Differensial tenglamani quyidagicha qayta yozish uchun avval ikkala tomonni \({x^2}\) ga ajratamiz:

\[\frac{y}{x}\,y' = - 4 - \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} = - 4 - {\left( {\frac{y}{x}} \right)^2}\]

Endi, bu biz yuqorida sanab o'tganimizdek, rasman to'g'ri shaklda emas, lekin biz ko'rishimiz mumkinki, o'zgaruvchilar ro'yxatga olingan hamma joyda ular \({y}/{x}\;\) nisbati sifatida namoyon bo'ladi va shuning uchun bu haqiqatan ham biz borishimiz kerak bo'lgan darajada. Shunday qilib, keling, almashtirishni differentsial tenglamaning ushbu shakliga kiritamiz,

\[v\left( {v + xv'} \right) = - 4 - {v^2}\]

Keyin hamma narsani ajratib olish uchun differentsial tenglamani qayta yozing.

\[\begin{align*}v\,x\,v' & = - 4 - 2{v^2}\\ x\,v' & = - \frac{{4 + 2{v^2}}}{v}\\ \frac{v}{{4 + 2{v^2}}}dv & = - \frac{1}{x}dx\end{align*}\]

Ikkala tomonni birlashtirish,

\[\frac{1}{4}\ln \left( {4 + 2{v^2}} \right) = - \ln \left( x \right) + c\]

Buni \(v\) uchun osonlikcha hal qilish uchun asosiy logarifm xususiyatlaridan foydalanib, biroz qayta yozishimiz kerak.

\[\ln {\left( {4 + 2{v^2}} \right)^{\frac{1}{4}}} = \ln {\left( x \right)^{ - 1}} + c\]

Endi ikkala tomonni eksponentatsiya qiling va biroz qayta yozing

\[{\left( {4 + 2{v^2}} \right)^{\frac{1}{4}}} = {{\bf{e}}^{\,\ln {{\left( x \right)}^{ - 1}} + c}} = {{\bf{e}}^c}{{\bf{e}}^{\,\ln {{\left( x \right)}^{ - 1}}}} = \frac{c}{x}\]

E'tibor bering, \(c\) noma'lum konstanta bo'lgani uchun \({{\bf{e}}^{\,c}}\) ham shunday va shuning uchun biz buni yuqoridagi kabi \(c\) deb atashimiz mumkin.

Nihoyat, keling, \(v\) ni hal qilaylik va keyin almashtirishni qayta ulang va biz yana bir oz tez va doimiylar bilan o'ynaymiz.

\[\begin{align*}4 + 2{v^2} & = \frac{{{c^4}}}{{{x^4}}} = \frac{c}{{{x^4}}}\\ {v^2} & = \frac{1}{2}\left( {\frac{c}{{{x^4}}} - 4} \right)\\ \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} & = \frac{1}{2}\left( {\frac{{c - 4{x^4}}}{{{x^4}}}} \right)\\ {y^2} & = \frac{1}{2}{x^2}\left( {\frac{{c - 4{x^4}}}{{{x^4}}}} \right) = \frac{{c - 4{x^4}}}{{2{x^2}}}\end{align*}\]

Bu nuqtada, ehtimol, davom ettirish va dastlabki shartni qo'llash yaxshi bo'lar edi. Buni qilish,

\[49 = \frac{{c - 4\left( {16} \right)}}{{2\left( 4 \right)}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}c = 456\]

E'tibor bering, biz dastlabki boshlang'ich shartni \(v\) nuqtai nazaridan bittaga aylantirib, keyin ajratiladigan differentsial tenglamani yechishda qo'llashimiz mumkin edi. Biroq, bu holda, ajratiladigan differentsial tenglamaning yechimidagi barcha logarifmlarni hisobga olgan holda, \(y\) nuqtai nazaridan buni qilish biroz osonroq edi.

Nihoyat, \(c\)-ni ulang va \(y\)-ni hal qiling,

\[{y^2} = \frac{{228 - 2{x^4}}}{{{x^2}}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}y\left( x \right) = \pm \sqrt {\frac{{228 - 2{x^4}}}{{{x^2}}}} \]

Dastlabki shart bizga "-" to'g'ri belgi bo'lishi kerakligini aytadi va shuning uchun haqiqiy echim:

\[y\left( x \right) = - \sqrt {\frac{{228 - 2{x^4}}}{{{x^2}}}} \]

Yaroqlilik oralig'i uchun biz \(x = 0\) dan qochishimiz kerakligini ko'rishimiz mumkin va kvadrat ildiz ostida salbiy raqamlarga ruxsat bera olmasligimiz uchun biz buni talab qilishimiz kerak,

\[\begin{align*}228 - 2{x^4} & \ge 0\\ {x^4} & \le 114\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} - 3.2676 \le x \le 3.2676\end{align*}\]

Shunday qilib, bizda ikkita mumkin bo'lgan amal qilish oralig'i mavjud,

\[ - 3.2676 \le x < 0\hspace{0.25in}0 < x \le 3.2676\]

va boshlang'ich shart bizga \(0 < x \le 3.2676\) bo'lishi kerakligini aytadi.

Yechimning grafigi,

Tashqi tomondan, bu differentsial tenglama bir hil bo'lmaganga o'xshaydi. Biroq, tezkor logarifm xususiyati bilan biz buni quyidagicha qayta yozishimiz mumkin:

\[y' = \frac{y}{x}\ln \left( {\frac{x}{y}} \right)\]

Bu shaklda differentsial tenglama aniq bir hil bo'ladi. O'zgartirish va ajratishni qo'llash,

\[\begin{align*}v + xv' & = v\ln \left( {\frac{1}{v}} \right)\\ xv' & = v\left( {\ln \left( {\frac{1}{v}} \right) - 1} \right)\\ \frac{{dv}}{{v\left( {\ln \left( {\frac{1}{v}} \right) - 1} \right)}} & = \frac{{dx}}{x}\end{align*}\]

Ikkala tomonni birlashtiring va olish uchun biroz qayta yozing,

\[\begin{align*} - \ln \left( {\ln \left( {\frac{1}{v}} \right) - 1} \right) & = \ln x + c\\ \ln \left( {\ln \left( {\frac{1}{v}} \right) - 1} \right) & = c - \ln x\end{align*}\]

Chap o'ngdagi integralni bajara oldingizmi? U \(u = \ln \left( {\frac{1}{v}} \right) - 1\) o'rnini egalladi.

Endi \(v\) ni hal qiling va shuni yodda tutingki, biz ikkala tomonni bir necha marta eksponentatsiya qilishimiz va yana konstantalar bilan tez va erkin o'ynashimiz kerak.

\[\begin{align*}\ln \left( {\frac{1}{v}} \right) - 1 = {{\bf{e}}^{\,\ln {{\left( x \right)}^{ - 1}} + c}} & = {{\bf{e}}^c}{{\bf{e}}^{\,\ln {{\left( x \right)}^{ - 1}}}} = \frac{c}{x}\\ \ln \left( {\frac{1}{v}} \right) & = \frac{c}{x} + 1\\ \frac{1}{v} & = {{\bf{e}}^{\,\frac{c}{x} + 1}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}v = {{\bf{e}}^{ - \,\,\frac{c}{x}\, - \,1}}\end{align*}\]

O'zgartirishni qayta ulash va \(y\) ni hal qilish,

\[\frac{y}{x} = {{\bf{e}}^{ - \,\,\frac{c}{x}\, - \,1}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}y\left( x \right) = x{{\bf{e}}^{ - \,\,\frac{c}{x}\, - \,1}}\]

\(c\) uchun boshlang'ich shartni qo'llash va echish,

\[4 = {{\bf{e}}^{ - \,c\, - \,1}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}c = - \left( {1 + \ln 4} \right)\]

Yechim shundan iboratki,

\[y\left( x \right) = x{{\bf{e}}^{\,\frac{{1 + \ln 4}}{x}\, - \,1}}\]

Nolga bo'linmaslik uchun biz \(x = 0\) dan qochishimiz kerak va shuning uchun dastlabki shart bilan biz amal qilish oralig'i \(x > 0\) ekanligini ko'rishimiz mumkin.

Yechimning grafigi,

Bunday holda biz almashtirishdan foydalanamiz.

\[v = 4x - y\hspace{0.25in}v' = 4 - y'\]

E'tibor bering, biz almashtirishda "+1" ni kiritmadik. Odatda faqat \(ax + by\) qismi almashtirishga kiritiladi. Ba'zida qo'shimcha konstantani kiritish yechim jarayonining qiyinligini oson yoki qiyinroq o'zgartirishi mumkin, ammo bu holda bu unchalik katta farq qilmaydi, shuning uchun biz uni almashtirishimizga qo'shmaymiz.

Shunday qilib, buni differentsial tenglamaga kiritish,

\[\begin{align*}4 - v' - {\left( {v + 1} \right)^2} & = 0\\ v' & = 4 - {\left( {v + 1} \right)^2}\\ \frac{{dv}}{{{{\left( {v + 1} \right)}^2} - 4}} & = - dx\end{align*}\]

Yuqorida ko'rsatganimizdek, bizda ajratiladigan differentsial tenglama bor. Shuni ham yodda tutingki, yechim jarayoniga yordam berish uchun biz o'ng tomonda minus belgisini qoldirdik. Biz ikkala tomonni birlashtirishimiz kerak va chapdagi integralni bajarish uchun biz foydalanishimiz kerak qisman kasrlar. Biz etishmayotgan tafsilotlarni to'ldirishni sizga qoldiramiz va biz bir necha boblarda qisman kasr ishlarini bajarishimizni hisobga olsak, etishmayotgan tafsilotlarni bajarishingiz mumkinligiga ishonch hosil qilishingiz kerak.

\[\begin{align*}\int{{\frac{{dv}}{{{v^2} + 2v - 3}}}} = \int{{\frac{{dv}}{{\left( {v + 3} \right)\left( {v - 1} \right)}}}} & = \int{{ - dx}}\\ \frac{1}{4}\int{{\frac{1}{{v - 1}} - \frac{1}{{v + 3}}dv}} & = \int{{ - dx}}\\ \frac{1}{4}\left( {\ln \left( {v - 1} \right) - \ln \left( {v + 3} \right)} \right) & = - x + c\\ \ln \left( {\frac{{v - 1}}{{v + 3}}} \right) & = c - 4x\end{align*}\]

E'tibor bering, biz yuqoridagi konstantalar bilan biroz tez va erkin o'ynadik. Keyingi qadam juda chalkash, lekin bajarilishi kerak va bu \(v\) muammosini hal qilish va shuni yodda tutingki, biz yana konstantalar bilan tez va bo'sh o'ynaymiz, bu erda biz undan xalos bo'lamiz va tekshirishda hech qanday muammo bo'lmasligi kerak bo'lgan bir necha qadamni o'tkazib yuboramiz.

\[\begin{align*}\frac{{v - 1}}{{v + 3}} = {{\bf{e}}^{c - 4x\,}} & = c\,{{\bf{e}}^{ - 4x\,}}\\ v - 1 & = c\,{{\bf{e}}^{ - 4x\,}}\left( {v + 3} \right)\\ v\left( {1 - c\,{{\bf{e}}^{ - 4x\,}}} \right) & = 1 + 3c\,{{\bf{e}}^{ - 4x\,}}\end{align*}\]

Ushbu bosqichda biz biroz orqaga chekinishimiz kerak va shuni ta'kidlashimiz kerakki, biz endi doimiylar bilan tez va erkin o'ynay olmaymiz. Biz buni birinchi bosqichda qila oldik, chunki \(c\) tenglamada faqat bir marta paydo bo'ldi. Shu bilan birga, \(c\) ikki marta paydo bo'ladi va shuning uchun biz ularni ushlab turishimiz kerak. Agar biz 3 ni o'ng tarafdagi \(c\) ga "singdirsak" "yangi" \(c\) chapdagi \(c\) dan farq qiladi, chunki chapdagi \(c\) da ham 3 yo'q edi.

Shunday qilib, keling, \(v\) ni hal qilaylik va keyin davom eting va \(y\) shartlariga qaytaylik.

\[\begin{align*}v & = \frac{{1 + 3c\,{{\bf{e}}^{ - 4x\,}}}}{{1 - c\,{{\bf{e}}^{ - 4x\,}}}}\\ 4x - y & = \frac{{1 + 3c\,{{\bf{e}}^{ - 4x\,}}}}{{1 - c\,{{\bf{e}}^{ - 4x\,}}}}\\ y\left( x \right) & = 4x - \frac{{1 + 3c\,{{\bf{e}}^{ - 4x\,}}}}{{1 - c\,{{\bf{e}}^{ - 4x\,}}}}\end{align*}\]

Oxirgi qadam, keyin boshlang'ich shartni qo'llash va \(c\) ni hal qilishdir.

\[2 = y\left( 0 \right) = - \frac{{1 + 3c}}{{1 - c}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}c = - 3\]

Yechim shundan iboratki,

\[y\left( x \right) = 4x - \frac{{1 - 9\,{{\bf{e}}^{ - 4x\,}}}}{{1 + 3\,{{\bf{e}}^{ - 4x\,}}}}\]

E'tibor bering, ko'rsatkichlar hamma joyda mavjud bo'lganligi va ikkinchi hadning maxraji har doim ijobiy bo'lganligi sababli (chunki ko'rsatkichlar har doim ijobiy bo'ladi va unga ijobiy qo'shilishi uning ijobiy ekanligini o'zgartirmaydi) bu yechimning amal qilish oralig'i barcha haqiqiy sonlar bo'ladi.

Mana yechimning grafigi.

Mana, bu misol uchun bizga kerak bo'ladigan almashtirish.

\[v = 9y - x\hspace{0.25in}v' = 9y' - 1\]

Buni bizning differentsial tenglamamizga kiritish,

\[\begin{align*}\frac{1}{9}\left( {v' + 1} \right) & = {{\bf{e}}^v}\\ v' & = 9{{\bf{e}}^v} - 1\\ \frac{{dv}}{{9{{\bf{e}}^v} - 1}} & = dx\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\frac{{{{\bf{e}}^{ - v}}\,dv}}{{9 - {{\bf{e}}^{ - v}}}} = dx\end{align*}\]

E'tibor bering, biz integrallarni biroz osonlashtirish uchun ajratilgan qismni biroz qayta yozdik. Surat va maxrajni \({{\bf{e}}^{ - v}}\) ga ko'paytirish orqali biz buni oddiygina almashtirish integratsiyasi muammosiga aylantirishimiz mumkin. Shunday qilib, ikkala tomonni birlashtirgandan so'ng, biz olamiz,

\[\ln \left( {9 - {{\bf{e}}^{ - v}}} \right) = x + c\]

\(v\) ni hal qilish,

\[\begin{align*}9 - {{\bf{e}}^{ - v}} & = {{\bf{e}}^c}{{\bf{e}}^x} = c{{\bf{e}}^x}\\ {{\bf{e}}^{ - v}} & = 9 - c{{\bf{e}}^x}\\ v & = - \ln \left( {9 - c{{\bf{e}}^x}} \right)\end{align*}\]

O'zgartirishni qayta ulash va \(y\) ni hal qilish bizga beradi,

\[y\left( x \right) = \frac{1}{9}\left( {x - \ln \left( {9 - c{{\bf{e}}^x}} \right)} \right)\]

Keyin, boshlang'ich shartni qo'llang va \(c\) ni hal qiling.

\[0 = y\left( 0 \right) = - \frac{1}{9}\ln \left( {9 - c} \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}c = 8\]

Yechim shundan iboratki,

\[y\left( x \right) = \frac{1}{9}\left( {x - \ln \left( {9 - 8{{\bf{e}}^x}} \right)} \right)\]

Endi, amal qilish oralig'i uchun biz faqat ijobiy sonlarning logarifmlarini olishimizga ishonch hosil qilishimiz kerak, chunki biz buni talab qilishimiz kerak,

\[9 - 8{{\bf{e}}^x} > 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{{\bf{e}}^x} < \frac{9}{8}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x < \ln \frac{9}{8} = 0.1178\]

Mana yechimning grafigi.