5. hisoblashdagi xatolar
Bu erda sanab o'tilgan xatolarning ko'pchiligi hisob-kitob xatolari emas, balki Calculus kursida tez-tez uchraydigan xatolar va hisob bilan bog'liq bo'lgan notatsion xatolardir. Agar sizda hisob-kitob darsi bo'lmagan bo'lsa, men sizga ushbu bo'lim bilan bezovta qilmaslikni maslahat beraman, chunki bu sizga unchalik ma'noli bo'lmasligi mumkin.
Agar siz hisob-kitob darsini endigina boshlayotgan bo'lsangiz, men buni o'qishda juda ehtiyot bo'lishingizni tavsiya qilaman. Ba'zi darajada bu qism matematika kursini o'qiyotgan talaba tomonidan o'qish uchun mo'ljallangan. Boshqacha qilib aytganda, chegaralarni qoplaganingizdan so'ng, qaytib keling va cheklovlar bilan bog'liq masalalarni ko'rib chiqing, so'ngra hosilalarni, keyin esa integrallarni yopganingizdan keyin xuddi shunday qiling. Buni darsdan oldin o'qimang va men bu erda keltirgan bir nechta misollar asosida hisob-kitoblar qanday ishlashini aniqlashga harakat qiling! Bu sizga faqat yo'lda katta qayg'u keltiradi.
Hosillarning hosilalari va integrallari/kvotientlari
O'sha paytda eslang
\[{{\left( f\pm g \right)}^{\prime }}\left( x \right)={f}'\left( x \right)\pm {g}'\left( x \right) \hspace{0.5in} \int{f\left( x \right)\pm g\left( x \right)\,dx}=\int{f\left( x \right)dx}\pm \int{g\left( x \right)\,dx}\]to'g'ri, mahsulotlar va ko'rsatkichlar uchun bir xil narsani qilish mumkin emas. Boshqacha aytganda,
\[\begin{align*} {{\left( fg \right)}^{\prime }}\left( x \right) & \ne {f}'\left( x \right){g}'\left( x \right) \hspace{0.5in} & \int{f\left( x \right)g\left( x \right)\,dx} & \ne \left( \int{f\left( x \right)dx} \right)\left( \int{g\left( x \right)\,dx} \right) \\ {{\left( \frac{f}{g} \right)}^{\prime }}\left( x \right) & \ne \frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)} \hspace{0.5in} & \int{\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}\,dx} & \ne \frac{\int{f\left( x \right)dx}}{\int{g\left( x \right)dx}} \\\end{align*}\]Agar sizga ishontirish kerak bo'lsa, \(f\left( x \right)={{x}^{4}}\) va \(g\left( x \right)={{x}^{10}}\) misollarini ko'rib chiqing.
\[\begin{align*} {{\left( fg \right)}^{\prime }}\left( x \right) & \ne {f}'\left( x \right){g}'\left( x \right) \\ {{\left( {{x}^{4}}{{x}^{10}} \right)}^{\prime }} & \ne {{\left( {{x}^{4}} \right)}^{\prime }}{{\left( {{x}^{10}} \right)}^{\prime }} \\ {{\left( {{x}^{14}} \right)}^{\prime }} & \ne \left( 4{{x}^{3}} \right)\left( 10{{x}^{9}} \right) \\ 14{{x}^{13}} & \ne 40{{x}^{12}}\end{align*}\]Men faqat mahsulotning hosilasi misolini qildim, lekin ikkalasi ham teng emas! Agar xohlasangiz, qolgan uchta holatni tekshirishni sizga qoldiraman.
Esda tutingki, hosilalar bo'lsa, biz mahsulot va qism qoidasiga egamiz. Integrallar holatida bunday qoidalar yo'q va mahsulot yoki qismning integraliga duch kelganda, ular har bir alohida holatda ko'rib chiqilishi kerak.
\(\int{{{x}^{n}}\,dx}\) uchun formuladan to'g'ri foydalanish
Ko'pgina talabalar ushbu integratsiya formulasida cheklov mavjudligini unutishadi, shuning uchun bu erda cheklov bilan birga formula mavjud.
\[\int{{{x}^{n}}dx}=\frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}+c, \hspace{0.5in} \text{provided }n\ne -1\]Bu cheklov nihoyatda muhim, chunki agar biz \(n=-1\) ga ruxsat bergan bo'lsak, formulada nolga bo'lingan bo'lar edik! Mana, men juda ko'p talabalar ushbu integral bilan duch kelganda nima qilishlarini ko'rmoqdaman.
\[\int{{{x}^{-1}}dx}=\frac{{{x}^{0}}}{0}+c={{x}^{0}}+c=1+c\]BU HAQIQIY EMAS!!!!!! Bu bilan har xil muammolar mavjud. Avval formuladan noto'g'ri foydalanish, keyin esa nolga bo'lish muammosi bor! Buni hech qachon bunday qilmaslik kerak.
Eslatib o'tamiz, \({{x}^{-1}}\) ning to'g'ri integrali,
\[\int{{{x}^{-1}}dx}=\int{\frac{1}{x}\,dx}=\ln |x|+c\]Bu bizni keyingi xatoga olib keladi.
\[\int{\frac{1}{x}\,dx}\] ni integratsiyalashganda mutlaq qiymatni tushirish
Buni formulada eslang
\[\int{\frac{1}{x}\,dx}=\ln |x|+c\]argumentdagi mutlaq qiymat chiziqlari talab qilinadi! To'g'ri, ba'zida ular integratsiyadan so'ng olib tashlanishi mumkin, lekin ko'p hollarda ular talab qilinadi. Masalan, ikkita integralni taqqoslang,
\[\begin{align*} \int{\frac{2x}{{{x}^{2}}+10}\,dx} & =\ln |{{x}^{2}}+10|+C=\ln \left( {{x}^{2}}+10 \right)+c \\ \int{\frac{2x}{{{x}^{2}}-10}dx} & =\ln |{{x}^{2}}-10|+c \\\end{align*}\]Birinchi holda, \({{x}^{2}}\) ijobiy va 10 ni qo'shish bu haqiqatni o'zgartirmaydi, shuning uchun \({{x}^{2}}+10>0\) dan boshlab biz mutlaq qiymat satrlarini tashlab qo'yishimiz mumkin. Biroq, ikkinchi holatda, biz \(x\) qiymati nima ekanligini bilmasligimiz sababli, \({{x}^{2}}-10\) belgisini bilishning hech qanday usuli yo'q va shuning uchun mutlaq qiymat satrlari talab qilinadi.
\(\int{\frac{1}{x}\,dx}=\ln |x|+c\) formulasidan noto'g'ri foydalanish
\(\frac{1}{x}\) ni integratsiyalashganda talabalar tomonidan bir nechta xatoliklarga yo‘l qo‘yilgani haqidagi taassurot hali ham bormi? Umid qilamanki, ko'plab talabalar bu xatolar uchun juda katta miqdordagi ball yo'qotadilar. Biroq, bu men yoritadigan oxirgi narsa.
Bunday holda, talabalar, agar \(\frac{1}{x}\) \(\ln |x|\) bilan integratsiyalashgan bo'lsa, unda hamma narsadan ustun bo'lishi kerak, deb xato qilishlari mumkin! Quyidagi jadvalda ushbu formuladan noto'g'ri foydalanishga misollar keltirilgan.
| Integral | Noto'g'ri javob | To'g'ri javob |
|---|---|---|
| \(\displaystyle \int{\frac{1}{{{x}^{2}}+1}\,dx}\) | \(\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)+c\) | \({{\tan }^{-1}}\left( x \right)+c\) |
| \(\displaystyle \int{\frac{1}{{{x}^{2}}}\,dx}\) | \(\ln \left( {{x}^{2}} \right)+c\) | \(-{{x}^{-1}}+c=-\frac{1}{x}+c\) |
| \(\displaystyle \int{\frac{1}{\cos x}dx}\) | \(\ln |\cos x|+c\) | \(\ln |\sec x+\tan x|+c\) |
Shuning uchun, ushbu formuladan foydalanishga harakat qilganda ehtiyot bo'ling. Bu formuladan faqat integral \(\int{\frac{1}{x}\,dx}\) shaklida bo'lganda foydalanish mumkin. Ko'pincha, integral ushbu shaklda tegishli \(u\) almashtirish bilan yozilishi mumkin (masalan, oldingi misoldagi ikkita integral), lekin agar bunday bo'lmasa, integral bu formuladan foydalanmaydi, shuning uchun harakat qilmang.
Umuman olganda Integratsiya formulalaridan noto'g'ri foydalanish
Bu haqiqatan ham avvalgi masala bilan bir xil, lekin ko'plab talabalar logarifmlar bilan bog'liq muammolarga duch kelishmoqda, shuning uchun men ushbu misolni alohida ko'rib chiqmoqchi edim.
Shunday qilib, oldingi masalada bo'lgani kabi, talabalar integrallarda to'g'ri deb biladigan "oddiy" formulalarni sinab ko'rishga va ishlatishga moyil bo'lib, ular sirtdan bir xil ko'rinadi. Masalan, bizda quyidagi ikkita formula mavjud:
\[\begin{align*} \int{\sqrt{u}\,du} & =\frac{2}{3}{{u}^{\frac{3}{2}}}+C \\ \int{{{u}^{2}}\,du} &=\frac{1}{3}{{u}^{3}}+C \\\end{align*}\]Bu erda xato, agar bular to'g'ri bo'lsa, unda quyidagilar ham to'g'ri bo'lishi kerak deb taxmin qilishdir.
\[\begin{align*} \int{\sqrt{\text{anything}}\,du} & =\frac{2}{3}{{\left( \text{anything} \right)}^{\frac{3}{2}}}+C \\ \int{{{\left( \text{anything} \right)}^{2}}\,du} &=\frac{1}{3}{{\left( \text{anything} \right)}^{3}}+C \\\end{align*}\]Bu shunchaki haqiqat emas! Birinchi formulalar to'plami ishlaydi, chunki u bitta o'zgaruvchining kvadrat ildizi yoki bitta o'zgaruvchining kvadratidir. Agar kvadrat ildiz ostida yoki kvadrat ostida bitta u dan boshqa narsa bo'lsa, bu formulalar foydasizdir. Ba'zida ular bitta u dan boshqa narsalarga ham tegishli bo'ladi, lekin umuman olganda ular ushlab turmaydi, shuning uchun ehtiyot bo'ling!
Bu formulalar to'g'ri ishlatilmasligiga bir nechta misollar bilan yana bir jadval.
| Integral | Noto'g'ri javob | To'g'ri javob |
|---|---|---|
| \(\displaystyle \int{\sqrt{{{x}^{2}}+1}\,dx}\) | \(\displaystyle \frac{2}{3}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\frac{3}{2}}}+C\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\left( x\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\ln |x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}| \right)+C\) |
| \(\displaystyle \int{{{\cos }^{2}}xdx}\) | \(\displaystyle \frac{1}{3}{{\cos }^{3}}x+C\) | \(\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{1}{4}\sin \left( 2x \right)+C\) |
Agar siz noto'g'ri javoblar haqiqatan ham to'g'ri emasligiga ishonchingiz komil bo'lmasa, esda tutingki, siz har doim javobni farqlash orqali noaniq integrallarga javoblarni tekshirishingiz mumkin. Agar siz hamma narsani to'g'ri bajargan bo'lsangiz, siz dastlab integratsiyalashgan funktsiyani olishingiz kerak, ammo har bir holatda javoblar bir xil bo'lishi uchun biroz soddalashtirish kerak bo'ladi.
Bundan tashqari, agar ular uchun to'g'ri javobni qanday olishni ko'rmasangiz, ular odatda Calculus II sinfida ko'rinadi. Biroq, ikkinchisini, agar siz tegishli trig formulasini eslab qolsangiz, faqat hisob-kitob I bilan kamaringiz ostida qilishingiz mumkin.
Tushilish chegarasi belgisi
Ushbu hujjatdagi qolgan xatolar asosan o'quvchilar yo'l qo'yadigan notatsion xatolardan iborat.
Men chegaralardan boshlayman. Talabalar dangasalikka moyil bo'lib, birinchi qadamdan so'ng chegara belgilarini tashlay boshlaydilar. Masalan, noto'g'ri ishlangan muammo
\[\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-9}{x-3}=\frac{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}{x-3}=x+3=6\]Bu bilan bir nechta noto'g'ri narsa bor. Birinchidan, chegara belgisini tashlaganingizda, siz haqiqatda chegarani olganingizni aytasiz. Shunday qilib, birinchi tenglikda,
\[\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-9}{x-3}=\frac{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}{x-3}\]siz limitning qiymatini aytyapsiz
\[\frac{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}{x-3}\]va bu aniq emas. Shuningdek, yakuniy tenglikda,
\[x+3=6\]siz har bir tomon bir xil deb da'vo qilyapsiz, lekin bu faqat \(x=3\) sharti bilan to'g'ri va siz aytmoqchi bo'lgan narsa
\[\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,x+3=6\]Siz nimani nazarda tutayotganingizni bilishingiz mumkin, lekin kimdir sizning ishingizni hal qilishda juda qiyin bo'ladi. Bundan tashqari, sizning o'qituvchingiz bu bilan nimani nazarda tutayotganingizni bilmaydi va siz chegarani qabul qilmaguningizcha, har bir qadamda chegara belgilari talab qilinishini tushunasizmi yoki yo'qligini bilmaydi. Agar siz mening shogirdlarimdan biri bo'lsangiz, men sizning fikringizni o'qishga ham urinmayman va siz tushunmagan deb o'ylayman va shunga ko'ra ball olib qo'yaman.
Shunday qilib, siz har bir qadamda cheklovlarni yozishni ahmoqona va keraksiz deb hisoblasangiz ham, bu to'g'ri belgidir va mening sinfimda sizdan to'g'ri belgidan foydalanishingizni kutaman. Ushbu chegarani ishlashning to'g'ri usuli.
\[\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-9}{x-3}=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,x+3=6\]Limitni amalda qabul qilmaguningizcha har bir qadamda talab qilinadi, bunda men yuqorida qilganimdek chegarani olib tashlash kerak.
Noto'g'ri hosila yozuvi
\(f\left( x \right)=x\left( {{x}^{3}}-2 \right)\) ni farqlashni so'rashganda, men vaqti-vaqti bilan javob olish uchun quyidagilarni olaman.
\[ \begin{align*}f\left( x \right) & = x\left( {{x}^{3}}-2 \right) \\ & ={{x}^{4}}-2x \\ & =4{{x}^{3}}-2 \end{align*} \]Bu yana bir vaziyat, siz bu erda nima demoqchi ekanligingizni bilishingiz mumkin, ammo buni o'qigan har bir kishi \({{x}^{4}}-2x=4{{x}^{3}}-2\) va bu siz aytmoqchi bo'lgan narsa EMAS degan fikrga keladi. Biroq, siz buni shu tarzda yozganingizda, siz aytayotgan narsadir.
Tegishli belgi
\[ \begin{align*} f\left( x \right) & = x\left( {{x}^{3}}-2 \right) \\ & ={{x}^{4}}-2x \\ {f}'\left( x \right) & =4{{x}^{3}}-2 \end{align*} \]Integratsiya belgisini yo'qotish
Integrallar bilan yuzaga keladigan ko'plab tushirilgan yozuv xatolari mavjud. Keling, ushbu misoldan boshlaylik.
\[\int{x\left( 3x-2 \right)dx}=3{{x}^{2}}-2x={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+c\]Yuqoridagi hosila misolida bo'lgani kabi, bu tengliklarning ikkalasi ham noto'g'ri. Integral belgisini tushirganingizda, siz integralni bajarganingizni aytasiz! Demak, bu birinchi tenglik integralning qiymati \(3{{x}^{2}}-2x\) ekanligini bildiradi, aslida siz funksiyani soddalashtirish bilan shug‘ullanasiz. Xuddi shunday, oxirgi tenglik ikkita funktsiya, \(3{{x}^{2}}-2x\) va \({{x}^{3}}-{{x}^{2}}+c\) teng bo'lganda, teng ekanligini aytadi! Mana bu muammoni hal qilishning to'g'ri yo'li.
\[\int{x\left( 3x-2 \right)dx}=\int{3{{x}^{2}}-2xdx}={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+c\]Yo'qotilgan yozuvdagi yana bir katta muammo - talabalar \(dx\) ni integrallar oxirida tashlab yuborishadi. Masalan; misol uchun,
\[\int{3{{x}^{2}}-2x}\]Muammo shundaki, \(dx\) bizga integral qaerda to'xtashini aytadi! Demak, bu turli xil narsalarni anglatishi mumkin.
\[\begin{align*} \int{3{{x}^{2}}-2xdx} & ={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+c \hspace{0.5in} \text{OR} \\ \int{3{{x}^{2}}dx}-2x & ={{x}^{3}}-2x+c \\\end{align*}\]Dx bo'lmasa, o'quvchi integral qayerda tugashini sinab ko'rishi va sezishi mumkin! Buni o'ylashning eng yaxshi usuli - qavs har doim "(" va ")" juft bo'lib keladi. Qavslar to‘plamini yopmasdan ochmaysiz. Xuddi shunday, \(\int{{}}\) har doim \(dx\) bilan bog'lanadi. Siz har doim \(\int{{}}\) ni ochilish qavs, \(dx\) ni esa yopish qavs deb o'ylashingiz mumkin.
Men muntazam ravishda ko'rib turgan yana bir tushib qolgan notatsiya xatosi aniq integrallar bilan bog'liq. Talabalar birinchi qadamdan keyin integratsiya chegaralaridan voz kechishadi va muammoning qolgan qismini hal qilishadi nazarda tutilgan integratsiya chegaralari quyidagicha.
\[\int_{\,1}^{\,2}{x\left( 3x-2 \right)dx}=\int{3{{x}^{2}}-2xdx}={{x}^{3}}-{{x}^{2}}=8-4-\left( 1-1 \right)=4\]Shunga qaramay, bu erda birinchi tenglik mantiqiy emas! Aniq integralning javobi son, noaniq integralning javobi esa funksiyadir. Yuqoridagi kabi yozilsa, siz aniq integralga javob va noaniq integralga javob bir xil bo'lsa, ular aniq emasligini aytasiz!
Xuddi shunday, ikkinchidan oxirgi tenglik mantiqiy emas. Bu erda siz \({{x}^{3}}-{{x}^{2}}\) funksiyasi \(8-4-\left( 1-1 \right)=4\) ga teng ekanligini aytyapsiz va bu to'g'ri emas! Mana bu muammoni hal qilishning to'g'ri yo'li.
\[\int_{\,1}^{\,2}{x\left( 3x-2 \right)dx}=\int_{\,1}^{\,2}{3{{x}^{2}}-2xdx}=\left. \left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}} \right) \right|_{1}^{2}=8-4-\left( 1-1 \right)=4\]Umumiy belgilarning yo'qolishi
Men muhokama qilgan oldingi uchta mavzuning barchasi, birinchi navbatda, hisob-kitoblarni o'rganayotgan talabalar muntazam ravishda yo'l qo'yadigan yozuv xatolarining misollari edi. Bunday xatolardan ehtiyot bo'ling. Siz nima demoqchi ekanligingizni bilishingiz mumkin, ammo noto'g'ri belgilash butunlay boshqacha narsani anglatishi mumkin.
Yozma matematika ko'p jihatdan tilga o'xshashligini unutmang. Agar kimgadir aytmoqchi bo'lsangiz
Siz xabarga begona deb hisoblagan so'zlarni tashlab, shunchaki aytmaysiz
Bu ma'nosiz va siz gaplashayotgan odam siz chanqaganingizni va biror narsa ichishni xohlayotganingizni tushunishi mumkin. Ular, albatta, siz suv ichishni xohlayotganingizni yoki siz uchun suv olishni so'raganingizni tushunishmaydi. Siz shuni xohlayotganingizni bilasiz, lekin bu ikki so'z buni hech kimga bildirmaydi.
Bu sizga bema'ni misol bo'lib tuyulishi mumkin, chunki siz hech qachon bunday ishni qilmaysiz. Siz ikkita so'zni emas, balki butun jumlani berasiz, chunki siz bu ikki so'zni aytish qanchalik chalkash bo'lishini yaxshi bilasiz. Biroq, bu misolning mohiyati.
Siz og'zaki tilda muhim so'zlarni o'tkazib yuborishdan ko'ra yaxshiroq bilasiz, shuning uchun matematika tilini yozishda muhim belgilarni (ya'ni so'zlarni) o'tkazib yubormaslik kerak. Siz ular xabarning muhim qismlari emas deb o'ylashingiz mumkin, lekin ular. Siz yozgan xabarni o'qiyotgan har bir kishi, siz ushbu muhim yozuv qismlarini yozishni e'tiborsiz qoldirganingizni bilishi shart emas va siz bermoqchi bo'lgan xabarni noto'g'ri o'qib chiqishingiz mumkin.
Shunday qilib, to'g'ri belgi bilan ehtiyot bo'ling. Mening sinfimda men siz yozmoqchi bo'lgan "xabar" ni emas, balki "xabar" ni baholayman. Men sizning fikringizni o'qiy olmayman, shuning uchun ham harakat qilmayman. Agar uy vazifangizni yoki imtihoningizni baholashda men o'qigan "xabar" noto'g'ri bo'lsa, men uni mos ravishda baholayman.
Integratsiya konstantasi tushib ketdi
Noaniq integrallarga (\(+c\) qismi) integrasiya konstantasini tushirish talabalar integratsiyada yo‘l qo‘yadigan eng katta xatolardan biridir. Bu yerda talabalarning ikkita xatosi bor. Ba'zi talabalar uni umuman qo'ymaydilar, boshqalari esa uni oraliq bosqichlardan tashlab, so'ngra yakuniy javobga yopishtiradilar.
Uni umuman o'z ichiga olmaganlar odatda noaniq integrallar biz integrandni (biz integratsiyalashgan funktsiyani) olish uchun farqlashimiz mumkin bo'lgan eng umumiy mumkin bo'lgan funksiyani berishini eslamaydigan (yoki hech qachon tushunmagan) talabalardir. Bu doimiyni kiritishimiz kerak bo'lgan eng umumiy funktsiya bo'lgani uchun, chunki konstantalar nolga farqlanadi.
Uni barcha oraliq bosqichlardan tashlab, oxirida uni hal qiladiganlar uchun boshqa muammolar mavjud. O'ylaymanki, muammo shu (aslida, ehtimol, ko'pchilik) talabalar integratsiya doimiyligini kiritish nima uchun muhimligini tushunmaydilar. Bu qisman sinfning o'zi bilan bog'liq muammo. Hisoblash darslarida integratsiya konstantasi nima uchun juda muhim ekanligi yoki keyingi bosqichlarda qanday paydo bo'lishi haqida yaxshi misollar yo'q.
Integratsiya konstantalari asosiy rol o'ynaydigan birinchi o'rin differensial tenglamalarning birinchi kursidir. Bu erda integratsiya doimiysi muammoning o'rtasida paydo bo'ladi. Agar u o'sha erda tushib qolsa va keyin oxirgi javobga qo'shilsa yoki umuman kiritilmasa, javob juda noto'g'ri bo'ladi. Javob noto'g'ri bo'lmaydi, chunki o'qituvchi konstantasiz noto'g'ri ekanligini yoki u faqat oxirgi bosqichda qo'shilganligini aytdi. Javob noto'g'ri bo'ladi, chunki uni tashlab qo'ymasdan olgan funksiyangiz uni tashlab qo'ysangiz, siz olgan funksiyadan butunlay farq qiladi!
\(\frac{1}{0}\) va \(\frac{1}{\infty }\) haqida noto'g'ri tushunchalar
Bu o'quvchilarning haqiqiy xatosi haqida emas, balki ba'zida xatolarga olib kelishi mumkin bo'lgan noto'g'ri tushunchadir. Bu ham noto'g'ri tushuncha bo'lib, ko'pincha o'qituvchining dangasaligi sabab bo'ladi.
Xo'sh, bu noto'g'ri tushuncha nima? Ko'pincha biz \(\frac{1}{\infty }=0\) va \(\frac{1}{0}=\infty \) yozamiz. Muammo shundaki, ularning hech biri texnik jihatdan to'g'ri emas va aslida ikkinchisi, vaziyatga qarab, aslida \(\frac{1}{0}=-\infty \) bo'lishi mumkin. Bularning uchtasi haqiqatan ham chegaralardir va biz ularni shunchaki qisqartiramiz. Biz haqiqatan ham yozishimiz kerak bo'lgan narsa
\[\begin{align*} \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x} & =0 \\ \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x} & =\infty \\ \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x} & =-\infty \\\end{align*}\]Birinchi holda 1 borgan sari kattaroq narsa borgan sari kichikroq va shunga o'xshash chegarasida biz nolga erishamiz. Oxirgi ikki holatda biz bir tomonlama cheklovlardan foydalanishimiz kerakligini yodda tuting, chunki \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}\) hatto mavjud emas! Bu ikki holatda, borgan sari kichikroq narsa ustidagi 1 borgan sari katta bo'lib, maxraj belgisiga ega bo'ladi va shuning uchun chegarada u \(\infty \) yoki \(-\infty \) ga o'tadi.
Noaniq shakllar
Bu aslida oldingi mavzuni umumlashtirish. Yuqoridagi ikkita amal, \(\infty -\infty \) va \(\frac{\infty }{\infty }\) chaqiriladi noaniq shakllar chunki ular uchun yagona qiymat yo'q. Vaziyatga qarab, ular javoblarning juda keng doirasiga ega.
Siz e'tibor berishingiz kerak bo'lgan yana ko'p noaniq shakllar mavjud. Oldingi muhokamada bo'lgani kabi, vaziyatni hisobga olmasdan ularning qiymatini aniqlashning hech qanday usuli yo'q. Bu erda bir nechta keng tarqalgan noaniq shakllar mavjud.
\[\begin{array}{cccc} \infty -\infty \hspace{0.25in} & \displaystyle \frac{\infty }{\infty } \hspace{0.25in} & \displaystyle \frac{0}{0} \hspace{0.25in} & 0\cdot \infty \\ {{0}^{0}} \hspace{0.25in} & {{1}^{\infty }} \hspace{0.25in} & {{\infty }^{0}} \hspace{0.25in} & \\ \end{array}\]Potentsial muammolarni ko'rish uchun \({{0}^{0}}\) ni qisqacha ko'rib chiqaylik. Bu erda haqiqatan ham bir-biriga zid bo'lgan ikkita alohida qoida mavjud. Odatda bizda \({{0}^{n}}=0\) (\(n\) ijobiy bo'lsa) va \({{a}^{0}}=1\) mavjud. Ushbu qoidalarning har biri biz turli xil javoblarni olishimiz mumkinligini anglatadi. Vaziyatga qarab, biz bu erda javob sifatida 0 yoki 1 ni olishimiz mumkin. Aslida, bu erda ham javob sifatida 0 yoki 1 dan butunlay boshqacha narsani olish mumkin.
Bu erda sanab o'tilgan barcha boshqa muammolar shunga o'xshash muammolarga ega. Shunday qilib, noaniq shakllar bilan shug'ullanayotganda, ehtiyot bo'lishingiz va qiymat haqida shoshilmaslik kerak.
Cheksizlikni raqam sifatida ko'rib chiqish
Keyingi munozarada men faqat haqiqiy raqamlar bilan ishlamoqchiman (kompleks sonlar bilan hamma narsa boshqacha bo'lishi mumkin). Shuningdek, men abadiylikni (\(\infty \)) haqiqatan ham juda katta raqam deb o'ylayman. Bu texnik jihatdan to'g'ri emas, chunki cheksizlik haqiqatan ham cheksizlik holatini yoki biron bir yo'nalishda chegarasiz holatni bildiruvchi tushunchadir. Raqam chizig'i bo'yicha cheksizlik (\(\infty \)) hech qachon to'xtamasdan ijobiy yo'nalishda harakatlanishni bildiradi. Xuddi shunday, son chizig'idagi manfiy cheksizlik (\(-\infty \)) hech qachon to'xtamasdan manfiy yo'nalishda harakatlanishni bildiradi.
Cheksizlikning kontseptual ta'rifi bilan bog'liq muammo shundaki, ko'p talabalar cheksizlikni o'z ichiga olgan arifmetika bilan shug'ullanishda qiynaladilar, chunki ular uning kontseptual ta'rifi haqida o'ylashadi. Ammo, agar biz uni haqiqatan ham juda katta raqam deb atasak, bu biroz yordam berganga o'xshaydi, shuning uchun men bu muhokamaning maqsadlari uchun shunday deb o'ylayman.
Ko'pgina talabalar hisob darsidan oldin bir vaqtning o'zida cheksizlikni bosib o'tishgan. Biroq, ular buni ko'rib chiqishganida, bu haqiqatan ham katta ijobiy yoki salbiy sonni ifodalash uchun ishlatiladigan belgi edi va bu uning hajmi edi. Hisoblash sinfiga kirgandan so'ng, talabalardan cheksiz algebrani bajarish so'raladi va bu erda ular muammoga duch kelishadi. Cheksizlik bu raqam emas va ko'pincha raqam kabi harakat qilmaydi. Ikki nolga teng bo'lmagan raqamni qo'shsangiz, siz yangi raqam olasiz. Masalan, \(4+7=11\). Cheksizlik bilan bu to'g'ri emas. Cheksizlik bilan sizda quyidagilar mavjud.
\[\begin{align*} \infty +a & =\infty \hspace{0.5in} \text{where }a\ne -\infty \\ \infty +\infty & =\infty \end{align*}\]Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, haqiqatan ham katta musbat raqam (\(\infty \)) va har qanday ijobiy raqam, kattaligidan qat'i nazar, hali ham haqiqatan ham, haqiqatan ham katta ijobiy raqam. Xuddi shunday, siz salbiy raqam qo'shishingiz mumkin (i.e. \(a<0\)) haqiqatan ham, haqiqatan ham katta ijobiy raqamga va haqiqatan ham katta va ijobiy bo'lib qoladi. Shunday qilib, agar siz ehtiyot bo'lsangiz, cheksizlik bilan bog'liq qo'shimchani intuitiv tarzda hal qilish mumkin. Shuni ham yodda tutingki, \(a\) manfiy cheksizlik bo'lmasligi kerak. Agar shunday bo'lsa, biz hal qilishimiz kerak bo'lgan jiddiy muammolar mavjud.
Salbiy cheksizlik bilan olib tashlash ham intuitiv tarzda hal qilinishi mumkin. Haqiqatan ham katta manfiy son, uning kattaligidan qat'i nazar, har qanday musbat sonni olib tashlagan holda, baribir haqiqatdan ham katta manfiy sondir. Haqiqatan ham katta manfiy sondan manfiy sonni (masalan, \(a<0\)) ayirsak, baribir haqiqatan ham katta manfiy son bo‘ladi. Yoki,
\[\begin{align*} -\infty -a & =-\infty \hspace{0.5in} \text{where }a\ne -\infty \\ -\infty -\infty & =-\infty \end{align*}\]Shunga qaramay, \(a\) potentsial jiddiy qiyinchiliklardan qochish uchun salbiy cheksizlik bo'lmasligi kerak.
Ko'paytirishni ham intuitiv tarzda hal qilish mumkin. Haqiqatan ham katta son (ijobiy yoki manfiy) har qanday sonning kattaligidan qat'i nazar, baribir haqiqatan ham juda katta raqamdir. Ko'paytirish holatida bizda mavjud
\[\begin{align*} \left( a \right)\left( \infty \right) & =\infty & \hspace{0.25in} & \text{if }a>0 \\ \left( a \right)\left( \infty \right) & =-\infty & \hspace{0.25in} & \text{if }a<0 \\ \left( \infty \right)\left( \infty \right)&=\infty & & \\ \left( -\infty \right)\left( -\infty \right)& =\infty & & \\ \left( -\infty \right)\left( \infty \right) & =-\infty & & \end{align*}\]Ijobiy va manfiy sonlarning ko'paytmalari haqida bilganlaringiz hali ham to'g'ri.
Bo'linishning ba'zi shakllarini intuitiv tarzda ham hal qilish mumkin. Haqiqatan ham juda katta son unchalik katta bo'lmagan songa bo'linib, haqiqatan ham juda katta raqam.
\[\begin{align*} \frac{\infty }{a} & =\infty & \hspace{0.25in} & \text{if }a>0 \\ \frac{\infty }{a} & =-\infty & \hspace{0.25in} & \text{if }a<0 \\ \frac{-\infty }{a} & =-\infty & \hspace{0.25in} & \text{ if }a>0 \\ \frac{-\infty }{a} & = \infty & \hspace{0.25in} & \text{ if }a<0 \end{align*}\]Raqamni cheksizlikka bo'lish biroz intuitiv, ammo siz bilishingiz kerak bo'lgan bir nechta nozikliklar mavjud. Men bu haqda bo'limda batafsilroq gaplashaman \(\frac{1}{0}\) va \(\frac{1}{\infty }\) haqida noto'g'ri tushunchalar yuqorida, lekin bu haqda o'ylashning bir usuli quyidagicha. Juda katta bo'lmagan son cheksizlikka bo'linadi (haqiqatan ham, juda katta raqam) juda, juda, juda kichik sondir. Boshqacha aytganda,
\[\begin{align*} \frac{a}{\infty }&=0 \\ \frac{a}{-\infty }&=0 \end{align*}\]Shunday qilib, men cheksizlik bilan bog'liq deyarli barcha asosiy algebraik operatsiyalarni ko'rib chiqdim. Men hali ko'rib chiqmagan ikkita holat bor. Bular
\[\begin{align*} & \infty -\infty =\text{?} \\ & \frac{\pm \,\infty }{\pm \,\infty }=? \\\end{align*}\]Bu ikkita muammo shundaki, sezgi bu erda yordam bermaydi. Haqiqatan ham, juda katta son minus haqiqatdan ham katta son har qanday narsa bo'lishi mumkin (\(-\infty \), doimiy yoki \(\infty \)). Xuddi shunday, haqiqatan ham, haqiqatan ham katta songa bo‘lingan, haqiqatan ham, katta son ham har qanday narsa bo‘lishi mumkin (\(\pm \,\infty \) - bu belgi masalalariga, 0 yoki nolga teng bo‘lmagan doimiyga bog‘liq).
Bu erda eslab qolishingiz kerak bo'lgan narsa shundaki, u erda haqiqatan ham juda katta raqamlar bor, keyin esa haqiqatan ham, haqiqatan ham juda katta raqamlar mavjud. Boshqacha qilib aytganda, ba'zi cheksizliklar boshqa cheksizliklarga qaraganda kattaroqdir. Qo'shimcha, ko'paytirish va bo'linishning birinchi to'plamlari bilan men ishladim, bu muammo emas. Cheksizlikning umumiy o'lchami javobga ta'sir qilmaydi. Biroq, yuqorida sanab o'tgan ayirish va bo'linish bilan siz ko'rganingizdek, bu muhim.
Mana, ba'zi cheksizliklar boshqalardan kattaroq degan fikrni o'ylashning bir usuli. Bu bu haqda o'ylashning juda quruq va texnik usuli va sizning hisob-kitob muammolaringiz bu narsalarni hech qachon ishlatmasligi mumkin, ammo bu bunga qarashning yaxshi usuli. Shuni ham yodda tutingki, men bu erda biron bir narsani aniq isbotlamoqchi emasman. Men sizga cheksizlik bilan bog'liq muammolar va qanday qilib ba'zi cheksizliklarni boshqalardan kattaroq deb hisoblash mumkinligi haqida bir oz tushuncha berishga harakat qilaman. Yaxshiroq (va aniqroq) muhokama qilish uchun qarang:
http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/infinity.pdfKeling, nechta butun son borligini ko'rib chiqaylik. Shubhasiz, umid qilamanki, ularning cheksiz soni bor, lekin keling, bu cheksizlikning "o'lchamini" yaxshiroq tushunishga harakat qilaylik. Shunday qilib, tasodifiy ikkita butun sonni tanlang. Ikkisining kichigidan boshlang va undan keyin keladigan barcha sonlarni ortib boruvchi tartibda sanab chiqing. Oxir-oqibat biz siz tanlagan ikkita butun sondan kattasiga erishamiz.
Ikkita butun sonning nisbiy kattaligiga qarab, ular orasidagi barcha butun sonlarni sanab o'tish juda va juda uzoq vaqt talab qilishi mumkin va buni amalga oshirishning maqsadi yo'q. Ammo, agar biz xohlasak, buni qilish mumkin edi va bu muhim qism.
Biz barcha bu butun sonlarni tasodifiy tanlangan ikkita butun sonlar orasida sanab o'tishimiz mumkin bo'lganligi sababli, biz butun sonlar deb aytamiz. hisoblash mumkin bo'lgan cheksiz. Shunga qaramay, buni amalga oshirish uchun haqiqiy sabab yo'q, agar biz buni tanlasak, buni qilish mumkin.
Umuman olganda, raqamlar to'plami, agar biz ularning barchasini sanab o'tish yo'lini topsak, cheksiz deb ataladi. Aniqroq matematik sharoitda bu odatda a deb ataladigan maxsus turdagi funksiya bilan amalga oshiriladi bijeksiyon to'plamdagi har bir sonni musbat butun sonlardan biri bilan bog'laydi. Bu haqda qo'shimcha ma'lumot olish uchun yuqorida keltirilgan pdf-ga qarang.
Shuni ham ko'rsatish mumkinki, barcha kasrlar to'plami ham sanab bo'ladigan cheksizdir, garchi buni ko'rsatish biroz qiyinroq va bu muhokamaning maqsadi emas. Buning isbotini ko'rish uchun yuqorida keltirilgan pdf ga qarang. Bu haqiqatning juda yaxshi isboti bor.
Keling, \( (0,1) \) oralig'ida nechta raqam borligini aniqlashga harakat qilib, buni taqqoslaylik. Raqamlar deganda men noldan birgacha boʻlgan barcha mumkin boʻlgan kasrlarni, shuningdek, noldan birgacha boʻlgan barcha mumkin boʻlgan oʻnli kasrlarni (bu kasrlar emas) nazarda tutyapman. Quyidagilar yuqoridagi pdf-da keltirilgan dalilga o'xshaydi, lekin etarlicha yaxshi va oson edi (umid qilamanki), men uni bu erga qo'shmoqchi edim.
Boshlash uchun, \( (0,1) \) oralig'idagi barcha raqamlarni hisoblash mumkin bo'lgan cheksiz deb faraz qilaylik. Bu shuni anglatadiki, ularning barchasini ro'yxatga olishning bir usuli bo'lishi kerak. Bizda quyidagilar bo'lishi mumkin,
\[\begin{align*} {{x}_{1}}& = 0.692096\cdots \\ {{x}_{2}}& = 0.171034\cdots \\ {{x}_{3}}& = 0.993671\cdots \\ {{x}_{4}}& = 0.045908\cdots \\ \vdots & \hspace{0.65in} \vdots \end{align*}\]Endi, quyida ko'rsatilganidek, \({{x}_{i}}\) dan \(i^{th}\) kasrni tanlang
\[\begin{align*} {{x}_{1}} & = 0.\underline{6}92096\cdots \\ {{x}_{2}} & = 0.1\underline{7}1034\cdots \\ {{x}_{3}} & = 0.99\underline{3}671\cdots \\ {{x}_{4}} & = 0.045\underline{9}08\cdots \\ \vdots & \hspace{0.65in} \vdots \end{align*}\]va bu raqamlar bilan yangi raqam hosil qiling. Shunday qilib, bizning misolimiz uchun biz raqamga ega bo'lamiz
\[x=0.6739\cdots \]Ushbu yangi kasrda barcha 3 ni 1 bilan almashtiring va keyin har bir boshqa raqamni 3 bilan almashtiring. Bizning misolimizda bu yangi raqamni beradi.
\[\overline{x}=0.3313\cdots \]E'tibor bering, bu raqam \( (0,1) \) oralig'ida joylashgan va biz raqamning raqamlarini qanday tanlaganimizni hisobga olsak, bu raqam bizning ro'yxatimizning birinchi raqami \({{x}_{1}}\) bilan teng bo'lmaydi, chunki har birining birinchi raqami bir xil bo'lmasligi kafolatlanadi. Xuddi shunday, bu yangi raqam bizning ro'yxatimizdagi ikkinchi raqam bilan bir xil raqamga ega bo'lmaydi, \({{x}_{2}}\), chunki har birining ikkinchi raqami bir xil bo'lmasligi kafolatlanadi. Shu tarzda davom ettirsak, biz yaratgan yangi raqam \(\overline{x}\) bizning ro'yxatimizda bo'lmasligi kafolatlanganligini ko'rishimiz mumkin. Ammo bu biz \( (0,1) \) oralig'idagi barcha raqamlarni sanab o'tishimiz mumkin degan dastlabki taxminga zid keladi. Demak, \( (0,1) \) oralig'idagi barcha raqamlarni sanab o'tishning iloji bo'lmasligi kerak.
Biz ro'yxatga yozib bo'lmaydigan (0,1) raqamlari kabi raqamlar to'plami deyiladi. behisob cheksiz.
Bu haqda o'tishning sababi quyidagicha. Hisoblab bo'lmaydigan cheksiz cheksiz cheksiz cheksizlikdan sezilarli darajada kattaroqdir. Shunday qilib, agar biz ikkita cheksizlikning farqini olsak, bizda bir nechta imkoniyatlar mavjud.
\[\begin{align*} \infty \left( \text{uncountable} \right)-\infty \left( \text{countable} \right) & =\infty \\ \infty \left( \text{countable} \right)-\infty \left( \text{uncountable} \right)& =-\infty \end{align*}\]E'tibor bering, biz bir xil turdagi ikkita cheksizlik farqini qo'ymadik. Kontekstga qarab, bu holatda javob qanday bo'lishi haqida hali ham noaniqlik bo'lishi mumkin, ammo bu butunlay boshqa mavzu.
Cheksizlik koeffitsientlari uchun ham shunga o'xshash narsani qilishimiz mumkin.
\[\begin{align*} \frac{\infty \left( \text{countable} \right)}{\infty \left( \text{uncountable} \right)} & =0 \\ \frac{\infty \left( \text{uncountable} \right)}{\infty \left( \text{countable} \right)} & =\infty \end{align*}\]Shunga qaramay, biz bir xil turdagi ikkita cheksizlikdan qochdik, chunki yana kontekstga qarab, uning qiymatida noaniqliklar bo'lishi mumkin.