Asosiy tarkibga o'tish

7.7-bo'lim: Integratsiya strategiyasi

Biz hozir juda ko'p turli xil integratsiya usullarini ko'rdik va shuning uchun biz bu nuqtada to'xtab, integralga duch kelganda to'g'ri texnikani aniqlash uchun foydalanish strategiyasi haqida bir oz gapirishimiz kerak.

Ushbu strategiya haqida bir nechta fikrlarni ta'kidlash kerak. Birinchidan, bu qo'llanilishi kerak bo'lgan usulni aniqlash uchun qattiq va tezkor qoidalar to'plami emas. Bu haqiqatan ham samarali bo'lishi mumkin bo'lgan usullarni aniqlashga yordam beradigan umumiy ko'rsatmalar to'plamidan boshqa narsa emas. Ba'zi integrallar bir nechta usulda bajarilishi mumkin va shuning uchun siz strategiya bo'ylab bosib o'tgan yo'lingizga qarab, siz ushbu strategiyadan o'tgan boshqa birovdan farqli texnikaga ega bo'lishingiz mumkin.

Ikkinchidan, strategiya integralda ishlatilishi mumkin bo'lgan texnikani aniqlash usuli sifatida taqdim etilgan bo'lsa-da, shuni yodda tutingki, ko'pgina integrallar uchun u avtomatik ravishda ma'lum texnikalarni ham chiqarib tashlashi mumkin. Strategiyadan o'tayotganda ikkita ro'yxatni yodda tuting. Birinchi ro'yxat shunchaki ishlamaydigan integratsiya usullari va ikkinchi ro'yxat - ular ishlashi mumkin bo'lgan usullar. Strategiyadan o'tgandan so'ng va ikkinchi ro'yxatda faqat bitta yozuv mavjud bo'lsa, bu foydalanish uchun texnikadir. Boshqa tomondan, bir nechta texnikani qo'llash mumkin bo'lsa, qaysi biri biz uchun eng yaxshisi ekanligini hal qilishimiz kerak. Afsuski, qaysi texnika eng yaxshi ekanligini o'rgatishning hech qanday usuli yo'q, chunki bu odatda odamga bog'liq texnikani eng oson deb bilishadi.

Uchinchidan, ko'plab integrallarni bir necha usul bilan baholash mumkinligini unutmang va shuning uchun unda bir nechta texnikadan foydalanish mumkin. Bu avvalgi fikrlarning har birida aytib o'tilgan, ammo alohida eslatib o'tish uchun etarli darajada muhimdir. Ba'zida bitta texnika boshqalarga qaraganda ancha oson bo'ladi va shuning uchun faqat ishlayotgan birinchi texnikada to'xtamang. Har doim barcha mumkin bo'lgan texnikalarni aniqlang va keyin orqaga qayting va qaysi biri siz uchun eng oson ekanligini aniqlang.

Keyinchalik, integralni to'liq bajarish uchun bir nechta usullardan foydalanishingiz kerak bo'lishi mumkin. Masalan, almashtirish qismlar yoki qisman kasrlar bilan integrallashdan foydalanishga olib kelishi mumkin.

Nihoyat, mening sinfimda men har qanday joriy integratsiya texnikasini yechim sifatida qabul qilaman. Yuqorida aytib o'tilganidek, ko'pincha integralni bajarishning bir nechta usullari mavjud va men bitta texnikani eng oson deb topsam, bu siz ham shunday qilasiz degani emas. Shunday qilib, mening sinfimda integral qilishning yagona to'g'ri usuli yo'q. Ushbu sinfda integrallarni baholash uchun men ushbu sinfda o‘rgatgan yoki Hisob I da o‘rgangan har qanday integratsiya texnikasidan foydalanishingiz mumkin. Boshqacha qilib aytganda, har doim o'zingiz uchun eng oson deb hisoblagan yondashuvni qo'llang.

E'tibor bering, bu yakuniy nuqta ko'proq mening sinfimga qaratilgan va sizning o'qituvchingiz bunga rozi bo'lmasligi mumkin, shuning uchun agar siz mening sinfimda bo'lmasangiz, ushbu fikrni qo'llashda ehtiyot bo'ling.

Mayli, strategiyani davom ettiramiz.

Integratsiya strategiyasi

  1. Iloji bo'lsa, integralni soddalashtiring. Ushbu bosqich integratsiya jarayonida juda muhimdir. Ko'pgina integrallarni biroz soddalashtirish yoki manipulyatsiya bilan imkonsiz yoki juda qiyindan juda osonga olish mumkin. Asosiy trig va algebraik identifikatsiyalarni unutmang, chunki ular ko'pincha integralni soddalashtirish uchun ishlatilishi mumkin.

    Biz trig-funksiyalarni o'z ichiga olgan integrallarni ko'rib chiqayotganimizda bu fikrdan foydalandik. Masalan, quyidagi integralni ko'rib chiqing.

    \[\int{{{{\cos }^2}x\,dx}}\]

    Bu integralni avvalgidek bajarib bo'lmaydi, lekin shunchaki identifikatsiyani eslab,

    \[{\cos ^2}x = \frac{1}{2}\left( {1 + \cos \left( {2x} \right)} \right)\]

    integralni bajarish juda oson bo'ladi.

    E'tibor bering, ushbu misol, shuningdek, soddalashtirish biz integralni "oddiyroq" shaklda yozishimizni anglatmaydi. Bu faqat biz integralni o'zimiz hal qilishimiz mumkin bo'lgan shaklga yozishimizni anglatadi va bu ko'pincha asl integralga qaraganda uzunroq va/yoki "chalkashroq".


  2. "Oddiy" almashtirishning ishlashini ko'ring. Calculus II dan ko'pincha murakkabroq usullar o'rniga oddiy almashtirishdan foydalanish mumkinligini tekshiring. Masalan, quyidagi integrallarning ikkalasini ko'rib chiqing. \[\int{{\frac{x}{{{x^2} - 1}}\,dx}}\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}\int{{x\sqrt {{x^2} - 1} \,dx}}\]

    Birinchi integral qisman kasrlar bilan, ikkinchisi esa triglarni almashtirish bilan amalga oshirilishi mumkin.

    Shu bilan birga, ikkalasini ham \(u = {x^2} - 1\) almashtirish yordamida baholash mumkin va almashtirishdagi ish qisman kasrlar yoki triglarni almashtirish bilan bog'liq ishdan sezilarli darajada kam bo'ladi.

    Shunday qilib, murakkabroq Calculus II texnikasiga o'tishdan oldin har doim tez, oddiy almashtirishlarni qidiring.


  3. Integral turini aniqlang. E'tibor bering, har qanday integral ushbu turlarning bir nechtasiga kirishi mumkin. Shu sababli, ro'yxatni oxirigacha bosib o'tish va barcha mumkin bo'lgan turlarni aniqlash yaxshidir, chunki biri boshqasidan osonroq bo'lishi mumkin va eng oson turi ro'yxatda quyida joylashgan bo'lishi mumkin.
    1. Integral ratsional ifodami (i.e integratsiya ko'phadga bo'lingan ko'phadmi)? Agar shunday bo'lsa, unda qisman kasrlar integral ustida ishlashi mumkin.
    2. Integratsiya polinom marta trig funksiyami, eksponensialmi yoki logarifmmi? Agar shunday bo'lsa, unda qismlar bo'yicha integratsiya ishlashi mumkin.
    3. Integral sinuslar va kosinuslar, sekant va tangenslar hosilasimi yoki kosekantlar va kotangentlarmi? Agar shunday bo'lsa, ikkinchi bo'limdagi mavzular ishlashi mumkin.
      Shunga o'xshab, ushbu funktsiyalarni o'z ichiga olgan ba'zi ko'rsatkichlar ushbu usullar yordamida ham amalga oshirilishi mumkinligini unutmang.
    4. Integranda \(\sqrt {{b^2}{x^2} + {a^2}} \), \(\sqrt {{b^2}{x^2} - {a^2}} \) yoki \(\sqrt {{a^2} - {b^2}{x^2}} \) kiradimi? Agar shunday bo'lsa, trigni almashtirish yaxshi ishlashi mumkin.
    5. Integrand yuqorida sanab o'tilganlardan boshqa ildizlarga egami? Agar shunday bo'lsa, \(u = \sqrt[n]{{g\left( x \right)}}\) almashtirish ishlashi mumkin.
    6. Integranda kvadrati bormi? Agar shunday bo'lsa, kvadratni kvadratda to'ldirish uni biz hal qila oladigan shaklga keltirishi mumkin.

  4. Biz integralni qanday qilishni allaqachon bilgan integral bilan bog'lashimiz mumkinmi? Boshqacha qilib aytganda, integralni ushbu bobda avval ko‘rib chiqqan shakllarga mos keladigan shaklga yozish uchun almashtirish yoki manipulyatsiyadan foydalana olamizmi?

    tipik misol quyidagi integraldir.

    \[\int{{\cos x\sqrt {1 + {{\sin }^2}x} \,dx}}\]

    Ushbu integral biz ushbu bobda ko'rib chiqqan shakllarning hech biriga mos kelmasligi aniq. Biroq, \(u = \sin x\) almashtirish bilan biz integralni shaklga qisqartirishimiz mumkin,

    \[\int{{\sqrt {1 + {u^2}} \,du}}\]

    bu trigni almashtirish muammosi.


  5. Bir nechta texnikadan foydalanishimiz kerakmi? Ushbu bosqichda biz o'zimizdan bir nechta texnikani qo'llashimiz kerakmi, deb so'rashimiz kerak. Oldingi qismdagi misol yaxshi misoldir. O'zgartirishdan foydalanish bizga integralni amalga oshirishga imkon bermadi. Buning hammasi integralni qo'yish va uni boshqa texnikadan foydalanishimiz mumkin bo'lgan shaklga qo'yish edi.

    Hech qachon integralni to'liq baholash uchun faqat bir qadam kerak bo'ladi degan fikrga tushib qolmang. Ko'pchilik bir necha qadamni talab qiladi.


  6. Qayta urinib koʻring. Agar shu paytgacha qilgan barcha harakatlaringiz yordam bermasa, jarayonga qayting va qaytadan urinib ko'ring. Bu safar siz birinchi marta ishlatmagan texnikani sinab ko'ring.

Yuqorida aytib o'tilganidek, bu strategiya qattiq va tezkor qoidalar to'plami emas. U faqat har qanday berilgan integralni qanday bajarishni eng yaxshi aniqlash jarayonida sizga yo'l ko'rsatish uchun mo'ljallangan. Shuni ham yodda tutingki, Calculus II haqiqatda paydo bo'ladigan yagona joy uchinchi bosqichdir. 1, 2 va 4-bosqichlar integrandni to'g'ridan-to'g'ri manipulyatsiya qilish yoki almashtirishni qo'llash orqali manipulyatsiyadan boshqa narsani o'z ichiga olmaydi. Oxirgi ikki qadam bu strategiyadan o'tishda o'ylash kerak bo'lgan g'oyalardir.

Ko'pgina talabalar ushbu jarayondan o'tadilar va deyarli faqat 3-bosqichga e'tibor berishadi (bularning barchasi Hisob-kitob II, shuning uchun ular nima uchun buni qilishlari mumkinligini tushunish oson...) boshqa bosqichlarni hisobga olmaganda. Ushbu istisnoning juda katta oqibatlaridan biri shundaki, ko'pincha oddiy manipulyatsiya yoki almashtirish e'tibordan chetda qoladi, bu esa integralni bajarishni juda oson qiladi.

Keyingiga o'tishdan oldin biz bir nechta aniq bo'lmagan soddalashtirishlar/manipulyatsiyalar va unchalik aniq bo'lmagan almashtirishni ko'rsatadigan bir nechta tezkor muammolarni hal qilishimiz kerak.

1-misol Quyidagi integralni baholang. \[\int{{\frac{{\tan x}}{{{{\sec }^4}x}}\,dx}}\]
Yechim

Bu integral deyarli berilgan shaklga tushadi 3c. Bu tangens va sekantning koeffitsienti va biz bilamizki, ba'zida biz ko'rsatkichlar bo'yicha tangens va sekantlarning hosilalari uchun bir xil usullardan foydalanishimiz mumkin.

Shundan kelib chiqadigan jarayon bo'limi Agar bizda ikkita sekant kuchga ega bo'lsak, ulardan ikkitasini ajratib olish va qolganlarini tangenslarga aylantirishni aytadi. Bu bu erda ishlamaydi. Biz ikkita sekantni ajratishimiz mumkin, ammo ular maxrajda bo'ladi va ular bizga hech qanday foyda keltirmaydi. Esda tutingki, ularni bo'lishdan maqsad \(u = \tan x\) o'rnini bosish uchun u erda bo'lishlari uchun. Bu ularning suratda bo'lishini talab qiladi. Shunday qilib, bu ishlamaydi va shuning uchun biz boshqa yechim usulini topishimiz kerak.

Aslida, bu integralni qanday hal qilishni xohlayotganingizga qarab ikkita hal qilish usuli mavjud. Biz ikkalasini ham ko'rib chiqamiz.

Yechim 1
Ushbu yechim usulida biz hamma narsani sinuslar va kosinuslarga aylantira olamiz va bu bizga hal qilishimiz mumkin bo'lgan integralni beradimi yoki yo'qligini bilib olamiz.

\[\begin{align*}\int{{\frac{{\tan x}}{{{{\sec }^4}x}}\,dx}} &= \int{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}}{{\cos }^4}x\,dx}}\\ & = \int{{\sin x{{\cos }^3}x\,dx}}\hspace{0.5in}u = \cos x\\ & = - \int{{{u^3}\,du}}\\ & = - \frac{1}{4}{\cos ^4}x + c\end{align*}\]

E'tibor bering, shunchaki sinuslar va kosinuslarga aylantirish har doim ham ishlamaydi va agar shunday bo'lsa, har doim ham yaxshi ishlamaydi. Ko'pincha integralni bajarish uchun ko'proq ish qilish kerak bo'ladi.

Yechim 2
Ushbu yechim usuli sekantlar va tangenslar bilan ishlashga qaytadi. E'tibor bering, agar bizda hisoblagichda sekant bo'lsa, biz shunchaki \(u = \sec x\) ni almashtirish sifatida ishlatishimiz mumkin edi va uni ishlatish juda tez va oddiy almashtirish bo'lar edi. Numeratorda bizda sekant yo'q. Biroq, pay va maxrajni sekantga ko'paytirish orqali biz juda osonlik bilan hisoblagichdagi sekantni olishimiz mumkin edi.

\[\begin{align*}\int{{\frac{{\tan x}}{{{{\sec }^4}x}}\,dx}} & = \int{{\frac{{\tan x\sec x}}{{{{\sec }^5}x}}\,dx}}\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}u = \sec x\\ & = \int{{\frac{1}{{{u^5}}}\,du}}\\ & = - \frac{1}{4}\frac{1}{{{{\sec }^4}x}} + c\\ & = - \frac{1}{4}{\cos ^4}x + c\end{align*}\]

Oldingi misolda biz integralni bajarishga imkon beradigan ikkita "soddalashtirish" ni ko'rdik. Birinchisi, integralni biz hal qilishimiz mumkin bo'lgan shartlarga qayta yozish uchun identifikatorlardan foydalanish edi, ikkinchisi esa integralni qayta ishlashimiz mumkin bo'lgan shartlarga qo'yish uchun pay va maxrajni biror narsaga ko'paytirishni o'z ichiga oldi.

Integralni qayta yozish uchun identifikatorlardan foydalanish muhim "soddalashtirish" dir va biz bu haqda unutmasligimiz kerak. Integrallar ko'pincha juda soddalashtirilishi yoki hech bo'lmaganda identifikator yordamida hal qilinadigan shaklga kiritilishi mumkin.

Ikkinchi "soddalashtirish" tez-tez ishlatilmaydi, lekin vaqti-vaqti bilan paydo bo'ladi, shuning uchun bu haqda unutmaslik yaxshiroqdir. Haqiqatan ham, keling, hisob va maxrajni biror narsaga ko'paytirish bizga integral qilish imkonini beradigan misolni ko'rib chiqaylik.

2-misol Quyidagi integralni baholang. \[\int{{\frac{1}{{1 + \sin x}}\,dx}}\]
Yechim

Bu ajralmas narsa, agar biz faqat uchinchi bosqichga e'tibor qaratsak, hech qanday joyga erisha olmaymiz. Bu integral biz ushbu bobda ishlagan integral turlaridan birortasi emas.

Ammo biz integralni bajarishimiz mumkin, agar quyidagi amallarni bajarsak,

\[\begin{align*}\int{{\frac{1}{{1 + \sin x}}\,dx}} & = \int{{\frac{1}{{1 + \sin x}}\frac{{1 - \sin x}}{{1 - \sin x}}\,dx}}\\ & = \int{{\frac{{1 - \sin x}}{{1 - {{\sin }^2}x}}\,dx}}\end{align*}\]

Bu biz uchun hech narsa qilmaganga o'xshaydi. Ammo, agar biz yuqorida ko'rib chiqqan birinchi "soddalashtirishni" eslasak, maxrajni qayta yozish uchun identifikatsiyadan foydalanishimiz mumkinligini ko'ramiz. Buni qilganimizdan so'ng, biz integralni boshqa narsaga qisqartirishimiz mumkin.

\[\begin{align*}\int{{\frac{1}{{1 + \sin x}}\,dx}} & = \int{{\frac{{1 - \sin x}}{{{{\cos }^2}x}}\,dx}}\\ & = \int{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\frac{1}{{\cos x}}\,dx}}\\ & = \int{{{{\sec }^2}x - \tan x\sec x\,dx}}\\ & = \tan x - \sec x + c\end{align*}\]

Shunday qilib, biz pay va maxrajni biror narsaga ko'paytirish integralni biz integrallashimiz mumkin bo'lgan shaklga keltirishini yana bir bor ko'rdik. E'tibor bering, ushbu misol "soddalashtirishlar" integralni oddiyroq shaklga kiritish shart emasligini ham ko'rsatdi. Ular faqat integralni integrallash osonroq bo'lgan shaklga qo'yadi.

Keling, unchalik aniq bo'lmagan almashtirish misolini tez ko'rib chiqaylik.

3-misol Quyidagi integralni baholang. \[\int{{\cos \left( {\sqrt x } \right)\,dx}}\]
Yechim

Biz almashtirish unchalik aniq emasligini aytib, bu misolni kiritdik. Biroq, bu haqiqatan ham yuqoridagi strategiyamizda 3e tomonidan berilgan shaklga tushadigan integraldir. Biroq, ko'pchilik bu shaklni sog'inadi va shuning uchun bu haqda o'ylamaydi. Shunday qilib, keling, quyidagi almashtirishni sinab ko'raylik.

\[u = \sqrt x \hspace{0.5in}x = {u^2}\hspace{0.5in}dx = 2u\,du\]

Ushbu almashtirish bilan integral,

\[\int{{\cos \left( {\sqrt x } \right)\,dx}} = 2\int{{u\cos u\,du}}\]

Endi bu integral qismlar bo'yicha integratsiya. Esda tutingki, ko'pincha biz integralni to'liq bajarish uchun bir nechta texnikadan foydalanishimiz kerak bo'ladi. Bu qismlar bo'yicha juda oddiy integratsiya muammosi, shuning uchun qolgan tafsilotlarni tekshirish uchun sizga qoldiramiz.

\[\int{{\cos \left( {\sqrt x } \right)\,dx}} = 2\left( {\cos \left( {\sqrt x } \right) + \sqrt x \,\sin \left( {\sqrt x } \right)} \right) + c\]

Ushbu bo'limni tark etishdan oldin, dunyoda biz bilgan funktsiyalar nuqtai nazaridan bajarib bo'lmaydigan integrallar mavjudligini ham ta'kidlashimiz kerak. Bunga ba'zi misollar.

\[\int{{{{\bf{e}}^{ - {x^2}}}\,dx}}\hspace{0.5in}\int{{\cos \left( {{x^2}} \right)\,dx}}\hspace{0.5in}\int{{\frac{{\sin \left( x \right)}}{x}\,dx}}\hspace{0.5in}\int{{\cos \left( {{{\bf{e}}^x}} \right)\,dx}}\]

Bu bu integrallarni qandaydir darajada bajarish mumkin emas degani emas. kabi kompyuter algebra tizimiga kirsangiz Chinor or Matematika va bu integrallarni bajarsa, u quyidagilarni qaytaradi.

\[\begin{align*}\int{{{{\bf{e}}^{ - {x^2}}}\,dx}} & = \frac{{\sqrt \pi }}{2}{\mathop{\rm erf}\nolimits} \left( x \right)\\ \int{{\cos \left( {{x^2}} \right)\,dx}} & = \sqrt {\frac{\pi }{2}} {\mathop{\rm FresnelC}\nolimits} \left( {x\sqrt {\frac{2}{\pi }} } \right)\\ \int{{\frac{{\sin \left( x \right)}}{x}\,dx}} & = {\mathop{\rm Si}\nolimits} \left( x \right)\\ \int{{\cos \left( {{{\bf{e}}^x}} \right)\,dx}} & = {\mathop{\rm Ci}\nolimits} \left( {{{\bf{e}}^x}} \right)\end{align*}\]

Demak, bu integrallar haqiqatda bajarilishi mumkin. Biroq, bu biroz chalg'ituvchi. Bu erda yuqorida keltirilgan funktsiyalarning har birining ta'riflari keltirilgan.

Xato funktsiyasi

\[{\mathop{\rm erf}\nolimits} \left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int_{{\,\,0}}^{{\,\,x}}{{{{\bf{e}}^{ - {t^2}}}\,dt}}\]

Sinus integrali

\[{\mathop{\rm Si}\nolimits} \left( x \right) = \int_{{\,\,0}}^{{\,\,x}}{{\frac{{\sin t}}{t}\,dt}}\]

Frenel kosinus integrali

\[{\mathop{\rm FresnelC}\nolimits} \left( x \right) = \int_{{\,\,0}}^{{\,\,x}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{2}{t^2}} \right)\,dt}}\]

Kosinus integrali

\[{\mathop{\rm Ci}\nolimits} \left( x \right) = \gamma + \ln \left( x \right) + \int_{{\,\,0}}^{{\,\,x}}{{\frac{{\cos t - 1}}{t}\,dt}}\]

Bu erda \(\gamma \) Eyler-Mascheroni doimiysi.

E'tibor bering, dastlabki uchtasi oddiygina o'z-o'zidan aniqlangan va shuning uchun biz ularni birlashtira olamiz deganda, biz haqiqatan ham integral nomini o'zgartiramiz. To'rtinchisi biroz boshqacha, ammo u hali ham amalda bajarib bo'lmaydigan integral nuqtai nazaridan aniqlangan.

Ushbu sinfda berilgan har bir integralni integrallash mumkin bo'ladi, lekin shuni ta'kidlash kerakki, shunchaki bajarib bo'lmaydigan integrallar mavjud. Ko'rib chiqqanimizdan keyin ham shuni ta'kidlashimiz kerak Seriya biz yuqoridagi integrallarning har birining ketma-ket tasvirlarini yozib olishimiz mumkin bo'ladi.