5.1-bo'lim: Ko'phadlarni bo'lish (dividing polynomials)
Ushbu bo'limda biz ko'phadlarni bo'lish amali va uning asosiy qoidalarini ko'rib chiqamiz. Ushbu bob davomida bu amalga doimiy ravishda murojaat qilamiz, shuning uchun ko'phadlarni to'g'ri va ishonchli bo'lishni puxta o'zlashtirib olishimiz juda muhimdir.
Ko'phadlarni burchakli (ustunli) bo'lish qanday ishlashini eslash uchun dastlab bir oddiy misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Dastlab masalani ustunli bo'lish ko'rinishida yozib olaylik.
\[\require{enclose} x-4 \enclose{longdiv}{{5{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+0x+6}}\]Yodingizda bo'lsin: hadlarni darajalarining kamayib borish tartibida yozishimiz zarur va hisoblashda chalkashliklarga yo'l qo'ymaslik uchun mavjud bo'lmagan (tushib qolgan) hadlarni nol koeffitsiyent bilan kiritib olamiz (bu yerda \(0x\)).
Endi o'zimizdan so'raymiz: birinchi ko'phadning birinchi hadi bo'lgan \(5x^3\) ni hosil qilish uchun \(x - 4\) ning birinchi hadi \(x\) ni nimaga ko'paytirishimiz kerak? Bu holda bu \(5{x^2}\) dir. Shunday ekan, \(x - 4\) ni \(5{x^2}\) ga ko'paytiramiz va natijani birinchi ko'phaddan ayiramiz.
\[\require{enclose}\begin{align*} & \,\,\,5x^{2} \\ x-4 & {\enclose{longdiv}{{5{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+0x+6}}} \\ - & \underline{\left( 5{{x}^{3}}-20{{x}^{2}} \right)} \\ & \hspace{0.65in}19{{x}^{2}}+0x+6 \\ \end{align*}\]Hosil bo'lgan yangi ko'phad qoldiq (remainder) deyiladi. Biz bu jarayonni qoldiqning darajasi bo'luvchi (divisor) darajasidan kichik bo'lgunga qadar davom ettiramiz. Bu misolda bo'luvchi \(x - 4\) bo'lib, uning darajasi 1 ga teng. Shunday qilib, qoldiqning darajasi 1 dan kichik bo'lgunga qadar bo'lishni davom ettirishimiz shart.
Eslatib o'tamiz, ko'phadning darajasi undagi o'zgaruvchining eng yuqori daraja ko'rsatkichidir. Shuningdek, o'zgarmas son (konstanta) 0-darajali ko'phad sifatida qaraladi. Demak, biz ushbu misolda qoldiq sifatida o'zgarmas son hosil bo'lmaguncha bo'lishni davom ettiramiz.
Quyida ushbu misol uchun to'liq burchakli bo'lish jarayoni keltirilgan:
\[\require{enclose}\begin{align*} & \,\,\, 5{{x}^{2}}+19x+76 \\ x-4 & {\enclose{longdiv}{{5{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+0x+6}}} \\ - & \underline{\left( 5{{x}^{3}}-20{{x}^{2}} \right)} \\ & \hspace{0.65in}19{{x}^{2}}+0x+6 \\ & \hspace{0.4in}-\underline{\left( 19{{x}^{2}}-76x \right)} \\ & \hspace{1.3in}76x+6 \\ & \hspace{1.05in}-\underline{\left( 76x-304 \right)} \\ & \hspace{1.9in}310 \\ \end{align*}\]Endi ushbu amallar bajarilgach, yakuniy natijani qanday yozishimiz kerakligini eslaylik. Natija quyidagicha bo'ladi:
\[\frac{{5{x^3} - {x^2} + 6}}{{x - 4}} = 5{x^2} + 19x + 76 + \frac{{310}}{{x - 4}}\]Oldingi misoldagi javobni yozishning yana bir usuli mavjud bo'lib, u biz uchun yanada qulay va foydalidir. Agar tenglikning har ikkala tomonini \(x - 4\) ga ko'paytirsak, quyidagini hosil qilamiz:
\[5{x^3} - {x^2} + 6 = \left( {x - 4} \right)\left( {5{x^2} + 19x + 76} \right) + 310\]Ushbu misolda biz ko'phadni \(x - r\) ko'rinishidagi chiziqli ko'phadga bo'ldik va biz o'zimizni asosan aynan shunday turdagi masalalar bilan cheklaymiz. Burchakli bo'lish ancha umumiy ko'phadlarni bo'lishda ham ishlaydi, ammo keyingi bo'limlarda biz ko'proq aynan chiziqli hadga bo'lish bilan ish yuritamiz.
Aslida, biz bunday bo'lish amallarini shu qadar tez-tez bajaramizki, ularni hisoblashning yanada tezkor va samarali usuliga ehtiyoj sezamiz. Yaxshiyamki, bunday turdagi masalalar uchun ajoyib ishlaydigan sintetik bo'lish (Gorner sxemasi - synthetic division) deb nomlanuvchi usul mavjud. Sintetik bo'lishdan foydalanish uchun biz albatta ko'phadni \(x - r\) ko'rinishidagi chiziqli hadga bo'layotgan bo'lishimiz kerak. Aks holda bu usul ish bermaydi.
Keling, sintetik bo'lish qanday ishlashini ko'rish uchun oldingi masalani ushbu usulda qayta yechib chiqaylik.
Yechim
Sintetik bo'lishda biz barcha \(x\) o'zgaruvchilarni chetga surib qo'yamiz va faqat ko'phaddagi koeffitsiyentlar (sonlar) bilan ishlaymiz.
Dastlab e'tibor bering: bizning holimizda \(x - 4\) bo'lgani sababli \(r = 4\) bo'ladi.
Endi hisoblash sxemasini tuzamiz. Buning uchun turli xil belgilashlar mavjud. Biz quyidagi standart qulay ko'rinishdan foydalanamiz:
\[\left. {\underline {\,4 \,}}\! \right| \,\,\,\begin{array}{*{20}{l}}5&{ - 1}&0&6\end{array}\]Vertikal chiziqning o'ng tomonidagi sonlar — bu ko'phad hadlarining darajalari kamayib borish tartibida yozilgan koeffitsiyentlaridir. Shuningdek, tushib qolgan had nol koeffitsiyent bilan kiritilganiga e'tibor bering.
Endi jarayonni tushuntirish uchun sxemaning to'liq ko'rinishini keltiramiz:
Dastlab birinchi sonni (5) to'g'ridan-to'g'ri pastki uchinchi qatorga tushiramiz. So'ngra diagonal bo'ylab pastdagi sonni \(r\) ga (bizning holimizda 4 ga) ko'paytiramiz va natijani o'rta (ikkinchi) qatorga yozamiz (\(5 \cdot 4 = 20\)). So'ngra birinchi va ikkinchi qatordagi sonlarni ustun bo'yicha qo'shamiz: \(-1 + 20 = 19\). Bu natija uchinchi qatorga yoziladi. Shu jarayonni yuqori qatordagi oxirgi songa yetguncha davom ettiramiz: \(19 \cdot 4 = 76\), \(0 + 76 = 76\); keyin \(76 \cdot 4 = 304\) va \(6 + 304 = 310\).
Ko'rib turganingizdek, pastki qatordagi sonlar — bu bo'linma bo'lgan kvadrat ko'phadning darajalari kamayib borish tartibidagi koeffitsiyentlaridir (\(5, 19, 76\)), oxirgi son (310) esa qoldiqdir!
Natija birinchi misoldagi bilan aynan bir xil chiqadi:
\[5{x^3} - {x^2} + 6 = \left( {x - 4} \right)\left( {5{x^2} + 19x + 76} \right) + 310\]Birozdan so'ng sintetik bo'lishga yana bir nechta misollar ko'ramiz. Ammo avval quyidagi muhim qoidani umumlashtirib olaylik.
Bo'lish algoritmi (Division Algorithm)
Darajasi kamida 1 ga teng bo'lgan ixtiyoriy \(P(x)\) ko'phad va ixtiyoriy \(r\) soni berilgan bo'lsa, darajasi \(P(x)\) nikidan bir birlik kichik bo'lgan yagona \(Q(x)\) ko'phad (bo'linma — quotient) va yagona \(R\) soni (qoldiq — remainder) mavjud bo'lib, quyidagi munosabat o'rinli bo'ladi:
\[P\left( x \right) = \left( {x - r} \right)Q\left( x \right) + R\]Shuni alohida ta'kidlash kerakki, \(Q(x)\) va \(R\) yagonadir, ya'ni berilgan \(P(x)\) va \(r\) uchun aynan shu tenglikni qanoatlantiruvchi faqat bitta \(Q(x)\) va faqat bitta \(R\) mavjud.
Shunday qilib, yuqorida yechgan misolimizda:
\[Q\left( x \right) = 5{x^2} + 19x + 76\hspace{0.25in}{\mbox{va}}\hspace{0.25in}R = 310\]Endi sintetik bo'lishga doir yana ikkita misolni ishlab ko'raylik.
- \(2{x^3} - 3x - 5\) ko'phadni \(x + 2\) ga
- \(4{x^4} - 10{x^2} + 1\) ko'phadni \(x - 6\) ga
a \(2{x^3} - 3x - 5\) ko'phadni \(x + 2\) ga Yechim
Ushbu bandda biroz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Sxema ishlashi uchun bo'luvchi albatta \(x - r\) ko'rinishida bo'lishi shart va minus ishorasi qat'iy talab qilinadi. Shuning uchun \(x + 2\) ni avval quyidagicha yozib olamiz:
\[x + 2 = x - \left( { - 2} \right)\]Bundan ko'rinadiki, \(r = -2\) bo'ladi.
Endi sintetik bo'lish sxemasini tuzamiz. Tushib qolgan \(x^2\) hadi uchun 0 koeffitsiyent qo'yamiz:
\[\begin{align*} \left. {\underline {\,{ - 2} \,}}\! \right| & \begin{array}{*{20}{l}}2&{0}&{ - 3}&{- 5}\end{array}\\ & \underline {\begin{array}{*{20}{l}}{}&{ - 4}&{\,\,8}&{ - 10}\end{array}} \\ & \begin{array}{*{20}{l}}{2}&{ - 4}&{5}&{ - 15}\end{array}\end{align*}\]Shunday qilib, bu holatda natijamiz quyidagicha bo'ladi:
\[2{x^3} - 3x - 5 = \left( {x + 2} \right)\left( {2{x^2} - 4x + 5} \right) - 15\]b \(4{x^4} - 10{x^2} + 1\) ko'phadni \(x - 6\) ga Yechim
Bu holatda \(r = 6\). Ko'phadda \(x^3\) va \(x\) hadlari qatnashmagan, demak ularning koeffitsiyentlari 0 ga teng. Hisoblash sxemasi:
\[\begin{align*}\left. {\underline {6 \,}}\! \right| & \begin{array}{*{20}{l}}4&{\,0}&{ - 10}&{\,\,\,\,\,\,0}&{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1}\end{array}\\ & \underline {\begin{array}{*{20}{l}}0&{24}&{144}&{804}&{4824}\end{array}} \\ & \begin{array}{*{20}{l}}4&{24}&{134}&{804}&{4825}\end{array}\end{align*}\]Demak, ushbu bo'lish natijasida quyidagiga ega bo'lamiz:
\[4{x^4} - 10{x^2} + 1 = \left( {x - 6} \right)\left( {4{x^3} + 24{x^2} + 134x + 804} \right) + 4825\]Xo'sh, nima uchun biz buni o'rganyapmiz? Bu o'rinda bunday savol tug'ilishi tabiiy. Birinchi javob shuki: keyingi bo'limlarda biz ko'phadni ko'paytuvchilarga ajratishda \(Q(x)\) bo'linmani topishga muhtoj bo'lamiz.
Bundan tashqari, kelgusida juda ko'p foydalaniladigan yana bir ajoyib xususiyat mavjud. Keling, bo'lish algoritmidan boshlaylik:
\[P\left( x \right) = \left( {x - r} \right)Q\left( x \right) + R\]Endi ushbu ko'phadni \(x = r\) nuqtada hisoblaylik. Albatta, formulaga \(x\) o'rniga \(r\) ni to'g'ridan-to'g'ri qo'yib hisoblashimiz mumkin, ammo bo'lish algoritmidan foydalansak nima hosil bo'lishini ko'ring:
\[\begin{align*}P\left( r \right) & = \left( {r - r} \right)Q\left( r \right) + R\\ & = \left( 0 \right)Q\left( r \right) + R\\ & = R\end{align*}\]Bu nihoyatda qulay va go'zal natija! Bo'lish algoritmidagi qoldiq — bu ko'phadning \(r\) nuqtadagi qiymatining aynan o'zidir (\(P(r) = R\))! (Bu natija matematikada Bezu teoremasi yoki Qoldiq haqidagi teorema deb ham yuritiladi). Demak, oldingi misollarimizdan kelib chiqib, biz ko'phadlarni murakkab hisoblab o'tirmasdan, ularning quyidagi nuqtalardagi qiymatlarini darhol bilib oldik:
\[\begin{align*}& {\mbox{Agar }}\,\,P\left( x \right) = 5{x^3} - {x^2} + 6\,\,{\mbox{bo'lsa, u holda }}P\left( 4 \right) = 310\\ & {\mbox{Agar }}\,\,P\left( x \right) = 2{x^3} - 3x - 5\,\,{\mbox{bo'lsa, u holda }}P\left( { - 2} \right) = - 15\\ & {\mbox{Agar }}\,\,P\left( x \right) = 4{x^4} - 10{x^2} + 1\,\,{\mbox{bo'lsa, u holda }}P\left( 6 \right) = 4825\end{align*}\]Bu ko'phadlarning qiymatini hisoblashning juda tezkor va oson usulidir. Kam sonli hadlarga ega va darajasi kichik bo'lgan ko'phadlar uchun bu to'g'ridan-to'g'ri hisoblashdan unchalik tez bo'lmasligi mumkin. Ammo ko'phadda hadlar ko'p bo'lsa va ularning darajalari katta bo'lsa, sintetik bo'lish (Gorner sxemasi) orqali qiymatni topish to'g'ridan-to'g'ri hisoblashga qaraganda ancha tezroq amalga oshadi hamda hisoblash xatolariga yo'l qo'yish ehtimoli keskin kamayadi.
Ta'kidlanganidek, biz keyingi bo'limlarda ko'phadlarning ildizlarini topish va ularning grafiklarini chizishda ushbu faktdan keng foydalanamiz.