1.9-bo'lim : Eksponensial va logarifm tenglamalari
2. \(1 = 10 - 3{{\bf{e}}^{{z^{\,2}} - 2\,z}}\) ning barcha yechimlarini toping. Agar yechimlar bo'lmasa, sababini aniq tushuntiring.
Yechim
Bu tenglama uchun bu erda ko'p narsa qilish kerak emas. Birinchidan, biz eksponensialni bir tomondan bir koeffitsient bilan izolyatsiya qilishimiz kerak.
\[ - 9 = - 3{{\bf{e}}^{{z^{\,2}} - 2\,z}}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}{{\bf{e}}^{{z^{\,2}} - 2\,z}} = 3\]2-qadam
Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa ikkala tomonning natural logarifmini olish va keyin \(z\) ni hal qilishdir.
\[\begin{align*}\ln \left( {{{\bf{e}}^{{z^{\,2}} - 2\,z}}} \right) & = \ln \left( 3 \right)\\ {z^2} - 2z & = \ln \left( 3 \right)\\ {z^2} - 2z - \ln \left( 3 \right) & = 0\end{align*}\]Endi, yechimni davom ettirishdan oldin, keling, to'xtatib turamiz va yuqoridagi kvadratning "g'alatiligi" haqida juda hayajonlanmasligimizga ishonch hosil qilamiz. Agar biz kvadratga ega bo'lganimizda,
\[{z^2} - 2z - 5 = 0\]masalan, yechimlarni olish uchun kvadrat formuladan foydalanishimiz kerakligini bilamiz.
Bizning ishimizdan ega bo'lgan kvadratik uchun bizga kerak bo'lgan hamma narsa shu. Albatta, bizda 5 ga ega emas, bizda ln(3) bor, lekin ln(3) shunchaki raqam va shuning uchun bu yerda ham yechimlarni topish uchun kvadrat formuladan foydalanishimiz mumkin. Mana buning uchun ish.
\[\begin{align*}z & = \frac{{ - \left( { - 2} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} - 4\left( 1 \right)\left( { - \ln \left( 3 \right)} \right)} }}{{2\left( 1 \right)}} = \frac{{2 \pm \sqrt {4 + 4\ln \left( 3 \right)} }}{2}\\ & = \frac{{2 \pm \sqrt {4\left( {1 + \ln \left( 3 \right)} \right)} }}{2} = \frac{{2 \pm 2\sqrt {1 + \ln \left( 3 \right)} }}{2} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{1 \pm \sqrt {1 + \ln \left( 3 \right)} = - 0.4487,\,\,\,2.4487}}\end{align*}\]E'tibor bering, biz ildizda biroz soddalashtirdik. Buni qilish shart emas, lekin aniq yechimni hal qilishni biroz osonlashtirishi mumkin. Bundan tashqari, sizning afzalliklaringizga qarab, aniq yoki o'nlik echimdan foydalanish mumkin.
Ushbu yechimni tark etishdan oldin yana shuni ta'kidlashimiz kerakki, barcha kvadratiklar siz Algebra sinfidan echishga odatlangan "oddiy" turdagi kvadratiklar bo'lmaydi. Ular bulardan ko'ra chigalroq bo'lishi mumkin va ko'pincha bo'ladi. Bu siz ularni hal qila olmaysiz degani emas. Ular barcha maqsadlar va maqsadlar uchun siz ishlashga odatlangan muammolar turlari bilan bir xil. Yagona haqiqiy farq shundaki, ularning soni biroz chalkashroq.
Shunday ekan, bunday muammodan juda hayajonlanmang. Ular vaqti-vaqti bilan sodir bo'ladi va siz ularni hal qilishga qodirsiz!