MinMaxValues | MathModel.uz

4.3-bo'lim: Minimal va maksimal qiymatlar

Ushbu bobdagi ko'pgina ilovalarimiz funksiyaning minimal va maksimal qiymatlari atrofida aylanadi. Biz hammamiz funktsiyaning minimal va maksimal qiymatlarini tasavvur qilishimiz mumkin bo'lsa-da, biz bu erda ishimizda biroz aniqroq bo'lishni xohlaymiz. Xususan, biz minimal yoki maksimal qiymatlarning ikki turini farqlashni xohlaymiz. Quyidagi ta'rif biz ko'rib chiqadigan minimal va/yoki maksimal qiymatlarning turlarini beradi.

Minimal va maksimal qiymatlarning ta’rifi

Biz $f\left( x \right)$ borligini aytamiz mutlaq (yoki global) maksimal biz ishlayotgan domendagi har bir $x$ uchun $x = c$ if $f\left( x \right) \le f\left( c \right)$ da.
Biz $f\left( x \right)$ ga ega ekanligini aytamiz nisbiy (yoki mahalliy) maksimal $x = c$ da $x = c$ atrofida ba'zi ochiq intervalda har bir $x$ uchun $f\left( x \right) \le f\left( c \right)$ bo'lsa.
Biz $f\left( x \right)$ borligini aytamiz mutlaq (yoki global) minimal $x = c$ da, agar biz ishlayotgan domendagi har bir $x$ uchun $f\left( x \right) \ge f\left( c \right)$.
Biz $f\left( x \right)$-ga ega ekanligini aytamiz nisbiy (yoki mahalliy) minimal $x = c$ da if $f\left( x \right) \ge f\left( c \right)$ har bir $x$ uchun $x = c$ atrofida ba'zi ochiq intervalda.

E'tibor bering, "$x = c$ atrofida ochiq interval" deganda, biz $a < c < b$ kabi so'nggi nuqtalarni hisobga olmaganda, ba'zi $\left( {a,b} \right)$ oralig'ini topishimiz mumkinligini nazarda tutamiz. Yoki, boshqacha qilib aytganda, $c$ oraliq ichida joylashgan bo'ladi va oxirgi nuqtalardan biri ham bo'lmaydi.

Bundan tashqari, biz birgalikda funktsiyaning minimal va maksimal nuqtalarini chaqiramiz ekstremal funksiyasidan. Demak, nisbiy ekstremalar nisbiy minimum va maksimallarga, mutlaq ekstremalar esa mutlaq minimum va maksimallarga tegishli bo‘ladi.

Keling, yuqoridagi ta'rifda mutlaq va nisbiy o'rtasidagi nozik farq haqida bir oz gapiraylik.

Biz $x = c$ da mutlaq maksimal (yoki minimal)ga ega bo‘lamiz, agar $f\left( c \right)$ funksiya biz ishlayotgan domenda oladigan eng katta (yoki eng kichik) qiymat bo‘lsa. Bundan tashqari, “biz ishlayotgan domen” deganda, bu shunchaki ma’lum bir muammo uchun biz tanlagan $x$ diapazonini bildiradi. $x$ ning boshqa qiymatlari ham bo'lishi mumkin, biz ularni aslida funktsiyaga ulashimiz mumkin, ammo ba'zi sabablarga ko'ra ularni chiqarib tashladik.

Nisbiy maksimal yoki minimal biroz farq qiladi. Bir nuqta nisbiy maksimal yoki minimal bo'lishi uchun zarur bo'lgan narsa bu nuqta $x$ ning $x = c$ atrofidagi ma'lum bir oralig'ida maksimal yoki minimal bo'lishi kerak. Funktsiyaning boshqa joyda kattaroq yoki kichikroq qiymatlari bo'lishi mumkin, lekin $x = c$ ga yoki $x = c$ ga nisbatan mahalliy $f\left( c \right)$ unga yaqin joylashgan boshqa barcha funktsiya qiymatlaridan kattaroq yoki kichikroqdir.

Shuni ham yodda tutingki, nuqta nisbiy ekstrema bo'lishi uchun biz $x = c$ ning ikkala tomonidagi funktsiya qiymatlarini ko'rib chiqishimiz kerak va u haqiqatan ham shu nuqtada maksimal yoki minimal ekanligini ko'rishimiz kerak. Bu nisbiy ekstremal domenning oxirgi nuqtalarida sodir bo'lmasligini anglatadi. Ular faqat domenning ichki qismida paydo bo'lishi mumkin.

Oldingi masala bo'yicha ba'zi munozaralar mavjud. Ba'zi odamlar domenning oxirgi nuqtalarida nisbiy ekstremallar paydo bo'lishi mumkin deb o'ylashadi. Biroq, bu sinfda biz ular domenning oxirgi nuqtalarida paydo bo'lishi mumkin emasligini aytadigan ta'rifdan foydalanamiz. Tegishli faktga e'tibor qaratganimizdan so'ng, bu bo'lim oxirida biroz batafsilroq muhokama qilinadi.

Grafikni tezda ko'rib chiqish orqali ta'riflarni his qilish odatda osonroq.

This is a sketch of some unknown function. The left most point is in the third quadrant and marked as “a” is the lowest point on the graph. From here the graph increases up into the third quadrant to a point label as “b” and marked as “Rel. Max.” At this point the graph reaches a peak but is not the highest point on the graph. The graph now decreases back into the third quadrant to a point labeled as “c” and marked as “Rel. Min.”. At this point the graph reaches a valley but is not the lowest point on the graph. The graph now increases up into the first quadrant to a point labeled as “d” and marked as “Abs. & Rel. Max.”. At this point the graph reaches a peak and is the highest point on the graph. The graph then decreases into the fourth quadrant and ends as a point labeled as “e”.

Ushbu grafikda ko'rsatilgan funktsiya uchun biz $x = b$ va $x = d$ da nisbiy maksimallarga egamiz. Bu ikkala nuqta nisbiy maksimaldir, chunki ular ko'rsatilgan domenning ichki qismidir va nuqta atrofida ma'lum bir intervalda grafikdagi eng katta nuqtadir. Bizda $x = c$ da nisbiy minimum ham bor, chunki bu nuqta domenning ichki qismidir va uning atrofidagi intervaldagi grafikdagi eng past nuqtadir. O'ngdagi so'nggi nuqta $x = e$ nisbiy minimal bo'lmaydi, chunki u oxirgi nuqtadir.

Funktsiya $x = d$ da mutlaq maksimalga va $x = a$ da mutlaq minimumga ega bo'ladi. Bu ikki nuqta funktsiyaning eng katta va eng kichik nuqtasidir. Bundan tashqari, funktsiya uchun mutlaq ekstremallar domenning so'nggi nuqtalarida yoki nisbiy ekstremalarda paydo bo'lishini ham ko'rishimiz mumkin. Biz bu fikrni keyingi bo'limlarda ishlatamiz, shuning uchun u hozirgidek tuyulishi mumkin bo'lganidan ham muhimroqdir.

Mutlaq ekstremal va nisbiy ekstremalarning ta'riflari to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qilish uchun ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik.

1-misol Quyidagi funksiya uchun mutlaq ekstremal va nisbiy ekstremani aniqlang. \[f\left( x \right) = {x^2}\hspace{0.25in}{\mbox{on}}\hspace{0.25in}\left[ { - 1,2} \right]\]

Yechim

Ushbu funktsiyani grafik qilish juda oson bo'lgani uchun, buni qilaylik. Biroq, biz faqat $\left[ { - 1,2} \right]$ oralig'idagi grafikni xohlaymiz. Mana grafik,

$Graph of $f\left( x \right)={{x}^{2}}$ on the domain $-1 \le x \le 2$ with dots at the (-1,1) and (2,4) to indicate that the graph does not extend past these two points.$

E'tibor bering, biz ushbu nuqtalarda grafik tugashini eslatish uchun grafik oxirida nuqtalardan foydalanganmiz.

Endi biz ekstremani grafikdan aniqlashimiz mumkin. Bizda $x = 0$ da nisbiy va mutlaq minimal nolga va $x = 2$ da mutlaq maksimal to‘rtga teng. E'tibor bering, $x = - 1$ nisbiy maksimal emas, chunki u intervalning oxirgi nuqtasida.

Bu funktsiyaning nisbiy maksimallari yo'q.

Oldingi misolda ko'rganimizdek, funktsiyalar nisbiy ekstremal bo'lishi shart emas. Funktsiyaning nisbiy maksimal va/yoki nisbiy minimumga ega bo'lmasligi butunlay mumkin.

2-misol Quyidagi funksiya uchun mutlaq ekstremal va nisbiy ekstremani aniqlang. \[f\left( x \right) = {x^2}\hspace{0.25in}{\mbox{on}}\hspace{0.25in}\left[ { - 2,2} \right]\]

Yechim

Mana bu funksiya uchun grafik.

$Graph of $f\left( x \right)={{x}^{2}}$ on the domain $-2 \le x \le 2$ with dots at the (-2,4) and (2,4) to indicate that the graph does not extend past these two points.$

Bu holda biz hali ham $x = 0$ da nisbiy va mutlaq minimal nolga egamiz. Bizda hali ham to'rtta mutlaq maksimal bor. Biroq, birinchi misoldan farqli o'laroq, bu ikki nuqtada, $x = - 2$ va $x = 2$ da sodir bo'ladi.

Shunga qaramay, funktsiyaning nisbiy maksimallari yo'q.

Ushbu misolda ko'rsatilgandek, faqat bitta mutlaq maksimal yoki mutlaq minimal qiymat bo'lishi mumkin, lekin ular domenning bir nechta joylarida paydo bo'lishi mumkin.

3-misol Quyidagi funksiya uchun mutlaq ekstremal va nisbiy ekstremani aniqlang. \[f\left( x \right) = {x^2}\]

Yechim

Bu holda biz hech qanday domen bermadik va shuning uchun biz eng katta domenni olamiz deb taxmin qilinadi. Bu funksiya uchun bu barcha haqiqiy sonlarni bildiradi. Mana grafik.

$Graph of $f\left( x \right)={{x}^{2}}$ with no domain specified and arrows at the ends pointing upwards to indicate the graph continues.$

Bunday holda, grafik har ikki tomonda ham o'sishni to'xtatmaydi va shuning uchun bu funktsiya uchun hech qanday maksimal qiymat yo'q. Grafikda qaysi nuqtani tanlamasligimizdan qat'iy nazar, ikkala tomonda ham undan kattaroq, ham kichikroq nuqtalar bo'ladi, shuning uchun biz grafikda maksimal (har qanday turdagi, nisbiy yoki mutlaq) bo'la olmaymiz.

Biz hali ham $x = 0$ da nisbiy va mutlaq minimal qiymatga egamiz.

Shunday qilib, ba'zi grafiklar minimal bo'lishi mumkin, lekin maksimal emas. Xuddi shunday, grafik maksimallarga ega bo'lishi mumkin, lekin minimal emas.

4-misol Quyidagi funksiya uchun mutlaq ekstremal va nisbiy ekstremani aniqlang. \[f\left( x \right) = {x^3}\hspace{0.25in}{\mbox{on}}\hspace{0.25in}\left[ { - 2,2} \right]\]

Yechim

Mana bu funksiya uchun grafik.

$Graph of $f\left( x \right)={{x}^{3}}$ on the domain $-2 \le x \le 2$ with dots at the (-2,-8) and (2,8) to indicate that the graph does not extend past these two points.$

Bu funksiya $x = 2$ da mutlaq maksimal sakkizga va $x = - 2$ da mutlaq minimal salbiy sakkizga ega. Bu funksiya nisbiy ekstremalga ega emas.

Shunday qilib, ushbu misolda ko'rsatilganidek, funktsiya nisbiy ekstremalga ega bo'lishi shart emas.

5-misol Quyidagi funksiya uchun mutlaq ekstremal va nisbiy ekstremani aniqlang. \[f\left( x \right) = {x^3}\]

Yechim

Shunga qaramay, biz bu safar domenni cheklamaymiz, shuning uchun bu grafik.

$Graph of $f\left( x \right)={{x}^{3}}$ with no domain specified and arrows at the ends to indicate the graph continues.$

Bu holda funksiya nisbiy ekstremal va mutlaq ekstremaga ega emas.

Oldingi misolda ko'rganimizdek, funksiyalar ekstremal, nisbiy yoki mutlaq ko'rinishga ega bo'lishi shart emas.

6-misol Quyidagi funksiya uchun mutlaq ekstremal va nisbiy ekstremani aniqlang. \[f\left( x \right) = \cos \left( x \right)\]

Yechim

Biz bu funksiya uchun domenni cheklamadik. Mana grafik.

$Graph of $f\left( x \right)=\cos \left( x \right)$ on the domain $\left[ -3\pi ,3\pi \right]$ and arrows at the ends to indicate the graph continues.$

Kosinusda ko'p nuqtalarda yuzaga keladigan ekstremal (nisbiy va mutlaq) mavjud. Kosinusning nisbiy va mutlaq maksimallari 1 at ga teng

\[x = \ldots - 4\pi ,\, - 2\pi ,\,\,0,\,\,2\pi ,\,\,4\pi , \ldots \]

Kosinus ham -1 at nisbiy va mutlaq minimumlariga ega

\[x = \ldots - 3\pi ,\, - \pi ,\,\,\pi ,\,\,3\pi , \ldots \]

Ushbu misol ko'rsatganidek, grafikda juda ko'p sonli (bu holda cheksiz) nuqtalarda yuzaga keladigan ekstremal bo'lishi mumkin.

Biz hozir juda ko'p misollar bilan ishladik va biz bu misollardan mutlaq ekstrema haqida yoqimli faktni ko'rish uchun foydalanishimiz mumkin. Birinchidan, yuqoridagi barcha funktsiyalar mavjudligiga e'tibor bering uzluksiz funktsiyalari. E'tibor bering, har safar biz domenni yopiq oraliq bilan cheklaganmiz (i.e. oraliq uning yakuniy nuqtalarini o'z ichiga oladi) biz mutlaq maksimal va mutlaq minimumlarni oldik. Nihoyat, biz domenni cheklamagan uchta misoldan faqat bittasida biz mutlaq maksimal va mutlaq minimumni oldik.

Bu kuzatishlar bizni quyidagi teoremaga olib keladi.

Ekstremal qiymat teoremasi

Faraz qilaylik, $f\left( x \right)$ $\left[ {a,b} \right]$ oralig'ida uzluksiz bo'lsa, unda ikkita $a \le c,d \le b$ raqami mavjud bo'lib, $f\left( c \right)$ funksiya uchun mutlaq maksimal, $f\left( d \right)$ esa funktsiya uchun mutlaq minimumdir.

Shunday qilib, agar biz $\left[ {a,b} \right]$ oralig'ida uzluksiz funktsiyaga ega bo'lsak, u holda biz oraliqdagi biron bir joyda funktsiya uchun mutlaq maksimal va mutlaq minimumga ega bo'lishimiz kafolatlanadi. Teorema ularning qayerda paydo bo'lishini yoki bir necha marta sodir bo'lishini aytmaydi, lekin hech bo'lmaganda ular biron bir joyda mavjudligini aytadi. Ba'zan, biz bilishimiz kerak bo'lgan narsa - bu ularning mavjudligi.

Agar biz intervalda ishlamasak, bu teorema mutlaq ekstremallar haqida hech narsa aytmaydi. Biz yuqorida mutlaq ekstremaga, bitta mutlaq ekstremaga va mutlaq ekstremaga ega bo'lgan funktsiyalarning misollarini ko'rdik, biz o'zimizni intervalgacha cheklamaganimizda.

Teoremadan foydalanishimiz uchun funksiya uzluksiz bo'lishi talabi ham talab qilinadi. ning holatini ko'rib chiqing

\[f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\hspace{0.25in}{\mbox{on}}\hspace{0.25in}[ - 1,1]\]

Mana grafik.

$Graph of $f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}}$ on the domain $-1 \le x \le 1$ with dots at the (-1,1) and (1,1) to indicate that the graph does not extend past these two points. There is also a gap as the graph approaches the y-axis to indicate that the graph will continue to move up the y-axis as it approaches.$

Bu funksiya $x = 0$ da uzluksiz emas, chunki biz nolga yaqinlashamiz, chunki funksiya cheksizlikka yaqinlashadi. Demak, funksiya mutlaq maksimalga ega emas. E'tibor bering, u mutlaq minimumga ega. Aslida mutlaq minimum $x = - 1$ va $x = 1$ da ikki marta sodir bo'ladi.

Agar biz intervalni biroz o'zgartirsak, deyish mumkin.

\[f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\hspace{0.25in}{\mbox{on}}\hspace{0.25in}\left[ {\frac{1}{2},1} \right]\]

funktsiya endi mutlaq ekstremalga ega bo'ladi. Agar intervalda uzilish nuqtasi bo'lsa, biz muammoga duch kelishimiz mumkin. Agar shunday bo'lmasa, teorema amal qiladi.

Shuni ham ta'kidlashimiz kerakki, funktsiya bir nuqtada uzluksiz bo'lishi, bu nuqtani o'z ichiga olgan oraliqda ikkala mutlaq ekstremalga ega bo'lmaydi degani emas. Quyida berilgan oraliqdagi biror nuqtada uzluksiz bo‘lmagan, lekin ikkala mutlaq ekstremaga ham ega bo‘lgan funksiya grafigi keltirilgan.

This is the graph of some unknown function. The left most point is in the third quadrant and labeled “a”. The graph increases to a peak (but not the highest point on the graph) in the second quadrant and then decreases into the third quadrant, passing through the y-axis into the fourth quadrant to a point labeled “c” that is the lowest point on the graph that is marked as the “Abs. Min.”. At this point the graph jumps up to a higher point that is still in the fourth quadrant and still at the same x value. The graph increases into the first quadrant to a peak (not highest point), decreases back into the fourth quadrant to a valley (not lowest point) and finally increases back into the first quadrant to the right most point that is labeled as “b” that is the highest point on the graph and marked as the “Abs. Max.”.

Bu grafik $x = c$ da uzluksiz emas, lekin u ham mutlaq maksimal ($x = b$) va mutlaq minimumga ($x = c$) ega. Shuni ham yodda tutingki, bu holda mutlaq ekstremallardan biri uzilish nuqtasida sodir bo'lgan, ammo bunga hojat yo'q. Mutlaq minimal osongina boshqa so'nggi nuqtada yoki mintaqaning ichki qismidagi boshqa nuqtada bo'lishi mumkin edi. Gap shundaki, bu grafik uzluksiz emas va shu bilan birga mutlaq ekstremalarga ham ega

Bularning barchasi shundan iboratki, biz teorema shartlari bajarilganda faqat ekstremal qiymat teoremasidan foydalanishga ehtiyot bo'lishimiz va shartlar bajarilmasa, natijalarni noto'g'ri talqin qilmasligimiz kerak.

Ekstremal qiymat teoremasini qo'llash uchun biz uning so'nggi nuqtalarini o'z ichiga olgan intervalga ega bo'lishimiz kerak, bu ko'pincha yopiq oraliq deb ataladi va funktsiya shu oraliqda uzluksiz bo'lishi kerak. Agar bizda yopiq interval bo'lmasa va/yoki funksiya intervalda uzluksiz bo'lmasa, funktsiya mutlaq ekstremalga ega bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin.

Biz ushbu bobda ko'rib chiqiladigan hosilaning birinchi asosiy qo'llanilishiga o'tishdan oldin ushbu bo'limda bitta yakuniy mavzuni muhokama qilishimiz kerak.

Ferma teoremasi

Agar $f\left( x \right)$ $x = c$ da nisbiy ekstremaga ega bo'lsa va $f'\left( c \right)$ mavjud bo'lsa, $x = c$ $f\left( x \right)$ ning muhim nuqtasidir. Aslida, bu $f'\left( c \right) = 0$ kabi muhim nuqta bo'ladi.

Ushbu teoremaning isbotini ko'rish uchun qarang Hosila ilovalaridan dalillar Qo'shimchalar bo'limi.

Shuni ham yodda tutingki, biz $f'\left( c \right) = 0$ deb aytishimiz mumkin, chunki biz $f'\left( c \right)$ mavjudligini ham taxmin qilamiz.

Ushbu teorema nisbiy ekstremal va tanqidiy nuqtalar o'rtasida yaxshi bog'liqlik mavjudligini aytadi. Aslida, bu bizga barcha mumkin bo'lgan nisbiy ekstremallar ro'yxatini olish imkonini beradi. Nisbiy ekstrema tanqidiy nuqta bo'lishi kerakligi sababli, barcha tanqidiy nuqtalar ro'yxati bizga barcha mumkin bo'lgan nisbiy ekstremalarning ro'yxatini beradi.

$f\left( x \right) = {x^2}$ misolini ko'rib chiqing. Biz bu funktsiya $x = 0$ da nisbiy minimumga ega ekanligini bir necha oldingi misollarda ko'rdik. Fermat teoremasiga ko'ra $x = 0$ kritik nuqta bo'lishi kerak. Funktsiyaning hosilasi,

\[f'\left( x \right) = 2x\]

Albatta, $x = 0$ juda muhim nuqta.

Ushbu teoremani noto'g'ri ishlatmaslik uchun ehtiyot bo'ling. Bu tanqidiy nuqta nisbiy ekstremal bo'lishini aytmaydi. Buni ko'rish uchun quyidagi holatni ko'rib chiqing.

\[f\left( x \right) = {x^3}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}f'\left( x \right) = 3{x^2}\]

Shubhasiz, $x = 0$ juda muhim nuqta. Biroq, biz oldingi misolda bu funksiyaning hech qanday nisbiy ekstremalga ega emasligini ko'rdik. Shunday qilib, tanqidiy nuqtalar nisbiy ekstremal bo'lishi shart emas.

Shuni ham yodda tutingki, bu teorema mutlaq ekstremallar haqida hech narsa aytmaydi. Mutlaq ekstremal tanqidiy nuqta bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin.

Ushbu bo'limni tark etishdan oldin biz bir nechta masalalarni muhokama qilishimiz kerak.

Birinchidan, Fermat teoremasi faqat $f'\left( c \right) = 0$ bo'lgan kritik nuqtalar uchun ishlaydi. Biroq, bu lotin mavjud bo'lmagan kritik nuqtalarda nisbiy ekstremallar paydo bo'lmaydi degani emas. Buni ko'rish uchun $f\left( x \right) = \left| x \right|$ ni ko'rib chiqing. Bu funktsiya $x = 0$ da va avvalgisida ham nisbiy minimalga ega bo'limi Biz misolda $f'\left( 0 \right)$ mavjud emasligini ko'rsatdik.

Buning ma'nosi shundan iboratki, agar biz nisbiy ekstremani aniqlamoqchi bo'lsak, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa muhim nuqtalarni ko'rib chiqishdir, chunki bu nisbiy ekstrema mavjud bo'lishi mumkin bo'lgan joylardir.

Va nihoyat, esda tutingki, bo'limning boshida biz ko'rib chiqayotgan intervalning so'nggi nuqtalarida nisbiy ekstremallar mavjud emasligini aytgan edik. Buning sababi shundaki, agar biz nisbiy ekstremalarning paydo bo'lishiga yo'l qo'ysak, u Fermat teoremasini yaxshi (va aslida ko'pincha) buzishi mumkin. Intervallarning oxirgi nuqtalari har qanday turdagi muhim nuqtalar bo'lishini kutish uchun hech qanday sabab yo'q. Shuning uchun biz nisbiy ekstremalarning intervallarning so'nggi nuqtalarida mavjud bo'lishiga yo'l qo'ymaymiz.