17.5-bo'lim: Stoks teoremasi
Ushbu bo'limda biz yuqori o'lchamli versiyasi bo'lgan teoremani ko'rib chiqamiz Green teoremasi. Yashil teoremada biz chiziqli integralni qaysidir mintaqa bo'yicha qo'sh integral bilan bog'ladik. Ushbu bo'limda biz chiziqli integralni sirt integrali bilan bog'laymiz. Biroq, teoremani berishdan oldin, biz chiziqli integralda ishlatadigan egri chiziqni aniqlashimiz kerak.
Keling, ko'rsatilgan yo'nalish bilan quyidagi sirtdan boshlaylik.
Ushbu sirtning chetida bizda \(C\) egri chiziq mavjud. Bu egri chiziq deyiladi chegara egri chizig'i. \(S\) sirtining orientatsiyasi ga olib keladi \(C\) ning ijobiy yo'nalishi. \(C\) ning ijobiy yo'nalishini olish uchun o'zingizni egri chiziq bo'ylab ketayotgandek tasavvur qiling. Egri chiziq bo'ylab yurganingizda, agar boshingiz birlik normal vektorlari bilan bir xil yo'nalishda bo'lsa, sirt chap tomonda bo'lsa, siz \(C\) da ijobiy yo'nalishda yurasiz.
Endi bizda bu egri chiziq ta'rifi Stokes teoremasini berishimiz mumkin emas.
Stoks teoremasi
\(S\) oddiy, yopiq, musbat yo‘naltirilgan \(C\) silliq chegara egri chizig‘i bilan chegaralangan yo‘naltirilgan silliq sirt bo‘lsin. Shuningdek, \(\vec F\) vektor maydoni bo'lsin,
\[\int\limits_{C}{{\vec F\centerdot \,d\,\vec r}} = \iint\limits_{S}{{{\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F\,\centerdot \,d\vec S}}\]Ushbu teoremada \(S\) sirtining chegara egri chizig'i \(C\) tomonidan berilgan bo'lsa, aslida har qanday sirt bo'lishi mumkinligini ta'kidlang. Bu ba'zida sirt integralini soddalashtirish uchun bizning foydamiz uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan narsadir.
Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Keling, buni sirtning eskizi bilan boshlaylik.
Bu holda \(C\) chegara egri chizig'i sirt \(z = 1\) tekisligi bilan kesishgan joyda bo'ladi va egri chiziq ham shunday bo'ladi.
\[\begin{align*}1 & = 5 - {x^2} - {y^2}\\ {x^2} + {y^2} & = 4\hspace{0.25in}{\mbox{at }}z = 1\end{align*}\]Shunday qilib, chegara egri chizig'i \(z = 1\) tekisligida joylashgan 2 radiusli doira bo'ladi. Ushbu egri chiziqning parametrizatsiyasi,
\[\vec r\left( t \right) = 2\cos t\,\vec i + 2\sin t\,\vec j + \vec k,\,\,\,\,0 \le t \le 2\pi \]Birinchi ikkita komponent aylana beradi va uchinchi komponent uning \(z = 1\) tekisligida ekanligiga ishonch hosil qiladi.
Stoks teoremasidan foydalanib, sirt integralini quyidagi chiziqli integrali sifatida yozishimiz mumkin.
\[\iint\limits_{S}{{{\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F\,\centerdot \,d\vec S}} = \int\limits_{C}{{\vec F\,\centerdot \,d\,\vec r}} = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\vec F\left( {\vec r\left( t \right)} \right)\,\centerdot \,\vec r'\left( t \right)\,dt}}\]Shunday qilib, bu integralni bajarishdan oldin bizga bir nechta miqdor kerak bo'ladi. Keling, avval egri chiziqda baholangan vektor maydonini olaylik. Esda tutingki, bu oddiygina parametrlash komponentlarini vektor maydoniga ulashdir.
\[\begin{align*}\vec F\left( {\vec r\left( t \right)} \right) & = {\left( 1 \right)^2}\,\vec i - 3\left( {2\cos t} \right)\left( {2\sin t} \right)\,\vec j + {\left( {2\cos t} \right)^3}{\left( {2\sin t} \right)^3}\,\vec k\\ & = \vec i - 12\cos t\sin t\,\vec j + 64{\cos ^3}t{\sin ^3}t\,\vec k\end{align*}\]Keyinchalik, parametrlashning hosilasi va bu va vektor maydonining nuqta mahsuloti kerak.
\[\begin{align*}\vec r'\left( t \right) & = - 2\sin t\,\vec i + 2\cos t\,\vec j\\ \vec F\left( {\vec r\left( t \right)} \right)\,\centerdot \,\vec r'\left( t \right)\, & = - 2\sin t - 24\sin t{\cos ^2}t\end{align*}\]Endi biz integralni bajarishimiz mumkin.
\[\begin{align*}\iint\limits_{S}{{{\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F\,\centerdot \,d\vec S}} & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{ - 2\sin t - 24\sin t{{\cos }^2}t\,dt}}\\ & = \left. {\left( {2\cos t + 8{{\cos }^3}t} \right)} \right|_0^{2\pi }\\ & = 0\end{align*}\]Yechim
Biz oxir-oqibat vektor maydonining jingalakiga muhtoj bo'lamiz, shuning uchun avval uni yo'q qilaylik.
\[{\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\{\frac{\partial }{{\partial x}}}&{\frac{\partial }{{\partial y}}}&{\frac{\partial }{{\partial z}}}\\{{z^2}}&{{y^2}}&x\end{array}} \right| = 2z\,\vec j - \vec j = \left( {2z - 1} \right)\vec j\]Endi bizda bor narsa - bu sirt integralida foydalanishimiz kerak bo'lgan sirt uchun chegara egri chizig'i. Biroq, yuqorida aytib o'tilganidek, bizga chegaraviy egri chizig'iga ega bo'lgan har qanday sirt kerak bo'ladi. Shunday qilib, sirt uchun yuqoriga yo'naltirilgan quyidagi tekislikdan foydalanamiz.
Samolyot yuqoriga yo'naltirilganligi sababli, bu ko'rsatilgandek \(C\) da ijobiy yo'nalishni keltirib chiqaradi. Bu tekislikning tenglamasi,
\[x + y + z = 1\hspace{0.25in}\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,z = g\left( {x,y} \right) = 1 - x - y\]Keling, Stoks teoremasidan foydalanamiz va sirt integralini o'rnatamiz.
\[\begin{align*}\int\limits_{C}{{\vec F\,\centerdot \,d\,\vec r}} & = \iint\limits_{S}{{{\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F\,\centerdot \,d\vec S}}\\ & = \iint\limits_{S}{{\left( {2z - 1} \right)\vec j\centerdot d\vec S}}\\ & = \iint\limits_{D}{{\left( {2z - 1} \right)\vec j\centerdot \frac{{\nabla f}}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\,\,\left\| {\nabla f} \right\|\,dA}}\end{align*}\]OK, endi biz bir nechta miqdorni topishimiz kerak. Avval gradientni olamiz. Eslatib o'tamiz, bu sirt funktsiyasidan kelib chiqadi.
\[\begin{align*}f\left( {x,y,z} \right) &= z - g\left( {x,y} \right) = z - 1 + x + y\\ & \nabla f = \vec i + \vec j + \vec k\end{align*}\]Shuni ham yodda tutingki, bu ham yuqoriga ishora qiladi va shuning uchun biz to'g'ri yo'nalishga egamiz.
Endi \(D\) quyida ko'rsatilgan \(xy\) tekisligidagi mintaqadir,
Biz tekislik tenglamasiga \(z = 0\) ni ulash orqali chiziq tenglamasini olamiz. Shunga asoslanib, \(D\) ni belgilaydigan diapazonlar:
\[0 \le x \le 1\hspace{0.25in}0 \le y \le - x + 1\]U holda integral,
\[\begin{align*}\int\limits_{C}{{\vec F\,\centerdot \,d\,\vec r}} & = \iint\limits_{D}{{\left( {2z - 1} \right)\vec j\centerdot \left( {\vec i + \vec j + \vec k} \right)\,dA}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,1}}{{\int_{{\,0}}^{{ - x + 1}}{{2\left( {1 - x - y} \right) - 1\,dy}}\,dx}}\end{align*}\]\(z\) ni ulashni unutmang, chunki biz samolyotda sirt integralini bajaramiz. Buni tugatish,
\[\begin{align*}\int\limits_{C}{{\vec F\,\centerdot \,d\,\vec r}} & = \int_{{\,0}}^{{\,1}}{{\int_{{\,0}}^{{ - x + 1}}{{1 - 2x - 2y\,dy}}\,dx}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,1}}{{\left. {\left( {y - 2xy - {y^2}} \right)} \right|_0^{ - x + 1}\,dx}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,1}}{{{x^2} - x\,dx}}\\ & = \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_0^1\\ & = - \frac{1}{6}\end{align*}\]Ushbu ikkala misolda biz unchalik yoqimsiz bo'lgan integralni olishga muvaffaq bo'ldik va Stoks teoremasidan foydalanib, biz uni unchalik yomon bo'lmagan integralga aylantira oldik.