3. trig xatolar
Bu juda qisqa bo'lim, lekin men hisob-kitob bo'yicha talabalarim doimiy ravishda qilayotgan ba'zi xatolarni o'z ichiga oladi, shuning uchun men ularni alohida bo'lim sifatida qo'shishni o'yladim.
Darajalar va radianlar
Men ko'rgan trig-klasslarning ko'pchiligi narsalarni darajalarda bajarishga e'tibor qaratishadi. O'ylaymanki, bu o'quvchilar uchun tasavvur qilish osonroq bo'lgani uchun, lekin haqiqat shundaki, deyarli barcha hisob-kitoblar radianlarda amalga oshiriladi va talabalar ko'pincha hisob sinfidagi barcha radyanlar bilan ishlashga tayyor bo'lmagan trig sinfidan chiqib ketishadi.
Siz shunchaki Calculus kursida hamma narsani radyanlarda bajarishga odatlanishingiz kerak. Agar sizdan \(x = 10\) da \(\cos \left( x \right)\) ni baholash so'ralsa, biz sizdan 10 gradus emas, 10 radiandan foydalanishingizni so'raymiz! Javoblar juda, juda boshqacha! Quyidagilarni ko'rib chiqing,
\[\begin{array}{lcl}\cos \left( {10} \right) = - 0.839071529076 & \hspace{0.5in} & {\mbox{in radians}}\\ \cos \left( {10} \right) = 0.984807753012 & \hspace{0.5in} & {\mbox{in degrees}}\end{array}\]Ular hatto bir xil belgi emasligini sezasiz!
Shunday qilib, ehtiyot bo'ling va trig sinfidagi trig funktsiyalari bilan ishlashda har doim radianlardan foydalanishingizga ishonch hosil qiling. Kalkulyatoringiz radianlarda hisob-kitoblarga o'rnatilganligiga ishonch hosil qiling.
\(\cos \left( x \right)\) ko'paytirish EMAS
Men talabalarning quyidagi ikkalasini ham doimiy ravishda sinab ko'rayotganini ko'raman
\[\begin{eqnarray*}\cos \left( {x + y} \right) & \ne & \cos \left( x \right) + \cos \left( y \right)\\ \cos \left( {3x} \right) & \ne & 3\cos \left( x \right)\end{eqnarray*}\]Bular shunchaki haqiqat emas. Bu xatolar haqida o'ylashim mumkin bo'lgan yagona sabab shundaki, talabalar \(\cos \left( x \right)\) ni \(\cos \) va \(x\) deb nomlangan narsalarni ko'paytirish deb o'ylashlari kerak. Bu haqiqatdan uzoqroq bo'lishi mumkin emas! Kosinus - bu funktsiya va \(\cos \) biz kosinus funktsiyasi bilan shug'ullanayotganimizni bildirish uchun ishlatiladi!
Agar bular to'g'ri emasligiga ishonchingiz komil bo'lmasa, \(x\) va \(y\) uchun bir nechta qiymatlarni tanlang va birinchi misolga ulang.
\[\begin{eqnarray*}\cos \left( {\pi + 2\pi } \right) & \ne & \cos \left( \pi \right) + \cos \left( {2\pi } \right)\\ \cos \left( {3\pi } \right) & \ne & - 1 + 1\\ - 1 & \ne & 0\end{eqnarray*}\]Shunday qilib, birinchisi to'g'ri emasligi aniq va biz ikkinchi misol uchun shunga o'xshash testni o'tkazishimiz mumkin.
\[\begin{eqnarray*}\cos \left( {3\pi } \right) & \ne & 3\cos \left( \pi \right)\\ - 1 & \ne & 3\left( { - 1} \right)\\ - 1 & \ne & - 3\end{eqnarray*}\]Menimcha, muammo shundaki, vaqti-vaqti bilan bular uchun haqiqat bo'lgan qiymatlar mavjud. Misol uchun, siz ikkinchi misolda \(x = \frac{\pi }{2}\) dan foydalanishingiz mumkin va ikkala tomon ham nolga teng bo'ladi, shuning uchun u \(x\) qiymati uchun ishlaydi. Umuman olganda, dunyoda mavjud bo'lgan qadriyatlarning aksariyati uchun bu haqiqat emas!
Yana umumiy eslatmada. Men bu misol uchun kosinusni tanladim, lekin oltita trig funksiyasidan istalgan birini ishlatishim mumkin edi, shuning uchun ehtiyot bo'ling!
Trig funksiyalarining vakolatlari
Esda tutingki, agar \(n\) musbat butun son bo'lsa
\[{\sin ^n}x = {\left( {\sin x} \right)^n}\]Xuddi shu narsa boshqa barcha trig funktsiyalari uchun ham amal qiladi. Bu shunchaki notatsion o'ziga xoslik, siz ko'nikishingiz kerak. Quyidagilarni ham to'g'ri saqlashni unutmang.
\[{\tan ^2}x \hspace{0.5in} {\mbox{vs.}} \hspace{0.5in} \tan {x^2}\]Birinchi holda biz tangensni, keyin kvadratlashtirish natijasini olamiz, ikkinchisida esa \(x\) ni kvadratga aylantiramiz, keyin tangensni olamiz.
\(\tan {x^2}\) aslida bu turdagi muammolar uchun eng yaxshi belgi emas, lekin men odamlarni (talabalar ham, o'qituvchilar ham) doimo undan foydalanayotganini ko'raman. Biz haqiqatan ham narsalarni aniq qilish uchun \(\tan \left( {{x^2}} \right)\) dan foydalanishimiz kerak.
Teskari trig belgisi
Teskari trig funktsiyalari uchun belgi eng yaxshi emas. Shuni esda tutish kerakki, men yuqorida aytib o'tganimga qaramay,
\[{\cos ^{ - 1}}x \ne \frac{1}{{\cos x}}\]Shuning uchun men oldingi muhokamada n musbat butun son ekanligini aytdim. Men bu notatsiya muammosidan qochishni xohlardim. \({\cos ^{ - 1}}x\)-dagi -1 ko'rsatkich EMAS, bu biz teskari trig funksiyasi bilan ishlayotganimizni bildirish uchun mavjud.
Bu muammodan qochadigan teskari trig funksiyalari uchun yana bir belgi bor, lekin u har doim ham ishlatilmaydi.
\[{\cos ^{ - 1}}x = \arccos x\]