Ilova A.9: Integratsiya konstantasi
Ushbu bo'limda biz integratsiya doimiyligi haqida bir nechta mavzularni ko'rib chiqishimiz kerak. Ko'pgina hisob-kitob darslarida biz u bilan juda tez va bo'sh o'ynaymiz va shuning uchun ko'p talabalar buni yoki bu qanchalik muhimligini tushunmaydilar.
Birinchidan, keling, u bilan qanday tez va erkin o'ynaymiz. Eslatib o'tamiz, texnik jihatdan yig'indini yoki farqni integrallaganimizda, biz aslida bir nechta integral qilamiz. Masalan,
\[\int{{15{x^4} - 9{x^{ - 2}}\,dx}} = \int{{15{x^4}\,dx}} - \int{{9{x^{ - 2}}\,dx}}\]Ushbu integrallarning har birini baholagandan so'ng, biz har bir integral uchun integratsiya doimiyligini olishimiz kerak, chunki biz haqiqatan ham ikkita integral qilyapmiz.
\[\begin{align*}\int{{15{x^4} - 9{x^{ - 2}}\,dx}} & = \int{{15{x^4}\,dx}} - \int{{9{x^{ - 2}}\,dx}}\\ & = 3{x^5} + c + 9{x^{ - 1}} + k\\ & = 3{x^5} + 9{x^{ - 1}} + c + k\end{align*}\]Integratsiya konstantalari har bir integraldan bir xil bo'ladi deb o'ylashga asos yo'qligi sababli biz har bir integral uchun har xil konstantalardan foydalanamiz.
Endi \(c\) ham, \(k\) ham noma'lum konstantalardir va shuning uchun ikkita noma'lum konstantaning yig'indisi shunchaki noma'lum doimiydir va biz yig'indini oddiygina \(c\) sifatida yozish orqali buni tan olamiz.
Demak, u holda integral,
\[\int{{15{x^4} - 9{x^{ - 2}}\,dx}} = 3{x^5} + 9{x^{ - 1}} + c\]Biz, shuningdek, ba'zi almashtirish qoidalari muammolarida integratsiya konstantalari bilan tez va erkin o'ynashga moyilmiz. Quyidagi muammoni ko'rib chiqing,
\[\int{{\cos \left( {1 + 2x} \right) + \sin \left( {1 + 2x} \right)\,dx}} = \frac{1}{2}\int{{\cos u + \sin u\,du}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}u = 1 + 2x\]Texnik jihatdan integratsiyalashganimizda, biz olishimiz kerak,
\[\int{{\cos \left( {1 + 2x} \right) + \sin \left( {1 + 2x} \right)\,dx}} = \frac{1}{2}\left( {\sin u - \cos u + c} \right)\]Butun integral \(\frac{1}{2}\) ga ko'paytirilganligi sababli, butun javob, shu jumladan integrallash doimiysi, \(\frac{1}{2}\) ga ko'paytirilishi kerak. \(\frac{1}{2}\) ni javob orqali ko'paytirganda, biz olamiz,
\[\int{{\cos \left( {1 + 2x} \right) + \sin \left( {1 + 2x} \right)\,dx}} = \frac{1}{2}\sin u - \frac{1}{2}\cos u + \frac{c}{2}\]Biroq, integratsiya doimiysi noma'lum konstanta bo'lgani uchun uni 2 ga bo'lish bu haqiqatni o'zgartirmaydi, shuning uchun biz kasrni faqat \(c\) sifatida yozishga moyilmiz.
\[\int{{\cos \left( {1 + 2x} \right) + \sin \left( {1 + 2x} \right)\,dx}} = \frac{1}{2}\sin u - \frac{1}{2}\cos u + c\]Umuman olganda, biz yuqoridagi ikkita misolda integratsiya doimiyligi bilan qanday tez va bo'sh o'ynaganimiz haqida tashvishlanishga hojat yo'q.
Biroq, haqiqiy muammo shundaki, biz integratsiyaning ushbu doimiylari bilan tez va bo'sh o'ynaganimiz sababli, ko'pchilik talabalar ularni yaxshi tushunmaydilar va integratsiya konstantalari muhim bo'lgan vaqtlar borligini va ular bilan ehtiyot bo'lish kerakligini tushunmaydilar.
Integratsiya konstantasi haqida tushunchaning etishmasligi qanday muammolarga olib kelishi mumkinligini ko'rish uchun quyidagi integralni ko'rib chiqing.
\[\int{{\frac{1}{{2x}}\,dx}}\]Bu haqiqatan ham oddiy integral. Biroq, uni integratsiya qilishning ikki yo'li (ikkalasi ham oddiy) mavjud va muammo shu erda paydo bo'ladi.
Birinchi integratsiya usuli kasrni parchalash va integralni bajarishdir.
\[\int{{\frac{1}{{2x}}\,dx}} = \int{{\frac{1}{2}\frac{1}{x}\,dx}} = \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + c\]Ikkinchi yo'l - quyidagi almashtirishdan foydalanish.
\[u = 2x\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}du = 2dx\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,dx = \frac{1}{2}du\] \[\int{{\frac{1}{{2x}}\,dx}} = \frac{1}{2}\int{{\frac{1}{u}\,du}} = \frac{1}{2}\ln \left| u \right| + c = \frac{1}{2}\ln \left| {2x} \right| + c\]Muammoni ko'ra olasizmi? Biz bir xil funktsiyani birlashtirdik va juda boshqacha javob oldik. Bu hech qanday ma'noga ega emas. Xuddi shu funktsiyani integratsiya qilish bizga bir xil javob berishi kerak. Biz integralni bajarish uchun faqat turli usullardan foydalandik va ikkalasi ham mutlaqo qonuniy integratsiya usullari. Xo'sh, qanday qilib turli usullardan foydalanish turli xil javoblarni berishi mumkin?
Biz e'tibor berishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa shundaki, biz har biri uchun har xil usuldan foydalanganimiz sababli, integratsiya doimiysi aslida bir xil son bo'ladi deb o'ylash uchun hech qanday sabab yo'q va shuning uchun har birimiz uchun har xil harflardan foydalanishimiz kerak.
To'g'ri javoblar,
\[\int{{\frac{1}{{2x}}\,dx}} = \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + c\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\int{{\frac{1}{{2x}}\,dx}} = \frac{1}{2}\ln \left| {2x} \right| + k\]Endi ikkinchi javobni yana bir bor ko'rib chiqaylik. Logarifmlar xossasidan foydalanib, ikkinchi integralga javobni quyidagicha yozishimiz mumkin:
\[\begin{align*}\int{{\frac{1}{{2x}}\,dx}} & = \frac{1}{2}\ln \left| {2x} \right| + k\\ & = \frac{1}{2}\left( {\ln 2 + \ln \left| x \right|} \right) + k\\ & = \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + \frac{1}{2}\ln 2 + k\end{align*}\]Buni qilganimizdan so'ng, javoblar aslida unchalik farq qilmasligini ko'rishimiz mumkin. Aslida ular faqat konstanta bilan farqlanadi va biz hatto \(c\) va \(k\) o'rtasidagi munosabatni topishimiz mumkin. Ko'rinadi,
\[c = \frac{1}{2}\ln 2 + k\]Shunday qilib, integratsiya doimiyligini to'g'ri tushunmasdan, xususan, bir xil integralda turli xil integratsiya usullaridan foydalanish, ehtimol, boshqa integratsiya konstantasini keltirib chiqarishi mumkin, biz integral uchun nima uchun "boshqa" javob olganimizni hech qachon tushuna olmaymiz.
Shuni ham yodda tutingki, doimiy qiymat bilan farq qiladigan javoblarni olish hech qanday hisoblash tamoyillarini buzmaydi. Aslida, biz bu sodir bo'lishi mumkinligini ko'rsatadigan haqiqatni ko'rdik. Biz bir haqiqatni ko'rdik O'rtacha qiymat teoremasi bo'limda agar \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\) keyin \(f\left( x \right) = g\left( x \right) + c\) deb aytilgan. Boshqacha qilib aytganda, agar ikkita funktsiya bir xil hosilaga ega bo'lsa, ular doimiydan ko'p bo'lmagan farq qilishi mumkin.
Bu bizda aynan shu narsa. Ikki funktsiya,
\[f\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| x \right|\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}g\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {2x} \right|\]aynan bir xil hosilaga ega,
\[\frac{1}{{2x}}\]va biz ko'rsatganimizdek, ular haqiqatan ham faqat doimiy bilan farq qiladi.
Ushbu xatti-harakatni ko'rsatadigan yana bir integral mavjud. O'ylab ko'ring,
\[\int{{\sin \left( x \right)\cos \left( x \right)\,dx}}\]Bu integralni bajarish uchun aslida uch xil usul mavjud.
1-usul:
Bu usul trig formulasidan foydalanadi,
Ushbu formuladan foydalanib (va tez almashtirish) integral,
\[\int{{\sin \left( x \right)\cos \left( x \right)\,dx}} = \frac{1}{2}\int{{\sin \left( {2x} \right)\,dx}} = - \frac{1}{4}\cos \left( {2x} \right) + {c_1}\]2-usul:
Bu usul almashtirishdan foydalanadi,
3-usul:
Bu erda ham amalga oshirilishi mumkin bo'lgan yana bir almashtirish.
Shunday qilib, bizda har bir integratsiya doimiysi bo'lgan uchta turli javob bor. Biroq, yuqoridagi faktga ko'ra, bu uchta javob faqat doimiy qiymat bilan farq qilishi kerak, chunki ularning barchasi bir xil hosilaga ega.
Aslida, ular faqat doimiylik bilan farq qiladi. Buni isbotlash uchun bizga quyidagi trig formulalar kerak bo'ladi.
\[\cos \left( {2x} \right) = {\cos ^2}\left( x \right) - {\sin ^2}\left( x \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\cos ^2}\left( x \right) + {\sin ^2}\left( x \right) = 1\]Birinchi usuldan javob bilan boshlang va yuqoridagi ikki burchakli formuladan foydalaning.
\[ - \frac{1}{4}\left( {{{\cos }^2}\left( x \right) - {{\sin }^2}\left( x \right)} \right) + {c_1}\]Endi yuqoridagi ikkinchi identifikatsiyadan bizda,
\[{\sin ^2}\left( x \right) = 1 - {\cos ^2}\left( x \right)\]Shunday qilib, uni ulang,
\[\begin{align*} - \frac{1}{4}\left( {{{\cos }^2}\left( x \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}\left( x \right)} \right)} \right) + {c_1} & = - \frac{1}{4}\left( {2{{\cos }^2}\left( x \right) - 1} \right) + {c_1}\\ & = - \frac{1}{2}{\cos ^2}\left( x \right) + \frac{1}{4} + {c_1}\end{align*}\]Bu biz ikkinchi usuldan biroz boshqacha konstantaga ega bo'lgan javobdir. Boshqacha aytganda,
\[{c_2} = \frac{1}{4} + {c_1}\]Uchinchi usuldan javob olish uchun shunga o'xshash manipulyatsiya qilishimiz mumkin. Shunga qaramay, birinchi usuldagi javobdan boshlab, ikki burchakli formuladan foydalaning va keyin sinus o'rniga kosinusni almashtiring,
\[{\cos ^2}\left( x \right) = 1 - {\sin ^2}\left( x \right)\]Buni qilish,
\[\begin{align*} - \frac{1}{4}\left( {\left( {1 - {{\sin }^2}\left( x \right)} \right) - {{\sin }^2}\left( x \right)} \right) + {c_1} & = - \frac{1}{4}\left( {1 - 2{{\sin }^2}\left( x \right)} \right) + {c_1}\\ & = \frac{1}{2}{\sin ^2}\left( x \right) - \frac{1}{4} + {c_1}\end{align*}\]Bu uchinchi usulning javobi boshqa konstantaga ega va biz yana ikkita doimiyni quyidagicha bog'lashimiz mumkin:
\[{c_3} = - \frac{1}{4} + {c_1}\]Xo'sh, biz bu erda nimani o'rgandik? Umid qilamizki, biz integratsiyaning doimiy ko'rsatkichlari muhimligini ko'rdik va biz ularni unuta olmaymiz. Biz ko'pincha ular bilan Hisob I kursida ishlamaymiz, ammo ularni yaxshi tushunmasdan, turli xil integratsiya usullari qanday qilib turli xil javoblar berishi mumkinligini tushunish qiyin bo'ladi.