4.4-bo'lim: Bosqichli funksiyalar
Differensial tenglamalarni yechishdan oldin yana bir funktsiyani ko'rib chiqishimiz kerak. Laplassiz o'zgartirsa, \(g(t)\) da ushbu funktsiyani o'z ichiga olgan differentsial tenglamalarni echish ancha qiyin bo'ladi.
Funktsiya Heaviside funktsiyasi bo'lib, quyidagicha aniqlanadi:
\[{u_c}\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}0&{{\mbox{if }}t < c}\\1&{{\mbox{if }}t \ge c}\end{array}} \right.\]Mana Heaviside funksiyasining grafigi.
Og'ir tomondagi funktsiyalar ko'pincha qadam funktsiyalari deb ataladi. Bu erda Heaviside funktsiyalari uchun ba'zi muqobil belgilar mavjud.
\[{u_c}\left( t \right) = u\left( {t - c} \right) = H\left( {t - c} \right)\]Biz Heaviside funktsiyasini \(t = c\) ga qadar o'chirilgan kalit sifatida tasavvur qilishimiz mumkin, u shu nuqtada u yoqiladi va 1 qiymatini oladi. Xo'sh, agar biz yoqilgan va boshqa qiymatni, masalan, 4 yoki -7 qiymatini oladigan kalitni xohlasak-chi?
Heaviside funktsiyalari faqat 0 yoki 1 qiymatlarini olishi mumkin, ammo biz ulardan boshqa turdagi kalitlarni olish uchun foydalanishimiz mumkin. Misol uchun, \(4u_{c}(t)\) bu \(t = c\) gacha o'chirilgan, so'ngra yoqilgan va 4 qiymatini oladigan kalitdir. Xuddi shunday, \(-7u_{c}(t)\) yoqilganda -7 qiymatini oladigan kalit bo'ladi.
Aytaylik, biz yoqilgan (qiymati 1) va keyin \(t = c\) da o'chadigan kalitni xohlaymiz. Buni ifodalash uchun biz Heaviside funksiyalaridan foydalanishimiz mumkin. Quyidagi funksiya bunday xatti-harakatni namoyon qiladi.
\[1 - {u_c}\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - 0 = 1}&{{\mbox{if }}t < c}\\{1 - 1 = 0}&{{\mbox{if }}t \ge c}\end{array}} \right.\]\(t = c\) dan oldin Heaviside o'chirilgan va shuning uchun qiymati nolga teng. \(t < c\) uchun butun funksiya 1 qiymatiga ega. Biz \(t = c\) tugmasini bosganimizda Heaviside funksiyasi yoqiladi va funksiya endi 0 qiymatini oladi.
Shuningdek, biz buni o'zgartirishimiz mumkin, shunda u yoqilganda 1 dan boshqa qiymatlarga ega bo'ladi. Masalan,
\[3 - 3{u_c}\left( t \right)\]\(t = c\) da o'chguncha 3 qiymatiga ega bo'lgan kalit bo'ladi.
Bundan tashqari, biz Heaviside funktsiyalaridan ancha murakkab kalitlarni ko'rsatish uchun foydalanishimiz mumkin.
Yechim
Ushbu funktsiyada uchta keskin siljish bor va shuning uchun (umid qilamanki) bu erda bizga uchta Heaviside funktsiyasi kerak bo'lishi aniq, funktsiyaning har bir o'zgarishi uchun bittadan. Mana Heaviside funktsiyalari nuqtai nazaridan funksiya.
\[f\left( t \right) = - 4 + 29{u_6}\left( t \right) - 9{u_8}\left( t \right) - 6{u_{30}}\left( t \right)\]Buni tekshirish juda oson.
Birinchi oraliqda \(t < 6\) barcha uchta Heaviside funktsiyasi o'chirilgan va funktsiya qiymatiga ega.
\[f\left( t \right) = - 4\]E'tibor bering, biz qachon bilish Heaviside funktsiyalari yoqilgan yoki o'chirilgan, biz ularni bu holatda qilganimiz kabi umuman yozmaslikka moyilmiz.
Keyingi oraliqda \(6 \le t < 8\) birinchi Heaviside funktsiyasi yoqilgan, qolgan ikkitasi hali o'chirilgan. Demak, bu holda funksiya qiymatga ega.
\[f\left( t \right) = - 4 + 29 = 25\]Uchinchi intervalda \(8 \le t < 30\) birinchi ikkita Heaviside funksiyasi yoqilgan, oxirgisi esa oʻchirilgan. Bu erda funktsiya qiymatga ega.
\[f\left( t \right) = - 4 + 29 - 9 = 16\]Oxirgi intervalda \(t \ge 30\) all uchta Heaviside funktsiyasi bitta va funktsiya qiymatiga ega.
\[f\left( t \right) = - 4 + 29 - 9 - 6 = 10\]Demak, funksiya barcha intervallarda to‘g‘ri qiymatga ega.
Bularning barchasi yaxshi, lekin agar biz kalitlarni ko'rsatish uchun Heaviside funksiyasidan foydalanish g'oyasini davom ettirsak, haqiqatan ham ko'pchilik kalitlar yoqilmasligini va doimiy qiymatlarni qabul qilishini tan olishimiz kerak. Aksariyat kalitlar yoqiladi va qiymatiga qarab doimiy ravishda o'zgaradi t.
Shunday qilib, keling, quyidagi funktsiyani ko'rib chiqaylik.
Biz \(t = c\) ga qadar o'chirilgan, so'ngra yoqilgan va yuqoridagi qiymatlarni oladigan kalitni xohlaymiz. Bu bilan biz \(t = c\) qachon kalit yoqilishini va \(f(0)\) qiymatini olishini va qachon t = c + 4 biz kalitni yoqishni va \(f(4)\) qiymatini olishni xohlaymiz, va hokazo. Boshqacha qilib aytganda, biz kalit quyidagi kabi ko'rinishini xohlaymiz:
E'tibor bering, biz kalit qabul qilishni xohlagan qiymatlarni olish uchun uni yoqish va \(f\left( {t - c} \right)\) qiymatlarini olish kerak! Biz Heaviside funksiyalaridan ushbu kalitni ham taqdim etishimizga yordam berishimiz mumkin. Heaviside funksiyalaridan foydalanib, bu kalit quyidagicha yozilishi mumkin
\[\begin{equation}g\left( t \right) = {u_c}\left( t \right)f\left( {t - c} \right)\label{eq:eq1}\end{equation}\]Xo'sh, biz shu paytgacha Heaviside funktsiyalari haqida ko'p gaplashdik, lekin biz Laplasga ham tegmadik. hali o'zgartiradi. Shunday qilib, keling, bu haqda o'ylashni boshlaylik. \(\eqref{eq:eq1}\) ning Laplas konvertatsiyasini aniqlaymiz. Buni olish juda oson, shuning uchun buni qilaylik. \(\eqref{eq:eq1}\) ni tarmoqqa ulash ta'rifi Laplasdan transformatsiya beradi,
\[\begin{align*}\mathcal{L}\left\{ {{u_c}\left( t \right)f\left( {t - c} \right)} \right\} & = \int_{{\,0}}^{{\,\infty }}{{{{\bf{e}}^{ - s\,t}}{u_c}\left( t \right)f\left( {t - c} \right)\,dt}}\\ & = \int_{{\,c}}^{{\,\infty }}{{{{\bf{e}}^{ - s\,t}}f\left( {t - c} \right)\,dt}}\end{align*}\]E'tibor bering, agar biz \(t < c\) bo'lsa, Heaviside funktsiyasi nolga teng bo'lishidan foydalandik va aks holda 1 bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, biz Heaviside funktsiyasini tashlab, integralni 0 o'rniga \(c\) da boshlashimiz mumkin. Endi almashtirishdan foydalaning. u = t – c va integral bo'ladi,
\[\begin{align*}\mathcal{L}\left\{ {{u_c}\left( t \right)f\left( {t - c} \right)} \right\} & = \int_{{\,0}}^{{\,\infty }}{{{{\bf{e}}^{ - s\left( {u + c} \right)}}f\left( u \right)\,du}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,\infty }}{{{{\bf{e}}^{ - s\,u}}{{\bf{e}}^{ - c\,s}}f\left( u \right)\,du}}\end{align*}\]Ikkinchi eksponentda \(u\) yo'q va shuning uchun uni integraldan ajratib olish mumkin. Shuni ham yodda tutingki, almashtirish jarayonida integratsiyaning pastki chegarasi 0 ga qaytdi.
\[\mathcal{L}\left\{ {{u_c}\left( t \right)f\left( {t - c} \right)} \right\} = {{\bf{e}}^{ - c\,s}}\int_{{\,0}}^{{\,\infty }}{{{{\bf{e}}^{ - s\,u}}f\left( u \right)\,du}}\]Endi, chap integral, agar biz Laplas konvertatsiyasini topmoqchi bo'lsak, hisoblashimiz kerak bo'lgan integraldan boshqa narsa emas. f(t). Shunday qilib, biz quyidagi formulani olamiz
\[\begin{equation}\mathcal{L}\left\{ {{u_c}\left( t \right)f\left( {t - c} \right)} \right\} = {{\bf{e}}^{ - c\,s}}F\left( s \right)\label{eq:eq2}\end{equation}\]\(\eqref{eq:eq2}\) dan foydalanish uchun \(f(t)\) funksiyasi Heaviside funksiyasida ishlatiladigan qiymatga o'xshash \(c\) ga o'zgartirilishi kerak. Shuni ham yodda tutingki, biz faqat \(f(t)\) konvertatsiyasini qabul qilamiz, lekin emas f(t-c)! Bundan tashqari, teskari Laplas konvertatsiyalari uchun foydali formulani olish uchun buni aylantira olamiz.
\[\begin{equation}{\mathcal{L}^{\,\, - 1}}\left\{ {{{\bf{e}}^{ - c\,s}}F\left( s \right)} \right\} = {u_c}\left( t \right)f\left( {t - c} \right)\label{eq:eq3}\end{equation}\]Biz \(\eqref{eq:eq2}\) dan Heaviside funktsiyasining Laplas konvertatsiyasini o'z-o'zidan olishimiz mumkin. Buning uchun \(\eqref{eq:eq2}\) da funksiyani \(f(t) = 1\) deb hisoblaymiz. Buni qilish bizga beradi
\[\mathcal{L}\left\{ {{u_c}\left( t \right)} \right\} = \mathcal{L}\left\{ {{u_c}\left( t \right)\,\centerdot \,1} \right\} = {{\bf{e}}^{ - c\,s}}\mathcal{L}\left\{ 1 \right\} = \frac{1}{s}{{\bf{e}}^{ - c\,s}} = \frac{{{{\bf{e}}^{ - c\,s}}}}{s}\]Bularning barchasini jamlash quyidagi ikkita formulaga olib keladi.
\[\begin{equation}\mathcal{L}\left\{ {{u_c}\left( t \right)} \right\} = \frac{{{{\bf{e}}^{ - c\,s}}}}{s}\hspace{0.25in}{\mathcal{L}^{\,\, - 1}}\left\{ {\frac{{{{\bf{e}}^{ - c\,s}}}}{s}} \right\} = {u_c}\left( t \right)\label{eq:eq4}\end{equation}\]Keling, ba'zi misollar keltiraylik.
- \(g\left( t \right) = 10{u_{12}}\left( t \right) + 2{\left( {t - 6} \right)^3}{u_6}\left( t \right) - \left( {7 - {{\bf{e}}^{12 - 3t}}} \right){u_4}\left( t \right)\)
- \(f\left( t \right) = - {t^2}{u_3}\left( t \right) + \cos \left( t \right){u_5}\left( t \right)\)
- \(h\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t^4}}&{{\mbox{if }}t < 5}\\{{t^4} + 3\sin \left( {\frac{t}{{10}} - \frac{1}{2}} \right)}&{{\mbox{if }}t \ge 5}\end{array}} \right.\)
- \(f\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}t&{{\mbox{if }}t < 6}\\{ - 8 + {{\left( {t - 6} \right)}^2}}&{{\mbox{if }}t \ge 6}\end{array}} \right.\)
Munozarani ko'rsatish
Ushbu muammolarning barchasida funktsiyani unutmang SHART shaklida bo'lish
\[{u_c}\left( t \right)f\left( {t - c} \right)\]transformatsiyalarni olishni boshlashdan oldin. Agar bu shaklda bo'lmasa, biz uni o'sha shaklga qo'yishimiz kerak!
a \(g\left( t \right) = 10{u_{12}}\left( t \right) + 2{\left( {t - 6} \right)^3}{u_6}\left( t \right) - \left( {7 - {{\bf{e}}^{12 - 3t}}} \right){u_4}\left( t \right)\) Yechim
Demak, bu funksiyada uchta atama mavjud. Birinchisi oddiygina Heaviside funktsiyasi va shuning uchun biz ushbu atamada \(\eqref{eq:eq4}\) dan foydalanishimiz mumkin. Biroq, ikkinchi va uchinchi atamalar ular bilan funktsiyalarga ega va biz ularning har biri uchun o'zgartirilgan funktsiyalarni aniqlashimiz kerak. Ikkinchi muddatda biz quyidagi funktsiyadan foydalanayotganimiz ko'rinadi,
\[f\left( t \right) = 2{t^3}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}f\left( {t - 6} \right) = 2{\left( {t - 6} \right)^3}\]va bu to'g'ri miqdorga o'zgartirildi.
Uchinchi atama quyidagi funktsiyadan foydalanadi:
\[f\left( t \right) = 7 - {{\bf{e}}^{ - 3t}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}f\left( {t - 4} \right) = 7 - {{\bf{e}}^{ - 3\left( {t - 4} \right)}} = 7 - {{\bf{e}}^{12 - 3t}}\]bu ham to'g'ri miqdor bilan o'zgartirildi.
Ushbu funksiyalar aniqlangan holda biz endi funksiyani o'zgartirishimiz mumkin.
\[\begin{align*}G\left( s \right) & = \frac{{10{{\bf{e}}^{ - 12s}}}}{s} + {{\bf{e}}^{ - 6s}}\frac{{2\left( {3!} \right)}}{{{s^{3 + 1}}}} - \left( {\frac{7}{s} - \frac{1}{{s + 3}}} \right){{\bf{e}}^{ - 4s}}\\ & = \frac{{10{{\bf{e}}^{ - 12s}}}}{s} + \frac{{12{{\bf{e}}^{ - 6s}}}}{{{s^{3 + 1}}}} - \left( {\frac{7}{s} - \frac{1}{{s + 3}}} \right){{\bf{e}}^{ - 4s}}\end{align*}\]b \(f\left( t \right) = - {t^2}{u_3}\left( t \right) + \cos \left( t \right){u_5}\left( t \right)\) Yechim
Ushbu qism ba'zi muammolarni keltirib chiqaradi. Ikkita shart mavjud va hech biri tegishli miqdorga o'zgartirilmagan. Birinchi atama 3 ga, ikkinchisi esa 5 ga siljishi kerak. Shunday qilib, ular ko'chirilmagani uchun biz masalani majburlashimiz kerak. Biz smenalarga qo'shishimiz kerak va keyin ularni albatta olib tashlashimiz kerak. Mana ular.
\[f\left( t \right) = - {\left( {t - 3 + 3} \right)^2}{u_3}\left( t \right) + \cos \left( {t - 5 + 5} \right){u_5}\left( t \right)\]Endi bizda bu erda hali ham mumkin bo'lgan muammolar mavjud. Birinchi funktsiya hali ham to'g'ri o'zgartirilmagan, shuning uchun biz foydalanishimiz kerak
\[{\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\]buni to'g'ri o'zgartirish uchun.
Ikkinchi muddat ikki yo'ldan birida ko'rib chiqilishi mumkin. Birinchisi, formuladan foydalanish bo'ladi
\[\cos \left( {a + b} \right) = \cos \left( a \right)\cos \left( b \right) - \sin \left( a \right)\sin \left( b \right)\]uni \(t\)-5 argumentlari bilan kosinuslar va sinuslarga ajratish, biz kutganimizdek siljiydi. Biroq, buni qilishning osonroq yo'li bor. Laplas o'zgarishlar jadvalimizdan biz mavjud #16 va undan foydalanib, agar buni ko'rishimiz mumkin
\[g\left( t \right) = \cos \left( {t + 5} \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}g\left( {t - 5} \right) = \cos \left( {t - 5 + 5} \right)\]Bu bizning hayotimizni biroz osonlashtiradi, shuning uchun biz buni shunday qilamiz.
Endi, birinchi muddatni ajratib, ikkinchi muddatni yolg'iz qoldirish bizga,
\[f\left( t \right) = - \left( {{{\left( {t - 3} \right)}^2} + 6\left( {t - 3} \right) + 9} \right){u_3}\left( t \right) + \cos \left( {t - 5 + 5} \right){u_5}\left( t \right)\]Xo'sh, bu erda o'zgartirilgan ikkita funktsiyaga o'xshaydi
\[\begin{align*}g\left( t \right) & = {t^2} + 6t + 9\\ g\left( t \right) & = \cos \left( {t + 5} \right)\end{align*}\]Transformatsiyani qabul qilish, keyin beradi,
\[F\left( s \right) = - \left( {\frac{2}{{{s^3}}} + \frac{6}{{{s^2}}} + \frac{9}{s}} \right){{\bf{e}}^{ - 3s}} + \left( {\frac{{s\cos \left( 5 \right) - \sin \left( 5 \right)}}{{{s^2} + 1}}} \right){{\bf{e}}^{ - 5s}}\]Bu tartibsiz, ayniqsa ikkinchi muddat, lekin u erda. Bundan tashqari, \(\cos \left( 5 \right)\) va \(\sin \left( 5 \right)\) haqida hayajonlanmang. Ular shunchaki raqamlar.
c \(h\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t^4}}&{{\mbox{if }}t < 5}\\{{t^4} + 3\sin \left( {\frac{t}{{10}} - \frac{1}{2}} \right)}&{{\mbox{if }}t \ge 5}\end{array}} \right.\) Yechim
Bu sirtdan ko'rinadigan darajada yomon emas. Biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa uni Heaviside funktsiyalari nuqtai nazaridan yozishdir.
\[\begin{align*}h\left( t \right) & = {t^4} + 3{u_5}\left( t \right)\sin \left( {\frac{t}{{10}} - \frac{1}{2}} \right)\\ & = {t^4} + 3{u_5}\left( t \right)\sin \left( {\frac{1}{{10}}\left( {t - 5} \right)} \right)\end{align*}\]\(t^{4}\) ikkala atamada bo'lgani uchun, biz Heaviside funktsiyasini qo'shganda hech narsa qilishimiz shart emas. Qo'shiladigan yagona narsa sinus atamasi. E'tibor bering, sinus to'g'ri miqdorda siljigan.
Biz hozir qilishimiz kerak bo'lgan narsa - bu o'zgarishlarni qabul qilish.
\[\begin{align*}H\left( s \right) & = \frac{{4!}}{{{s^5}}} + \frac{{3\left( {\frac{1}{{10}}} \right){{\bf{e}}^{ - 5s}}}}{{{s^2} + {{\left( {\frac{1}{{10}}} \right)}^2}}}\\ & = \frac{{24}}{{{s^5}}} + \frac{{\frac{3}{{10}}{{\bf{e}}^{ - 5s}}}}{{{s^2} + \frac{1}{{100}}}}\end{align*}\]d \(f\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}t&{{\mbox{if }}t < 6}\\{ - 8 + {{\left( {t - 6} \right)}^2}}&{{\mbox{if }}t \ge 6}\end{array}} \right.\) Yechim
Shunga qaramay, biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa funktsiyani Heaviside funktsiyalari nuqtai nazaridan yozishdir.
\[f\left( t \right) = t + \left( { - 8 - t + {{\left( {t - 6} \right)}^2}} \right){u_6}\left( t \right)\]Biz ikkinchi atamaga “-8” qoʻshishimiz kerak edi, chunki bu ikkinchi qismda paydo boʻladi va biz ikkinchi aʼzoda \(t\) ni ham ayirishimiz kerak edi, chunki birinchi qismdagi \(t\) endi yoʻq. \(t\) ni bu ayirish muammoni keltirib chiqaradi, chunki ikkinchi funktsiya endi to'g'ri siljimaydi. Buni tuzatish avvalgi misolga qaraganda osonroq.
Mana tuzatilgan funksiya.
\[\begin{align*}f\left( t \right) & = t + \left( { - 8 - \left( {t - 6 + 6} \right) + {{\left( {t - 6} \right)}^2}} \right){u_6}\left( t \right)\\ & = t + \left( { - 8 - \left( {t - 6} \right) - 6 + {{\left( {t - 6} \right)}^2}} \right){u_6}\left( t \right)\\ & = t + \left( { - 14 - \left( {t - 6} \right) + {{\left( {t - 6} \right)}^2}} \right){u_6}\left( t \right)\end{align*}\]Shunday qilib, ikkinchi muddatda biz o'zgarganga o'xshaymiz
\[g\left( t \right) = {t^2} - t - 14\]Transformatsiya shundan iboratki,
\[F\left( s \right) = \frac{1}{{{s^2}}} + \left( {\frac{2}{{{s^3}}} - \frac{1}{{{s^2}}} - \frac{{14}}{s}} \right){{\bf{e}}^{ - 6s}}\]Laplasni oladigan Heaviside funktsiyasisiz Agar bizda ishonchli bo'lsak, transformatsiyalar unchalik qiyin jarayon emas transformatsiyalar jadvali. Biroq, Heaviside funktsiyalari paydo bo'lishi bilan, ba'zida o'zgarishlarni qabul qilish juda tartibsiz jarayonga aylanishi mumkin.
Shunday qilib, keling, teskari Laplasni qilaylik qanday bajarilganligini ko'rish uchun o'zgartiradi.
- \(\displaystyle H\left( s \right) = \frac{{s{{\bf{e}}^{ - 4s}}}}{{\left( {3s + 2} \right)\left( {s - 2} \right)}}\)
- \(\displaystyle G\left( s \right) = \frac{{5{{\bf{e}}^{ - 6s}} - 3{{\bf{e}}^{ - 11s}}}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {{s^2} + 9} \right)}}\)
- \(\displaystyle F\left( s \right) = \frac{{4s + {{\bf{e}}^{ - s}}}}{{\left( {s - 1} \right)\left( {s + 2} \right)}}\)
- \(\displaystyle G\left( s \right) = \frac{{3s + 8{{\bf{e}}^{ - 20s}} - 2s{{\bf{e}}^{ - 3s}} + 6{{\bf{e}}^{ - 7s}}}}{{{s^2}\left( {s + 3} \right)}}\)
Munozarani ko'rsatish
Bularning barchasi jarayonda \(\eqref{eq:eq3}\) dan foydalanadi. E'tibor bering, ushbu formuladan foydalanish uchun eksponensial oxirigacha aralashmaga kirmaydi. Jarayonning katta qismi eksponensialsiz narsalarning teskari o'zgarishini topishdir.
Bu masalalarda biz ko'pgina teskari o'zgarishlarga batafsil to'xtala olmaymiz. Agar sizga teskari o'zgarishlarning ba'zi asoslari bo'yicha yangilanish kerak bo'lsa, orqaga qayting va oldingisiga qarang bo'limi.
a \(\displaystyle H\left( s \right) = \frac{{s{{\bf{e}}^{ - 4s}}}}{{\left( {3s + 2} \right)\left( {s - 2} \right)}}\) Yechim
Yuqoridagi izohlarni hisobga olgan holda, keling, avval transformatsiyani quyidagi tarzda qayta yozamiz.
\[H\left( s \right) = {{\bf{e}}^{ - 4s}}\frac{s}{{\left( {3s + 2} \right)\left( {s - 2} \right)}} = {{\bf{e}}^{ - 4s}}F\left( s \right)\]Endi bu muammo haqiqatan ham \(f(t)\) ga ehtiyoj tug'diradi. Shunday qilib, keling, buni qilaylik. Biz \(F(s)\) qismini qisman yuqoriga ajratishimiz kerak. Mana qisman kasr parchalanishi.
\[F\left( s \right) = \frac{A}{{3s + 2}} + \frac{B}{{s - 2}}\]Numeratorlarni teng belgilash,
\[s = A\left( {s - 2} \right) + B\left( {3s + 2} \right)\]Bu erda biz \(s\) qiymatlarini tanlash orqali konstantalarni topamiz. Buni qilish,
\[\begin{align*} & s = 2 & 2 & = 8B & \Rightarrow \hspace{0.25in}B & = \frac{1}{4}\\ & s = - \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & = - \frac{8}{3}A & \Rightarrow \hspace{0.25in}A & = \frac{1}{4}\end{align*}\]Shunday qilib, qisman kasr parchalanishi bo'ladi,
\[F\left( s \right) = \frac{{\frac{1}{4}}}{{3\left( {s + \frac{2}{3}} \right)}} + \frac{{\frac{1}{4}}}{{s - 2}}\]E'tibor bering, biz teskari o'zgartirishni amalga oshirish uchun maxrajdan 3 ni ajratdik. Buning teskari konvertatsiyasi shundan iboratki,
\[f\left( t \right) = \frac{1}{{12}}{{\bf{e}}^{ - \frac{{2\,t}}{3}}} + \frac{1}{4}{{\bf{e}}^{2t}}\]Keling, orqaga qaytib, haqiqiy muammoni hal qilaylik. Asl o'zgarish edi,
\[H\left( s \right) = {{\bf{e}}^{ - 4s}}F\left( s \right)\]E'tibor bering, biz \(F(s)\) ni ulash bilan bezovta qilmadik. Uni qayta ulashga hech qanday sabab yo‘q. Keling, teskari o‘zgarishlarni belgilar bo‘yicha yozish uchun \(\eqref{eq:eq3}\) dan foydalanaylik. Teskari konvertatsiya,
\[h\left( t \right) = {u_4}\left( t \right)f\left( {t - 4} \right)\]qaerda, \(f(t)\),
\[f\left( t \right) = \frac{1}{{12}}{{\bf{e}}^{ - \frac{{2\,t}}{3}}} + \frac{1}{4}{{\bf{e}}^{2t}}\]Bu biz javob bilan uzoqroqqa boramiz. Hozirda \(f(t)\)-ni ulash uchun hech qanday sabab yo'q. Bu funktsiyani uzoqroq va aniqroq qiladi. Ushbu turdagi teskari o'zgarishlarga deyarli barcha javoblarimizni ushbu shaklda beramiz.
b \(\displaystyle G\left( s \right) = \frac{{5{{\bf{e}}^{ - 6s}} - 3{{\bf{e}}^{ - 11s}}}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {{s^2} + 9} \right)}}\) Yechim
Bu muammo birinchi qarashda ko'rinadigan darajada qiyin emas. Ikkita eksponent borligi sababli, oxir-oqibat ular bilan alohida shug'ullanishimiz kerak bo'ladi. Endi bu bizni ushbu funktsiya bilan shug'ullanishning eng yaxshi yo'li uni quyidagicha taqsimlashdir, degan xulosaga kelishimiz mumkin:
\[G\left( s \right) = {{\bf{e}}^{ - 6s}}\frac{5}{{\left( {s + 2} \right)\left( {{s^2} + 9} \right)}} - {{\bf{e}}^{ - 11s}}\frac{3}{{\left( {s + 2} \right)\left( {{s^2} + 9} \right)}}\]E'tibor bering, biz oxirgi misolda qilganimizdek, eksponensialni hisobga oldik, chunki baribir buni qilishimiz kerak edi. Bu erda juda keng tarqalgan murakkablik paydo bo'ladi. Ko'pchilik birinchi funktsiyani \(F(s)\) va ikkinchi funktsiyani \(H(s)\), so'ngra ularning ikkalasini qisman kasr deb ataydi.
Biroq, agar eksponensialni hisobga olish o'rniga, biz koeffitsientni ham hisobga olsak,
\[G\left( s \right) = 5{{\bf{e}}^{ - 6s}}\frac{1}{{\left( {s + 2} \right)\left( {{s^2} + 9} \right)}} - 3{{\bf{e}}^{ - 11s}}\frac{1}{{\left( {s + 2} \right)\left( {{s^2} + 9} \right)}}\]Buni amalga oshirgandan so'ng, biz ikkala funktsiyaning aslida bir xil funktsiya ekanligini ko'rishimiz mumkin. Yagona farq bu suratda bo'lgan doimiydir. Shunday qilib, biz ushbu muammolarni hal qilish usuli, birinchi navbatda, har ikkala eksponensiyada faqat koeffitsientlar sifatida konstantalarga ega ekanligini payqashimiz kerak. Keyin narsalarni qismlarga ajratish o'rniga, biz shunchaki butun hisobni ajratib olamiz va olamiz:
\[G\left( s \right) = \left( {5{{\bf{e}}^{ - 6s}} - 3{{\bf{e}}^{ - 11s}}} \right)\frac{1}{{\left( {s + 2} \right)\left( {{s^2} + 9} \right)}} = \left( {5{{\bf{e}}^{ - 6s}} - 3{{\bf{e}}^{ - 11s}}} \right)F\left( s \right)\]va endi biz \(F(s)\) qisman qismini olamiz.
Bu erda qisman fraktsiyaning parchalanishi.
\[F\left( s \right) = \frac{A}{{s + 2}} + \frac{{Bs + C}}{{{s^2} + 9}}\]Numeratorlarni tenglashtirish va birlashtirish bizga,
\[\begin{align*}1 & = A\left( {{s^2} + 9} \right) + \left( {s + 2} \right)\left( {Bs + C} \right)\\ & = \left( {A + B} \right){s^2} + \left( {2B + C} \right)s + 9A + 2C\end{align*}\]Koeffitsientni tenglashtirish va hal qilish,
\[\left. {\begin{aligned} & {s^2}\,: & A + B & = 0\\& {s^1}\,: & 2B + C & = 0\\& {s^0}\,: & 9A + 2C & = 1\end{aligned}} \right\}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}A = \frac{1}{{13}},\,\,\,\,B = - \frac{1}{{13}},\,\,\,\,\,C = \frac{2}{{13}}\]Transformatsiyaga qaytarish va kerak bo'lganda hisoblagichlarni tuzatish,
\[\begin{align*}F\left( s \right) &= \frac{1}{{13}}\left( {\frac{1}{{s + 2}} + \frac{{ - s + 2}}{{{s^2} + 9}}} \right)\\ & = \frac{1}{{13}}\left( {\frac{1}{{s + 2}} - \frac{s}{{{s^2} + 9}} + \frac{{2\frac{3}{3}}}{{{s^2} + 9}}} \right)\end{align*}\]Oldingida qilganimizdek, ishimizni biroz soddalashtirish uchun umumiy maxrajni ajratib oldik. Teskari konvertatsiyani qabul qilib, natija beradi,
\[f\left( t \right) = \frac{1}{{13}}\left( {{{\bf{e}}^{ - 2t}} - \cos \left( {3t} \right) + \frac{2}{3}\sin \left( {3t} \right)} \right)\]Shu nuqtada biz orqaga qaytib, asl muammo haqida o'ylashni boshlashimiz mumkin.
\[\begin{align*}G\left( s \right) & = \left( {5{{\bf{e}}^{ - 6s}} - 3{{\bf{e}}^{ - 11s}}} \right)F\left( s \right)\\ & = 5{{\bf{e}}^{ - 6s}}F\left( s \right) - 3{{\bf{e}}^{ - 11s}}F\left( s \right)\end{align*}\]To'g'ri teskari konvertatsiya qilish uchun biz \(F(s)\) ni ham tarqatishimiz kerak. Esda tutingki, \(\eqref{eq:eq3}\)-dan teskari konvertatsiya qilish uchun foydalanish uchun sizda bitta eksponensial marta bitta konvertatsiya bo'lishi kerak. Bu shuni anglatadiki, biz \(F(s)\) ni qavs orqali ko'paytirishimiz kerak. Endi biz teskari konvertatsiya qilishimiz mumkin,
\[g\left( t \right) = 5{u_6}\left( t \right)f\left( {t - 6} \right) - 3{u_{11}}\left( t \right)f\left( {t - 11} \right)\]qayerda,
\[f\left( t \right) = \frac{1}{{13}}\left( {{{\bf{e}}^{ - 2t}} - \cos \left( {3t} \right) + \frac{2}{3}\sin \left( {3t} \right)} \right)\]c \(\displaystyle F\left( s \right) = \frac{{4s + {{\bf{e}}^{ - s}}}}{{\left( {s - 1} \right)\left( {s + 2} \right)}}\) Yechim
Bu holda, oldingi qismdan farqli o'laroq, biz konvertatsiyani buzishimiz kerak bo'ladi, chunki bir atamada doimiy, ikkinchisida \(s\) mavjud. Shuni ham yodda tutingki, biz bunda eksponensialni emas, faqat uning koeffitsientini hisobga olamiz. Transformatsiyani buzish,
\[F\left( s \right) = \frac{{4s}}{{\left( {s - 1} \right)\left( {s + 2} \right)}} + {{\bf{e}}^{ - s}}\frac{1}{{\left( {s - 1} \right)\left( {s + 2} \right)}} = G\left( s \right) + {{\bf{e}}^{ - s}}H\left( s \right)\]Biz bu atamalarni qisman qisman yuqoriga ajratishimiz kerak bo'ladi. Biz \(G(s)\) dan boshlaymiz.
\[G\left( s \right) = \frac{A}{{s - 1}} + \frac{B}{{s + 2}}\]Numeratorlarni teng belgilash,
\[4s = A\left( {s + 2} \right) + B\left( {s - 1} \right)\]Endi konstantalarni topish uchun \(s\) qiymatlarini tanlang.
\[\begin{align*} & s = - 2 & - 8 & = - 3B & \Rightarrow \hspace{0.25in}B & = \frac{8}{3}\\ & s = 1 & 4 & = 3A & \Rightarrow \hspace{0.25in}A &= \frac{4}{3}\end{align*}\]Shunday qilib, \(G(s)\) va uning teskari o'zgarishi,
\[\begin{align*}G\left( s \right) & = \frac{{\frac{4}{3}}}{{s - 1}} + \frac{{\frac{8}{3}}}{{s + 2}}\\ g\left( t \right) & = \frac{4}{3}{{\bf{e}}^t} + \frac{8}{3}{{\bf{e}}^{ - 2t}}\end{align*}\]Endi \(H(s)\) uchun jarayonni takrorlang.
\[H\left( s \right) = \frac{A}{{s - 1}} + \frac{B}{{s + 2}}\]Numeratorlarni teng belgilash,
\[1 = A\left( {s + 2} \right) + B\left( {s - 1} \right)\]Endi konstantalarni topish uchun \(s\) qiymatlarini tanlang.
\[\begin{align*}& s = - 2 & 1 & = - 3B & \Rightarrow \hspace{0.25in}B & = - \frac{1}{3}\\ & s = 1 & 1 & = 3A & \Rightarrow \hspace{0.25in}A & = \frac{1}{3}\end{align*}\]Shunday qilib, \(H(s)\) va uning teskari o'zgarishi,
\[\begin{align*}H\left( s \right) & = \frac{{\frac{1}{3}}}{{s - 1}} - \frac{{\frac{1}{3}}}{{s + 2}}\\ h\left( t \right) & = \frac{1}{3}{{\bf{e}}^t} - \frac{1}{3}{{\bf{e}}^{ - 2t}}\end{align*}\]Bularning barchasini birlashtirganda, quyidagilar hosil bo'ladi:
\[\begin{align*}F\left( s \right) & = G\left( s \right) + {{\bf{e}}^{ - s}}H\left( s \right)\\ f\left( t \right) & = g\left( t \right) + {u_1}\left( t \right)h\left( {t - 1} \right)\end{align*}\]qayerda,
\[g\left( t \right) = \frac{4}{3}{{\bf{e}}^t} + \frac{8}{3}{{\bf{e}}^{ - 2t}}\hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in}h\left( t \right) = \frac{1}{3}{{\bf{e}}^t} - \frac{1}{3}{{\bf{e}}^{ - 2t}}\]d \(\displaystyle G\left( s \right) = \frac{{3s + 8{{\bf{e}}^{ - 20s}} - 2s{{\bf{e}}^{ - 3s}} + 6{{\bf{e}}^{ - 7s}}}}{{{s^2}\left( {s + 3} \right)}}\) Yechim
Bu aslidagidan ko'ra chigalroq ko'rinadi. Keling, avval hisoblagichni biroz o'zgartiraylik.
\[G\left( s \right) = \frac{{s\left( {3 - 2{{\bf{e}}^{ - 3s}}} \right) + \left( {8{{\bf{e}}^{ - 20s}} + 6{{\bf{e}}^{ - 7s}}} \right)}}{{{s^2}\left( {s + 3} \right)}}\]Ushbu shaklda biz buni qisman kasrlarni talab qiladigan ikki qismga bo'lishimiz mumkin kabi ko'rinadi. Bularni parchalashda biz har doim narsalarni qisman bo'laklash uchun imkon qadar kamroq bo'laklarga bo'lishga harakat qilishimiz kerak. Buni qilish sizni juda ko'p keraksiz ishlardan qutqarishi mumkin. Yuqorida aytib o'tilganidek, transformatsiyani buzish,
\[\begin{align*}G\left( s \right) & = \left( {3 - 2{{\bf{e}}^{ - 3s}}} \right)\frac{1}{{s\left( {s + 3} \right)}} + \left( {8{{\bf{e}}^{ - 20s}} + 6{{\bf{e}}^{ - 7s}}} \right)\frac{1}{{{s^2}\left( {s + 3} \right)}}\\ & = \left( {3 - 2{{\bf{e}}^{ - 3s}}} \right)F\left( s \right) + \left( {8{{\bf{e}}^{ - 20s}} + 6{{\bf{e}}^{ - 7s}}} \right)H\left( s \right)\end{align*}\]E'tibor bering, biz \(F(s)\)-da \(s\)-ni bekor qildik. Qisman kasrlarni bajarishdan oldin har doim imkon qadar soddalashtirishingiz kerak.
Keling, avval \(F(s)\) ni qisman kattalashtiramiz.
\[F\left( s \right) = \frac{A}{s} + \frac{B}{{s + 3}}\]Numeratorlarni teng belgilash,
\[1 = A\left( {s + 3} \right) + Bs\]Endi konstantalarni topish uchun \(s\) qiymatlarini tanlang.
\[\begin{align*} & s = - 3 & 1 & = - 3B & \Rightarrow \hspace{0.25in}B & = - \frac{1}{3}\\ & s = 0 & 1 & = 3A & \Rightarrow \hspace{0.25in}A &= \frac{1}{3}\end{align*}\]Shunday qilib, \(F(s)\) va uning teskari o'zgarishi,
\[\begin{align*}F\left( s \right) & = \frac{{\frac{1}{3}}}{s} - \frac{{\frac{1}{3}}}{{s + 3}}\\ f\left( t \right) & = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}{{\bf{e}}^{ - 3t}}\end{align*}\]Endi \(H(s)\) qisman fraktsiyasi.
\[H\left( s \right) = \frac{A}{s} + \frac{B}{{{s^2}}} + \frac{C}{{s + 3}}\]Numeratorlarni teng belgilash,
\[1 = As\left( {s + 3} \right) + B\left( {s + 3} \right) + C{s^2}\]Konstantalarni topish uchun \(s\) qiymatlarini tanlang.
\[\begin{align*}& s = - 3 & 1 & = 9C & \Rightarrow \hspace{0.25in}C & = \frac{1}{9}\\ & s = 0 & 1 & = 3B & \Rightarrow \hspace{0.25in}B & = \frac{1}{3}\\ & s = 1 & 1 & = 4A + 4B + C = 4A + \frac{{13}}{9} & \Rightarrow \hspace{0.25in}A &= - \frac{1}{9}\end{align*}\]Shunday qilib, \(H(s)\) va uning teskari o'zgarishi,
\[\begin{align*}H\left( s \right) & = - \frac{{\frac{1}{9}}}{s} + \frac{{\frac{1}{3}}}{{{s^2}}} + \frac{{\frac{1}{9}}}{{s + 3}}\\ h\left( t \right) & = - \frac{1}{9} + \frac{1}{3}t + \frac{1}{9}{{\bf{e}}^{ - 3t}}\end{align*}\]Keling, asl masalaga qaytaylik, konvertatsiyani qavs orqali ko'paytirishni unutmang.
\[G\left( s \right) = 3F\left( s \right) - 2{{\bf{e}}^{ - 3s}}F\left( s \right) + 8{{\bf{e}}^{ - 20s}}H\left( s \right) + 6{{\bf{e}}^{ - 7s}}H\left( s \right)\]Teskari konvertatsiyani qabul qilish,
\[g\left( t \right) = 3f\left( t \right) - 2{u_3}\left( t \right)f\left( {t - 3} \right) + 8{u_{20}}\left( t \right)h\left( {t - 20} \right) + 6{u_7}\left( t \right)h\left( {t - 7} \right)\]Shunday qilib, bu misol ko'rsatganidek, ular biroz chalkash bo'lishi mumkin. Biroq, chalkashlik, aslida, faqat yozuv va ish miqdori bilan bog'liq. Haqiqiy qisman kasr ishi oldingi bo'limlar bilan bir xil edi. Ushbu bo'limdagi asosiy farq shundaki, biz buni ko'proq qilishimiz kerak edi. Teskari konvertatsiya jarayoni davom etar ekan. Shunga qaramay, ularning katta qismi avvalgi qism bilan bir xil edi.
Shunday qilib, bu muammolarning aniq tartibsizligi sizni ularni qila olmaysiz degan qarorga kelishingizga yo'l qo'ymang. Umuman olganda, ular dastlab ko'rinadigan darajada yomon emas.