SolveSystems | MathModel.uz

1.12-bo'lim: Tenglamalar sistemasini yechish

Quyidagi tenglamalar sistemasini yeching. Yechimni talqin qiling.
\[\begin{align*}2x - y - 2z & = - 3\\ x + 3y + z & = - 1\\ 5x - 4y + 3z & = 10\end{align*}\]

Yechim

Ushbu muammoni hal qilish jarayonida davom etishning ko'plab mumkin bo'lgan usullari mavjud. Hammasi bir xil yechimni beradi va barchasi o'zgaruvchilardan birini yo'q qilishni va ikkita noma'lumda ikkita tenglama tizimiga tushishni o'z ichiga oladi, keyin siz uni hal qilishingiz mumkin.

1-usul

Birinchi yechim usuli o'zgaruvchilardan biri uchun uchta asl tenglamadan birini echishni o'z ichiga oladi. Buni boshqa ikkita tenglamaga almashtiring. Bu juda tez yechish mumkin bo'lgan ikkita noma'lumda ikkita tenglamani beradi.

Ushbu muammo uchun biz $x$ olish uchun ikkinchi tenglamani yechamiz.
\[x = - z - 3y - 1\]
Buni birinchi va uchinchi tenglamaga ulash quyidagi ikkita tenglama tizimini beradi.
\[\begin{align*}2\left( { - z - 3y - 1} \right) - y - 2z & = - 3\\ 5\left( { - z - 3y - 1} \right) - 4y + 3z & = 10\end{align*}\]
Yoki soddalashtirilganda
\[\begin{align*} - 7y - 4z & = - 1\\ - 19y - 2z &= 15\end{align*}\]
Ikkinchi tenglamani -2 ga ko'paytiring va qo'shing.
\[\begin{align*} - 7y - 4z & = - 1\\ 38y + 4z & = - 30\\ \hline 31y & = - 31\end{align*}\]
Bundan biz $y = - 1$ ekanligini ko'ramiz. Buni yuqoridagi ikkita tenglamadan biriga ulash $z = 2$ hosil qiladi. Va nihoyat, bu ikkala javobni \[x = - z - 3y - 1\] ga ulash $x = 0$ ni beradi.

2-usul

Ikkinchi usulda o'zgaruvchilardan birini yo'q qilish uchun ikkita tenglamaning ko'paytmalarini qo'shamiz. Biz buni ikkalasida bir xil o'zgaruvchini yo'q qiladigan ikki xil tenglamalar to'plamidan foydalanib qilamiz. Bu biz hal qila oladigan ikkita noma'lum ikkita tenglama tizimini beradi.

Shunday qilib, agar biz ikkinchi tenglamani -2 ga ko'paytirsak va uni birinchi tenglamaga qo'shsak, buni payqashdan boshlaymiz.
\[\begin{align*}2x - y - 2z & = - 3\\ - 2x - 6y - 2z & = 2\\ \hline - 7y - 4z & = - 1\end{align*}\]
Keyin ikkinchi tenglamani -5 ga ko'paytiring va uchinchi tenglamaga qo'shing. Bu beradi
\[\begin{align*} - 5x - 15y - 5z & = 5\\ 5x - 4y + 3z & = 10\\ \hline - 19y - 2z & = 15\end{align*}\]
Bu quyidagi ikkita tenglama tizimini beradi.
\[\begin{align*} - 7y - 4z & = - 1\\ - 19y - 2z & = 15\end{align*}\]
Endi biz buni ikkinchisini -2 ga ko'paytirish va qo'shish orqali hal qilishimiz mumkin
\[\begin{align*} - 7y - 4z & = - 1\\ 38y + 4z & = - 30\\ \hline 31y & = - 31\end{align*}\]
Bundan biz $y = - 1$ ni olamiz, bu birinchi yechim usuli bilan bir xil. Buni faqat $y$ va $z$ o'z ichiga olgan ikkita tenglamadan biriga ulang va biz $z = 2$ ni olamiz. Nihoyat, ularni asl uchta tenglamadan biriga ulang va biz $x = 0$ ni olamiz.

Siz ikkita yechim usulidan birini qo'llashingiz mumkin. Bunday holda, ikkala usul ham bir xil asosiy ish darajasini o'z ichiga oladi. Boshqa hollarda, yoqish boshqasiga qaraganda ancha oson bo'lishi mumkin. Qaysi usul eng yaxshi ishlashini aniqlash uchun uni olganingizda har bir tizimni baholashingiz kerak bo'ladi.

Izoh

Eslatib o'tamiz, tenglamalar sistemasi yechimining bir talqini shundaki, yechim (lar) egri chiziqlar yoki sirtlar (bu holatda bo'lgani kabi) kesishadigan joy(lar)dir. Shunday qilib, ushbu tizimdagi uchta tenglama 3D kosmosdagi tekisliklarning tenglamalaridir (agar buni hali bilmagan bo'lsangiz, buni Calculus II da bilib olasiz). Demak, bizning yechimimizdan bilamizki, uchta tekislik (0,-1,2) nuqtada kesishadi. Quyida uchta tekislikning grafigi keltirilgan.

Bu grafikda qizil tekislik $2x - y - 2z = - 3$ ning grafigi, yashil tekislik $x + 3y + z = 1$ grafigi va ko'k tekislik \[5x - 4y + 3z = 10\] grafigidir. Ushbu rasmdan ko'rish mumkinki, uchta tekislik bir nuqtada kesishganga o'xshaydi. Bu nuqtaning aniq koordinatalari qanday ekanligini ko'rish biroz qiyin. Biroq, agar biz kattalashtirib, yaxshiroq grafika olsak, bu nuqtaning koordinatalari $(0, - 1,2)$ ekanligini ko'ramiz.

$A three dimensional graph of the three planes in the system. The red plane is $2x - y - 2z = - 3$, the green plane is $x + 3y + z = 1$ and the blue plane is $5x - 4y + 3z = 10$. The three planes all slice through each other and appear to meet at a single common point.$
Quyidagi ikkita egri chiziq qayerda kesishishini aniqlang. \[\begin{align*}{x^2} + {y^2} & = 13\\ y & = {x^2} - 1\end{align*}\]

Yechim

Bu holda biz aylana va parabolaning kesishgan joyini qidiramiz. Mana, ular haqiqatan ham shunday bo'lishiga o'zimizni ishontirish uchun tezkor grafik. Bunday tizim bilan buni qilish yomon fikr emas. Ikki egri chiziq kesishmasligi mumkin va biz mavjud bo'lmagan yechimni topishga vaqt sarflaymiz! Agar kesishish nuqtalari mavjud bo'lsa, grafik bizga qancha olishimiz mumkinligini ham ko'rsatadi.

$The graphs of the circle ${x^2} + {y^2} = 13$ and the parabola $y = {x^2} - 1$ on the same axis system. The circle is centered at the origin with a radius of about 3.6 and the parabola opens upward with its vertex at $\left( {0, - 1} \right)$. The parabola crosses the circle at two points, one in the second quadrant and one in the first quadrant, both fairly high up on the circle.$

Endi biz ular kesib o'tishlarini bilganimizdan so'ng, keling, IKKI kesishish nuqtasini topishni davom ettiramiz. Ushbu nuqtada davom etishning bir necha yo'li mavjud. Buning bir usuli ikkinchi tenglamani birinchisiga quyidagi tarzda almashtirish va keyin $x$ ni yechishdir.
\[{x^2} + {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = 13\]
Garchi bu birinchi bo'lib aqlga kelgan bo'lsa-da, bu talab qilinganidan ko'ra ko'proq ishdir. Buni shunday qilish o'rniga, ikkinchi tenglamani quyidagi tarzda qayta yozamiz
\[{x^2} = y + 1\]
Endi buni birinchi tenglamaga almashtiring.
\[\begin{align*}y + 1 + {y^2} & = 13\\ {y^2} + y - 12 & = 0\\ \left( {y + 4} \right)\left( {y - 3} \right) & = 0\end{align*}\]
Bu $y$ ning ikkita qiymatini beradi: $y = 3$ va $y = - 4$. Grafikdan ko'rinib turibdiki (umid qilamanki ....) $y = - 4$ uchun kesishish nuqtalari bo'lmaydi. Biroq, bizda grafik yo'q edi, deylik va bu bilimsiz davom eting. Shunday qilib, biz har bir $y$ qiymatini tenglamalardan biriga almashtirishimiz kerak (men ${x^2} = y + 1$ dan foydalanaman) va $x$ ni hal qilishimiz kerak.

Birinchidan, $y = 3$.
\[\begin{align*}{x^2} & = 3 + 1 = 4\\ x & = \pm 2\end{align*}\]
Shunday qilib, ikkita kesishish nuqtasi (-2,3) va (2,3) dir. Bu "chiroyli" javoblarga o'rganmang, ko'pincha yechimlar kasr va/yoki o'nlik bo'ladi.

Endi $y = - 4$
\[\begin{align*}{x^2} & = - 4 + 1 = - 3\\ x & = \pm \sqrt 3 \,i\end{align*}\]
Shunday qilib, bu holda biz murakkab echimlarni olamiz. Bu shuni anglatadiki, $\left( {\sqrt 3 \,i, - 4} \right)$ va $\left( { - \sqrt 3 \,i, - 4} \right)$ tizim uchun yechim bo'lsa-da, ular kesishish nuqtalariga mos kelmaydi.

Ba'zida siz murakkab echimlarni xohlaysiz va ba'zida murakkab echimlarni xohlamaysiz. Siz odatda muammo bayonotidan yoki ishlayotgan muammo turidan murakkab echimlarni kiritishingiz kerakmi yoki yo'qligini aniqlashingiz mumkin. Bu holda biz ikkita egri chiziq kesishgan joydan keyin edik, bu biz faqat haqiqiy echimlarga intilayotganimizni anglatadi.
Quyidagi ikkita egri chiziqni chizing va ular qayerda kesishganini aniqlang. \[\begin{align*}x & = {y^2} - 4y - 8\\ x & = 5y + 28\end{align*}\]

Yechim

Quyida ikkala funktsiyaning grafigi keltirilgan. Funktsiyani $x = f\left( y \right)$ shaklida qanday grafik qilishni eslay olmasangiz, ga qayting Grafik va umumiy grafiklar tez yangilash uchun bo'lim.

$The graphs of the parabola $x = {y^2} - 4y - 8$ and the line $x = 5y + 28$ on the same axis system. The parabola opens to the right with its vertex at $\left( { - 12,2} \right)$ and the line rises from the lower left to the upper right. The line crosses the parabola at two points, one near the bottom of the graph and one near the top right.$

Biz topishimiz uchun ikkita kesishish nuqtasi mavjud. Bu holda, ikkala tenglama $x = f(y)$ shaklida bo'lgani uchun biz ikkita tenglamani tenglashtiramiz va $y$ uchun yechamiz.
\[\begin{align*}{y^2} - 4y - 8 & = 5y + 28\\ {y^2} - 9y - 36 & = 0\\ \left( {y + 3} \right)\left( {y - 12} \right) & = 0\end{align*}\]
Ikki kesishish nuqtasining $y$ koordinatalari keyin $y = - 3$ va $y = 12$ bo'ladi. Endi ikkalasini ham asl tenglamalardan biriga ulang va $x$ ni hal qiling. Men chiziqdan foydalanaman (ikkinchi tenglama), chunki bu biroz osonroq ko'rinadi.

Birinchidan, $y = - 3$.
\[x = 5\left( { - 3} \right) + 28 = 13\]
Endi, $y = 12$.
\[x = 5\left( {12} \right) + 28 = 88\]
Shunday qilib, ikkita kesishma (13,-3) va (88,12) dir.

1.12-bo'lim: Tenglamalar sistemasini yechish

1-usul

2-usul

Izoh