10.6-bo'lim: Integral test
Oldingida biz muhokama qilgan oxirgi mavzu garmonik qator edi. Bu munozarada biz garmonik qator divergent qator ekanligini aytdik. Endi bu bayonotni isbotlash vaqti keldi. Bu dalil, shuningdek, biz ko'rib chiqayotgan konvergentsiya uchun navbatdagi sinovimizga kirishga yordam beradi.
Shunday qilib, biz harmonik qator ekanligini isbotlashga harakat qilamiz,
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}} \]farqlanadi.
Biz buni bir-biriga bog'liq bo'lmagan muammoni ko'rib chiqishdan boshlaymiz. Keling, \(\left[ {1,\infty } \right)\) oralig'ida \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\) ostidagi maydon nima ekanligini so'rashdan boshlaylik. Bo'limdan boshlab Noto'g'ri integrallar bilamizki, bu,
\[\int_{{\,1}}^{{\,\infty }}{{\frac{1}{x}\,dx}} = \infty \]va shuning uchun biz bu integralni divergent deb nomladik (ha, biz bu erda seriyalar bilan bir xil atamani ishlatamiz ....).
Xo'sh, bu garmonik qatorlar ajralib turishini isbotlashga qanday yordam beradi? Esda tutingki, biz har doim intervalni segmentlarga bo'lish va keyin to'rtburchaklar chizmalarini chizish va barcha to'rtburchaklar maydonining yig'indisidan haqiqiy maydonni baholash orqali maydonni baholashimiz mumkin. Keling, bu muammo uchun ham shunday qilaylik va biz nimani olishimizni ko'rib chiqaylik.
Biz intervalni 1 kenglikdagi kichik intervallarga ajratamiz va biz chap tomondagi funktsiya qiymatini to'rtburchakning balandligi sifatida qabul qilamiz. Quyidagi rasmda ushbu maydon uchun dastlabki bir nechta to'rtburchaklar ko'rsatilgan.
Shunday qilib, egri chiziq ostidagi maydon taxminan,
\[\begin{align*}A & \approx \left( {\frac{1}{1}} \right)\left( 1 \right) + \left( {\frac{1}{2}} \right)\left( 1 \right) + \left( {\frac{1}{3}} \right)\left( 1 \right) + \left( {\frac{1}{4}} \right)\left( 1 \right) + \left( {\frac{1}{5}} \right)\left( 1 \right) + \cdots \\ & = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots \\ & = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}} \end{align*}\]Endi bu yaqinlashish haqida bir nechta narsaga e'tibor bering. Birinchidan, to'rtburchaklarning har biri haqiqiy maydonni ortiqcha baholaydi va ikkinchidan, maydon uchun formula aynan garmonik qatordir!
Bu ikki faktni birlashtirib, quyidagi xulosaga keladi:
\[A \approx \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}} > \int_{{\,1}}^{{\,\infty }}{{\frac{1}{x}\,dx}} = \infty \]E'tibor bering, bu bizda quyidagi holat bo'lishi kerakligini bildiradi:
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}} > \infty \hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}} = \infty \]Biz cheksizlikdan kattaroq bo'la olmasligimiz sababli, garmonik qatorlar ham cheksiz qiymatga ega bo'lishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, garmonik qator aslida bir-biridan farq qiladi.
Shunday qilib, biz ketma-ketlikni hisoblashimiz mumkin bo'lgan noto'g'ri integral bilan bog'lashga muvaffaq bo'ldik va ma'lum bo'lishicha, noto'g'ri integral va qatorlar aynan bir xil konvergentsiyaga ega.
Keling, bu birlashuvchi seriya uchun ham to'g'ri bo'ladimi yoki yo'qligini bilib olaylik. ni muhokama qilganda Divergentsiya testi deb da'vo qildik
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} \]birlashadi. Keling, buni isbotlash uchun yuqoridagi jarayonga o'xshash biror narsa qila olamizmi, bilib olaylik.
Biz buni \(\left[ {1,\infty } \right)\) oralig'ida joylashgan \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\) ostidagi maydon bilan bog'lashga harakat qilamiz. Yana, dan Noto'g'ri integral Biz buni bilamiz bo'lim,
\[\int_{{\,1}}^{{\,\infty }}{{\frac{1}{{{x^2}}}\,dx}} = 1\]and so this integral converges.
Biz yana bir bor ushbu egri chiziq ostidagi maydonni taxmin qilishga harakat qilamiz. Biz buni oldingi qismga o'xshash tarzda qilamiz, bundan mustasno, to'rtburchaklar balandligi uchun chap nuqtalarni ishlatish o'rniga biz o'ng nuqtalardan foydalanamiz. Here is a sketch of this case,
In this case the area estimation is,
\[\begin{align*}A & \approx \left( {\frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( 1 \right) + \left( {\frac{1}{{{3^2}}}} \right)\left( 1 \right) + \left( {\frac{1}{{{4^2}}}} \right)\left( 1 \right) + \left( {\frac{1}{{{5^2}}}} \right)\left( 1 \right) + \cdots \\ & = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{5^2}}} + \cdots \end{align*}\]Bu safar, birinchi holatdan farqli o'laroq, hudud haqiqiy maydonni kam baholaydi va baholash biz ishlayotgan qator emas. E'tibor bering, yagona farq shundaki, biz birinchi muddatni o'tkazib yuboramiz. This means we can do the following,
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \underbrace {\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{5^2}}} + \cdots }_{{\mbox{Area Estimation}}} < 1 + \int_{{\,1}}^{{\,\infty }}{{\frac{1}{{{x^2}}}\,dx}} = 1 + 1 = 2\]Or, putting all this together we see that,
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} < 2\]Garmonik seriyalar bilan biz seriyaning farqli ekanligini aytishimiz kerak bo'lgan narsa shu edi. Biroq, bu seriya bilan bu etarli emas. Masalan, \( - \infty < 2\) va agar seriya \( - \infty \) qiymatiga ega bo'lsa, u divergent bo'lar edi (biz konvergent bo'lishni xohlaganimizda). So, let’s do a little more work.
Birinchidan, keling, barcha ketma-ket atamalar ijobiy (bu muhim) va qisman summalar,
\[{s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{i^2}}}} \]Shartlar ijobiy bo'lgani uchun biz bilamizki, qisman summalar ortib borayotgan ketma-ketlik bo'lishi kerak. Boshqacha aytganda,
\[{s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{i^2}}}} < \sum\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{1}{{{i^2}}}} = {s_{n + 1}}\]In sn+1 we are adding a single positive term onto sn va shuning uchun kattalashishi kerak. Shuning uchun, qisman yig'indilar ortib borayotgan (va shuning uchun monotonik) ketma-ketlikni hosil qiladi.
Shuni ham yodda tutingki, shartlarning barchasi ijobiy bo'lganligi sababli, biz aytishimiz mumkin:
\[{s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{i^2}}}} < \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} < 2\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,{s_n} < 2\]va shuning uchun qisman yig'indilar ketma-ketligi chegaralangan ketma-ketlikdir.
In ikkinchi bo'lim Ketma-ketliklar bo'yicha biz chegaralangan va monotonik ketma-ketlikning yaqinlashishi kafolatlanganligini bildiruvchi teorema berdik. Demak, qisman yig‘indilar ketma-ketligi konvergent ketma-ketlikdir. Xo'sh, kimga to'g'ri keladi? Esingizda bo'lsin, bu seriyalar ham konvergent bo'lishi kerakligini anglatadi!
Shunday qilib, biz yana bir bor ketma-ketlikni noto'g'ri integralga (hisoblashimiz mumkin bo'lgan) bog'lay oldik va qator va integral bir xil yaqinlashuvga ega edi.
Ikkala seriyaning yaqinligini aniqlash uchun biz ushbu ikkala misolda juda ko'p ish qildik. Yaxshiyamki, biz bu ishni har safar qilishimiz shart emas. Ushbu ikki misoldagi fikrlarni quyidagi testda umumlashtirish mumkin.
Integral test
Faraz qilaylik, \(f\left( x \right)\) \(\left[ {k,\infty } \right)\) oralig'ida uzluksiz, musbat va kamayuvchi funktsiya bo'lib, \(f\left( n \right) = {a_n}\) u holda,
- Agar \(\displaystyle \int_{{\,k}}^{{\,\infty }}{{f\left( x \right)\,dx}}\) konvergent bo'lsa, \(\displaystyle \sum\limits_{\,n = k}^\infty {{a_n}} \) ham shunday.
- Agar \(\displaystyle \int_{{\,k}}^{{\,\infty }}{{f\left( x \right)\,dx}}\) divergent bo'lsa, \(\displaystyle \sum\limits_{\,n = k}^\infty {{a_n}} \) ham farqlanadi.
Rasmiy dalil Ushbu testni ushbu bo'lim oxirida topish mumkin.
Integral test haqida bir nechta narsani e'tiborga olish kerak. Birinchidan, noto'g'ri integralning pastki chegarasi qatorni boshlaydigan qiymat bo'lishi kerak.
Ikkinchidan, funktsiya intervalning hamma joyida kamayishi va ijobiy bo'lishi shart emas. Haqiqatan ham talab qilinadigan narsa, oxir-oqibat funktsiyaning pasayishi va ijobiy bo'lishidir. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, funktsiya (shuning uchun seriyali a'zolar) bir muncha vaqt oshib yoki manfiy bo'lsa, yaxshi bo'ladi, lekin oxir-oqibat funktsiya (seriya shartlari) kamayishi va barcha shartlar uchun ijobiy bo'lishi kerak. Nima uchun bu haqiqat ekanligini bilish uchun keling, \(k \le n \le N\) diapazonida ketma-ket atamalar ortadi yoki manfiy bo‘ladi, keyin esa \(n \ge N + 1\) uchun kamayadi va ijobiy bo‘ladi, deb faraz qilaylik. Bu holda qatorni quyidagicha yozish mumkin:
\[\sum\limits_{\,n = k}^\infty {{a_n}} = \sum\limits_{\,n = k}^N {{a_n}} + \sum\limits_{\,n = N + 1}^\infty {{a_n}} \]Endi, birinchi qator cheklangan atamalarning cheklangan yig'indisidan boshqa narsa emas (\(N\) qanchalik katta bo'lmasin) va shuning uchun ham chekli bo'ladi. Demak, asl qator konvergent/divergent bo'ladi, agar o'ng tarafdagi ikkinchi cheksiz qator konvergent/divergent bo'lsa va ikkinchi qatorda sinovni o'tkazish mumkin, chunki u test shartlarini qondiradi.
Xuddi shunday argumentni noto'g'ri integral yordamida ham qilish mumkin.
Sinovda funktsiya/seriyaning kamayishi va diapazonning hamma joyida ijobiy bo'lishi haqidagi talab isbotlash uchun talab qilinadi. Amalda esa biz faqat funksiya/seriya oxir-oqibat kamayib borayotgan va ijobiy funksiya/seriya ekanligiga ishonch hosil qilishimiz kerak. Shuni ham yodda tutingki, testda integralni hisoblashda biz ortib borayotgan/salbiy qismni ajratib olishimiz shart emas, chunki funktsiya ortib borayotgan/salbiy bo'lgan kichik diapazon mavjudligi integralni konvergentdan divergentga yoki divergentdan konvergentga o'zgartirmaydi.
Ushbu test haqida yana bir muhim jihatni aytish kerak. Bu test ketma-ketlik qiymatini BERMAYDI. Bu faqat ketma-ketlikning yaqinlashishi/divergensiyasini beradi. Bo'ldi shu. Qiymati yo'q. Bunga mukammal misol sifatida yuqoridagi qatorlardan foydalanishimiz mumkin. Sinov bizga bergan narsa shundan iborat edi,
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} < 2\]Shunday qilib, biz seriya qiymatining yuqori chegarasini oldik, lekin seriya uchun haqiqiy qiymat emas. Aslida, shu vaqtdan boshlab biz ketma-ketlikning qiymatini so'ramaymiz, biz faqat qator yaqinlashadimi yoki ajralib chiqadimi, deb so'raymiz. Keyinchalik bo'limi biz ketma-ket qiymatlarni baholashni ko'rib chiqamiz, lekin bu bo'limda ham seriyalarning qiymatlari olinmaydi.
To'liqlik uchun ushbu seriyaning qiymati ma'lum.
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} = \frac{{{\pi ^2}}}{6} = 1.644934... < 2\]Keling, bir nechta misollar bilan ishlaylik.
Yechim
Bu holda biz foydalanadigan funktsiya,
\[f\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln x}}\]Bu funktsiya aniq ijobiy va agar biz \(x\) ni kattalashtirsak, maxraj kattalashadi va shuning uchun funktsiya ham kamayadi. Shuning uchun biz faqat quyidagi integralning yaqinlashuvini aniqlashimiz kerak.
\[\begin{align*}\int_{{\,2}}^{{\,\infty }}{{\frac{1}{{x\ln x}}\,dx}} & = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \int_{{\,2}}^{{\,t}}{{\frac{1}{{x\ln x}}\,dx}}\hspace{0.5in}u = \ln x\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left. {\left( {\ln \left( {\ln x} \right)} \right)} \right|_2^t\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {\ln \left( {\ln t} \right) - \ln \left( {\ln 2} \right)} \right)\\ & = \infty \end{align*}\]Integral divergent va shuning uchun qatorlar Integral testi bilan ham farqlanadi.
Yechim
Bu misolda biz foydalanadigan funksiya:
\[f\left( x \right) = x{{\bf{e}}^{ - {x^2}}}\]Bu funktsiya biz ko'rib chiqayotgan intervalda har doim ijobiy bo'ladi. Endi funksiya kamayib borayotganini tekshirishimiz kerak. Berilgan intervalda bu funktsiya har doim kamayib borishi aniq emas. Biroq, bizga yordam berish uchun Calculus I bilimimizdan foydalanishimiz mumkin. Bu funktsiyaning hosilasi,
\[f'\left( x \right) = {{\bf{e}}^{ - {x^2}}}\left( {1 - 2{x^2}} \right)\]Bu funktsiya \(x = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) da ikkita muhim nuqtaga ega (bu bizga lotin o'zgarishlari belgisini bildiradi). Biz \(n = 0\) dan boshlayotganimiz sababli, salbiy tanqidiy nuqtani e'tiborsiz qoldira olamiz. Bir nechta test nuqtalarini tanlab, funktsiya \(\left[ {0,\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right]\) oralig'ida ortib borayotganini va \(\left[ {\frac{1}{{\sqrt 2 }},\infty } \right)\) da kamayib borayotganini ko'rishimiz mumkin. Shunday qilib, oxir-oqibat funktsiya pasayadi va bu bizdan Integral testdan foydalanishimiz uchun zarur bo'lgan narsadir.
\[\begin{align*}\int_{{\,0}}^{{\,\infty }}{{x{{\bf{e}}^{ - {x^2}}}\,dx}} & = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \int_{{\,0}}^{{\,t}}{{x{{\bf{e}}^{ - {x^2}}}\,dx}}\hspace{0.5in}u = - {x^2}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left. {\left( { - \frac{1}{2}{{\bf{e}}^{ - {x^2}}}} \right)} \right|_0^t\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{2}{{\bf{e}}^{ - {t^2}}}} \right) = \frac{1}{2}\end{align*}\]Integral yaqinlashuvchi va shuning uchun qatorlar ham Integral testi bilan yaqinlashishi kerak.
Ba'zi seriyalar uchun quyidagi fakt/testni olish uchun Integral Testdan foydalanishimiz mumkin.
Fakt (\(p\) - seriyali test)
Agar \(k > 0\) bo'lsa, \(\displaystyle \sum\limits_{n = k}^\infty {\frac{1}{{{n^p}}}} \), agar \(p > 1\) bo'lsa, yaqinlashadi va \(p \le 1\) bo'lsa, ajralib chiqadi.
Ba'zan bu faktdagi seriyalar \(p\) seriyali deb ataladi va shuning uchun bu fakt ba'zan \(p\) seriyali testi deb ataladi. Bu fakt to'g'ridan-to'g'ri Integral Testdan va shunga o'xshashlardan kelib chiqadi haqiqat Noto'g'ri integral bo'limida ko'rdik. Bu fakt shuni ko'rsatadiki, integral,
\[\int_{{\,k}}^{{\,\infty }}{{\frac{1}{{{x^p}}}\,dx}}\]Agar \(p > 1\) bo'lsa, yaqinlashadi va \(p \le 1\) bo'lsa, ajralib chiqadi.
\(p\)-seriyali testdan foydalanish ayrim seriyalarning yaqinlashuvini aniqlashni juda oson qiladi.
- \(\displaystyle \sum\limits_{n = 4}^\infty {\frac{1}{{{n^7}}}} \)
- \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt n }}} \)
a \(\displaystyle \sum\limits_{n = 4}^\infty {\frac{1}{{{n^7}}}} \) Yechim
Bu holda \(p = 7 > 1\) va shunga ko'ra, bu fakt bo'yicha qator yaqinlashadi.
b \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt n }}} \) Yechim
Ushbu \(p = \frac{1}{2} \le 1\) seriyasi uchun va shuning uchun seriya haqiqatdan farq qiladi.
Ushbu bo'limda biz qiladigan oxirgi narsa Integral testning tezkor isbotini berishdir. Integral testni joriy qilganimizda, biz asosan bo'limning boshida isbotni qildik, ammo umumiy funktsiya uchun uni rasmiy ravishda ko'rib chiqaylik.
Integral test isboti
Birinchidan, dalil uchun biz \(\sum\limits_{\,n = 1}^\infty {{a_n}} \) seriyasi bilan ishlaymiz. Asl sinov bayonoti umumiy \(n = k\) da boshlangan seriya uchun edi va buni isbotlash mumkin bo'lsa-da, seriya \(n = 1\) da boshlanadi deb faraz qilsak, bu osonroq bo'ladi.
\(n = k\) bilan ishlashning yana bir usuli - biz buni qila olamiz indeks siljishi va \(n = 1\) da seriyani boshlang va keyin Integral testini bajaring. \(n = 1\) uchun testni isbotlashning har qanday usuli etarli bo'ladi.
Shuni ham yodda tutingki, biz seriyaning dastlabki bir necha shartlarini ish muammolarida ko'paytirishga va/yoki salbiy bo'lishiga ruxsat bergan bo'lsak-da, bu dalil barcha shartlarning kamayishi va ijobiy bo'lishini talab qiladi.
Keling, \(\left[ {1,n} \right]\) oralig'ida egri chiziq ostidagi maydonni hisoblaylik va kengligi bir bo'lgan va balandligi to'g'ri nuqta bo'lgan to'rtburchaklar olib, maydonni kam baholaymiz. Bu quyidagi raqamni beradi.
Endi e'tibor bering,
\[f\left( 2 \right) = {a_2}\hspace{0.5in}f\left( 3 \right) = {a_3}\hspace{0.5in} \cdots \hspace{0.5in}f\left( n \right) = {a_n}\]
Keyin taxminiy maydon,
\[A \approx \left( 1 \right)f\left( 2 \right) + \left( 1 \right)f\left( 3 \right) + \cdots + \left( 1 \right)f\left( n \right) = {a_2} + {a_3} + \cdots {a_n}\]
va biz bilamizki, bu haqiqiy maydonni kam baholaydi, shuning uchun
\[\sum\limits_{i = 2}^n {{a_i}} = {a_2} + {a_3} + \cdots {a_n} < \int_{{\,1}}^{{\,n}}{{f\left( x \right)\,dx}}\]
Keling, \(\int_{{\,1}}^{{\,\infty }}{{f\left( x \right)\,dx}}\) konvergent va shuning uchun \(\int_{{\,1}}^{{\,\infty }}{{f\left( x \right)\,dx}}\) cheklangan qiymatga ega bo'lishi kerak deb faraz qilaylik. Bundan tashqari, \(f\left( x \right)\) ijobiy bo'lgani uchun biz buni bilamiz,
\[\int_{{\,1}}^{{\,n}}{{f\left( x \right)\,dx}} < \int_{{\,1}}^{{\,\infty }}{{f\left( x \right)\,dx}}\]
Bu o'z navbatida shuni anglatadiki,
\[\sum\limits_{i = 2}^n {{a_i}} < \int_{{\,1}}^{{\,n}}{{f\left( x \right)\,dx}} < \int_{{\,1}}^{{\,\infty }}{{f\left( x \right)\,dx}}\]
Bizning seriyamiz \(n = 1\) da boshlanadi, shuning uchun bu bizga kerak bo'lgan narsa emas. Biroq, bu bilan kurashish juda oson.
\[\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} = {a_1} + \sum\limits_{i = 2}^n {{a_i}} < {a_1} + \int_{{\,1}}^{{\,\infty }}{{f\left( x \right)\,dx}} = M\]
Xo'sh, bu bizga nimani aytdi? Xo'sh, endi biz \({s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} \) qisman yig'indilar ketma-ketligi yuqorida \(M\) bilan chegaralanganligini bilamiz.
Keyinchalik, shartlar ijobiy bo'lgani uchun biz buni ham bilamiz,
\[{s_n} \le {s_n} + {a_{n + 1}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} + {a_{n + 1}} = \sum\limits_{i = 1}^{n + 1} {{a_i}} = {s_{n + 1}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{s_n} \le {s_{n + 1}}\]
va shuning uchun \(\left\{ {{s_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) ketma-ketligi ham ortib boruvchi ketma-ketlikdir. Shunday qilib, biz hozir bilish \(\left\{ {{s_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) qisman yig'indilari ketma-ketligi yaqinlashadi va shuning uchun bizning \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) seriyamiz yaqinlashadi.
Shunday qilib, testning birinchi qismi isbotlangan. Ikkinchi qism biroz osonroq. Bu safar quyida ko'rsatilganidek, to'rtburchaklar balandligi uchun intervalning chap chekka nuqtalaridan foydalanib, egri chiziq ostidagi maydonni oshirib ko'raylik.
Bu holda maydon taxminan,
\[A \approx \left( 1 \right)f\left( 1 \right) + \left( 1 \right)f\left( 2 \right) + \cdots + \left( 1 \right)f\left( {n - 1} \right) = {a_1} + {a_2} + \cdots {a_{n - 1}}\]
Bu maydonni haddan tashqari oshirib yuborishini bilganimiz sababli, biz buni ham bilamiz,
\[{s_{n - 1}} = \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{a_i}} = {a_1} + {a_2} + \cdots {a_{n - 1}} > \int_{{\,1}}^{{\,n - 1}}{{f\left( x \right)\,dx}}\]
Keling, \(\int_{{\,1}}^{{\,\infty }}{{f\left( x \right)\,dx}}\) divergent deb faraz qilaylik. Bu holda bu \(\int_{{\,1}}^{{\,n}}{{f\left( x \right)\,dx}} \to \infty \) \(n \to \infty \) sifatida, chunki \(f\left( x \right) \ge 0\). Biroq, \(n - 1 \to \infty \) \(n \to \infty \) sifatida biz \(\int_{{\,1}}^{{\,n - 1}}{{f\left( x \right)\,dx}} \to \infty \) ekanligini ham bilamiz.
Shuning uchun, \({s_{n - 1}} > \int_{{\,1}}^{{\,n - 1}}{{f\left( x \right)\,dx}}\) beri biz \(n \to \infty \) sifatida bizda \({s_{n - 1}} \to \infty \) bo'lishi kerakligini bilamiz. Bu o'z navbatida bizga \({s_n} \to \infty \) \(n \to \infty \) ekanligini aytadi.
Shunday qilib, biz endi bilamizki, qisman yig'indilar ketma-ketligi \(\left\{ {{s_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) divergent ketma-ketlikdir va shuning uchun \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) divergent qatordir.
Ushbu bo'limni tark etishdan oldin shuni ta'kidlash kerakki, Integral testdan foydalanish uchun ketma-ket atamalar oxir-oqibat kamayishi va ijobiy bo'lishi kerak. Agar ular bo'lmasa, test ishlamaydi. Shuni ham yodda tutingki, test faqat qatorning yaqinlashuvini aniqlaydi va qator qiymatini BERMAYDI.