2.15-bo'lim: Mutlaq qiymat tengsizliklari
Oldingida biz mutlaq qiymatlarni o'z ichiga olgan tenglamalarni yechdik. Ushbu bo'limda biz mutlaq qiymatlarni o'z ichiga olgan tengsizliklarni ko'rib chiqmoqchimiz. Biz ikkita alohida ishni ko'rib chiqishimiz kerak.
< va \( \le \) ishtirokidagi tengsizliklar
Tenglamalar bilan qilganimizdek, keling, juda oddiy holatni ko'rib chiqishdan boshlaylik.
\[\left| p \right| \le 4\]Bu \(p\) qanday bo'lishidan qat'iy nazar, u boshlang'ichdan 4 dan ortiq bo'lmagan masofaga ega bo'lishi kerakligini aytadi. Bu \(p\) diapazonda bo'lishi kerakligini anglatadi,
\[ - 4 \le p \le 4\]Biz < bilan o'xshash tengsizlikka ega bo'lishimiz va shunga o'xshash natijani olishimiz mumkin.
Umuman olganda, bizda quyidagi formulalar mavjud,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{\begin{align*}{\mbox{If }}\left| p \right| \le b,\,\,\,b > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\mbox{then }} - b \le p \le b\\ {\mbox{If }}\left| p \right| < b,\,\,\,b > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\mbox{then }} - b < p < b\end{align*}}\]E'tibor bering, bu shunday qiladi talab qiladi \(b\) xuddi tenglamalarda qilganimiz kabi ijobiy bo'lishi kerak.
Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
- \(\left| {2x - 4} \right| < 10\)
- \(\left| {9m + 2} \right| \le 1\)
- \(\left| {3 - 2z} \right| \le 5\)
a \(\left| {2x - 4} \right| < 10\) Yechim
Haqiqatan ham formulaga ulanishdan boshqa qiladigan ko'p narsa yo'q. \(p\) tenglamalarida bo'lgani kabi, mutlaq qiymatlar satrida bo'lgan hamma narsani ifodalaydi. Shunday qilib, birinchisi bilan bizda,
\[ - 10 < 2x - 4 < 10\]Endi, bu hal qilish uchun juda oddiy ikki tomonlama tengsizlikdan boshqa narsa emas, shuning uchun buni qilaylik.
\[\begin{array}{c} - 6 < 2x < 14\\ - 3 < x < 7\end{array}\]Ushbu yechim uchun intervalli belgi \(\left( { - 3,7} \right)\).
b \(\left| {9m + 2} \right| \le 1\) Yechim
Bu yerda qiladigan ish ko‘p emas.
\[\begin{array}{c} - 1 \le 9m + 2 \le 1\\ - 3 \le 9m \le - 1\\ \displaystyle - \frac{1}{3} \le m \le - \frac{1}{9}\end{array}\]Interval belgisi \(\left[ { - \frac{1}{3}, - \frac{1}{9}} \right]\).
c \(\left| {3 - 2z} \right| \le 5\) Yechim
Bu bilan qo'shaloq tengsizlikni echishda biroz ehtiyot bo'lishimiz kerak, ammo bundan tashqari u avvalgi ikki qism bilan deyarli bir xil.
\[\begin{array}{c} -5 \le 3 - 2z \le 5\\ - 8 \le - 2z \le 2\\ 4 \ge z \ge - 1\end{array}\]Yakuniy bosqichda tengsizliklar yo'nalishini o'zgartirishni unutmang, chunki biz hamma narsani manfiy raqamga ajratdik. Ushbu yechim uchun intervalli belgi \(\left[ { - 1,4} \right]\).
> va \( \ge \) ishtirokidagi tengsizliklar
Yana bir bor oddiy raqamlar misolidan boshlaylik.
\[\left| p \right| \ge 4\]Bu shuni anglatadiki, \(p\) nima bo'lishidan qat'i nazar, u boshlang'ichdan kamida 4 masofada bo'lishi kerak va shuning uchun \(p\) quyidagi ikkita diapazondan birida bo'lishi kerak,
\[p \le - 4\hspace{0.25in}\text{yoki}\hspace{0.25in}p \ge 4\]Umumiy yechimni berishdan oldin, biz o'quvchilarning ushbu turdagi muammolar bilan yo'l qo'yadigan keng tarqalgan xatosini hal qilishimiz kerak. Ko'pgina talabalar ularni bitta juft tengsizlikka quyidagi tarzda birlashtirishga harakat qilishadi:
\[ - 4 \ge p \ge 4\]Bu mantiqiy tuyulishi mumkin bo'lsa-da, biz BU TO'G'RI EMASligini ta'kidlay olmaymiz!! Ikki tomonlama tengsizlik nima deyishini eslang. Ikki tomonlama tengsizlikda biz ikkala tengsizlikni bir vaqtning o'zida qondirishni talab qilamiz. Yuqoridagi qo‘sh tengsizlik \(p\) bir vaqtning o‘zida -4 dan kichik va 4 dan katta raqam ekanligini bildiradi. Bu mantiqiy emas. Buni qondiradigan raqam yo'q.
Bu yechimlar ikkita tengsizlik sifatida yozilishi kerak.
Mana bularning umumiy formulasi.
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{\begin{align*}{\mbox{If }}\left| p \right| \ge b,\,\,\,b > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\mbox{then }}p \le - b{\mbox{ or }}p \ge b\\ {\mbox{If }}\left| p \right| > b,\,\,\,b > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\mbox{then }}p < - b{\mbox{ or }}p > b\end{align*}}\]Yana shunday qilamiz talab qiladi \(b\) bu erda ijobiy raqam bo'lishi kerak. Keling, bir nechta misollar bilan ishlaylik.
- \(\left| {2x - 3} \right| > 7\)
- \(\left| {6t + 10} \right| \ge 3\)
- \(\left| {2 - 6y} \right| > 10\)
a \(\left| {2x - 3} \right| > 7\) Yechim
Shunga qaramay, \(p\) mutlaq qiymatlar qatorlari ichidagi miqdorni ifodalaydi, shuning uchun biz bu erda qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa formulaga ulanish va keyin ikkita chiziqli tengsizlikni hal qilishdir.
\[\begin{align*}2x - 3 & < - 7 & \hspace{0.25in} & \text{yoki} & \hspace{0.25in} 2x - 3 & > 7\\ 2x & < - 4 & \hspace{0.25in} & \text{yoki} & \hspace{0.25in} 2x & > 10\\ x & < - 2 & \hspace{0.25in} & \text{yoki} & \hspace{0.25in} x & > 5\end{align*}\]Ularning intervalli belgilari \(\left( { - \infty , - 2} \right)\) yoki \(\left( {5,\infty } \right)\).
b \(\left| {6t + 10} \right| \ge 3\) Yechim
Keling, formulalarni kiritamiz va bu erga boramiz,
\[\begin{align*}6t + 10 & \le - 3 & \hspace{0.25in} & \text{yoki} & \hspace{0.25in}6t + 10 & \ge 3\\ 6t & \le - 13 & \hspace{0.25in} & \text{yoki} & \hspace{0.25in} 6t & \ge - 7\\ t & \le - \frac{{13}}{6} & \hspace{0.25in} & \text{yoki} & \hspace{0.25in}t & \ge - \frac{7}{6}\end{align*}\]Ularning intervalli belgilari \(\left( { - \infty , - \frac{{13}}{6}} \right]\) yoki \(\left[ { - \frac{7}{6},\infty } \right)\).
c \(\left| {2 - 6y} \right| > 10\) Yechim
Shunga qaramay, bu erda qiladigan ko'p narsa yo'q.
\[\begin{align*}2 - 6y & < - 10 & \hspace{0.25in} & \text{yoki} & \hspace{0.25in}2 - 6y & > 10\\ - 6y & < - 12 & \hspace{0.25in} & \text{yoki} & \hspace{0.25in} - 6y & > 8\\ y & > 2 & \hspace{0.25in} & \text{yoki} & \hspace{0.25in} y & < - \frac{4}{3}\end{align*}\]E'tibor bering, biz manfiy songa bo'linganda tengsizliklar yo'nalishini o'zgartirishimiz kerak edi! Ushbu yechimlar uchun intervalli belgi \(\left( {2,\infty } \right)\) yoki \(\left( { - \infty , - \frac{4}{3}} \right)\).
OK, agar \(b\) nol yoki manfiy bo'lsa, nima bo'lishini tezda ko'rib chiqishimiz kerak. Biz buni bir qator misollar bilan qilamiz va noldan boshlaylik.
- \(\left| {3x + 2} \right| < 0\)
- \(\left| {x - 9} \right| \le 0\)
- \(\left| {2x - 4} \right| \ge 0\)
- \(\left| {3x - 9} \right| > 0\)
Munozarani ko'rsatish
Ushbu to'rtta misol bizning barcha asoslarimizni qamrab olgan ko'rinadi.
a \(\left| {3x + 2} \right| < 0\) Yechim
Endi biz \(\left| p \right| \ge 0\) ni bilamiz va shuning uchun hech qachon noldan kam bo'lishi mumkin emas. Shuning uchun, bu holda hech qanday yechim yo'q, chunki mutlaq qiymat noldan qat'iy kichik bo'lishi mumkin emas (i.e. salbiy).
b \(\left| {x - 9} \right| \le 0\) Yechim
Bu oldingi qism bilan deyarli bir xil. Biz hali ham mutlaq qiymat noldan kichik bo'lishi mumkin emas, lekin u nolga teng bo'lishi mumkin. Shunday qilib, bu faqat agar yechimga ega bo'ladi
\[\left| {x - 9} \right| = 0\]va biz buni qanday hal qilishni oldingi bo'limdan bilamiz.
\[x - 9 = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = 9\]c \(\left| {2x - 4} \right| \ge 0\) Yechim
Bu holda yana bir bor eslaylikki, \(p\) nima bo'lishidan qat'i nazar, bizda \(\left| p \right| \ge 0\) bo'lishi kafolatlangan. Bu shuni anglatadiki, \(x\) nima bo'lishidan qat'i nazar, biz \(\left| {2x - 4} \right| \ge 0\) to'g'ri bo'lishiga amin bo'lishimiz mumkin, chunki mutlaq qiymatlar doimo ijobiy yoki nolga teng bo'ladi.
Bu holda yechim barcha haqiqiy sonlar yoki \(x\) ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari hisoblanadi. Tengsizlik belgilarida bu \( - \infty < x < \infty \) bo'ladi.
d \(\left| {3x - 9} \right| > 0\) Yechim
Bu oldingi qism bilan deyarli bir xil, bundan mustasno, biz mutlaq qiymat hech qachon nolga teng bo'lishini xohlamasligimizni unutmang. Shunday qilib, mutlaq qiymat nolga teng bo'lmasa, qanday qiymat olishi bizni qiziqtirmaydi. Bu shuni anglatadiki, biz faqat \(x\) qiymatlaridan qochishimiz kerak,
\[\left| {3x - 9} \right| = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} 3x - 9 = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} x = 3\]Bu holda yechim \(x = 3\) dan boshqa barcha haqiqiy sonlardir.
Keling, manfiy raqamlar bilan tez misollar to'plamini qilaylik.
- \(\left| {4x + 15} \right| < - 2\) va \(\left| {4x + 15} \right| \le - 2\)
- \(\left| {2x - 9} \right| \ge - 8\) va \(\left| {2x - 9} \right| > - 8\)
Munozarani ko'rsatish
E'tibor bering, biz ularni juftlikda ishlayapmiz, chunki bu safar oldingi misollardan farqli o'laroq, echimlar har biri uchun bir xil bo'ladi.
Ikkalasi ham (to'rttasi ham?) \(p\) nima bo'lishidan qat'iy nazar, bizda \(\left| p \right| \ge 0\) bo'lishi kafolatlanganligidan foydalanadi. Boshqacha qilib aytganda, mutlaq qiymatlar har doim ijobiy yoki nolga teng.
a \(\left| {4x + 15} \right| < - 2\) va \(\left| {4x + 15} \right| \le - 2\) Yechim
To'g'ri, agar mutlaq qiymatlar har doim ijobiy yoki nolga teng bo'lsa, ular manfiy sondan kichik yoki unga teng bo'lishi mumkin emas.
Shuning uchun, bularning hech biri uchun hech qanday yechim yo'q.
b \(\left| {2x - 9} \right| \ge - 8\) va \(\left| {2x - 9} \right| > - 8\) Yechim
Bunday holda, agar mutlaq qiymat ijobiy yoki nolga teng bo'lsa, u har doim manfiy sondan katta yoki teng bo'ladi.
Bularning har biri uchun yechim barcha haqiqiy sonlardir.