot d\vec S}} = \pi \]Nihoyat, buni tugatish uchun biz ikkita qismni qo'shishimiz kerak. Mana bizdan hisoblashimiz so'ralgan sirt integrali.
\[\iint\limits_{S}{{\vec F\centerdot d\vec S}} = \iint\limits_{{{S_1}}}{{\vec F\centerdot d\vec S}} + \iint\limits_{{{S_2}}}{{\vec F\centerdot d\vec S}} = - \pi + \pi = 0\]Yechim
Shunday qilib, oldingi muammoda bo'lgani kabi, biz ham yopiq sirtga egamiz va bizga sirt ijobiy yo'nalishga ega ekanligi aytilganligi sababli, barcha normal birlik vektorlari yopiq hududdan uzoqroqqa yo'naltirilishi kerak. Buni tasavvur qilishimizga yordam berish uchun bu erda sirtning eskizi.
Biz \({S_1}\) ni yarim shar deb ataymiz va \({S_2}\) yarim sharning pastki qismi bo'ladi (bu eskizda ko'rsatilmagan). Endi sferadagi normal birlik vektorlari yopiq hududdan uzoqlashishi uchun ularning barchasi ijobiy \(z\) komponentiga ega bo'lishi kerak. Esda tutingki, vektor sirt uchun normal bo'lishi kerak va agar ijobiy \(z\) komponenti mavjud bo'lsa va vektor normal bo'lsa, u yopiq hududdan uzoqroqqa yo'naltirilishi kerak.
Boshqa tomondan, diskning pastki qismidagi normal birlik yopiq hududdan uzoqlashish uchun salbiy \(z\) yo'nalishiga ishora qilishi kerak.
\({S_1}\) : Sfera
Keling, avval \({S_1}\) da sirt integralini bajaramiz. Bunday holda, sirt shar shaklida bo'lgani uchun biz sirtning parametrik tasviridan foydalanishimiz kerak. Bu,
\[\vec r\left( {\theta ,\varphi } \right) = 3\sin \varphi \cos \theta \,\vec i + 3\sin \varphi \sin \theta \,\vec j + 3\cos \varphi \,\vec k\]Biz yarim sharda ishlayotganimiz sababli, bu erda biz foydalanishimiz kerak bo'lgan parametrlarning chegaralari mavjud.
\[0 \le \theta \le 2\pi \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}0 \le \varphi \le \frac{\pi }{2}\]Keyinchalik, biz \({\vec r_\theta } \times {\vec r_\varphi }\) ni aniqlashimiz kerak. Bu erda ikkita alohida vektor va o'zaro mahsulot.
\[\begin{align*}{{\vec r}_\theta }\left( {\theta ,\varphi } \right) & = - 3\sin \varphi \sin \theta \,\vec i + 3\sin \varphi \cos \theta \,\vec j\\ {{\vec r}_\varphi }\left( {\theta ,\varphi } \right) & = 3\cos \varphi \cos \theta \,\vec i + 3\cos \varphi \sin \theta \,\vec j - 3\sin \varphi \,\vec k\end{align*}\] \[\begin{align*}{{\vec r}_\theta } \times {{\vec r}_\varphi } & = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\{ - 3\sin \varphi \sin \theta }&{3\sin \varphi \cos \theta }&0\\{3\cos \varphi \cos \theta }&{3\cos \varphi \sin \theta }&{ - 3\sin \varphi }\end{array}} \right|\\ & = - 9{\sin ^2}\varphi \cos \theta \,\vec i - 9\sin \varphi \cos \varphi {\sin ^2}\theta \,\vec k - 9{\sin ^2}\varphi \sin \theta \,\vec j - 9\sin \varphi \cos \varphi {\cos ^2}\theta \,\vec k\\ & = - 9{\sin ^2}\varphi \cos \theta \,\vec i - 9{\sin ^2}\varphi \sin \theta \,\vec j - 9\sin \varphi \cos \varphi \left( {{{\sin }^2}\theta \, + {{\cos }^2}\theta } \right)\vec k\\ & = - 9{\sin ^2}\varphi \cos \theta \,\vec i - 9{\sin ^2}\varphi \sin \theta \,\vec j - 9\sin \varphi \cos \varphi \,\vec k\end{align*}\]E'tibor bering, biz o'zaro mahsulotning kattaligiga muhtoj emasmiz, chunki biz integralni bajarishni boshlaganimizdan so'ng, u bekor qilinadi.
E'tibor bering, \(\varphi \) diapazoni uchun bizda ham sinus, ham kosinus mavjud, shuning uchun bu vektor manfiy \(z\) komponentiga ega bo'ladi va biz yuqorida aytib o'tganimizdek, bu yopiq maydondan uzoqlashishi uchun bizga \(z\) komponenti ijobiy bo'lishi kerak. Shuning uchun biz normal vektor birligi uchun quyidagi vektordan foydalanishimiz kerak bo'ladi.
\[\vec n = - \frac{{{{\vec r}_\theta } \times {{\vec r}_\varphi }}}{{\left\| {{{\vec r}_\theta } \times {{\vec r}_\varphi }} \right\|}} = \frac{{9{{\sin }^2}\varphi \cos \theta \,\vec i + 9{{\sin }^2}\varphi \sin \theta \,\vec j + 9\sin \varphi \cos \varphi \,\vec k}}{{\left\| {{{\vec r}_\theta } \times {{\vec r}_\varphi }} \right\|}}\]Yana, biz integralni amalda bajarganimizdan so'ng, kattalikni tushiramiz, chunki u integralda bekor qilinadi.
OK, keyin bizga kerak bo'ladi
\[\vec F\left( {\vec r\left( {\theta ,\varphi } \right)} \right) = 3\sin \varphi \cos \theta \,\vec i + 3\sin \varphi \sin \theta \,\vec j + 81{\cos ^4}\varphi \,\vec k\]Esda tutingki, ushbu baholashda biz \(\vec r\left( {\theta ,\varphi } \right)\) ning \(x\) komponentini vektor maydoniga ulaymiz. va hokazo.
Shuningdek, biz nuqta mahsulotini bizga kerak bo'lishini bilgan yo'ldan olib tashlashimiz mumkin.
\[\begin{align*}\vec F\left( {\vec r\left( {\theta ,\varphi } \right)} \right)\centerdot \left(- {{{\vec r}_\theta } \times {{\vec r}_\varphi }} \right) & = 27{\sin ^3}\varphi {\cos ^2}\theta + 27{\sin ^3}\varphi {\sin ^2}\theta + 729\sin \varphi {\cos ^5}\varphi \\ & = 27{\sin ^3}\varphi + 729\sin \varphi {\cos ^5}\varphi \end{align*}\]Endi biz integralni bajarishimiz mumkin.
\[\begin{align*}\iint\limits_{{{S_{\,1}}}}{{\vec F\centerdot d\vec S}} & = \iint\limits_{D}{{\vec F\centerdot \left( {\frac{{{{\vec r}_\theta} \times {{\vec r}_\varphi}}}{{\left\| {{{\vec r}_\theta } \times {{\vec r}_\varphi }} \right\|}}} \right)\,\left\| {{{\vec r}_\theta } \times {{\vec r}_\varphi }} \right\|\,\,dA}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\int_{{\,0}}^{{\frac{\pi }{2}}}{{27{{\sin }^3}\varphi + 729\sin \varphi {{\cos }^5}\varphi \,d\varphi }}\,d\theta }}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\int_{{\,0}}^{{\frac{\pi }{2}}}{{27\sin \varphi \left( {1 - {{\cos }^2}\varphi } \right) + 729\sin \varphi {{\cos }^5}\varphi \,d\varphi }}\,d\theta }}\\ & = - \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\left. {\left( {27\left( {\cos \varphi - \frac{1}{3}{{\cos }^3}\varphi } \right) + \frac{{729}}{6}{{\cos }^6}\varphi } \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\,d\theta }}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\frac{{279}}{2}\,d\theta }}\\ & = 279\pi \end{align*}\]\({S_2}\) : Yarim sharning pastki qismi
Endi biz yarim sharning pastki qismidagi integralni bajarishimiz kerak. Bu holda biz \(z = 0\) tekisligida joylashgan \({x^2} + {y^2} \le 9\) diskini ko'rib chiqamiz va shuning uchun bu sirtning tenglamasi aslida \(z = 0\). Disk haqiqatan ham \(D\) mintaqasi bo'lib, biz qancha sirtdan foydalanishimiz kerakligini aytadi. Bu shuningdek, bu erda sirt integralining ta'rifidan foydalanishimiz mumkinligini anglatadi
\[\vec n = - \vec k\]Bizga salbiy kerak, chunki u yopiq hududdan uzoqroqqa yo'naltirilishi kerak.
Bu holda sirt integrali,
\[\begin{align*}\iint\limits_{{{S_2}}}{{\vec F\centerdot d\vec S}} & = \iint\limits_{{{S_2}}}{{\left( {x\,\vec i + y\,\vec j + {z^4}\,\vec k} \right)\centerdot \left( { - \vec k} \right)\,dS}}\,\\ & = \iint\limits_{{{S_2}}}{{ - {z^4}\,dS}}\end{align*}\]Esda tutingki, biz \(z = 0\) tomonidan berilgan tekislikdamiz va shuning uchun sirt integrali shunday bo'ladi:
\[\iint\limits_{{{S_2}}}{{\vec F\centerdot d\vec S}} = \iint\limits_{{{S_2}}}{{ - {z^4}\,dS}} = \iint\limits_{{{S_2}}}{{0\,dS}} = 0\]Oxirgi qadam, keyin ikkita qismni yuqoriga qo'shishdir. Mana bizdan ko'rib chiqish so'ralgan sirt integrali.
\[\iint\limits_{S}{{\vec F\centerdot d\vec S}} = \iint\limits_{{{S_1}}}{{\vec F\centerdot d\vec S}} + \iint\limits_{{{S_2}}}{{\vec F\centerdot d\vec S}} = 279\pi + 0 = 279\pi \]Ushbu bo'limni vektor maydon ustidagi sirt integralining tezkor talqini bilan qoldiramiz. Agar \(\vec v\) suyuqlikning tezlik maydoni bo'lsa, u holda sirt integrali
\[\iint\limits_{S}{{\vec v\centerdot d\vec S}}\]vaqt birligi uchun \(S\) orqali oqadigan suyuqlik hajmini ifodalaydi (i.e. soniyada, daqiqada yoki siz foydalanayotgan vaqt birligidan qat'i nazar).