1.9-bo'lim : Eksponensial va logarifm tenglamalari
10. \(2\log \left( z \right) - \log \left( {7z - 1} \right) = 0\) ning barcha yechimlarini toping. Agar yechimlar bo'lmasa, sababini aniq tushuntiring.
Yechim
Ushbu tenglamani echish uchun oldingi ikkita misolda qo'llagan bir xil usuldan foydalanishimiz mumkin bo'lsa-da, osonroq usul mavjud. Har bir atama logarifm bo'lib, barchasi nolga teng bo'lganligi sababli biz quyidagi faktdan foydalanishimiz mumkin:
\[{\mbox{If }}{\log_b}x = {\log _b}y{\mbox{ then }}x = y\]Shunday qilib, tenglamani tezda qayta yozish,
\[\begin{align*}2\log \left( z \right) & = \log \left( {7z - 1} \right)\\ \log \left( {{z^2}} \right) & = \log \left( {7z - 1} \right)\end{align*}\]E'tibor bering, yuqoridagi faktdan foydalanish uchun ikkala logarifm ham bitta koeffitsientga ega bo'lishi kerak, shuning uchun biz bitta koeffitsientga ega ekanligimizga ishonch hosil qilish uchun logarifm xususiyatlaridan birini tezda ishlatishimiz kerak edi.
2-qadam
Endi biz faktdan foydalanishimiz va \(z\) uchun hal qilishimiz kerak.
\[\begin{align*}{z^2} & = 7z - 1\\ {z^2} - 7z + 1 & = 0\end{align*}\]Bunday holda, biz buni tugatish uchun kvadrat formuladan foydalanishimiz kerak.
\[z = \frac{{ - \left( { - 7} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} - 4\left( 1 \right)\left( 1 \right)} }}{{2\left( 1 \right)}} = \frac{{7 \pm \sqrt {45} }}{2} = 0.1459,\,\,\,\,6.8541\]3-qadam
Biz logarifmlar bilan ishlayapmiz, shuning uchun potentsial echimlarimiz bilan hech qanday muammoga duch kelmasligimizga ishonch hosil qilishimiz kerak. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar biz ikkita potentsial echimdan birini asl tenglamaga qo'shsak, manfiy son yoki nol logarifmini qabul qilmasligimizga ishonch hosil qilishimiz kerak.
Bunday holda, ularni ulash juda oson va ikkita potentsial echimning hech biri manfiy sonlarning logarifmlarini olishga olib kelmasligini va shuning uchun ikkalasi ham tenglamaning echimi ekanligini ko'rish juda oson.
Xulosa qilib aytganda, tenglamaning yechimlari:
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{z = \frac{{7 \pm \sqrt {45} }}{2} = 0.1459,\,\,\,\,6.8541}}\]Sizning afzalliklaringizga qarab, aniq yoki o'nlik echimdan foydalanish mumkin.
Ushbu yechimni tark etishdan oldin yana shuni ta'kidlashimiz kerakki, barcha kvadratiklar siz Algebra sinfidan echishga odatlangan "oddiy" turdagi kvadratiklar bo'lmaydi. Ular ulardan ko'ra chalkashroq bo'lishi mumkin va ko'pincha bo'ladi. Bu siz ularni hal qila olmaysiz degani emas. Ular barcha maqsadlar va maqsadlar uchun siz ishlashga odatlangan muammolar turlari bilan bir xil. Faqatgina haqiqiy farq shundaki, raqamlar biroz chalkashroq.
Shunday ekan, bunday muammodan juda hayajonlanmang. Ular vaqti-vaqti bilan sodir bo'ladi va siz ularni hal qilishga qodirsiz!